Le competenze nella didattica della matematica … e le conoscenze? 1.

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Le competenze Le competenze nella didattica nella didattica della della matematica matematica

… … e le e le conoscenze?conoscenze?

Esercizio 13(10 punti) Zorro è qui !In un triangolo rettangolo i cui lati misurano 20 cm, 16 cm, 12 cm Don Diego de la Vega traccia una Z con la punta della sua spada; scompone così il triangolo in 4 triangoli equivalenti. La sua Z è una linea spezzata formata da 3 segmenti le cui estremità sono situate sui lati o sui vertici del triangolo rettangolo.Presentare tre soluzioni per questa partizione.Per ogni soluzione precisare la posizione sui lati del triangolo rettangolo deiquattro punti formanti la Z.

MATEMATICA SENZA FRONTIERE (prova di accoglienza)

Di cosa c’è bisogno?Di cosa c’è bisogno?

- Conoscenze sulla similitudine- Capacità di applicarle- Una certa mentalità combinatoria

Definizioni QEQ 2007Definizioni QEQ 2007

ConoscenzeConoscenze: indicano il : indicano il risultato risultato dell’assimilazionedell’assimilazione di informazioni di informazioni attraverso l’apprendimento. Le attraverso l’apprendimento. Le conoscenze sono l’insieme di fatti, conoscenze sono l’insieme di fatti, principi, teorie e pratiche, relative a un principi, teorie e pratiche, relative a un settore di studio o di lavoro. Le settore di studio o di lavoro. Le conoscenze sono descritte come conoscenze sono descritte come teoriche o praticheteoriche o pratiche..

AbilitàAbilità: indicano la capacità di applicare : indicano la capacità di applicare conoscenze e di usare conoscenze e di usare know-how per know-how per portare a termineportare a termine compiti e risolvere compiti e risolvere problemi. Le abilità sono descritte come problemi. Le abilità sono descritte come cognitive (uso del pensiero logico, cognitive (uso del pensiero logico, intuitivo o creativo), e pratiche (che intuitivo o creativo), e pratiche (che implicano l’abilità manuale e l’uso di implicano l’abilità manuale e l’uso di metodi, materiali, strumenti)metodi, materiali, strumenti)

CompetenzaCompetenza: “comprovata capacità di : “comprovata capacità di usare conoscenze, abilità e capacità usare conoscenze, abilità e capacità personali, sociali e/o metodologichepersonali, sociali e/o metodologiche, in , in situazioni situazioni di lavoro o di studiodi lavoro o di studio e nello e nello sviluppo professionale e/o personale; le sviluppo professionale e/o personale; le competenze sono descritte in termini di competenze sono descritte in termini di responsabilità e autonomiaresponsabilità e autonomia.”.”

Saper usare spazzolone e detersivo per tenere pulito un ambiente è un compito, un risultato atteso esito di conoscenze (quale detersivo utilizzare per pulire il pavimento) e abilità (saper usare lo spazzolone …); garantire l’igiene e la pulizia di un ambiente è una competenza, che implica un livello di responsabilità, la capacità di giudicare il momento e il modo di intervenire, un certo grado di sensibilità per l’ordine, in cui abilità e conoscenze sono elementi necessari ma non sufficienti.

Per esemplificare

Dalla scheda di presentazione del Dalla scheda di presentazione del Corso:Corso:

Il corso ha come primo obiettivo una Il corso ha come primo obiettivo una doverosa introduzione ad esse doverosa introduzione ad esse (competenze), ma non vorrebbe limitarsi (competenze), ma non vorrebbe limitarsi a questo; un’analisi ancora iniziale del a questo; un’analisi ancora iniziale del termine competenze suggerisce utili termine competenze suggerisce utili riflessioni sull’esperienza di riflessioni sull’esperienza di insegnamento-apprendimento: insegnamento-apprendimento: la la competenza non come ultima modacompetenza non come ultima moda a cui a cui adeguarsi controvoglia, ma adeguarsi controvoglia, ma occasione per occasione per considerare con attenzioneconsiderare con attenzione il vissuto il vissuto quotidiano in classe.quotidiano in classe.

S RonchiS Ronchi

(Per questo)(Per questo)

Ci sono conoscenze morte, Ci sono conoscenze morte, meccanichemeccaniche

E conoscenze E conoscenze attiveattive (competenze)(competenze)

Un esempio: la somma di Un esempio: la somma di frazionifrazioniConoscenza

(sapere come si fa e perché)

Abilità (saper

calcolare agilmente)

Competenze(utilizzare in contesti

più ampi: frazioni algebriche)

Un esempio: la somma di frazioni

Ancora….• Somme di coefficienti binomiali

•Integrazione di funzioni razionali fratte:Trovare due numeri A e B tali che:

! ( 1)! ( 1)!

!( )! !( 1 )! ( 1)!( )!

k n k k n k k n k

1 34 3

x xx x

Convegno di Frascati (marzo Convegno di Frascati (marzo 1999): 1999): “Definire le competenze “Definire le competenze per la scuola dell’autonomia”per la scuola dell’autonomia”

““Le competenze si esplicano come Le competenze si esplicano come utilizzazioneutilizzazione e e padroneggiamentopadroneggiamento delle delle conoscenze. Si supera in tal modo la conoscenze. Si supera in tal modo la tradizionale separazione tra sapere e tradizionale separazione tra sapere e saper fare: ogni acquisizione teorica saper fare: ogni acquisizione teorica contiene e stimola implicazioni pratiche contiene e stimola implicazioni pratiche e ogni abilità pratica presume e e ogni abilità pratica presume e sollecita implicazioni teoriche.”sollecita implicazioni teoriche.”

L’errore può essere una L’errore può essere una opportunità!opportunità!

Quali conoscenze sono attive?Quali conoscenze sono attive? A quale livello è posseduta la A quale livello è posseduta la

competenza richiesta?competenza richiesta?

Esempio: determinare il dominio della Esempio: determinare il dominio della funzione funzione

Tutto bene: studio dei segni dei Tutto bene: studio dei segni dei fattori, grafico riassuntivo corretto.fattori, grafico riassuntivo corretto.

Conclusione: la quantità sotto radice Conclusione: la quantità sotto radice è positiva o nulla per è positiva o nulla per , “ma essendo la funzione sotto , “ma essendo la funzione sotto radice si devono escludere i valori radice si devono escludere i valori negativi” quindi la soluzione è: negativi” quindi la soluzione è:

2 2( 4)( 1)y x x x

, 2 2,x

Altro esempio: Altro esempio: IL PROBLEMA DELLO IL PROBLEMA DELLO ZEROZERODagli errori degli studenti si capisce Dagli errori degli studenti si capisce quale è la “conoscenza attiva” dello quale è la “conoscenza attiva” dello zerozeroEs.1 : axEs.1 : ax22+bx=0+bx=0

ΔΔ=b=b22-4a ( c non c’è!)-4a ( c non c’è!)Es.2 : nella divisione tra polinomi o Es.2 : nella divisione tra polinomi o nella regola di Ruffini, il problema nella regola di Ruffini, il problema dei termini mancantidei termini mancanti

Provo a interpretareProvo a interpretare

La “conoscenza attiva” dello zero in La “conoscenza attiva” dello zero in questi errori è quella di un numero questi errori è quella di un numero che indica che “non c’è niente”.che indica che “non c’è niente”.

Deve evolvere la consapevolezza Deve evolvere la consapevolezza dello 0 come operatore, come dello 0 come operatore, come elemento assorbente, elemento assorbente, consapevolezza necessaria per la consapevolezza necessaria per la risoluzione delle equazioni, per l’uso risoluzione delle equazioni, per l’uso critico delle semplificazionicritico delle semplificazioni

Convegno di Frascati (marzo Convegno di Frascati (marzo 1999): 1999): “Definire le competenze “Definire le competenze per la scuola dell’autonomia”per la scuola dell’autonomia”

Le competenze si configurano altresì come Le competenze si configurano altresì come strutture mentalistrutture mentali capaci di trasferire la loro capaci di trasferire la loro valenza in diversi campi, generando così valenza in diversi campi, generando così dinamicamente anche una spirale di altre dinamicamente anche una spirale di altre conoscenze e competenze. Una specifica conoscenze e competenze. Una specifica competenza disciplinare comporta infatti anche competenza disciplinare comporta infatti anche l’acquisizione di una l’acquisizione di una forma mentis forma mentis (ad esempio (ad esempio "saper risolvere un problema") utilizzabile nelle "saper risolvere un problema") utilizzabile nelle più diverse situazioni. In quanto tali, le più diverse situazioni. In quanto tali, le competenze favoriscono la connessione in termini competenze favoriscono la connessione in termini dialetticamente calibrati della propria duplice dialetticamente calibrati della propria duplice dimensione disciplinare e trasversale.dimensione disciplinare e trasversale. 1818

ESEMPIO: il concetto di ESEMPIO: il concetto di funzionefunzioneL’ utilizzo della matematica nella fisica rivela L’ utilizzo della matematica nella fisica rivela che spesso le conoscenze sono “morte” che spesso le conoscenze sono “morte”

Quando si studiano i moti e le loro leggi Quando si studiano i moti e le loro leggi orarie emerge con chiarezza il problema orarie emerge con chiarezza il problema relativo al concetto di funzione; ad esempio relativo al concetto di funzione; ad esempio c’è difficoltà ad utilizzare s=vt+sc’è difficoltà ad utilizzare s=vt+s00 senza senza sostituire a t un valore: l’espressione sostituire a t un valore: l’espressione matematica matematica deve dare un risultato! deve dare un risultato!

COSA DEVE MATURARE? COSA DEVE MATURARE?

Si potrebbe dire:Si potrebbe dire:

L’esperienza del L’esperienza del concetto di funzioneconcetto di funzione

Fare esperienza in Fare esperienza in matematicamatematica

Fare esperienza della Fare esperienza della matematicamatematica

Hans FreudenthalHans FreudenthalLA MATEMATICA COME LA MATEMATICA COME

REINVENZIONE GUIDATAREINVENZIONE GUIDATA2222

«Il valore che si attribuisce ai discenti come esseri umani determina il modo in cui ci si aspetta che essi imparino la loro matematica: con libertà oppure da schiavi, guidati oppure imbrigliati.(Da «Ripensando l’educazione matematica » di Hans

Freudenthal )

«Il fare matematica è essenzialmente una attività. Il discente deve reinventare il fare matematica piuttosto che la matematica; l’azione di astrarre piuttosto che le astrazioni; il formalizzare piuttosto che costruire delle formule; il costruire algoritmi piuttosto che gli algoritmi; il parlare piuttosto che il linguaggio…… »

(Da «Ripensando l’educazione matematica » di Hans Freudenthal )

UN TENTATIVOUN TENTATIVO

L’introduzione delle L’introduzione delle funzioni funzioni

goniometrichegoniometriche

Dalla similitudine Dalla similitudine

dei triangoli dei triangoli

allealle

funzioni funzioni goniometrichegoniometriche

BA ''''

VAI A CABRI

Diamo i nomiDiamo i nomi

sin( )AB

cos( )BC

VAI A CABRI

E se l’angolo è ottuso? Come fare per generalizzare?

Quale “ambiente” permette una maggiore libertà?

Si possono IMMAGINARE angoli maggiori dell’angolo giro, angoli negativi?

PIANO CARTESIANO

VAI A CABRI3030

…… …… E pian piano cresce E pian piano cresce l’esperienza dell’ l’esperienza dell’ “oggetto “oggetto mentalementale”funzione.”funzione.

…………. E al momento . E al momento opportuno, preparato con opportuno, preparato con altre “esperienze” il altre “esperienze” il passaggio alle funzioni passaggio alle funzioni inverse è meno traumatico.inverse è meno traumatico.

Dall’ Allegato A Dall’ Allegato A “Il profilo culturale, “Il profilo culturale, educativo e professionale educativo e professionale dei Licei”dei Licei”“… “… Essere consapevoli della Essere consapevoli della diversità dei metodi utilizzati dai vari diversità dei metodi utilizzati dai vari ambiti disciplinari ed essere in grado ambiti disciplinari ed essere in grado valutare i criteri di affidabilità dei valutare i criteri di affidabilità dei risultati in essi raggiuntirisultati in essi raggiunti. “. “

E’ una competenza da E’ una competenza da sviluppare all’interno della sviluppare all’interno della stessa matematicastessa matematica

Esempio: luoghi Esempio: luoghi geometrici (Lavoro di geometrici (Lavoro di gruppo)gruppo)

Data una circonferenza e un Data una circonferenza e un suo punto A, determinare il suo punto A, determinare il luogo dei punti medi delle luogo dei punti medi delle corde della circonferenza che corde della circonferenza che hanno un estremo in Ahanno un estremo in A

3333Vai a Cabri

Un esempio di Un esempio di didattica didattica

laboratoriale laboratoriale

Dal piano M@t.abelDal piano M@t.abel

A una donna ricoverata in ospedale, viene fatta A una donna ricoverata in ospedale, viene fatta un’iniezione di 300 milligrammi (300mg) di un’iniezione di 300 milligrammi (300mg) di penicillina alle 8.00 del mattino. L’organismo penicillina alle 8.00 del mattino. L’organismo della donna smaltisce gradualmente la della donna smaltisce gradualmente la penicillina in modo che, un’ora dopo l’iniezione, penicillina in modo che, un’ora dopo l’iniezione, solo il 60% della penicillina è ancora presente solo il 60% della penicillina è ancora presente nel suo corpo. Questo processo continua: al nel suo corpo. Questo processo continua: al termine di ogni ora è ancora presente solo il termine di ogni ora è ancora presente solo il 60% della penicillina che si trovava nel corpo 60% della penicillina che si trovava nel corpo alla fine dell’ora precedente.alla fine dell’ora precedente.

SiSi chiede di analizzare la quantità di medicinale chiede di analizzare la quantità di medicinale presente nel corpo della donna al passare del tempo presente nel corpo della donna al passare del tempo con due attività complementaricon due attività complementari

a)a) Completare Completare manualmente una manualmente una tabellatabella

b)b) Costruire un foglio Costruire un foglio Excel e all’interno Excel e all’interno di esso un graficodi esso un grafico

ora Penicillina presente nel corpo (mg.)

8.00 300

9.00 180

10.00 108

7.003636

Da qui ……

•Progressioni aritmetiche e geometriche•Forme ricorsive (Pascal)•Funzione esponenziale•…….

a) Qual è il valore massimo del farmaco presente nel corpo della studentessa dopo 3 giorni? E dopo 4 giorni? E dopo 10 giorni? b) Cercate di studiare l’evoluzione della quantità massima di farmaco presente nel corpo al variare del tempo; in particolare, cercate di capire che cosa accadrebbe se la studentessa continuasse a prendere il farmaco per molto tempo, supponendo che la sua capacità di smaltirlo rimanga invariata. Pensate che la quantità del farmaco nel suo organismo aumenterebbe sempre? Oppure no?

Una studentessa si è prodotta una distorsione al ginocchio e il suo dottore le ha prescritto un farmaco anti - infiammatorio per ridurre il gonfiore. Deve prendere due pastiglie da 220 mg ogni 8 ore per 10 giorni. Il suo corpo, ogni 8 ore, riesce a smaltire il 60% di questo farmaco.

L’INDAGINEL’INDAGINE

OCSE-PISAOCSE-PISA3939

COMPETENZA MATEMATICA

ELENCO DELLE COMPETENZE

LIVELLI

Riproduzione

Connessione

Riflessione

METODO DIOCSE-PISA

COMPETENZECOMPETENZE : : INDAGINI OCSE PISAINDAGINI OCSE PISA

Competenza matematicaCompetenza matematica

è è la capacità di un individuo di la capacità di un individuo di identificare e comprendere il ruolo identificare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate reale, di operare valutazioni fondate e di utilizzare la matematica e e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita rispondono alle esigenze della vita di quell’individuo in quanto cittadino di quell’individuo in quanto cittadino che esercita un ruolo costruttivo, che esercita un ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla riflessioneimpegnato e basato sulla riflessione4141

LE COMPETENZELE COMPETENZE Pensiero e ragionamentoPensiero e ragionamento ArgomentazioneArgomentazione ComunicazioneComunicazione ModellizzazioneModellizzazione Formulazione e risoluzione Formulazione e risoluzione

di problemidi problemi RappresentazioneRappresentazione Uso del linguaggio Uso del linguaggio

simbolico, formale e simbolico, formale e tecnico delle operazionitecnico delle operazioni

Uso di sussidi e strumentiUso di sussidi e strumenti

Queste competenze possono essere possedute a diversi livelli di padronanza e non possono essere valutate separatamente una dall’altra in quanto, quando si utilizza la matematica, è necessario attingere contemporaneamente a più di una competenza per volta.

Per questo motivo, il Quadro di riferimento distingue tre diversi raggruppamenti di competenze:

•Riproduzione •Connessione

•Riflessione

Il raggruppamento della Riproduzione:

le competenze di tale raggruppamento consistono nella riproduzione di conoscenze note, nell’applicazione di algoritmi standard, nell’esecuzione di procedure di routine, sempre all’interno di ambiti familiari.

Il raggruppamento delle Connessioni:

le competenze di tale raggruppamento richiedono di saper integrare e mettere in connessione elementi che fanno parte di diverse aree di contenuto, saper collegare diverse rappresentazioni di un problema, all’interno di situazioni chenon sono più di semplice routine.

Il raggruppamento della Riflessione:

le competenze di tale raggruppamento si basano su elementi di riflessione da parte degli studenti sui procedimenti utilizzati per risolvere un problema, sulla capacità di saper sviluppare strategie, utilizzando abilità logiche e di ragionamento e sull’applicazione di tali strategie in ambiti problematici più complessi e meno familiari rispetto ai raggruppamenti precedenti.

CONFRONTI: ESEMPIO 1CONFRONTI: ESEMPIO 1

Pensiero e ragionamentoPensiero e ragionamento. . Questa competenza Questa competenza consiste: nel formulare consiste: nel formulare domande di base (Quanti domande di base (Quanti sono?”, “Quanto fa…?”) e nel sono?”, “Quanto fa…?”) e nel comprendere le rispettive comprendere le rispettive risposte (“Sono tanti…” “Fa risposte (“Sono tanti…” “Fa tot…”); nel distinguere tra tot…”); nel distinguere tra definizioni ed asserzioni; nel definizioni ed asserzioni; nel comprendere e manipolare comprendere e manipolare concetti matematici nel tipo concetti matematici nel tipo di contesto in cui sono stati di contesto in cui sono stati originariamente introdotti o originariamente introdotti o in cui sono stati in cui sono stati successivamente esercitatisuccessivamente esercitati

. . Pensiero e ragionamentoPensiero e ragionamento. . Questa competenza consiste Questa competenza consiste nel formulare domande nel formulare domande (“Come trovo?”, “A quale (“Come trovo?”, “A quale matematica devo ricorrere matematica devo ricorrere per…?”) e nel comprendere le per…?”) e nel comprendere le relative risposte (che sono relative risposte (che sono fornite per mezzo di tabelle, fornite per mezzo di tabelle, grafici, espressioni algebriche, grafici, espressioni algebriche, figure ecc.), nel distinguere tra figure ecc.), nel distinguere tra definizioni ed asserzioni e fra definizioni ed asserzioni e fra diversi tipi di asserzione, nel diversi tipi di asserzione, nel comprendere e manipolare comprendere e manipolare concetti matematici in contesti concetti matematici in contesti un po’ diversi da quelli in cui un po’ diversi da quelli in cui sono stati originariamente sono stati originariamente introdotti o nei quali sono stati introdotti o nei quali sono stati successivamente esercitati.successivamente esercitati.

RIPRODUZIONERIPRODUZIONE CONNESSIONECONNESSIONE

CONFRONTI: ESEMPIO 2CONFRONTI: ESEMPIO 2

ArgomentazioneArgomentazione.. Questa Questa competenza consiste nel competenza consiste nel formulare semplici formulare semplici ragionamenti a carattere ragionamenti a carattere matematico senza distinguere matematico senza distinguere fra dimostrazioni e forme più fra dimostrazioni e forme più articolate di argomentazione o articolate di argomentazione o di ragionamento, nel seguire di ragionamento, nel seguire catene di ragionamenti catene di ragionamenti matematici di diverso tipo e matematici di diverso tipo e nel valutarne la validità; nel valutarne la validità; nell’avere un’idea nell’avere un’idea dell’euristica (“Che cosa può o dell’euristica (“Che cosa può o non può accadere? E perché?”, non può accadere? E perché?”, “Che cosa sappiamo e che “Che cosa sappiamo e che cosa vogliamo ottenere?”).cosa vogliamo ottenere?”).

ArgomentazioneArgomentazione. Questa . Questa competenza consiste nel formulare competenza consiste nel formulare semplici ragionamenti di carattere semplici ragionamenti di carattere matematico distinguendo fra matematico distinguendo fra dimostrazioni e forme più articolate dimostrazioni e forme più articolate di argomentazione o di di argomentazione o di ragionamento, nel creare catene di ragionamento, nel creare catene di ragionamenti matematici di diverso ragionamenti matematici di diverso tipo e nel valutarne la validità; nel tipo e nel valutarne la validità; nel far ricorso all’euristica (“Che cosa far ricorso all’euristica (“Che cosa può o non può accadere?”, “Quale può o non può accadere?”, “Quale può essere il caso? E perché?”, può essere il caso? E perché?”, “Che cosa sappiamo e che cosa “Che cosa sappiamo e che cosa vogliamo ottenere?”, “Quali fra le vogliamo ottenere?”, “Quali fra le proprietà sono essenziali?”, “In che proprietà sono essenziali?”, “In che relazione si pongono gli oggetti?”).relazione si pongono gli oggetti?”).

CONNESSIONECONNESSIONERIFLESSIONERIFLESSIONE

Raggruppamento dellariproduzione

Raggruppamento delleconnessioni

Raggruppamento dellariflessione

••Rappresentazioni e definizioni standard••Calcoli di routine••Procedure di routine••Analisi e soluzione di•problemi di routine

••Modellizzazione••Analisi e soluzione di problemi standard, traduzionee interpretazione••Uso di molteplici metodiben definiti

••Formulazione, analisi e soluzione di problemicomplessi••Riflessione e intuizione••Approccio matematicocreativo••Uso di molteplici metodi complessi••Generalizzazione

Diagramma dei raggruppamenti di competenze

La scala di competenza matematica

Le competenze possono essere possedute a diversi livelli di padronanza per cui i quesiti del PISA sono costruiti in modo tale da permettere di rilevare le differenti prestazioni richieste nei vari livelli. (Tabella ).

PROPOSTA DI LAVORO

Completare, in itinere, la seguente tabella: la riflessione “in corso d’opera” diventa un patrimonio da giocare anno dopo anno

competenze Pensiero e ragionamento

Argomentazione Comunicazione Modellizzazione Formulazione e risoluzione di problemi

Rappresentazione Uso del linguaggio simbolico, formale e tecnico delle operazioni

Uso di sussidi e strumenti

Geometria analitica

Disequazioni algebriche

Goniometria (Funzioni, equazioni, disequazioni)

Trigonometria(problemi)

Matrici e sistemi lineari

Probabilità e statistica

Insiemi numerici

Geometria solida

Logaritmi ed esponenziali

Analisi matematica

Analisi numerica

Geometrie non Euclidee

Le competenze nella didattica della matematica … e le conoscenze? 1.

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