Medicina Nucleare

Fisica

Emivita Fisica (T1/2) e Vita Media (T)

T1/2 = 0.693

Nt= N0e-0.693 / T1/2

T= 1.44 T1/2

La vita media è utile nel calcolo della dose perché il numero totale di disintegrazioni è il prodotto dell’attività e della vita media

Medicina Nucleare

Fisica

EMIVITA EFFETTIVA

eff = biol +

T1/2eff = (T1/2biol x T1/2) / (T1/2biol + T1/2)

Medicina Nucleare

Fisica

Equilibrio Radioattivo

Le equazioni di decadimento diventano più complicate quando anche il radionuclide figlio è radioattivo.

Af = F(f/(f- p) Ap0 (e pt - e ft) + Af0(e -ft)

F= frazione del genitore che decade a figlio

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Fisica

Equilibrio Radioattivo: Casi Speciali

• T1/2 del figlio > di T1/2 del padre

•T1/2 del padre > di T1/2 del figlio (verso infinito)

•T1/2 del padre > di T1/2 del figlio

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Fisica

Equilibrio Radioattivo: Casi Speciali

T1/2 del figlio > di T1/2 del padre

Il padre decade lentamente a figlio e non c’è mai una relazione fissa

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Equilibrio Radioattivo

T1/2 del padre > di T1/2 del figlio (verso infinito)

Af = F Ap(1-e-ft)

Dopo diverse emivite si raggiunge una condizione di equilibrio:

equilibrio secolare

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Equilibrio Radioattivo

T1/2 del padre > di T1/2 del figlio

Af = F(f/(f- p) Ap0 (e pt - e ft)

Dopo alcune emivite l’attività del figlio arriva a un punto in cui c’è una relazione costante (equilibrio transitorio) con quella del padre.

Af = F(Ap x T1/2p) / (T1/2p - T1/2f)

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Statistica

Tutte le misure sono soggette ad errori:

•Errori

•Errori sistematici

•Errori casuali

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Statistica

ERRORI

Si tratta di errori che producono risultati grossolanamente

inadeguati e sono in genere facilmente riconoscibili:

radiofarmaco sbagliato, erronea taratura dello strumento, ecc.

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Statistica

ERRORI SISTEMATICI

Questi errori producono risultati che differiscono da quelli corretti per un quantità determinata.

Risultati ottenuti con errori sistematici sono inaccurati

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Statistica

ERRORI CASUALI

Questi errori derivano dai limiti fisici dello strumento di

misura o da variazioni del fenomeno in sé.

Questi errori influenzano la riproducibilità

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Statistica

Una misura può essere precisa (piccolo errore casuale) ma inaccurata (largo errore sistematico) o viceversa.

Poiché gli errori casuali sono sempre presenti nei conteggi radioattivi, è necessario essere in grado di analizzarli.

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Statistica

Supponiamo che una sostanza radioattiva a lunga emivita sia contata ripetutamente.

Poiché la velocità di decadimento ha variazioni casuali, il numero di conteggi sarà lievemente diverso ad ogni misura.

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Statistica

Ci si può allora chiedere qual’è il vero valore.

Una soluzione possibile è eseguire un gran numero di misure e di usare il valore medio come stima del vero valore.

Sfortunatamente questo approccio non è molto pratico nella pratica quotidiana.

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Statistica

La domanda allora è:

Quanto è valida una singola misura come stima del vero valore?

La risposta è nella frequenza di distribuzione.

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Statistica

52 59 66 73 80 87 94 101 108 115 122 129 136

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

Valore della Misura

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Statistica

La probabilità ha un picco ad un valore medio m, che è il

valore vero per la misura.

Perciò se si effettuassero un gran numero di misure si avrebbe

che il valore vero è circa eguale a m.

Questa distribuzione è descritta matematicamente dalla

distribuzione di Poisson

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Statistica

Per questa distribuzione la probabilità di ottenere un certo valore quando il valore vero è m

P(N, m) = e-m mN / N!

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Statistica

La probabilità che una misura sia vicina a m dipende

all’ampiezza, o dispersione, della distribuzione.

Questa è legata ad un parametro chiamato varianza, 2.

La varianza è un numero per cui il 68.3% delle misure cadrà

entro +

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Statistica

Per la distribuzione di Poisson la varianza è eguale alla media.

Perciò ci si aspetta che circa i 2/3 delle misure di conteggio cadano entro + √m del vero valore di m.

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Statistica

Dato solo il risultato di una singola misura, N, non si conosce il valore esatto di m o di .

Tuttavia, si può ragionevolmente assumere che N=m, e che perciò =√N

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Statistica

Si può perciò dire che il vero valore della misura è nel range N + √N

Questo è chiamato l’intervallo di confidenza del 68.3%+ √N è l’incertezza di N

E’ possibile infine calcolare l’incertezza percentuale come (√N / N) x 100

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Statistica

Range Intervallo di Confidenza

N + 68.3%N + 2 95.0%N + 3 99.7%

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Statistica

Molte procedure in Medicina Nucleare implicano la registrazione di diversi conteggi.

Queste misure possono poi essere adoperate per eseguire calcoli.

In ciascun caso l’errore del risultato finale può essere calcolato.

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Statistica

Propagazione dell’errore

Somme e Differenze

(N1 + N2 + N3 + ...) = √(N1 + N2 + N3 + ...)

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Statistica

Propagazione dell’errore

Prodotti e Rapporti

L’incertezza percentuale (V) è:

V (N1 */ N2 */ N3 */ ...) = √(1/N1 + 1/N2 + 1/N3 + ...) * 100

Medicina Nucleare

Statistica

Propagazione dell’errore

Molte procedure in Medicina Nucleare hanno la forma :

Y = (N1 - N2) / (N3 - N4)

In questi casi si ha:

VY = √ (N1+N2)/(N1-N2)2 + (N3+N4)/(N3-N4)2

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Statistica

Nfe = 400 (fondo ematico)Nfe = 1200 (radioattività ematica)Ns = 2000 (standard radioattivo)Nb = 200 (bianco del contatore)

Calcolare il rapporto prelievo / standard ed il suo errore

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Statistica

R = (Nfe - Nfe ) / (Ns - Nb )

R= (1200 - 400) / (2000 - 200)

R= ( 800 / 1800 ) = 0.44

Medicina Nucleare

Statistica

VY = √ (N1+N2)/(N1-N2)2 + (N3+N4)/(N3-N4)2

VY = √ (1200+400) / (1200-400)2 + (2000+200)/(2000-200)2

VY = √ (1600)/(800)2 + (2200)/(1800)2

VY = √ 0.0025 + 0.0007 = √0.003= 0.056

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Statistica

L’ incertezza percentuale è 5.6 %.

Poiché il risultato era 0.44, l’errore è il 5.6% di 0.44, cioè 0.02.

Pertanto il nostro risultato è : R= 0.44 + 0.02

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Statistica

Se abbiamo due conteggi, N1 e N2, la differenza tra i due può essere reale o solo dovuta alle variazioni random nel decadimento.

Si può valutare la significatività della differenza confrontando gli errori random aspettati.

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Statistica

In genere differenze di meno di 2 sono marginali perché c’é almeno il 5% di probabilità che siano casuali.

(N1-N2) < √ N1+N2

Supponiamo di avere due rate di conteggio R1e R2 ottenuti nei tempi t1e t2, si avrà:

(R1- R2) = √R1/t1 + R2/t2

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Statistica

Tutte le misure medico-nucleari contengono un conteggio del “fondo”, dovuto al rumore elettronico, ai raggi cosmici, alla radioattività naturale.

Rn = Rt - Rf

Rn = √ Rt/ tt + Rf/ tf

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Statistica

Il conteggio totale ottenuto in 4 minuti è 6000 e quello di fondo

è 4000.

Qual’è il rate di conteggio netto (espresso in cpm) e la sua

incertezza ?

Medicina Nucleare

Statistica

Rt = 6000/4 = 1500 cpmRf = 4000/4 = 1000 cpmRn = 1500 - 1000 = 500

Rn = √1500/4 + 1000/4 = √375 + 250 = √625= 25

Perciò, Rn = 500 + 25 (+ 5%)

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Statistica

Confrontiamo questo risultato con quello del conteggio totale e

con quella del conteggio netto se il fondo fosse stato pari a 0.

Medicina Nucleare

Statistica

Rt = 6000/4 = 1500 cpmRt

= √1500/4 = √375 = 19 (1.3 %)

Rn = 1500 - 1000 = 500Rn

= √500/4 = √125 = 11(2.2%)

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Statistica

Questi esempi illustrano due concetti

•Alti conteggi di fondo aumentano l’incertezza nel conteggio netto

•Piccole differenze tra conteggi hanno alta incertezza

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La minima attività rilevabile per un radionuclide e per un particolare sistema di conteggio è quella che incrementa in maniera significativa i conteggi rispetto al conteggio di fondo.

In questo caso significativo vuol dire almeno3(3 √R/ t)

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Statistica

Un contatore a NaI(Tl) ha un conteggio di fondo di 200 cpm. La sua sensibilità per lo 131I è 106 cpm/Ci.

Qual’è la MAR, adoperando un tempo di conteggio di 4 minuti ?

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Statistica

La MAR è 3 √200/4 = 21 cpm

Perciò,MAR = 21 cpm / 106 cpm/Ci = 0.000002 Ci

In unità S.I. (1 Ci = 37 kBq) si ha 0.74 Bq, cioè meno di 1 cps.

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Statistica

La MAR è 3 √200/4 = 21 cpm

Perciò,MAR = 21 cpm / 106 cpm/Ci = 0.000002 Ci

In unità S.I. (1 Ci = 37 kBq) si ha 0.74 Bq, cioè meno di 1 cps.