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Metodo di ripartizione dei carichi: Guyon - Massonnet - Bareš

Corso Ponti 1 – Ass. Ing. Corrado Pecora

graticcio effettivo graticcio a maglie infinitesime equivalente

IMPALCATO A GRATICCIOElementi longitudinali → TRAVI

Elementi trasversali → TRAVERSI

Travi e traversi sono perpendicolari

IPOTESI

1) Il graticcio effettivo può essere sostituito da uno equivalente con maglie

infinitesime, avente le stesse rigidezze medie flessionali e torsionali

Inerzia flessionale

Inerzia torsionale

TRAVI (POUTRE) JP JT,P

TRAVERSI (ENTRETOISE) JE JT,E

2) L’impalcato si ritiene appoggiato sui bordi estremi (x=0 e x=L) e libero

sugli altri due (y=-b e y=b)

Analisi armonica nella direzione x

3) La ripartizione dei carichi fra le travi longitudinali (ripartizione trasversale),

per ogni condizione di carico, è la stessa che si avrebbe se i carichi

fossero distribuiti in senso longitudinale con legge (sinusoidale)

Sviluppo in serie troncato al 1° termine → errore ~ 2%

COEFFICIENTE DI RIPARTIZIONE TRASVERSALE- carico agente su una parallela all’asse x con eccentricità “e”

- carico ripartito con legge sinusoidale

- ipotesi di vincolo già descritte

la deformata ha forma di semionda di sinusoide

w(x,y) = w(y,e) sen(πx/L)

il rapporto k(y,e) = w(x,y)/w0(x) = w(y,e)/w0 è detto coefficiente di ripartizione

trasversale e consente di valutare la distribuzione delle sollecitazioni prodotte

dall’azione dei carichi sull’impalcato

nel caso di carico sinusoidale ripartito su tutta la larghezza 2b dell’impalcato p0(x) = p(x)/2b = p1 sen(πx/L)/2bla deformata si presenta cilindrica w0(x) = w0 sen(πx/L)

k(y,e) è indipendente dall’ascissa x

Tale parametro dipende da:

1) il parametro di irrigidimento

2) il parametro di torsione

3) l’eccentricità relativa e/b posizione del carico

4) l’ordinata relativa y/b posizione della trave longitudinale

2 ρ⋅ργ+γ

k(y,e) = k(e,y) TEOREMA DI MAXWELL

trave carico

ϑ<0.3 traversi infinitamente rigidi

Massonnet per evitare di valutare kα per ogni valore di α ha fornito la seguente relazione semiempirica

(GUYON) isotropa piastra 1 per kk nulla torsionale rigidezza 0 per kk

=α→

α⋅−+=α

Metodo caratterizzato dall’uso di tabelleK0

y/e -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00-1,00 4,6376 3,4626 2,3904 1,4672 0,6944 0,0460 -0,5170 -1,0350 -1,5388-0,75 3,4626 2,7877 2,1034 1,4522 0,8625 0,3358 -0,1425 -0,5933 -1,0350-0,50 2,3904 2,1034 1,7920 1,4214 1,0223 0,6237 0,2359 -0,1425 -0,5170-0,25 1,4672 1,4522 1,4214 1,3348 1,1509 0,9019 0,6237 0,3358 0,04600,00 0,6944 0,8625 1,0223 1,1509 1,2064 1,1509 1,0223 0,8625 0,69440,25 0,0460 0,3358 0,6237 0,9019 1,1509 1,3348 1,4214 1,4522 1,46720,50 -0,5170 -0,1425 0,2359 0,6237 1,0223 1,4214 1,7920 2,1034 2,39040,75 -1,0350 -0,5933 -0,1425 0,3358 0,8625 1,4522 2,1034 2,7877 3,46261,00 -1,5388 -1,0350 -0,5170 0,0460 0,6944 1,4672 2,3904 3,4626 4,6376

K1y/e -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

-1,00 2,0184 1,6715 1,3586 1,0943 0,8814 0,7158 0,5902 0,4944 0,4157-0,75 1,6715 1,5147 1,3215 1,1208 0,9392 0,7875 0,6670 0,5727 0,4944-0,50 1,3586 1,3215 1,2594 1,1425 1,0031 0,8708 0,7583 0,6670 0,5902-0,25 1,0943 1,1208 1,1425 1,1339 1,0646 0,9671 0,8708 0,7875 0,71580,00 0,8814 0,9392 1,0031 1,0646 1,0957 1,0646 1,0031 0,9392 0,88140,25 0,7158 0,7875 0,8708 0,9671 1,0646 1,1339 1,1425 1,1208 1,09430,50 0,5902 0,6670 0,7583 0,8708 1,0031 1,1425 1,2594 1,3215 1,35860,75 0,4944 0,5727 0,6670 0,7875 0,9392 1,1208 1,3215 1,5147 1,67151,00 0,4157 0,4944 0,5902 0,7158 0,8814 1,0943 1,3586 1,6715 2,0184

θ = 0,46900

-2,0000

-1,0000

0,0000

1,0000

2,0000

3,0000

4,0000

5,0000

e/b=-1.00e/b=-0.75e/b=-0.50e/b=-0.25e/b=+0.00e/b=+0.25e/b=+0.50e/b=+0.75e/b=+1.00

α = 0,03929

=α⋅

⋅= n

mediox

)e,y(kpMM

αμ⋅⋅=n

1iiiy )e,y(pbM

ατ⋅⋅⋅γ+γ

γ⋅−=

Pxy )e,y(pb2M

ατ⋅⋅⋅γ+γ

γ⋅−=

Eyx )e,y(pb2M

∑∑

μ⋅⋅π⋅⋅

medio xx )e,y(pbp

)e,y(kpVV

∑∑=

α τ⋅⋅π⋅⋅

γ+γγ⋅

+κ⋅=n

1iiiy )e,y(pb2)e,y(pV

Riepilogo delle principali relazioniMomento flettente nella trave

Momento flettente nel traverso

Momento torcente nella trave

Momento torcente nel traverso

Taglio nella trave

Taglio nel traverso

Esempio numericoDeterminare gli effetti della ripartizione trasversale con il metodo di Massonnet, valutando i momenti flettenti e torcenti e i tagli nelle travi e nei traversi

Valutare α e ϑ

L=22.30m2b = 11.50mb1 = 1.00m

Momento d’inerzia

flessionale

2 ρ⋅ργ+γ

Momento d’inerzia

torsionale

In genere il problema legato alla determinazione dell’inerzia torsionale non èdato dalla determinazione di β (che si può assumere pari a 1/3), quanto dalla trasformazione dei rettangoli in aree equivalenti in modo da ricondursi in sezioni a o T, in cui il flusso delle tensioni tangenziali è noto.

3kkkP,T cm 66,520241saJ =β= ∑

Rigidezza torsionale per sezioni composte da rettangoli allungati

SEZIONE COMPOSTA DA 3 RETTANGOLI

GEOMETRIAnr. Base [m] Altezza [m]

1 4,000 0,2002 0,200 1,0003 2,000 0,300

INERZIA FLESSIONALEA = 1,60000 m^2 areaSx = 1,03000 m^3 momento staticoxG = 0,000 m ascissa baricentroyG = 0,644 m ordinata baricentroIx = 1,22333 m^4 inerzia flessionale asse xxIxG = 0,56027 m^4 inerzia flessionale asse GG

INERZIA TORSIONALEGeometria per calcolo inerzia torsionale

nr. sk [m] ak [m] betak1 0,200 4,000 0,32292 0,200 1,000 0,29153 0,300 2,000 0,3020

Jt = 0,02897 m^4 inerzia torsionale

Rettangolo 1Rettangolo 2Rettangolo 3Baricentro

⋅⋅=3

kkkkt asJ β

DM 2008

Shear lag Airy

Momento d’inerzia

flessionale

Momento d’inerzia

torsionale4

3kkkE,T cm 33,1433053saJ =β= ∑

=α⋅

⋅= n

mediox

)e,y(kpMM

Momento flettente nella trave

1) Sviluppo in serie di Fourier del carico

2) Calcolo delle sollecitazioni (Mx) relative ad ogni condizione di carico

3) Definizione ed uso della funzione kα

4) Calcolo di Mx sull’impalcato

Normativa di riferimentoD. M. LL. PP. 4/5/1990 “Aggiornamento delle norme tecniche per la progettazione, la esecuzione e il collaudo dei ponti stradali”

Differenze con D. M. 2008: carichi mobili, coefficiente dinamico, larghezza corsia 3,50m

3) Definizione della funzione kα

-500,0

1000,0

1500,0

2000,0

2500,0

3000,0

3500,0

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 xM(x

M _Fourier

M _effettivo

M _corretto

NORMATIVA

L=22,30m

-2,0000

-1,0000

0,0000

1,0000

2,0000

3,0000

4,0000

5,0000

θ = 0,46900 α = 0,03929K0

e/y -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,001,00 -1,5388 -1,0350 -0,5170 0,0460 0,6944 1,4672 2,3904 3,4626 4,6376

K1e/y -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

1,00 0,4157 0,4944 0,5902 0,7158 0,8814 1,0943 1,3586 1,6715 2,0184

e/y -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,001,00 -1,1514 -0,7319 -0,2976 0,1788 0,7315 1,3933 2,1859 3,1076 4,1184

( ) α⋅−+=α 010 KKKK

Fissata l’ordinata y,

ossia la trave

longitudinale

TABELLE

BIBLIOGRAFIA

Le calcul des grillagesde poutres et dalles

orthotropesLarghezza impalcato

Utilizzo della funzione kαquale linea di influenza

11 travi

=α⋅

⋅= n

mediox

)e,y(kpMM

(162.2419+324.4838+43.5129)/11 =

48.2035

Momento flettente nel traverso

αμ⋅⋅=n

1iiiy )e,y(pbM

( ) α⋅μ−μ+μ=μ α 010

Momento torcente nella trave

ατ⋅⋅⋅γ+γ

γ⋅−=

Pxy )e,y(pb2M

rigidezza torsionale nulla

Momento torcente nel traverso

ατ⋅⋅⋅γ+γ

γ⋅−=

Eyx )e,y(pb2M

Taglio nella trave

∑∑

μ⋅⋅π⋅⋅

medio xx )e,y(pbp

)e,y(kpVV

Taglio nel traverso

∑∑=

α τ⋅⋅π⋅⋅

γ+γγ⋅

+κ⋅=n

1iiiy )e,y(pb2)e,y(pV

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