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La Stabilita’
• La stabilità alla Lyapunov dei sistemi– Semplice– Asintotica– Esponenziale– Locale– Globale
• La stabilità dei sistemi linearizzati
• Stabilità input-output (BIBO)– Risposta impulsiva
• (vedi Marro par. 2.3, vedi Vitelli-Petternella par. III.1, vedi es. in LabView)
– Poli sull’asse immaginario
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Sistemi non lineari• Per un Sistema NL non si parla di stabilità del “Sistema” (non è un
concetto globale).
• Il pendolo ha due punti di equilibrio (PDEq)
• Per i satelliti esistono solo alcune orbite geostazionarie (traiettorie stabili e non punti)
• La stabilità può dipendere (i.e., in generale dipende) dall’ingresso.
x x u= ⋅
360°
ϑ
ϑu = 0 => Infiniti punti di equilibrio
u < 0, x = 0 è PDEq stabile
u > 0, x = 0 è PDEq instabile
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Definizioni preliminari
• Sistema Autonomo: Ingresso := nullo
• Funzione di transizione dello stato: ϕ(t, t0, x0, u(.)) => x(t)
• Traiettoria: Insieme dei valori {x(t)}, (il tempo non appare)
• Moto: tempo & traiettoria {t, x(t)}
• Moto periodico: x(t+nT)=x(t) T=periodo del moto
• Punto di Equilibrio (PDEq), xe : ϕ(t, t0, xe, u(.)) =xe t>t0
( )x f x= e.g.: sin(t)
ϑ
ϑ
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Stabilità di un punto di equilibrio
( ) , ( )x f x x x= =0 0• Sistema autonomo
xe stabile := ∀ε ∃η − < ⇒ − < ∀ >, : ( )x x x t x te e0 0η ε
ε
η
0xcomunque (piccolo) si scelga ε, esiste η
• Se inoltre: lim ( )t
ex t x→∞
− = 0
stabilità asintotica di xe.
• Se poi vale allora si parla di stabilità asintotica globale∀ ∈x X0
• Infine, se
si ha stabilità esponenziale di xe
∃λ − < ⇒ − < ∀ >−: ( )x x x t x e te et
0 0η ε λ
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2° metodo di Lyapunov - definizioni
Funz. definita positiva
Funz. semidefinita positiva
Esempi
Funzione uniforme wrt
Funz. radialmente illimitata
f x t t f t f x t( , ): , ( , ) , ( , )∀ ≥ = >0 0 0 0
f x t( , ) ≥ 0
12
12
2 2Mv Li x Q x q x xTij i j
ji; ; = ∑∑
lim ( , ) ,x
f x t t→
= ∀0
0 uniformemente
lim ( , )x
f x t t→∞
= ∞ ∀
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Come varia l’energia nel tempo?
L didt
v t
C dvdt
i t
=
= −
RS|T|
( )
( )
E Li Cv= +12
12
2 2+
v,i
0
ii
dE E Exdt x t
v iLi CvL C
∂ ∂∂ ∂
= + =
= ⋅ − =
∑10.50-0.5-1
1
0.5
0
-0.5
-1
2 0dE v Ri iLi Cv Ridt L L C
= ⋅ − − = − <
L didt
v t Ri t
C dvdt
i t
= −
= −
RS|T|
( ) ( )
( )10.80.60.40.20-0.2-0.4
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
v,i
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2° theo di Lyapunov (1892)
B(ε):= sfera Sex t xe( ) − < ε ∃V x t V e in B( , ), ( )continua, è d.p. ε
il punto è (almeno) localmente stabilexeV è s.d.n
il punto è localmente asintoticamente stabilexeV è d.n
il punto è globalmente stabile per il sistemaxelim ( )x
V x→∞
= ∞
(radialmente illimitata)Se non si riesce a trovare V, non si può dedurre nulla
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Dimostrazionew.l.o.g, N=2Linee di livello di V(x): Lk = {x: V(x)=k}
sono chiuse (almeno vicino a xe ) perchè V(x) continua e V(xe)= 0sono “annidate”
seguendo la definizione:
= lo stato non esce dalla Lk
xe
c.v.d.
Lk
εxe
B( )ε
B( )ηηx0
∀ε ⊂
∀ ⊂
esisteesiste
k L BL B L
k
k k
: ( ): ( )
ε
η η
( ) ( ( ))V x V x t≤ ⇒0 è non crescente
x x x t x te e0 0− < ⇒ − < ∀ >η ε( )
⇒ ∈ ∀ >x t B t( ) ( )ε 0
quindi:
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Stabilità di un punto di equilibrio
Esempio
v+i
L didt
v E Li Cv
C dvdt
i i vL OO C
iv
= = + =
= − = LNMOQPLNMOQP
RS|
T|
12
12
12
2 2
,
E dEdt
EX
dXdt
Li vLCv iCi
i= = = ⋅ − =∑ ∂∂
0
v0,i0i
v
s.d.n. ⇒ stabilità semplice
Come varia nel tempo?
i v+L didt
v Ri
C dvdt
i
= −
= −
RS|
T|
E Li vL
RiL
Cv iC
Ri i= ⋅ −FHIK − = − < ≠2 0 0
è s.d.n. in quanto vale zero anche con v i≠ =0 0,
i
vv0,i0
⇒ stabilità semplice
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Stabilita’ Esponenziale
Hp: V x d p( ) . .( )V x ≤ 0
∃ ≤ − ∀ ∈h V x hV x x B: ( )a f a f ε
dimostrazione
V x t e V x t kh t t h t t( ) ≤ ≤− − − −0 00 0a f a fa f
lim limt t
V x t x t→∞ →∞
( ) = ⇒ ( ) =0 0
Stabilita’ esponenziale globaleHp: V x( ) Radialmente illimitata
x 2x 1
V
x 1
x 2
(Garantisce che le curve di livello siano chiuse)
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Punti di equilibrio
x2
10
5
0
-5
-10
x1 210-1-2
86420
x2
105
0-5
-10
x1
21
0-1
-2
Un sistema NL ha in generale più PDE
In particolare il pendolo ne ha infiniti
V x T U ML xMgL x
( ) .( cos )
= + = ⋅ +
+ −
0 51
222
1
sin sin
x x
x MgLML
x gL
x1 2
2 2 1 1
=
= − ⋅ = −RS|T| x = FHG
IKJ
ϑω
( ) ( ) sinV x ML x x MgL x x
ML x x ML x x
= ⋅ + =
= − =
2 12
0
22 2 2 1
21 2
22 1d i
T+U
s.d.n. !(Stabilita’ non asintotica)
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Studio del sistema linearizzato
• La stabilità asintotica dell’origine del sistemalinearizzato (tutti gli autovalori dello Jacobiano sonoa parte reale negativa) implica la stabilità asintoticalocale dello stato xe del sistema originario.
• Se il sistema linearizzato è instabile (almeno un autovalore dello Jacobiano ha parte reale positiva) allora, nel sistema originario, lo stato xe è instabile
• Se lo Jacobiano non ha autovalori con parte realepositiva ma ha qualche autovalore con parte reale nulla(il sistema linearizzato può essere stabile ma non asintoticamente), allora nulla si può dire sulla stabilitàdello stato xe del sistema originario (caso critico)
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La Stabilita’ BIBOBIBO: “Bounded Input Bounded Output” detta ancheILUL: “ Ingresso Limitato Uscita Limitata”
dato un sistema a riposo per il quale valga y(t)=0 per u(t)=0,Si ha stabilità BIBO se applicando un ingresso limitato |u(t)| < Mu ,
l’uscita y(t) rimane limitata |y(t)| < My
CNES:
Cioè la Risp. Impulsiva è sommabile
g d M( )τ τ0
∞
z ≤ < ∞
y t u g t d u g t d M g t dt t
u( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − ≤ − ≤ −z z z∞
τ τ τ τ τ τ τ τ0 0 0
Dim:
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E Quindi la G(s) ?
G s g t e dt g t e dtst st( ) ( ) ( )= ≤−∞
−∞
z z0 0
Dalla definizione
Consideriamo s nel semipiano destro:Re[s]≥0 in modo che sia e est t− −= ≤σ 1
G s g t dt( ) ( )≤∞
z0
(quando Re[s]>0)allora
Quindi g(t) non può essere sommabile se G(s) ha poli nel semipiano destro(sarebbe possibile porre s=polo perche’|G(s)|
La stabilità richiede cheG(s) abbia solo poli p.r.n.
→ ∞
(vedi Marro pag.231 per la sufficienza)
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E se ci sono poli : Re[p]=0 ?
1sν
t Transitorio divergente
Σ instabile
Consideriamo un caso semplicissimo
Osserviamo: 1s
α α1s
CI=α
=1ν
“integratore” 1s
U Y U: limitato e a valor medio nullo Y limitato
U contiene Y contiene αt
→αs
→ U = α →
Quindi esiste un solo ingresso (il gradino) per cui l’uscita diverge = Σ al limite di stabilita’
Sin(ωt) ωωs2 2+
Osservazione: Risonanza !!!!