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Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'
'
' 1'
Modelli'di'Variabili'Aleatorie'! Variabili'aleatorie'di'Bernoulli:'
" X 'è'di'Bernoulli'di'parametro' p ∈ 0,1( ) 'se'P X = 1( ) = p 'e'P X = 0( ) = 1− p .'" Proprietà:'
# E X( ) := 1·pX 1( ) + 0·pX 0( ) = p .'
# Var X( ) = E X 2( ) − E X( )2 'ma'siccome' X = X 2'$'
Var X( ) = E X( ) − E X( )2 = p − p2 = p 1− p( ) .'" Notazione:' X 'è'di'Bernoulli'di'parametro' p '⇔ ' X Be p( ) .'" Prove'di'Bernoulli:''
# esperimenti'casuali,'indipendenti,'binari'(ossia'che'hanno'solo'due'possibili'esiti'che'chiamo'
successo'e'fallimento).' p = P successo( ) .'# Faccio' n 'prove'di'Bernoulli'con'probabilità'di'successo' p ∈ 0,1( ) .'# Sia' X 'numero'di'successi'in'queste' n 'prove.' pX k( ) = P X = k( ) .'
# X = X1 + X2 + ...+ Xn '$' Xk =1 se k-esima prova è successo0 se è fallimento
⎧⎨⎩
.'
# E X( ) = E X1 + ...+ Xn( ) = E X1( ) + ...+ E Xn( ) = np .'# Var X( ) = Var X1 + ...+ Xn( ) = Var X1( )
p 1− p( )+ ...+Var Xn( ) = np 1− p( ) .'
# P X = k( ) = nk
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟pk 1− p( )n− k .'
• X 'è'binomiale'di'parametri' n, p ,' X Bi n, p( )( ) 'se'
P X = k( ) =nk
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟pk 1− p( )n− k , k ∈ 0,1,...,n{ }
0 altrimenti
⎧
⎨⎪
⎩⎪
.'
• Ricordiamo'che'il'coefficiente'binomiale'si'calcola'nk
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟:= n!k! n − k( )! .'
# X Bi n, p( ), Y Bi m, p( ) 'indipendenti:'• X Bi n, p( )⇔ X = X1 + ...+ Xn ,' Xk Be p( ) 'indipendenti.'• Y Bi m, p( )⇔ Y = Y1 + ...+Ym ,' Yk Be p( ) 'indipendenti.'• X +Y = X1 + ...+ Xn +Y1 + ...+Ym = 'somma'di' n + m .'Be p( ) 'indipendenti'⇒ '
X +Y Bi n + mi , p( ) .'" Utilizzo:'quando' X 'può'assumere'solo'i'valori' 0,1 '(successo'o'fallimento).'
'
! Densità'di'Poisson:'" Ci'sono'in'media'λ 'impurità'per'unità'di'lunghezza'= Ik =
1n.'
" X = 'numero'di'impurità'sul'segmento.'E X( ) = λ ,' Xk = 'numero'di'impurità'in' Ik Be p( ) .'
Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'
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' 2'
" X = X1 + ...+ Xn ,'E X( ) = E X1( ) + ...+ E Xn( ) = np .' X Bi n, λ
n⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .'
" P X = k( ) = nk
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
λn
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟k
1− λn
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟n− k
=n!
k! n − k( )!λ k
nk1− λ
n⎛⎝⎜
⎞⎠⎟n
con n→+∞=e−λ
1− λn
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−k
1
= '
=n n −1( )... n − k +1( )
nk→1
1− λn
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−k
→1
λ k
k!1− λ
n⎛⎝⎜
⎞⎠⎟n
→λ k
k!e−λ .'
" Definizione:' X 'è'una'variabile'aleatoria'di'Poisson'di'parametro'λ > 0 'se'
P X = k( ) =λ k
k!e−λ , k ∈ 0,1,2,...{ }
0 altrimenti
⎧⎨⎪
⎩⎪.'
" Legge'del'filo:'# La'variabile'aleatoria'di'Poisson'può'essere'utilizzata'come'approssimazione'di'una'binomiale'
di'parametri' n, p( ) 'quando'
n 1 prove di Bernoullip1 probabilità di successo
⎧⎨⎩
.'
# Poisson λ( ) ≅ Bi n, λn
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= Bi n, p( ) ≅ Poisson np( ) .'
" Proprietà:'# X Po(λ)⇒ E X( ) = Var X( ) = λ .'
# X Po λ( ),Y Po µ( )⇒ X +Y Po λ + µ( ) .'" Utilizzo:'è'un’ottima'approssimazione'di'una'binomiale'di'parametri' n, p( ) ,'quando'n 'è'molto'
grande'e' p 'molto'piccolo'ponendo'λ = np .'In'altri'termini,'il'totale'dei'“successi”'in'un'gran'
numero'n 'di'ripetizioni'indipendenti'di'un'esperimento'che'ha'una'piccola'probabilità'di'riuscita' p,'è'una'variabile'aleatoria'con'distribuzione'approssimativamente'di'Poisson,'con'media'λ = np .'
'
! Variabile'aleatoria'Geometrica:'" Successione'di'prove'di'Bernoulli'con' p = P successo( ) 'e' X = 'numero'di'prove'necessarie'per'
vedere'il'primo'successo.'
# P X = k( ) 'con' k ∈ 1,2,...{ } .'• P X = 1( ) = P I prova = "successo"( ) = p .'
• P X = 2( ) = P I prova = "insuccesso"II prova = "succeso"
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= p 1− p( ) .'
• P X = k( ) = p 1− p( )k−1 'perché'prima'del'successo'della' k Qesima'prova'ci'sono'stati'
k −1 'insuccessi.'
" Definizione:' X Geom p( ) 'se'P X = k( ) = p 1− p( )k−1 k ∈ 1,2,...{ }0 altrimenti
⎧⎨⎪
⎩⎪.'
" 1 = P X = k( )k∑ = p 1− p( )k−1
k=1
+∞
∑ ,'sia'q := 1− p⇔ p = 1− q 'con'0 < q < 1 '$' qk−1k=1
+∞
∑ =1
1− q'
$' qk=0
+∞
∑ =1
1− q.'
Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'
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' 3'
" mX t( ) = E etX⎡⎣ ⎤⎦ = etk 1− p( )k−1 pi=1
+∞
∑ = et k−1( ) 1− p( )k pk=0
+∞
∑ = pet et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦q
k
k=1
+∞
∑ = et 1− p( ) < 1
⇔ t < − ln 1− p( ) '
" pet et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦q
k
k=1
+∞
∑ = pet p1− et 1− p( ) =
pe− t − 1− p( ) .'Perché'è'una'serie'geometrica.'
" mX 0( ) = 1 .'
" ′mX t( ) = p e− t( )e− t − 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦
2 = mX t( ) e− t
e− t − 1− p( ) = mX t( ) 11− et 1− p( ) .'
# ′mX 0( ) = 1p= E X( ) .'
" ′′mX t( ) = ′mX t( ) 1− et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦ − −et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦1− et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦
2 .'
# ′′mX 0( ) =1pp +1− p
p2=2 − pp2
= E X 2( ) .'
# Var X( ) = E X 2( ) − E X( )2 = 2 − pp2
−1p2
=1− pp2
=1p2
−1p.'
" X Geom p( ) ,'P X > k( ) = P le prime k prove sono insuccessi( ) = 1− p( )... 1− p( )k volte
= 1− p( )k '
⇒ P X ≤ k( ) = 1− 1− p( )k .'" Proprietà'di'assenza'di'memoria:'
# P X > k + h | X > h( ) = P X > k( ) .'# Dimostrazione:'
• P X > k + h | X > h( ) = P X > k + h& X > h( )P X > h( ) =
P X > k + h( )P X > h( ) =
1− p( )k+h1− p( )h
= '
= 1− p( )k = P X > k( ) .'# P a < X ≤ b | X > h( ) = P a − h < X ≤ b − h( ) .'
" Utilizzo:'è'utile'quando'vogliamo'sapere'la'probabilità'che'la' k Qesima'ripetizione'sia'il'primo'
successo.'
'
! Variabile'aleatoria'ipergeometrica:'" Definizione:'una'variabile'aleatoria' X 'si'dice'ipergeometrica'di'parametri'N ,M 'e' n 'se'ha'massa'
di'probabilità'P X = i( ) =
Ni
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟Mn − i
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
N + Mn
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
'con' i = 0,1,...,n .'
" Utilizzo:'possiamo'capirlo'tramite'un'esempio.'Una'scatola'contiene'N 'batterie'accettabili'e'M '
difettose.'Si'estraggono'senza'rimessa'e'in'maniera'casuale' n 'batterie.'Denotiamo'con' X 'il'
numero'di'batterie'accettabili'contenute'nel'campione'estratto.'
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Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'
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' 4'
! Variabili'aleatoria'uniforme:'" Se'noi'prendessimo'un'segmento'lungo'1 'e'un'intervallo'che'va'da'a 'a'b 'ivi'contenuto,'se' x 'è'
scelto'casuale'significa'che'la'probabilità'che' x ∈ a,b[ ] 'dipende'soltanto'dalla'lunghezza'del'segmento'e'non'dalla'sua'posizione.'
" L’insieme'U 'è'uniforme'in' 0,1[ ] 'se'la'sua'densità'è' fU u( ) := 1 u ∈ 0,1[ ]0 altrimenti
⎧⎨⎪
⎩⎪.'
# P U ∈ u,u + du[ ]( ) = du 'con'u ∈ 0,1[ ] .'# P a <U ≤ b( ) = b − a .'# 0 < a < b < 1 'P a + h <U ≤ b + h( ) = b − a 'con' 0 < a + h < b + h < 1 .'
" Definizione'generale:'una'variabile'aleatoria'continua'si'dice'uniforme'sull’intervallo' α,β[ ] ,'se'ha'
funzione'di'densità'data'da' f x( ) =1
β −αse α ≤ x ≤ β
0 altrimenti
⎧
⎨⎪
⎩⎪
.'
" U U 0,1[ ] .'I'passi'successivi'quindi'sono'riferiti'ad'un'intervallo'ampio'1 .'
# E U( ) = uf u( )du−∞
+∞
∫ = udu0
1
∫ =u2
2 0,1
=12.'
# E U 2( ) = u2 f u( )du−∞
+∞
∫ = u2 du0
1
∫ =u3
3 0,1
=13⇒Var U( ) = 1
3−14=4 − 312
=112
.'
# U U 0,1[ ] ,'FU u( ) = fU x( )dx−∞
+∞
∫ =0x1
x < 00 ≤ x < 1x ≥ 1
⎧
⎨⎪
⎩⎪
.'
" b − a( )U + a = X 'con'b > a .'# U = 1 '$' b − a( )1+ a = b .'# U = 0 '$' b − a( )0 + a = a .'
" X ~U a,b[ ] ,' X = b − a( )U + a ,'U ~U 0,1[ ] .'" E X( ) = E b − a( )U + a⎡⎣ ⎤⎦ = b − a( )E U( ) + a = b − a
2+ a = a + b
2.'
" Var X( ) = Var b − a( )U + a⎡⎣ ⎤⎦ = b − a( )2Var U( ) = b − a( )212
.'
" FX x( ) = P X ≤ x( ) = P b − a( ),U + a ≤ x( ) = P U ≤x − ab − a
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= FU
x − ab − a
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .'
" ′FX x( ) = ddxFU
x − ab − a
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= ′FU
x − ab − a
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟1
b − a= fU
x − ab − a
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟1
b − a.'
" fX x( ) =1
b − a0
0 < x − ab − a
< 1
altrimenti
⎧
⎨⎪
⎩⎪
.'
# 0 < x − ab − a
< 1⇔ 0 < x − a < b − a⇔ a < x < b .'
Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'
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" FX x( ) = FUx − ab − a
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
0x − ab − a1
x < a
0 < x − ab − a
< 1⇔ a < x < b
x ≥ b
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
.'
" Utilizzo:'quando'la'variabile'aleatoria'ha'le'stesse'probabilità'di'cadere'vicino'a'un'qualunque'punto'dell’intervallo.'
'
! Variabili'aleatorie'normali'o'gaussiane:'
" Definizione:' z 'è'normale'standard'se'la'sua'densità' fZ z( ) := 12π
e−z2
2 .'
# fZ z( )dz = 1⇔ 2π = e−z2
2 dz−∞
+∞
∫−∞
+∞
∫ .'
# 12π
e−s2
2 ds−∞
z
∫ := Φ z( ) := P Z ≤ z( ) .'
# Φ −z( ) = 1− Φ z( ) .'
" mZ t( ) = E etZ⎡⎣ ⎤⎦ = etZ 12π
e−z2
2 dz−∞
+∞
∫ =12π
e−12z2 −2tz+ t2( )+ t
2
2 dz−∞
+∞
∫ =12π
et2
2 e−z− t( )22 dz
−∞
+∞
∫
sostituisco'u = z − t ,'du = dz '$'m z( ) = et2
2 12π
e−u2
2 du−∞
+∞
∫=1
= et2
2 .'
# mZ 0( ) = 1 .'
# ′mZ t( ) = tet2
2 = tmZ t( ) .'• ′mZ 0( ) = 0 .'
# ′′mZ t( ) = mZ t( ) + t ′mZ t( ) .'• ′′mZ 0( ) = mZ 0( ) + 0 = 1⇒ E Z( ) = 0 ,'E Z 2( ) = 1 = Var Z( ) .'
" Definizione:' X 'variabile'aleatoria'con'E X( ) = 0 ,'Var X( ) = 1⇒ X 'è'standard.'
" Definizione:' X 'variabile'aleatoria'è'normale'se:' X = aZ + b ,'a > 0 ,' b ∈ ,' Z 'è'normale'
standard.'Se' Z 'è'normale'standard'⇔ '−Z 'è'normale'standard.'
" Def:' X 'è'normale'con'media'µ 'e'varianza'σ 2' X ~ N µ,σ 2( )( ) 'se' X = σZ + µ ,' Z 'normale'
standard' Z ~ N 0,1( ) .'" X ~ N µ,σ 2( ) ,'Y = αX + β ∈N ,( ) 'con'a ≠ 0 .'
# Dimostrazione:' X ~ N µ,σ 2( )⇔ X = σZ + µ ,' Z ~ N 0,1( )⇒Y = αX + β = α σZ + µ( ) + β = ασ( )Z +αµ + β .'
# E Y( ) = E αX + β( ) = αE X( ) + β = αµ + β .'
# Var Y( ) = Var αX + β( ) = α 2Var X( ) .'" X ~ N µ,σ 2( ) ,'calcoliamo'la'funzione'di'ripartizione'e'densità.'
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' 6'
# Con' X = σZ + µ ,'FX x( ) = P X ≤ x( ) = P σZ + µ ≤ x( ) = P Z ≤x − µσ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= Φ
x − µσ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ '$'
FX = Φx − µσ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .'
# P a < X < b( ) = FX b( ) − FX a( ) 'per'le'variabili'aleatorie'continue.'
P a < X < b( ) = Φb − µσ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− Φ
a − µσ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .'
# fX x( ) = ′FX x( ) = ddx
Φx − µσ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= ′Φ
x − µσ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟1σ
= fZx − µσ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟1σ
=12π
e−12
x−µσ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ 1σ
=
=12πσ 2
e−x−µ( )2
2σ 2⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥.'
" X ~ N µ,σ 2( ) ,' X − µσ
~ N 0,1( ) .'
# E X − µσ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=E X( ) − µ
σ= 0 ,'Var
X − µσ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= V −
1σX −
µσ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=1σ 2 Var X( ) = 1 .'
" Teorema:' X1,X2 ,...,Xn 'normali'indipendenti'⇒ X1 + ...+ Xn 'è'normale.'
# Dimostrazione:' X ~ N µ,σ 2( ) .'mX t( ) = E etX( ) 'ma'siccome'è'normale'sappiamo'che'∃ 'X = σZ + µ ,' Z ~ N 0,1( ) .'
mX t( ) = E et σZ +µ( )⎡⎣ ⎤⎦ = E e tσ( )Zetµ⎡⎣ ⎤⎦ = etµE e tσ( )
′tz⎡
⎣⎢⎤⎦⎥= etµmZ tσ( ) = etµe
tσ( )22 = e
t2σ 2
2+ tµ
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥'$'
mX = et2σ 2
2+ tµ
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥.'
• mX1 + ...+Xn= mX1
t( )...mXnt( ) = exp t 2σ 2
1
2+ tµ1
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭...exp t 2σ 2
n
2+ tµn
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭=
exp t 2σ 2k
2+ tµk
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟k=1
n
∑⎧⎨⎩⎪
⎫⎬⎭⎪= exp t 2
2σ 2
kk=1
n
∑′σ( )2
+ t µkk=1
n
∑µ '
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= exp t 2
2′σ( )2 + t ′µ
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
⇒ X1 + ...+ Xn ~ N µkk=1
n
∑ , σ 2k
k=1
n
∑⎛⎝⎜
⎞⎠⎟.'
" Utilizzo:'questo'tipo'di'variabile'aleatoria'è'molto'importante'e'utilizzata'grazie'al'teorema'del'
limite'centrale'che'tratterremo'più'avanti.'
'
! Esponenziali:'" Def:' X 'è'esponenziale'di'parametro'λ > 0 ' X ~ € λ( )( ) 'se' fX x( ) = λe−λx x > 0
0 altrimenti⎧⎨⎩
.'
" FX x( ) = fX s( )ds−∞
x
∫ =0 x < 0
λe−λs ds0
x
∫ = −e−λs⎡⎣ ⎤⎦x
0= 1− e−λx x ≥ 0
⎧⎨⎪
⎩⎪.'
Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'
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' 7'
" Funzione'generatrice'dei'momenti:'
mX t( ) = E etX( ) = etx fX x( )dx
−∞
+∞
∫ = etxλe−λx ds0
+∞
∫ = λ e− λ− t( )λ '
x dx0
+∞
∫ 'con'λ > t '$'
=λ
λ − t( ) λ − t( )e− λ− t( )x dx0
+∞
∫=1
.'
# mX t( ) = λλ − t
.'
# m 'X t( ) = −λ −1( )λ − t( )2
=λ
λ − t( )2'$' ′mX 0( ) = 1
λ= E X( ) .'
# ′′mX t( ) = −λ λ − t( ) −1( )λ − t( )4
=2λ
λ − t( )3'$' ′′mX 0( ) = 2λ
λ 3=2λ2
= E X 2( ) .'
# Var X( ) = 2λ2
−1λ2
=1λ2
.'
" Assenza'di'memoria:'# X ~ € λ( )⇒ P X > t + s | X > t( ) = P X > s( ) .'
# Dimostrazione:'P X > t + s | X > t( ) = P X > t + s& X > t( )P X > t( ) =
P X > t + s( )P X > t( ) =
=1− FX t + s( )1− FX t( ) =
e−λ t+ s( )
e−λt= e−λs = P X > s( ) ,'ricorda'che'
P X > z( ) = e−λx ⇒ FX x( ) = 1− e−λx .'
" cX ~ € λc
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .'
'
! Variabili'aleatorie'di'tipo'Γ :'
" Definizione:' X 'è'Γ α,λ( ) 'se' fX X( ) =λα
Γ α( ) xα −1e−λx x > 0
0 altrimenti
⎧
⎨⎪
⎩⎪
.'
" Nota:'Γ α( ) 'serve'a'far'sì'che'la'densità'faccia'uno'in' −∞,+∞( ) :'
fX x( )dx−∞
+∞
∫ = 1 = λα
Γ α( ) xα −1e−λx dx0
+∞
∫ ⇒ Γ α( ) = λα xα −1e−λx dx0
+∞
∫ 'facciamo'il'cambiamento'
di'variabili' y = λx ,'dy = λdx '$'λα yλ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟α−1
e− y dyλ0
+∞
∫ =λα
λα yα −1e− y dy0
+∞
∫ = Γ α( ) .'
" Γ α( ) := xα −1e− x dx0
+∞
∫ .'
" Gamma'di'Eulero:'Γ 1( ) = e− x dx0
+∞
∫ = 1 .'
# Osservazione:'Γ 1,λ( ) = € λ( ) .'# Per'mezzo'dell’integrazione'per'parti:
Γ α( ) = yα −1e− y dy0
+∞
∫ = −e− yyα −1 +∞
0+ α −1( )y α −1( )−1e− y dy =
0
+∞
∫= a −1( ) y α −1( )−1e− y dy
0
+∞
∫ = α −1( )Γ α −1( ) '$'Γ α( ) = α −1( )Γ α −1( ) .'# Γ n( ) = n −1( )Γ n −1( ) = n −1( ) n − 2( )Γ n − 2( )....Γ 1( ) = n −1( )! .'
Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'
'
' 8'
" X ~ Γ a,λ( ) .'Funzione'generatrice'dei'momenti:'
#
E etX( ) = λα
Γ α( ) xα −1e−λxetx dx0
+∞
∫ =λα
Γ α( ) xα −1e− λ− t( )x dx0
+∞
∫ =λα
λ − t( )αλ − t( )αΓ α( ) xα −1e− λ− t( ) dx
0
+∞
∫=1
=
=λα
λ − t( )α.'
# mX t( ) = λλ − t
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟α
.'
• ′mX t( ) = α λλ − t
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟α −1 −λ −1( )
λ − t( )2⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥=
αλα
λ − t( )α +1 '$' ′mX 0( ) = αλ.'
• ′′mX t( ) = −αλα α +1( ) λ − t( )α 1( )
λ − t( )2α +2 '$' ′′mX 0( ) = α α +1( )λ2
.'
# E X( ) = αλ;'
# E X 2( ) = α α +1( )λ2
;'
# Var X( ) = α α +1( )λ2
−α 2
λ2=
αλ2
.'
" Proprietà:' X ~ Γ α,λ( ),Y ~ Γ β,λ( ) 'indipendenti'⇒ X +Y ~ Γ α + β,λ( ) .'
# Dimostrazione:'mX+Y t( ) = mX t( )mY t( ) = λλ − t
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟α λ
λ − t⎛⎝⎜
⎞⎠⎟β
=λ
λ − t⎛⎝⎜
⎞⎠⎟α +β
⇒ X +Y ~ Γ α + β,λ( ) .'# Utilità:'
• Capire' X,Y ~ € λ( ) 'indipendenti.'
♦ X ~ € λ( ) = Γ 1,λ( )Y ~ € λ( ) = Γ 1,λ( ) '$' X +Y ~ Γ 2,λ( ) .'
♦ In'generale:' X1,...,Xn ~ € λ( ) '$' X1 + X2 + ...+ Xn ~ Γ n,λ( ) .''
! Distribuzioni'ChiGquadro:'" Z1
2 + ...+ Zn2 ~ Γ n
2, 12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= χ 2 n( ) 'chiGquadro'con' n 'gradi'di'libertà.'
# X ~ χ 2 n( )⇔ X ~ Γ n2, 12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .'
# E X[ ] =n212
= n .'
# Var X( ) =n212
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2 = 2n .'
Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'
'
' 9'
# X ~ χ 2 n( ) ,' fX x( ) =1
2n2
1
Γ n2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟xn2−1e−x2 x > 0
0 altrimenti
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
.'
# X ~ χ 2 n( ),Y ~ χ 2 m( ) 'indipendenti'$'
X +Y = X12 + ...+ Xn
2 +Y 21 + ...+Ym
2 ⇒ X +Y ~ χ 2 n + m( ) .'" Se' X 'è'una'chiQquadro'con' n 'gradi'di'libertà'e'α 'è'un'reale'compreso'tra'0 'e'1 ,'si'definisce'la'
quantità' χ 2α ,n 'tramite'l’equazione'seguente:'P X ≥ χ 2
α ,n( ) = α .'
'
! Distribuzioni't:'" Se'Z 'e'Cn 'sono'variabili'aleatorie'indipendenti,'la'prima'normale'standard'e'la'seconda'chiQ
quadro'con' n 'gradi'di'libertà,'allora'la'variabile'aleatoria'Tn 'definita'come'Tn :=ZCn n
'si'dice'
avere'distribuzione' t 'con' n 'gradi'di'libertà'$'Tn ~ tn .'Tale'variabile'aleatorie'viene'definita'spesso' t 'di'Student.'
# fT t( ) =Γ n +1
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Γ n2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ nπ 1+ t
2
n⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
n+12
'con' t 'a' n 'gradi'di'libertà.'
# E Tn[ ] = 0 'con'n ≥ 2 .'# Var Tn( ) = n
n − 2'con' n ≥ 3 .'
" Se'Tn ~ tα ,n 'con'α ∈ 0,1( ) '$'P Tn ≥ tα ,n( ) = α .'
# T 'è'simmetrica'$'P Tn ≥ −tα ,n( ) = 1−α .'
'
! Teoremi'e'Teorie:'" Teoria'dell’affidabilità:'
# T = 'istante'di'rottura.'T > t ⇔ 'all’istante' t 'il'sistema'funziona.'
# P T > t( ) = 1− FT t( ) = 'funzione'di'sopravvivenza.'
# Def:'intensità'di'rischio'o'tasso'di'guasto.'λT t( ) := fT t( )1− FT t( ) .'
# P T ∈(t,t + dt] |T > t( ) = P T ∈(t,t + dt]&T > t( )
P T > t( ) =P T ∈(t,t + dt]( )
1− FT t( ) fT t( )dt1− FT t( ) = λT t( )dt
'
# T > 0 'λT t( )⇒ fT t( ) 'è'nota.'
# λT t( ) := fT t( )1− FT t( ) = −
ddtln 1− FT t( )( ) 'integrando'il'tutto'$'
λT s( )ds0
t
∫ = −ddsln 1− FT s( )( )ds
0
t
∫ = − ln 1− FT t( )( ) − ln 1− FT 0( )( )⎡⎣ ⎤⎦ ,'
Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'
'
' 10'
λT s( )ds
0
t
∫ = ln 1− FT 0( )( )=0
− ln 1− FT t( )( ) '⇒1− FT t( ) = e− λT s( )ds0
t
∫.'
FT t( ) = 1− exp − λT s( )ds0
t
∫{ } .'Ricorda'che:' fT t( ) = −ddt1− FT t( )( ) .'
# λT t( ) = λ ⇔ T ~ € λ( ) '$'FT t( ) = 1− exp − λ ds0
t
∫{ } = 1− e−λt .'# λT ⇒ P T > t + s |T > s( ) ≤ P T < t( ) ,'( 'significa'non'decrescente).'
• P T > t + s |T > s( ) = P T > t + s&T > s( )P T > s( ) =
P T > t + s( )P T > s( ) =
1− FT t + s( )1− FT s( ) =
=exp − λT u( )du
0
t+ s
∫{ }exp − λT u( )du
0
s
∫{ } = exp − λT u( )du0
t+ s
∫ − λT u( )du0
s
∫( ){ } = exp − λT u( )dus
t+ s
∫( ){ }'
• P T > t( ) = 1− FT t( ) = exp − λT u( )du0
t
∫{ } .'• Facendo'i'grafici'vediamo'che'P T > t + s |T > s( ) ≤ P T < t( ) 'effettivamente'è'vera.'
# T 'è'Weibull'⇔ λT t( ) = αβt β−1 .'" Teorema'del'limite'centrale:'
# X1,X2 ,... 'variabili'aleatorie'indipendenti,'tutte'con'la'stessa'formula'di'ripartizione,'
E X1( ) = E X2( ) = ... = µ ,'Var X1( ) = Var X2( ) = ... = σ 2.'
# 1n
Xkk=1
n
∑ = Xn 'media'campionaria.'
• E Xn( ) = µ .'
• Var Xn( ) = σ 2
n.'
• P Xn − µ > ε( ) →n→∞
0 '(legge'dei'grandi'numeri).'
• Var Xn − µ( ) = Var Xn( ) = σ 2
n.'
Xn µ ± k Var Xn( ) = µ ±
σn.'
# Xn − µ σ
n.'
# Teorema'limite'centrale:' X1,X2 ,.. 'variabili'aleatorie'indipendenti'con'la'stessa'formula'di'
ripartizione'E X1( ) = E X2( ) = ... = µ ,'Var X1( ) = Var X2( ) = ... = σ 2 ⇒Xn − µσ
n .'
limn→+∞
P Xn − µσ
n ≤ z⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= Φ z( ) = 1
2πe−u2
2 du−∞
z
∫ .'
#
Zn =Xn − µσn1
n ≈ N 0,1( ) .' Xn =Znσn
+ µ ,' Xn ≈ N µ,σ2
n⎛⎝⎜
⎞⎠⎟.'
Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'
'
' 11'
# nXn = n1n
Xkk=1
n
∑ = Xkk=1
n
∑ '$'
n Znσn
+ µ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= σ nZn
≈N 0,1( ) + nµ '$'E Xk
k=1
n
∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟= nµ ,'
Var Xkk=1
n
∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟= nσ 2
.'
V.A. di Bernoulli
Definizione: X è di Bernoulli ( X~Be(p) ) di parametro p ϵ(0,1) se : P(x=1) = p P(x=0) =1-p Proprietà: E(X) = p Var(X) = p(1-p) Utilizzo: quando ho UNA prova nella uqale ho a disposizione solo 2 risultati, p è la probabilità che il risultato ottenuto sia positivo. (es: estrarre una pallina da un’urna e controllare che sia del colore desiderato)
V.A. Binomiale Definizione: X è binomiale di parametri n,p ( X~Bi(n,p) ) se:
Proprietà: E(X) = np Var(X) = np(1-p) X,Y V.A. indipendenti X~Bi(n,p) , Y~Bi(m,p) => (X+Y)~Bi(n+m,p) Utilizzo: serve per calcolare la probabilità di avere k successi in n prove bernoulliane (es: estraendo n palline da un’urna SENZA REIMMISSIONE, calcolare la probabilità di averne k di un certo tipo)
Densità di Poisson Definizione: si utilizza quando n>>1 e p<<1 X~P(λ)
Proprietà:
per passare da Binomiale a Poisson: P(λ) = Bi(n,
) => Bi(n,p) = P(np)
E(X) = λ Var(X) = λ X,Y V.A. indipendenti X~P(λ) , Y~P(μ) => (X+Y) ~P(λ+μ) Utilizzo:
1. Gli eventi sono casuali nello spazio (tempo) continuo 2. Gli eventi hanno luogo singolarmente e sono esclusivi 3. Il numero di eventi che ha luogo in un dato intervallo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo ; 4. Gli eventi sono indipendenti 5. La variabile è il numero di eventi aventi luogo nell'intervallo considerato.
V.A. Geometrica Definizione: X~Geom(p) se:
Proprietà:
Utilizzo:
1. C'è una successione di prove; 2. Due possibili risultati (successo/insuccesso); 3. Le prove sono indipendenti; 4. La probabilità ad ogni prova rimane costante; 5. La variabile è il numero di prove necessarie per avere il primo successo
V.A. Ipergeometrica
Definizione: La distribuzione ipergeometrica I(N,M,n) descrive la variabile aleatoria X che conta, per n
elementi distinti estratti a caso (in modo equiprobabile) da un insieme A di cardinalità N, quanti sono nel
sottoinsieme B di cardinalità M. In termini più concreti descrive, data un'urna contenente M palline bianche
e N-M palline nere, il numero di palline bianche che vengono ottenute estraendo senza reinserimento n
palline.
Proprietà:
Utilizzo: serve per calcolare la probabilità di avere k successi in n prove (es: estraendo n palline da un’urna CON REIMMISSIONE, calcolare la probabilità di averne k di un certo tipo)
DISTRIBUZIONE
Definizione: La distribuzione χ2(k) descrive la variabile aleatoria
,
dove X1,...,Xk sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione normale standard . Il parametro k è detto numero di gradi di libertà.
Proprietà: Utilizzo: In statistica la distribuzione χ2 viene utilizzata per condurre il test di verifica d'ipotesi χ2 e per stimare una varianza