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28/11/18
Misura della carica dell’elettrone con l’esperimento di Millikan
Nell’esperimento di Millikan una gocciolina d’olio elettricamente carica è soggetta all’azione di un campo elettrico uniforme presente fra le armature di un condensatore a facce piane e parallele. Il dispositivo utilizzato, mostrato nella Fig. 1, è formato da due piastre metalliche di forma circolare poste a una distanza d = (6.00 ± 0.05) mm, che vengono collegate a un generatore di d.d.p. esterno. Un nebulizzatore permette di spruzzare piccolissime gocce d’olio nello spazio fra le armature; un microscopio consente di osservare il movimento delle gocce, illuminate da una sorgente di luce inclusa nell’apparato, per determinarne i parametri del moto. La modalità di produzione delle gocce è tale che alcune di esse possiedono una carica elettrica, positiva o negativa: tali gocce risentono dell’azione del campo elettrico che è possibile generare fra le armature del condensatore.
Figura 1: fotografia del dispositivo utilizzato per la misura della carica dell'elettrone.
Nello schema mostrato in Fig. 2 sono illustrate le forze che agiscono su una gocciolina d’olio carica, in alcune situazioni che possono presentarsi in funzione del valore del campo elettrico presente.
Figura 2: schema delle forze che agiscono su una gocciolina d'olio carica, collocata in un campo elettrico uniforme.
Le forze agenti sono identificate dai vettori disegnati con colori diversi: sono presenti il peso (P), la forza elettrostatica (FE), la forza di Archimede (A) e la forza di attrito viscoso, descritta, per una sfera, dalla legge di Stokes (S).
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Nella situazione n. 1, che si può realizzare soltanto con un certo valore del campo elettrico, la gocciolina è ferma: il suo peso è esattamente bilanciato dalla somma della forza elettrostatica e della forza di Archimede (dato che la goccia si trova in aria). Nella situazione n. 2 il campo elettrico è stato spento: la goccia comincia a cadere e, dopo un tempo transitorio molto piccolo1 in cui si muove di moto accelerato, raggiunge una velocità di regime regolata dalla presenza di un’ulteriore forza, la forza di attrito viscoso (Stokes), diretta verso l’alto. Nella situazione n. 3 il campo elettrico è sufficientemente intenso per far sì che la goccia si muova verso l’alto. Anche in questo caso, dopo un brevissimo stato transitorio, si raggiunge una condizione “a regime” in cui la velocità è costante; adesso la forza di Stokes è diretta verso il basso.
Per ricavare la carica q depositata sulla gocciolina è necessario scrivere le equazioni del moto. Scegliendo un asse di riferimento verticale orientato verso l’alto, le varie forze possono essere scritte in questo modo:
𝑃 = −43𝜋𝑅!𝜌!𝑔 𝐹! = 𝑞𝐸 𝐴 =
43𝜋𝑅!𝜌!𝑔 𝑆 = 6𝜋η𝑅𝑣 oppure 𝑆 = −6𝜋η𝑅𝑣!
I simboli contenuti nelle equazioni hanno questo significato:
R raggio della gocciolina ρO densità dell’olio che forma la goccia (ρO=874 kg/m
3 a 20 °C) g accelerazione di gravità q carica della goccia E campo elettrico applicato ρA densità dell’aria (ρA =1.2 kg/m
3 a 20 °C) η viscosità dell’aria (η =1.82 10-‐5 Ns/m2 a 20 °C) v velocità della gocciolina d’olio in caduta libera vE velocità della gocciolina d’olio quando si muove sotto l’azione del campo elettrico.
La forza elettrostatica è diretta verso l’alto perché, per rendere la misura più facile, scegliamo solo le poche gocce che, in presenza del campo elettrico, si muovono “controcorrente” (cioè in verso opposto rispetto alla maggioranza delle gocce che cadono, perché scariche oppure dotate di carica di segno “sbagliato”). La forza di Stokes si oppone sempre al moto della goccia; pertanto, quando la goccia è in caduta libera è orientata verso l’alto, mentre è diretta verso il basso quando la goccia si muove sotto l’azione del campo elettrico.
Il raggio della goccia si ricava facilmente dallo schema delle forze illustrato nella situazione n. 2, imponendo che la somma delle forze che agiscono sulla gocciolina sia zero:
−43𝜋𝑅!𝜌!𝑔 +
43𝜋𝑅!𝜌!𝑔 + 6𝜋η𝑅𝑣 = 0
Con alcuni semplici passaggi si trova questa formula:
𝑅 =9η𝑣
2 𝜌! − 𝜌! 𝑔
1 Tenendo conto della densità dell’olio e dell’aria, della viscosità dell’aria e della dimensione tipica delle gocce (0.1–1 µm), si può calcolare che il tempo necessario a raggiungere la velocità di regime è inferiore al millisecondo. Per questo, si può assumere senza errore apprezzabile che il moto della goccia avvenga sempre a velocità costante.
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Invece, per ottenere la carica depositata sulla goccia ci sono due metodi possibili: il primo è basato sul confronto fra le situazioni n. 1 e n. 2, mentre il secondo prevede l’utilizzo delle situazioni n. 2 e n. 3.
PRIMO METODO
Dobbiamo trovare il valore del campo elettrico E che mantenga ferma una gocciolina e, successivamente, determinare la velocità di caduta di quella stessa gocciolina quando il campo elettrico viene spento. Poiché nelle situazioni n. 1 e n. 2 la forza diretta verso il basso è la stessa (P), possiamo uguagliare fra loro le forze che agiscono verso l’alto nei due casi:
𝑞𝐸 +43𝜋𝑅!𝜌!𝑔 = 6𝜋η𝑅𝑣 +
43𝜋𝑅!𝜌!𝑔
Semplificando i termini uguali si ottiene:
𝑞 =1𝐸∙ 6𝜋η𝑣 ∙ 𝑅
SECONDO METODO
Si confronta il moto di una gocciolina sotto l’azione del campo elettrico, che avviene con velocità vE , con il moto di caduta libera, in cui la velocità è v. Confrontando questa volta le situazioni n. 2 e n. 3 troviamo:
6𝜋η𝑅𝑣 = 𝑞𝐸 − 6𝜋η𝑅𝑣!
Sostituendo in questa equazione il valore di R già trovato, si ottiene questo valore di q:
𝑞 =1𝐸∙ 6 𝜋η 𝑣 + 𝑣! ∙ 𝑅
Sulla base delle prove fatte in laboratorio, possiamo dire che il secondo metodo funziona meglio, perché è difficile determinare esattamente la differenza di potenziale per cui la gocciolina è ferma.
Guardando nel microscopio, che inverte l’immagine, le gocce in caduta libera si muovono verso l’alto. L’oculare è munito di scala graduata (Fig. 3): l’ingrandimento è pari a 2, cioè ogni divisione grande corrisponde a 0.5 mm nella realtà. La velocità viene determinata misurando con un cronometro i tempi necessari alla gocciolina per coprire una distanza pari a n divisioni (n si sceglie di volta in volta, tenendo conto delle difficoltà dell’osservazione e dei tempi di percorrenza). Conviene scegliere gocce che si muovono in prossimità della scala graduata, per determinare le distanze percorse con un errore più piccolo.
All’oculare del microscopio può essere applicata una videocamera che trasferisce l’immagine su uno schermo per agevolare la misura dei tempi di spostamento. Con questo dispositivo è anche possibile capovolgere nuovamente l’immagine, in modo che le gocce che
Figura 3: scala graduata posta all’interno dell’oculare.
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cadono si muovano verso la parte bassa dello schermo, come è intuitivo aspettarsi.
Un grafico da noi ottenuto misurando con il secondo metodo la carica di una cinquantina di goccioline mostra la distribuzione riportata in Fig. 4.
Correzione di Cunningham
Abbiamo scritto che la forza di attrito viscoso è descritta dalla legge di Stokes: 𝑆 = −6𝜋η𝑅𝑣.
In questa formula si assume implicitamente che il fluido sia fermo e la sfera si muova con velocità v; per sferette di dimensioni confrontabili con il cammino libero medio delle molecole del fluido questa condizione non è soddisfatta. Per tenere conto di questo effetto, la formula di Stokes va ridefinita (correzione di Cunningham) in questo modo:
𝑆 = −6𝜋η𝑅𝑣
1 + 𝑏𝑅𝑝
= −6𝜋η𝑅𝑣
1 + 𝐴𝑅
dove b è una costante (risultati sperimentali danno 𝑏 = 80 µμm hPa per sferette che cadono in aria) e p è la pressione dell’aria; in condizioni standard di temperatura e pressione 𝐴 = 𝑏 𝑝 = 0.079 µμm.
Sostituendo questa nuova espressione della legge di Stokes nelle equazioni precedenti, si ha come risultato che la carica q della goccia, la cui espressione è scritta nella pagina precedente, va corretta in questo modo:
𝑞! =𝑞
1 + 𝐴𝑅
!
Nel nostro esperimento la correzione di Cunningham è essenziale per ottenere risultati accurati, poiché il raggio delle goccioline è minore o dell’ordine del micron.
Figura 4: distribuzione dei valori misurati.