LEGGI DI CONSERVAZIONE

Equazione di continuità

∇×H =

∂D∂t

+ J

∇⋅∇×H =∇⋅

∂D∂t

+ J⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ 0 =

∂∇⋅D∂t

+∇⋅J

∇⋅∇×V = 0

∇⋅D =ρ 0 =

∂ρ∂t

+∇⋅J

∇⋅J =−

∂ρ∂t

q = carica contenuta nel volume V

Conservazione della carica elettrica

La carica netta che nell’unità di tempo esce da V è

i = J ⋅n̂ dSV

SV

∫

= ∇⋅J dV

V∫

Formula di Gauss (o della divergenza)

U ⋅n̂ dSV

SV

∫ = ∇⋅U dV

V∫

=−∂ρ∂t

dV = −d

dtV∫ ρ dV

V∫

i =−dqdt

Il decremento subito nell’unità di tempo dalla carica contenuta nel volume V uguaglia la carica che nello stesso tempo esce dal volume.

La carica elettrica non si crea né si distrugge

J

n̂

V

SV

zona di volume V

+

+ + ++

+ ++

+ ++++

++

la corrente continua cheentra nel volumeuguaglia quella che esce

q = cost. i = 0

In particolare, la corrente continua è uguale in tutte le sezioni di un filo metallico.

i1 i2i1=i2

Caso stazionario

V

∇⋅J =0

campo solenoidaledi corrente

Le correnti continue sono solenoidali. Le loro linee di flusso sono chiuse. Le correnti continue possono circolare solo in circuiti chiusi

+–

i

Le correnti variabili nel tempo possono non essere solenoidali

Esse posso circolare anche in circuiti aperti

:q

-q

i

:

i= i(z,t)

z

antenna adipolo

∇×H =

∂D∂t

+ J

∇×E =−

∂B∂t

H ⋅∇×E =−H ⋅∂B∂t

E ⋅∇×H =E ⋅

∂D∂t

+ E ⋅J

H ⋅∇×E −E ⋅∇×H =−H ⋅

∂B∂t

− E ⋅∂D

∂t− E ⋅J

B⋅∇×A−A⋅∇×B=∇⋅A×B

Teorema di Poynting(forma differenziale)

∇⋅E ×H

∇⋅S =−H ⋅

∂B∂t

− E ⋅∂D

∂t− E ⋅J

S =E ×H vettore di Poynting [W/m2 ]

Teorema di Poynting(forma integrale) n̂

VSVSe V e costituito da punti regolari,

integrando nel volume la precedente espressione differenziale e usando la formula di Gauss si ottiene

S ⋅n̂

SV

∫ dSV = − E ⋅∂D

∂t+ H ⋅

∂B

∂t+ E ⋅J

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟V∫ dV

Si mostra facilmente che questa espressione vale anche se il volume V include un mezzo discontinuo, comunque complicato.

Inoltre, se il volume intercetta la porzione di una lamina di corrente, bisogna aggiungere al secondo membro

E⋅J S dΣΣ∫

Nel tempuscolo dt il lavoro fatto dalle forze elettromagnetiche sulle particelle contenute nel volumetto dV è

f dV( )⋅v dt( ) =ρ E +v×B( )⋅v dV dt=ρE ⋅v dV dt=E ⋅J dV dt

nelle correnti di convezione si ha ρv=J

dt E ⋅J dV =δL

V∫

Particelle cariche nel vuoto n̂

SVV

dVv

E ⋅

∂D∂t

= ε0E ⋅∂E

∂t= ε0

1

2

∂E

∂t⋅E + E ⋅

∂E

∂t

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= ε0

1

2

∂ E ⋅E( )

∂t=

∂

∂t

ε0E2

2

Poiché D =ε0E , B =μ0H si ha

H ⋅

∂B∂t

=∂

∂t

μ0H 2

2

E ⋅

∂D∂t

+ H ⋅∂B

∂t

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ dV =

d

dt

ε0E2

2+

μ0H 2

2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

V∫V∫ dV

dt E ⋅

∂D∂t

+H ⋅∂B∂t

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ dV =dU

V∫

U @

ε0E2

2+μ0H

2

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

V∫ dV

Per il teorema di Poynting:

δL + dt S ⋅n̂

SV∫ dSV = −dU

In ogni istante U dipende solo dai valori assunti dal campo nello stesso istante. Dunque U dipende solo dallo stato del campo nella zona e nell’istante considerati, non dal modo in cui si è arrivati.

La variazione di U è collegata ad un lavoro

Una funzione di stato le cui variazioni sono collegate a un lavoro, viene detta “energia”.

U prende il nome di “energia elettromagnetica” perché essa è determinata dallo stato del campo elettromagnetico.

indica che – nel vuoto – l’energia elettromagnetica è distribuita con la densità

L’espressione U =

ε0E2

2+μ0H

2

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

V∫ dV

U =

ε0E2

2+

μ0H 2

2 [J/m3]

Bilancio energetico nel vuoto

δL + dt S ⋅n̂

SV∫ dSV = −dU

Se il flusso del vettore di Poynting è nullo, il lavoro fatto sulle parti-celle corrisponde alla variazione dell’energia elettromagnetica conte-nuta nel volume V. • δL > 0 , dU < 0 : le particelle guadagnano energia e il campo la perde; • δL < 0 , dU > 0 : le particelle perdono energia e il campo l’acquista.

Se il flusso del vettore di Poynting non è nullo si ha dL ≠ dU. Il principio di conservazione dell’energia viene rispettato se si assume che il flusso del vettore di Poynting rappresenta la potenza elettro-magnetica scambiata con il mondo esterno (positivo, verso l’esterno; negativo verso l’interno).

Se le particelle sono assenti la variazione dell’energia contenuta nella zona considerata uguaglia l’energia scambiata con l’esterno.

Nel problema trattato precedentemente non è stata fatta alcuna ipotesi sul mondo esterno al volume V (né sul mezzo né sulla presenza di sorgenti impresse).

Ciò nonostante, sappiamo che la potenza entrante in (o uscente da) tale regione è data dal flusso del vettore di Poynting.

Il campo elettromagnetico è sede di un flusso d’energia, trasmessa lungo le linee di flusso del vettore di Poynting.

Dunque, indipendentemente dal mezzo e dalla presenza di sorgenti impresse, la potenza elettromagnetica dW che attraversa nel verso positivo un elemento di superficie dS è

dW =S ⋅n̂ dS

S

n̂dS

Il teorema di Poynting rappresenta sempre un bilancio energetico, il cui significato deve essere chiarito caso per caso, considerando le equazioni costitutive del mezzo.

S ⋅n̂

SV

∫ dSV = − E ⋅∂D

∂t+ H ⋅

∂B

∂t+ E ⋅J

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟V∫ dV

= 0

J =J c = σ E E =

J c

σ E ⋅J =

J c ⋅J c

σ=

J c2

σ

− S ⋅n̂

SV

∫ dSV =J c

2

σV∫ dV

potenza e.m. entrante

potenza termica sviluppata per effetto Joule

calore sviluppato nell’unità di tempo nell’elemento dV

Bilancio energetico in un mezzo ohmico (caso stazionario)

V

n̂conduttore

isolante

La potenza assorbita da un conduttore proviene dal mezzo esterno

S ⋅n̂

SV

∫ dSV = − E ⋅∂D

∂t+ H ⋅

∂B

∂t+ E ⋅J

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟V∫ dV

ε0ε rE2

2+

μ0μ rH2

2

J c2

σ

U =

ε0ε rE2

2+

μ0μ rH2

2densità dell’energia elettromagnetica.

Bilancio energetico in un mezzo non-dispersivo

V

n̂

D =ε0ε rE B = μ0μ rH J c = σ E

− S ⋅n̂

SV

∫ dSV =dU

dt+ QJ

potenza e.m. entrante

U =ε0εrE

2

2+μ0μrH

2

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟V∫ dV energia elettromagnetica

potenza dissipata per effetto Joule

QJ =J c

2

σV∫ dV

D =ε0E + P τ

∂P

∂t+ P = χε0E

Bilancio energetico in un dielettrico polare dispersivo

V

n̂

E ⋅

∂D∂t

=∂

∂t

ε0E2

2+ E ⋅

∂P

∂t=

∂

∂t

ε0E2

2+

1

ε0χτ

∂P

∂t+ P

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅∂P

∂t

=

∂∂t

ε0E2

2+

P 2

2ε0χ

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

τ

ε0χ

∂P

∂t

2

B ≈μ0H J = 0

− S ⋅n̂

SV

∫ dSV = E ⋅∂D

∂t+

∂

∂t

μ0H 2

2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟V∫ dV

U =ε0E

2

2+

P 2

2ε0χ⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟V∫ dV

Qd =τε0χ

∂P∂t

2

dVV∫

− S ⋅n̂

SV

∫ dSV =dU

dt+ Qd

energia elettromagnetica

potenza termica generata per le perdite dielettriche

densità della potenza termica generata nel dielettrico