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Corso diProgetto di Strutture
POTENZA, a.a. 2012 – 2013
Dott. Marco VONADiSGG, Università di Basilicata
marco.vona@unibas.it http://www.unibas.it/utenti/vona/
Introduzione al corso
Le Piastre
� Teoria delle piastre
� Piastre in calcestruzzo armato
� Piastre post tese
� Realizzazione di elaborati esecutivi di solette armate epareti ecantierizzazione
PROGRAMMA DEL CORSO
pareti ecantierizzazione
� Teoria dei tubi e dei serbatoi
Esercitazione: Progetto di piastre e setti in c.a.
Metodo di esame.L’esame sarà generalmente orale e volto adaccertare la conoscenza degli argomenti teorici trattati, nonché lacapacità di applicare tali concetti a problemi applicative
Le PIASTRE / LASTRE sono una tipologia di elementistrutturali aventi sviluppo bidimensionale il cui impiego èindicato in una vasta casistica
Le lastre sono caratterizzate da un comportamento di tipoprevalentemente membranale ovvero sono sollecitate nel propriopianomedio
CONSIDERAZIONI GENERALI
pianomedio
Per quanto riguarda le lastre è ovviamente possibile impiegareanche altre tipologie di materiali in virtù del tipo di struttura eduso (es. teli)
I materiali costituenti possono essere vari (c.a. – acciaio, c.alegno, c.a.) ma le piastre in c.a. sono senz’altro le più utilizzategrazie alla semplicità di realizzazione e libertà di progettazione
La geometria di unaPIASTRA / LASTRA è determinata dal suopiano medio e dal suo spessore
In funzione dello spessore si individuano differenticomportamentiequindidifferenti tipologie
CONSIDERAZIONI GENERALI
comportamentiequindidifferenti tipologie
TRAVE ALTA (taglio)
TRAVE A SVILUPPOMONODIMENSIONALE (Flessione)
Le ipotesi alla base della trattazione delle piastre sonoconseguenza di tali caratteristiche
Scelta del tipo di piastra
CONSIDERAZIONI GENERALI
Metodi di calcolo
Le PIASTRE / LASTRE sono strutture superficiali a SuperficieMedia piana
Sono solidi bidimensionali delimitati da due facce piane paralleleposte ad una distanza molto piccola rispetto alle altre duedimensioni
CONSIDERAZIONI GENERALI
Le lastre sono sostanzialmente un caso particolare della piastre
Nelle lastre la direzione dei carichi giace sul piano medio e ledeformazioni sono prevalentemente membranali
Nelle piastre invece i carichi sono disposti ortogonalmente alpiano medio, conseguentemente le deformazioni sonoprevalentemente flessionali
LE PIASTRE
In tale ambito, rientrano tutte le strutture dell’ingegneria civile,comunemente indicate comesolette, caratterizzate dall’averemomenti sollecitanti molto più piccoli in una direzione rispettoall’altra
CONSIDERAZIONI GENERALI
Per tale ragione le solette sono studiate generalmente come uninsieme di travi tra loro affiancate trascurando le interazionireciproche
Tale assunzione è generalmente valida anche per il modo in cuisono costruite normalmente tali solette
Una elemento piastra di lunghezza infinita, cioè vincolata lungodue soli lati paralleli, si comporta come una serie di traviaffiancate che si aiutano con la sola contrazione trasversaleimpedita. Per questo contributo trasversale la rigidezza passa daltermine
EJ al termine EJ/(1- νννν2)
CONSIDERAZIONI GENERALI
maggiore diEJ
La massima frecciaw diminuisce di una quantità rappresentatadal rapporto1/(1- νννν2)
Quando invece la piastra, assunta di forma rettangolare, siavincolata lungo tutti e quattro i lati, essa può essere consideratacostituita da due serie di strisce ortogonali collaboranti. Le striscein una direzione sostengono quelle in direzione perpendicolare
Piastra rettangolare appoggiata su due lati paralleli, libera suglialtri due lati con una direzione prevalente sull’altra in terminidimensionali
Carico uniformemente distribuitop
È correttoverificarlaperun’azioneflettente?
CONSIDERAZIONI GENERALI
8
2lpM x
⋅=È correttoverificarlaperun’azioneflettente?8
M x =
l
p
y
x
Nella direzione ortogonale esiste comunque una sollecitazioneche a rigore non può essere trascurata
CONSIDERAZIONI GENERALI
8
2lpMM xy
⋅⋅=⋅= νν ν coefficiente di Poissondel materiale
l
p
y
x
Nelle strutture in c.a. ordinarie in genereMy e molto più piccolodi Mx e quindi viene generalmente trascurato
CONSIDERAZIONI GENERALI
xy MM ⋅≤ 12.0
Nel caso del c.a. il problema si risolve disponendo, in generesenza alcuna valutazione numerica ulteriore, unaARMATURADI RIPARTIZIONE
Allo stesso modo la deformazionereale è influenzata dallageometria della piastra
Se le strisce di piastra che si considerano normalmentenell’analisi delle solette fossero davvero indipendenti ladeformazione massima avrebbe il valore:
CONSIDERAZIONI GENERALI
JE
lp
⋅⋅⋅⋅=
3845
4
δ12
3sJ =
JE ⋅⋅384 12
Nella realtà l’interazione tra le striscereali della piastra dannoluogo ad una differente deformazione
)1( 2νδδ −=
In sostanza nei casi comuni la differenza ètrascurabile ecomunque a vantaggio di sicurezza
%1≤−δ
δδ
Nel caso di elementi che si comportano come dellepiastre vere eproprie la realtà è differente e le approssimazioni non sonoaccettabili
CONSIDERAZIONI GENERALI
Consideriamo unagenericapiastradi latigenericapiastradi lati
lx edly
appoggiata sui quattrolati e caricatauniformemente sideforma secondo unasuperficie concava
CONSIDERAZIONI GENERALI
Nascono quindi dei momenti sia in direzionex che in direzioney
Può quindi esserestudiata la piastrasuddividendola instrisce nelle duedirezioni principali x edirezioni principali x ey
Tali strisceassorbiranno una quotaparte del carico esterno
La flessione delle strisce AB costringe le strisce CDa torcersi equeste, a loro volta, reagendo, trasmettono momenti torcenti eviceversa
CONSIDERAZIONI GENERALI
Questi momenti, denominatimomenti di sostentamento, sono diversi opposti sulle due metà
Le stesse considerazioni valgonoconsiderando due strisce contigue.La striscia CD, più prossima al latovincolato, s’inflette meno dellastriscia AB, ad essa adiacente
CONSIDERAZIONI GENERALI
Le configurazioni deformateassunte dalle due strisce sonoquindi diverse
CONSIDERAZIONI GENERALI
Se le strisce fossero indipendenti leloro facce comuni scorrerebberol’una rispetto all’altra
Essendo tra loro collegate, sullefacce comuni si generanodeformazioni di scorrimento edeformazioni di scorrimento etensioni tangenziali
τxy e τyx
le cui risultanti sono rappresentatedai momenti torcenti
Mxy eMyx
CONSIDERAZIONI GENERALI
Ogni striscia AB riceve dalla striscia EF momenti che ladeprimono e dalla striscia CDmomenti che la sostengono
Poiché tali momentiMyx crescono dalla mezzeria della piastra,dove sono nulli, verso gli appoggi prevalgono i momenti disostentamento il cui verso è rappresentato sulla strisciadenominata CD
CONSIDERAZIONI GENERALI
Ogni striscia è sostenuta dalla porzione di piastra compresa fraessa e l’appoggio più prossimo, mediante i momenti torcenti
Questi momenti sono successivamente trasmessi alle altre strisce,fino a scaricarsi sull’appoggio sotto forma di un incremento dellareazione
CONSIDERAZIONI GENERALI
La flessione delle strisce AB costringe le strisce CDa torcersi equeste, a loro volta, reagendo, trasmettono momenti torcenti eviceversa. Questi momenti, denominati momenti disostentamento, sono di versi opposti sulle due metà
I benefici dei due tipi di collaborazione sono massimi per lapiastra quadrata (a = b) e diminuiscono al crescere del rapportob/a per le piastre rettangolari, diventando trascurabili per b/a > 2.
SPESSORE DELLE PIASTRE
Con riferimento allo spessore può essere fatta una distinzionefondamentale in tre classi; si definiscono così tre comportamentidistinti in funzione dello spessore riferito alla deformazionemassima:
STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE
• piastra spessa: si applica la teoria classica tenendo conto delcontributo di deformazione a taglio (teoria di Lagrange)
Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta primadell’insorgere di tensioni membranali non trascurabili
Il carico di collasso può essere individuato mediante la teoriadella linea di snervamento
SPESSORE DELLE PIASTRE
• piastra (molto) sottile: si applica la teoria delle membrane diFöppl. Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta in regimemembranale. Si consideranoin genere grandi spostamenti
• piastra sottile (spessorepiccolo/medio): è la più comunemente
STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE
• piastra sottile (spessorepiccolo/medio): è la più comunementeimpiegata nella progettazione delle strutture
Si applica la teoria classica diKirchhoff – Love
Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta quando letensioni membranali non sono più trascurabili
SPESSORE DELLE PIASTRE
• piastra di grande spessore:si applica la teoria classica tenendoconto del contributo di deformazione a taglio (teoria diLagrange)
Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta prima
STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE
Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta primadell’insorgere di tensioni membranali non trascurabili
Il carico di collasso può essere individuato mediante la teoriadella linea di snervamento
Comunemente col terminePIASTRA SOTTILE intendiamo unsolido che ha una dimensione molto più piccola delle altre due
Chiamiamo spessore questa dimensione minore delle altre, cheindicheremoh e che riterremo per lo più costante
Per esempio,una lamiera può essereassimilataad una piastra
STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE
Per esempio,una lamiera può essereassimilataad una piastrasottile
De finiamo la super ficie media della piastra come il luogo deipunti medi dello spessore
La trattazione si base su alcune ipotesi semplificative
Per lo studio della piastra inflessa esistono fondamentalmente dueformulazioni analitiche distinte
Teoria classica di Lagrange (small deflection, nella validitàdelle ipotesiKirchhoff – Love)
Teoria di Von Kármán (large deflection)
STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE
In funzione delle ipotesi su cui si basa ciascuna trattazioneoccorre individuarela schematizzazione che meglio si adeguaallo studio del comportamento della struttura reale, nonnecessariamente legata al grado di complessità matematica adessa connessa
Per le piastre sottili si utilizzano in genere, nell’ipotesi di piccolispostamenti, le ipotesi della teoria diKirchhoff – Love
Tali ipotesi sono molto simili a quelle di de Saint Venant per letravi
1. La superficie media (piano medio) è neutra e come
STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE
1. La superficie media (piano medio) è neutra e comeconseguenza le tensioni normali si annullano a metà dellospessore. Tale ipotesi è tanto più verificata quanto più glispostamenti sono piccoli rispetto allo spessore della piastra
2. Le sezioni piane e normali al piano medio per effetto delleazioni esterne e delle conseguenti deformazioni rimangonopiane e normali al piano medio
3. Lo sforzo normale al piano medio e trascurabile
Le diverse teorie possono essere applicate a piastre caratterizzateda differenti rapporti dimensionali, o alla stessa struttura indiverse fasi dello stato di sollecitazione e di tensione (ad esempioin funzione dell’intensità del carico)
Poiché l’obbiettivo finale del progetto consiste nello stabilire ilmassimo carico (a parità di distribuzione) che può essere
STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE
massimo carico (a parità di distribuzione) che può esseresopportato dalla struttura prima del collasso, il perseguimento ditale obbiettivo ha portato a sviluppare anche teorie applicabili incampo plastico
Si consideri ad esempio una piastra di medio spessore, dimateriale perfettamente elastico ed isotropo
Per carichi di modesta intensità il comportamento potrà esserecorrettamente studiato mediante la teoria classica di Lagrange
All’aumentare della deformazione si svilupperanno anchetensioni di tipo membranale che renderanno il comportamento piùprossimo a quello descritto della teoria dei grandi spostamenti
Supponendo che, al crescere del carico, il materiale continui amantenersi in campo elastico si ricadrà nella teorie della
STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE
mantenersi in campo elastico si ricadrà nella teorie dellamembrana (Föppl)
Se, al contrario, si verificassero fenomeni plastici occorrerà farericorso alla teoria elasto – plastica
STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE
l
pz
y
x
pzpx
pybz
bz Forza per unità di Area
pz Forza per unità di Lunghezza
px , py Coppia per unità di Lunghezza
[ ]2−⋅ LF
[ ]1−⋅ LF
[ ] [ ]FLLF =⋅⋅ −1
xz
Considerazioni generali e ipotesi semplificative (Kirchhoff –Love)
�spostamenti infinitesimi: gli spostamenti sono tanto piccoli(insieme alle loro derivate) da poter essere trattati comeinfinitesimi (si trascurano le potenze superiori alla prima, inquantoinfinitesimi di ordinesuperiore);
STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE
quantoinfinitesimi di ordinesuperiore);
�σz=0
� tutti i punti che sono su un segmento perpendicolare al pianomedio hanno lo stesso spostamentow
�un segmento piano si mantiene tale dopo la deformazione (latangente è uguale alla derivata diw rispetto a x): lo stato dispostamento è espresso in funzione diw
� i punti sul piano medio della piastra subiscono spostamenti nellasola direzionez. Lo spessore deve essere piccolo per rispettarel’ipotesi della conservazione del segmento piano. Ciò equivale aconsiderare trascurabili gli scorrimenti xz e yz. Lo spessore nondeve essere piccolissimo affinché le tensioni membranali sianotrascurabili
STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE
La trattazione delle piastre è basata sul classico metodo deglispostamenti. Le incognite del problema sono soltanto gli sforziinterni
Nelle equazioni di equilibrio si introducono le equazioni dicongruenza ed i legami costitutivi dei materiali ottenendo unaequazionenellasolaincognitadi spostamentow
STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE
equazionenellasolaincognitadi spostamentow
l
pz
y
x
pzpx
pybz
STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE
w ≠ 0 u , v ≡ 0 sulla Superficie Media
εz = 0
xz
w(x, y, z) = w(x, y)
ε , σ lineari sullo spessore
Considerando un elemento infinitesimodx dy appartenente ad unapiastra
STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE
La distribuzione delle tensioni sullo spessore, in analogia aquanto avviene per le travi, è di tipo lineare per le tensioniσx , σy
e τxy mentre per le tensioniτxz e τyz è di tipo parabolico
STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE
È evidente che se non fossero presenti le tensioniτxy , la piastrapotrebbe essere assimilata ad una doppia serie di travi disposteortogonalmente tra loro