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La similitudine
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Definizione
ESEMPIO
Si chiama similitudine la trasformazione geometrica che si ottiene dal prodotto di una omotetia con una isometria, in qualunque ordine queste trasformazioni vengano applicate.Per indicare che due figure G e G’ sono simili si scrive G ~ G’
Applichiamo alla figura F una omotetia di centro O e rapporto k e successivamente una simmetria di asse r.
F ~ F’’
La similitudine
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Proprietà
Per la similitudine valgono tutte quelle proprietà che valgono contemporaneamente per una omotetia e per una isometria, quindi, in una similitudine:
il rapporto fra segmenti corrispondenti è costante ed è uguale al valore assoluto del rapporto di omotetia; esso prende il nome di rapporto di similitudine e lo indicheremo con k angoli che si corrispondono sono congruenti
la figura simile a una retta è una retta
se due rette sono parallele anche le loro corrispondenti lo sono e se due rette sono incidenti anche le loro corrispondenti sono incidenti allo stesso modo.
Inoltre:
due figure omotetiche sono anche simili (l’isometria in questo caso coincide con l’identità)
due figure congruenti sono anche simili (l’omotetia ha rapporto k = 1).
La similitudine
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Riconoscere poligoni simili
Per i triangoli esistono inoltre tre criteri di similitudine
Se due poligoni hanno:
i lati proporzionali:
€
AB′ A ′ B
= BC′ B ′ C
=CD′ C ′ D
= AD′ A ′ D
gli angoli congruenti:
€
A≅ ′ A B ≅ ′ B C ≅ ′ C D≅ ′ D
allora sono simili.
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I criteri di similitudine
Teorema (I criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti.
A ≅ A’, B ≅ B’ ABC ~ A’B’C’
La similitudine
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I criteri di similitudine
Teorema (II criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno due lati proporzionali e l’angolo fra essi compreso congruente.
AB : A’B’ = AC : A’C’, A ≅ A’ ABC ~ A’B’C’
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I criteri di similitudine
Teorema (III criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno i tre lati proporzionali.
AB : A’B’ = AC : A’C’ = BC : B’C’ ABC ~ A’B’C’
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Criteri di similitudine
ESEMPIO
Da un punto M del lato AB di un triangolo ABC tracciamo la parallela al lato BC che incontra in N il lato AC; dimostriamo che i triangoli ABC e AMN sono simili.
Hp. MN ║ BC Th. ABC ~ AMN
Possiamo condurre la dimostrazione in diversi modi:
• possiamo dire che i due triangoli si corrispondono nell’omotetia di centro A e che quindi sono anche simili
• possiamo dire che i due triangoli hanno l’angolo di vertice A in comune ed inoltre, per il teorema di Talete, AM : AB = AN : AC; essi sono quindi simili per il secondo criterio
• possiamo dire che, essendo MN ║ BC, i lati dei due triangoli sono proporzionali (conseguneza del
teorema di Talete) e che essi sono quindi simili per il terzo criterio • possiamo dire che i due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti: ANM ≅ ACB e AMN ≅ ABC perché corrispondenti e che essi sono quindi simili per il primo criterio
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Proprietà dei triangoli simili
Se due triangoli sono simili con rapporto di similitudine uguale a k:
il rapporto fra altezze, mediane, bisettrici omologhe è uguale a k
kFC
CF
MC
CM
CH
CH'''''
il rapporto tra i perimetri è uguale a k, cioè: kp
p'2
2
il rapporto tra le aree è uguale al quadrato del rapporto di similitudine, cioè: 2
'k
S
S
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Corrispondenza con i teoremi di Euclide
Dalla similitudine dei triangoli ABC, ABH e ACH si deduce che:
• in ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa
• in ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
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Similitudine e circonferenza
Relativamente ad una circonferenza e alle sue corde, secanti e tangenti, valgono le seguenti proprietà:
• se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti di una corda sono i medi, i segmenti dell’altra corda sono gli estremi di una proporzione
CP : BP = AP : DP
• se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano due secanti, una secante e la sua parte esterna sono i medi, l’altra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una proporzione
PD : PB = PA : PC
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Similitudine e circonferenza
• se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, il segmento di tangente è medio proporzionale fra l’intera secante e la sua parte esterna
PB : PQ = PQ : PA
La similitudine
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Similitudine e circonferenza
Vale inoltre il teorema di Tolomeo:
E il suo inverso:
Se in un quadrilatero il rettangolo che ha per dimensioni le diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati i lati opposti, allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza.
Teorema. Se un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza, il rettangolo che ha per dimensioni le diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati i lati opposti del quadrilatero.
r (AC, BD) r (AB, CD) + r (BC, AD)