Post on 01-May-2015
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La tecnologia di produzione
La teoria dell’impresa si occupa delle scelte (produttive, di prezzo, strategiche) che l’impresa può fare all’interno di determinati vincoli
I vincoli posso essere rappresentati per esempio dalle condizioni della domanda, dalle scelte dei concorrenti, o dalle condizioni della tecnologia
La teoria della produzione si occupa dello studio dei vincoli tecnologici, cioè dal fatto che per ottenere determinate quantità prodotte (output) l’impresa può usare solo alcune combinazioni di fattori produttivi (input) e solo alcuni metodi produttivi per trasformare tali fattori nelle quantità di beni desiderate
La tecnologia di produzione
La tecnologia è il modo di trasformare gli input (i fattori produttivi) in output (le quantità prodotte)
I fattori produttivi: es, terra, materie prime, denaro, energia, …
Lavoro (L), Capitale (K)
Date le quantità di output che l’impresa vuole produrre, solo alcune combinazioni di input permetteranno di ottenere tali quantità, e saranno quindi tecnicamente realizzabili
L’insieme di tutte le combinazioni di input e output tecnicamente realizzabili è l’insieme di produzione
Il massimo livello di output prodotto utilizzando un determinato livello di input coincide con la frontiera dell’insieme di produzione
La tecnologia di produzione
x = input
y = output
Frontiera di produzione rappresentata dalla funzione di produzione: y=f(x)
Insieme di produzione •A
B•
Abbiamo un solo input (x)
La tecnologia di produzione
Consideriamo invece di avere due input, K e L
L’insieme di tutte le combinazioni possibili di K e L sufficienti a produrre una determinata quantità di output è detto isoquanto
Su ciascun isoquanto le diverse combinazioni di K e L permettono di ottenere la stessa quantità di output
Diversi isoquanti corrispondono a diversi livelli di produzione
1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 971
13
25
37
49
61
73
85
97
8000-10000
6000-8000
4000-6000
2000-4000
0-2000
La tecnologia di produzione
L
K
•
•
L’
K’
L’’
K’’
La tecnologia di produzione
L
K
• • •
L’
K’
Ad isoquanti superiori corrispondono livelli produttivi superiori
L’’ L’’’
Teoria: Cobb-Douglas (1928), AER
Funzione di produzione:Y = A L K
variabili: Y = produzione, L = lavoro, K = capitale
Funzione omogenea di grado +, cioè moltiplicando ciascun fattore per una costante h, la produzione risulta moltiplicata per h+.
Quindi…..
+ =1 rendimenti di scala costanti+ >1 rendimenti di scala crescenti+ <1 rendimenti di scala decrescenti
Infatti
Se ciscun input aumenta con di una percentuale pari a rx 100, cioè:
L’=L(1+r/100) e K’=K(1+r/100) avremo:
Quindi…..
+ =1 rendimenti di scala costanti+ >1 rendimenti di scala crescenti+ <1 rendimenti di scala decrescenti
rYKrKLrLAY 1'
Teoria: Cobb-Douglas (1928), AER
Produttività marginale dei fattori:
Ricordando che l’elasticità di una funzione è
e misurano l’elasticità della produzione al Lavoro e al Capitale, cioè di quanto aumenta loutput per un incremento (%)
unitario di input
K
Y
K
KαALKAL
Y
L
Yα
L
KαALKαAL
L
Y
βα1-βα
βαβ1α
K
Y
K
K
Y
Y
K
K
Y
αY
L
L
Yα
Y
L
L
Y
)('
K
L
E
E
y
xxfE
Se + =1
La produttività del lavoro è determinata dalla intensità di capitale
L
KA
L
Y
Lperdividendo
Y
:
KAL β1
Produttività marginale del lavoro (MPL):
L
Yα
L
KαALKαAL
L
Y βαβ1α
Se <1, MPL è minore della produttività media. La MPL decresce con L (K si satura).
pro
du
zio
ne
, Y
lavoro, L
= 0,7
= 0,4
Nella: Y = A L K
una riduzione di A (TFP) equivale ad uno shock negativo di produttività (di offerta):
pro
du
zio
ne,
Y
lavoro, L
Prima dello shock
dopo lo shock
Il parametro A governa gli slittamenti della funzione
Se + =1 cioè la funzione è omogenea di grado 1, per il teorema di Eulero si ha:
Cioè il prodotto può essere considerato come la somma di due termini: quota di prodotto che “compete” al Lavoro e quella che compete al Capitale
Ma in regine di concorrenza perfetta le produttività marginali dei fattori eguagliano il prezzo dei fattori e quindi le quote (assolute) saranno:
E quelle relative (divise per Y) saranno (1-) e rispettivamente.
Cioè a rendimenti di scala costanti e in libera concorrenza, esisterebbe una sorta di “spartizione naturale” del nuovo valore
K
YK
L
YLY
YKPK
YKQ
YLPL
YLQ
KK
LL
)1(
Stima dei parametri e
Funzione di produzione:Y = A L K
Trasformazione logaritmica:log(Y) = log(A) + log(L) + log(K)y = a + l + kdove lettere minuscole indicano le corrispondenti trasformazioni logaritmiche
A seconda del tipo di dati disponibili per y, l, k, ottengo diverse misure (informazioni):cross-section: yi ; li ; ki (i = 1, 2, 3, …, N)time series: yt ; lt ; kt (t = 1, 2, 3, …, T)panel data: yit ; lit ; kit
Modello per dati cross-section
yi = ai + li + ki
dove: ai = a + i ; i ~ iid(0,2) a, , e 2 sono parametri (è possibile una generalizzazione se i 2)
Ipotesi: i casi individuali (nel complesso) forniscono informazioni su una struttura unificante che ha parametri costanti.
L’unica fonte di informazione è la variabilità fra individui. Gli i sono shock idiosincratici di offerta.
Verifica della presenza di economie di scala:
Si Stima un modello vincolato (R) con +=1 e uno non vincolato (U),
si confrontano con un test F i Residual Sum of Square (RSS) divisi per gli opportuni gradi di libertà:
m= vincoli, n= osservazioni, k=parametri
knRSS
mRSSRSSF
H
H
U
URkn
/
/
1:
1:
1
0
Modello per dati panel
yit = ait + lit + kit
dove: ait = ai + t + it ; it ~ iid(0,2)
, e 2 sono parametri (è possibile una generalizzazione se i 2 o it 2 )
Nei panel la dimensione temporale T spesso è molto inferiore a quella individuale N.
L’informazione da modellare: variabilità fra individui (between) e variabilità nel tempo per lo stesso individuo (within). Gli shock di offerta it hanno dimensione i e t.
ait = ai + t + it
Problema: come modellare la TFP? Diverse definizioni di effetto individuale ai e
temporale t implicano diversi modelli.
Effetti individuali ai fissi (N stime):
Il modello panel con effetti fissi stima la TFP (idiosincratica) per ogni individuo.
T
kβ
T
lα
T
ya
T
1t it
T
1t it
T
1t iti
ˆˆˆ
Caso 1: effetto temporale (sistemico) t = 0
Effetti individuali ai random:
Nel modello panel con effetti random la TFP è resa idiosincratica dalla presenza della variabile casuale i (e se
2 = 0?) Se supposta stocastica, la componente
idiosincratica non può essere correlata con lavoro e capitale perché:
yit = a + lit + kit + (it+i)
ai = a + i ; i ~ iid(0,2)
disturbo stocastico composito
L’effetto sistemico misura la TFP comune a tutti gli individui (una stima ad hoc per ognuno degli anni; pochi perchè T basso).
Caso 2: effetto temporale (sistemico) t 0
L’effetto sistemico (macroeconomico) t colpisce tutti gli individui allo stesso modo.
Il panel con effetti fissi temporali e individuali stima le componenti idiosincratiche e quelle sistemiche della TFP:
N
kβ
N
lα
N
yλ
N
1i it
N
1i it
N
1i itt
ˆˆˆ
Riepilogo: modellazione della produzione
TFP modellataesplicitamente
shock diofferta
causalitàstrutturale
yit = ai + t + it + lit + kit
a + i
TFPidiosincratica
TFPsistemica
it ~ iid(0,2)
T-1 parametr
i
N-1 parametri
fissa random
i ~ iid(0, 2)
i2 ; it
2
Stimatori sandwich
Ho: tutti = 0Ho:
2 = 0 Modello pooled
Ho: tutti = 0
Altre forme:
C-D con “effetto di trend” (progresso tecnico neutrale)
Y = A L K et
Con = elasticità della produzione rispetto al tempo
Principali critiche:
Ipotesi di concorrenza perfetta:; se fosse vera tutte le imprese avrebbero le stesse quote di K e L (a meno di deviazioni random) e quindi avremmo informazioni solo su un punto e non su un isoquanto
Distribuzione del reddito in base alla elasticità di sostituzione, ma ciò implica +=1 cioè nessuna economia di scala
Circolarità nella misura di K che implica il ricorso ai prezzi dei beni capitali che a loro volta dipendono dal saggio di produttività di K
CIONONOSTANTE,
Molto utilizzata, buoni risultati, analisi descrittive
Non tanto coefficienti tecnici, quanto indicatori statistici
Altre funzioni:
C-D impone elasticità di sostituzione = 1
(es: incremento di prezzo relativo di K pari all’1%, determina una diminuzione della quota K/L –intensità di capitale- pari all’1%)
Se OLS, dovrei trovare un coefficiente=1 per il salario reale , così non è empiricamente. La CES si ottiene risolvendo l’equazione:
CES: elasticità costante ma diversa da 1 Costant Elasticity of Substitution (CES)
ρ è un parametro collegato all'elasticità di sostituzione (σ): ρ = (1-σ)/σ; determina la distribuzione del reddito tra i fattori per un dato ρ.
E’ possibile una generalizzazione con elasticità variabile:
p
w
L
Y
p
w
L
Y
L
Ylog)log(log
1
)1(log)log(log
LKAYp
wba
L
Y
LKmYp
wba
L
Y)1(log)log(log
Produttività marginale:
E il saggio marginale di sostituzione:
E l’elasticità di sostituzione:
11
1
K
Y
mK
YP
L
Y
mL
YP KL
L
KR
L
K
K
Y
L
YR )1(
1loglog
1:
1
1
1
)log(
)log(
R
LK
L’interesse della CES deriva dal fatto che la elasticità di sostituzione è un parametro esplicito
Ad esempio è possibile modellare produzioni in settori che hanno, come è verosimile, elasticità di sotituzione diverse
Per quanto concerne l’elasticità la CES è una generalizzazione della C-D
Una ulteriore generalizzazione sono le funzioni VES (Variable substitution elasticity): la più nota è la funzione trans-log (trascendentale-logaritmica)
In sostanza è una approssimazione di Taylor:
CESaaa
se
LaLKaKaLaKaaY
121122
22212
211210
2
1
logloglogloglogloglog