Lastre Piane

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Costruzione di macchine 2

Lezione 15 – Lastre piane

Lastre piane

2 Lastre e gusci (plates and shells)

Lo spessore è << delle altre dimensioni

Lastre = strutture piane

Gusci = hanno curvatura iniziale (semplice - es. recipiente cilindrico - o doppia – es. calotta sferica)

Lastre Gusci

Lastre piane

3 Lastre piane

Possono reagire a carichi trasversali mediante inflessione Sono l’analogo 2D delle travi, ma con differenze importanti

Lastre piane

4 Nei gusci sono invece prevalenti le azioni interne assiali (membranali)

Esempio: cilindro di piccolo spessore s e diametro medio D, soggetto ad una pressione interna p:

Lastre piane

5 Una lastra può essere trattata come un gruppo di travi affiancate?

Immaginiamo che la lastra venga inflessa, per esempio per effetto di un carico verticale distribuito sulla superficie superiore

Lastre piane

6 Risposta: NO

Sezione indeformata Sezione deformata

Per effetto delle contrazioni laterali si verificherebbero delle lacerazioni nella lastra

Lastre piane

7 In presenza di un momento flettente Mx, deve necessariamente nascere My, che ripristina la continuità

Sezione indeformata Sezione deformata della trave

Sezione deformata della porzione di lastra

Lastre piane

8 Teoria di Kirchoff delle lastre piane sottili

Ipotesi: 1.  Lx, Ly >> t 2.  Contributo della deformazione a taglio (g) allo spostamento w

trascurabile 3.  Un segmento rettilineo perpendicolare al piano medio nella

configurazione indeformata sarà ancora rettilineo e perpendicolare al piano medio deformato

Piano medio

Lastre piane

9 Espressione delle deformazioni sulla base delle ipotesi cinematiche fatte

u = −z ∂w∂x

u = −z ∂w∂y

ε x =∂u∂x

= −z ∂2w∂x2

ε y =∂v∂y

= −z ∂2w∂y2

, γ xz = γ xz = 0, per ipotesi( )

Lastre piane

Spostamenti elastici visti da z

Lastre piane

11 Legame costitutivo elastico lineare

Piccolo spessore => hp. sz = 0 lungo tutto lo spessore => sforzo piano

N.B.: tzx e tyz ≠ 0 (con distribuzione parabolica) anche se γzx = γyz = 0

Lastre piane

12 Azioni interne

Le azioni interne si ottengono integrando gli sforzi lungo lo spessore (N.B. essendo riferite a dx o a dy, hanno la dimensione di Forza o Momento per unità di lunghezza)

Mx = σ xz dz− t 2

∫My = σ yz dz− t 2

∫Mxy = τ xyz dz− t 2

Qx = τ xz dz− t 2

∫Qy = τ yz dz− t 2

sforzi massimi in valore assoluto:

σ x,max = ±6Mx

t 2, σ y,max = ±

t 2, τ xy,max = ±

Lastre piane

13 Legame momenti-curvature

Sostituendo ed integrando

Mx = σ xz dz = −D ∂2w∂x2

+ ν ∂2w∂y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− t 2

My = σ yz dz = −D ∂2w∂y2

+ ν ∂2w∂x2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− t 2

Mxy = τ xyz dz = − 1−ν( )D ∂2w∂x∂y− t 2

, con D =Et 3

12 1−ν 2( )

Lastre piane

14 Equazioni indefinite di equilibrio: equilibrio in direzione z

Lastre piane

15 Equazioni indefinite di equilibrio: equilibrio alla rotazione attorno a x

Qydxdy + Mydx − My +∂My

∂ydy

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx + Mxydy − Mxy +

∂Mxy

∂xdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dy = 0

dà contributo al momento che è inf.mo di ordine superiore

Qy −∂My

∂y−∂Mxy

∂x= 0

Lastre piane

16 Equazioni indefinite di equilibrio: equilibrio alla rotazione attorno a y

Mxy +∂Mxy

∂ydy

Qxdxdy + Mxdy − Mx +∂Mx

∂xdx⎛

⎝⎜⎞⎠⎟dy + Mxydx − Myx +

∂Mxy

∂ydy

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx = 0

Qx −∂Mx

∂x−∂Mxy

∂y= 0

dà contributo al momento che è inf.mo di ordine superiore

Lastre piane

17 Sostituendo, dopo alcuni passaggi…

q + ∂Qx

∂x+∂Qy

∂y= 0

Qx −∂Mx

∂x−∂Mxy

∂y= 0

Qy −∂My

∂y−∂Mxy

∂x= 0

Mx = −D ∂2w∂x2

+ ν ∂2w∂y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

My = −D ∂2w∂y2

+ ν ∂2w∂x2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Mxy = − 1−ν( )D ∂2w∂x∂y

⇒ q + ∂2Mx

∂x2+∂2Mxy

∂y∂x+∂2My

∂y2+∂2Mxy

∂x∂y= 0 ⇒

⇒ q − D ∂4w∂x4

+ ν ∂4w∂x2∂y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 1−ν( )D ∂4w

∂x2∂y2− D ∂4w

∂y4+ ν ∂4w

∂y2∂x2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 1−ν( )D ∂4w

∂x2∂y2= 0 ⇒

⇒ D ∂4w∂x4

+ 2 ∂4w∂x2∂y2

+∂4w∂y4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= q

E’ l’analogo 2D dell’equazione EJ yIV = q, valida per le travi

Lastre piane

18 Differenza tra trave e lastra inflessa

d2w/ dy2 ≠ 0 My = 0

d2w/ dx2 ≠ 0 MX =-EJ d2w/ dx2

Lastre piane

19 Differenza tra trave e lastra inflessa

Se una lastra è forzata ad atteggiarsi secondo una superficie cilindrica:

d2w/ dy2 ≠ 0 My = 0

d2w/ dx2 ≠ 0

MX =-EJ d2w/ dx2

N.B. inoltre per base della sezione unitaria EJ =E t3/12 per la trave, minore di D = Et3/[12(1-n)]

∂2w / ∂x2 ≠ 0 ∂2w / ∂y2 = 0

Lastre piane

20 Perché esiste anche un momento torcente MXY ?

Lastra quadrata incastrata ai bordi con carico uniforme:

se osserviamo la prima ed ultima riga di elementi, si osserva una rotazione relativa

prima riga

ultima riga

Se ci concentriamo su una fila di elementi…

N.B. modello di ¼ della lastra

Lastre piane

21 …è evidente la torsione

La torsione si ha perché c’è una rotazione relativa (attorno all’asse y) delle sezioni aventi la stessa coordinata x

Lastre piane

22 Condizioni al contorno

L’equazione q = D(…)…, una volta integrata, va completata con le condizioni al contorno, che possono essere date in termini di Spostamenti e rotazioni Momenti e forze

Poiché il bordo di una lastra può avere forma qualsiasi, si deve fare riferimento alle direzioni n, normale e t, tangente

Lastre piane

23 Osservazioni sulle reazioni vincolari ai bordi

Negli spigoli a si sommano i momenti torcenti, dando luogo ad una reazione P concentrata nello spigolo.

Mxy dx

Myx dx

P = Mxy + Myx = 2 Mxy

Lastre piane

24 Reazioni vincolari ai bordi: forze di sostituzione

Myx dx

Myx +∂Myx

∂xdx

Myx +∂Myx

∂xdx

il vincolo deve esercitare una forza:

Qy +∂Myx

Lastre piane

Legame tra Mx,My ed Mxy 25

σ n = σ x cos2α +σ y sin

τ n = σ y − σ x( )sinα cosα⎧⎨⎪

⎩⎪

La costruzione del cerchio di Mohr

• Allo stesso modo possiamo evidenziare gli sforzi agenti ad una distanza z dal piano neutro di una ‘fetta’ di lastra: le relazioni che legano gli sforzi sulla faccia inclinata sono le stesse. • Gli sforzi però provengono dai momenti flettenti Mx ed My.

Lastre piane

Legame tra Mx,My ed Mxy 26

La costruzione del cerchio di Mohr sugli sforzi piani porta quindi, per le lastre, alla relazione:

• La costruzione del cerchio di Mohr lega quindi anche le componenti di momento flettente su un piano inclinato dell’angolo α rispetto alla direzione X. • Non si ha Mnt solo quando i due momenti flettenti Mx ed My sono uguali la lastra ha la stessa curvatura in tutte le direzioni.

Lastre piane

Lastra circolare con momento uniforme

I momenti flettenti Mx ed My sono legati alle curvature della lastra in due direzioni

Se Mx=My le due curvature sono uguali

Lastre piane

Lastra circolare con momento uniforme 28

La superficie della lastra

I momenti flettenti sono uguali in tutte le direzioni e pari ad M.

Lastre piane

Soluzioni per serie 29

Consideriamo una lastra rettangolare appoggiata soggetta al carico

q = fo sinmπ xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟nπ yb

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

La soluzione è un’equazione:

sin mπ xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ sin

nπ yb

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

m / a( )2 + n / b( )2⎡⎣ ⎤⎦2

introducendo:

wm,n =sin mπ x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ sin

nπ yb

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

m / a( )2 + n / b( )2⎡⎣ ⎤⎦2

scriviamo:

π 4Dfowm,n

Lastre piane

Se scriviamo q = Fm,n

∑m=1

∑ sin mπ xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟sin nπ y

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Fm,n =4ab

qsin mπ xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟sin nπ y

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∫ dxdydove

la soluzione è:

π 4DFm,n

∑m=1

∑ wm,n

Lastre piane

Soluzioni per serie – carico uniforme 31

Fm,n =16qoπ 2

1m ⋅n

m=n=1,3,5,..

Lastre piane

Lastre circolari 36

Consideriamo delle lastre piane in un riferimento polare, i vari termini che abbiamo utilizzato cambiano espressione :

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−

∂∂∂−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂+

∂∂+

∂∂−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂−=

ϑϑνν

ϑνν

DyxwDM

Lastre piane

Lastre circolari 37

⎪⎪⎪⎪

∂∂+

∂∂=∇

∇∂∂−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂

∂∂−=

∇∂∂−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂

∂∂−=

( )wDQ

∇∂∂−=

Lastre piane

Lastre circolari 38

yx ∂∂+

∂∂=∇ 2

ϑ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ w

∇4w =∂2

∂r2+1r∂∂r

∂ϑ 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂2w∂r2

+1r∂w∂r

∂2w∂ϑ 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=qD

L’equazione biarmonica diventa

Il laplaciano:

Lastre piane

Lastre con carichi assialsimmetrici 39

Mr = −D d 2wdr2

+νrdwdr

⎣⎢

⎦⎥

Mϑ = −D 1rdwdr

+ ν d2wdr2

⎣⎢

⎦⎥

Qr = −D ddr

d 2wdr2

+1rdwdr

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Se i carichi/spost. dipendono solo da r

∇4w =d 2

dr2+1rddr

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟d 2wdr2

+1rdwdr

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=qD

Lastre piane

Lastre assialsimmetriche 40

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=∇

rdrdwrdr

wdw 112

r dwdr

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=qD

Se consideriamo che:

L’equazione differenziale diventa :

∫ ∫ ∫∫= drdrdrdrDrp

rw 11che può essere semplicemente

integrata:

Lastre piane

Lastre assialsimmetriche

E’ interessante vedere come possiamo arrivare a questa equazione risolvente anche in altro modo (e ci fa vedere come ottenere delle soluzioni analitiche). Consideriamo una porzione a-b-c-d di una lastra sottesa da un angolo dθ

trascurando gli infinitesimi di ordine superiore

introducendo le espressioni di Mr ed Mt

Lastre piane

Lastre assialsimmetriche 42

derivando rispetto ad r e dividendo per r

esprimendo il legame tra Q e q

L’equazione differenziale può essere riscritta come:

�rdw

��=

0q · rdr

Lastre piane

Soluzioni 43

w =po64D

a2 − r2( )2

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]22

ϑ +−+=

+−+=

2max, 436

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−==tap

Lastre piane

Lastra appoggiata con carico uniforme

La lastra appoggiata con carico uniforme può essere semplicemente ottenuta dalla soluzione precedente sovrapponendo un momento radiale di estremità uguale e contrario a quello d’incastro (ottenendo così un bordo semplicemente appoggiato).

il punto più sollecitato è al centro

Lastre piane

Altre soluzioni

Per la lastra appoggiata all’estremità con un carico P concentrato al centro, l’equazione della superficie risulta:

La soluzione è stata ottenuta immaginando che P sia ripartito su una infinitesima area circolare di raggio c, la soluzione è valida quindi per r>c .

Lastre piane

Quaderno

1)  Ricavare la distribuzione dei momenti flettenti in una lastra incastrata soggetta a carico concentrato P al centro della lastra, utilizzando la soluzione della lastra appoggiata + quella della lastra circolare soggetta a momento radiale di estremità.

2)  Dato un acciaio con Rp0,2=240 MPa ed un carico P=1000 [N], calcolare lo spessore t minimo per una lastra di raggio 500 mm che sopporti il carico e ricavare la freccia massima.

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