Modelli meccanicistici:il serbatoio

Andrea CastellettiPolitecnico di Milano

MCSA 07/08MCSA 07/08L08L08

2

Lo sbarramento di Itaipu sul Parana

Sfioratore in azione

Corpo diga

Condotte forzate e sala macchina

3

La diga dell Tre Gole (Cina)

4

Localizzazione tipica

Clan canyon damColorado river

5

condotta adduttrice

Sezione trasversale di un serbatoio

diga di sbarramento

livello del pelo libero

invaso

opera di presa a torre

bocche di derivazione

quota minima di derivazione

sfioratore superficiale

quota di massimo invaso scarico

di fondo

6

Scaricatori superficiali in funzione

7

Scaricatore di fondo in funzione

Loch Lagghan damScozia

8

Sbarramento: componenti

Sfioratore superficiale Condotta forzata

9

Dispositivi di regolazione

Paratoie: a) a ventola b) verticale c) radiale

10

I serbatoi idroelettrici sono spesso interconnessi in gruppi

Planimetria generale e profilo schematico del sistema Piave - S.Croce

Gruppi di serbatoi Sistema Piave - S.Croce

11

Caratteristiche di un serbatoio

• dal volume utile di regolazione;

• dalla scala di deflusso complessiva degli sfioratori;

• dalla scala di deflusso dell’opera di presa.

Dal punto di vista gestionale un serbatoio è caratterizzato:

12

Scala di deflusso: sfioratore a calice

13

Rete causale

1ts 1t

r tu

1th

ts

1ta

st = volume invasato all’istante t

at+1 = volume di afflusso in [t ,t+1)

rt+1 = volume effettivamente erogato in [t , t+1)

14

Rete causale

tS

1tE1te

1ts 1t

a 1tr t

u

1th

ts

Cosa manca ?

- l’evaporazione

- r dipende da a ed e

15

Modello meccanicistico

tS

1tE1te

1ts 1t

a 1tr t

u

1th

ts

Cosa manca alla rete?

- l’evaporazione

- r dipende da a ed e

tt sSS superficie

16

Modello meccanicistico

1ts 1t

a 1tr t

u

1th

ts

tS

1tE1te

tt sSS superficie

ttt sSeE 11 evaporazione

17

Modello meccanicistico

1ts 1t

a 1tr t

u

1th

ts

tS

1tE1te

ttt sSeE 11 evaporazione

tt sSS superficie

1111 ttttt rEassinvaso

18

Modello meccanicistico

1ts 1t

a 1tr t

u

1th

ts

tS

1tE1te

ttt sSeE 11 evaporazione

tt sSS superficie

1111 ttttt rEassinvaso

tt shh livello

19

Modello meccanicistico

1ts 1t

a 1tr t

u

1th

ts

tS

1tE1te

ttt sSeE 11 evaporazione

tt sSS superficie

1111 ttttt rEassinvaso

tt shh livello

111 ,,, tttttt EausRrrilascio

11111 ,,, tttttttttt eausRsSeass

20

Equazione di bilancio

Sean ttt 111 afflusso netto

11111 ,,, tttttttttt eausRsSeassbilancio

111 ,, ttttttt nusRnssbilancio

111 ,, ttttttt nusRssnstimatore degli afflussi netti

Semplificazione: invaso cilindrico S(st) = S

Vantaggio

Attenzione Se usato quando l’invaso non è cilindrico si commette errore

21

Relazione invaso - livello

L’inversa di h(.) consente di determinare il valore dell’invaso misurando il livello: l’unica misura effettivamente eseguibile.

Esiste una relazione biunivoca tra il livello misurato in un punto e l’invaso.

tt shh Ipotesi implicita:

lo specchio liquido è in ogni istante orizzontale.

Ad esempio: nel caso di invaso cilindrico

costante arbitraria

Un invaso negativo esprime il volume mancante per portare lo specchio liquido al livello cui corrisponde invaso nullo.

infh s s S

infshSs

tt shh

22

Relazione invaso – livello

tt shh

Invaso non cilindrico

1. batimetria del serbatoio (DEM)

L’identificazione di h(.) segue vie diverse, a seconda che sia nota:calcolo numerico per puntiinterpolazione tt sh ,2. serie storica

Esiste una relazione biunivoca tra il livello misurato in un punto e l’invaso.

Ipotesi implicita:

lo specchio liquido è in ogni istante orizzontale.

tt shh

L’inversa di h(.) consente di determinare il valore dell’invaso misurando il livello : l’unica misura effettivamente eseguibile.

23

Ricostruzione della relazione tra quote ed invasi per il serbatoio di Campotosto

60,000

80,000

100,000

120,000

140,000

160,000

180,000

200,000

220,000

1304 1306 1308 1310 1312 1314 1316 1318Quote [m.s.l.m.]

Inva

si [

103 m

3]

Serie storiche Quote-Invasi

Retta di regressione

24

Ricostruzione della relazione Quote - Invasi per il serbatoio di Piaganini

0

100

200

300

400

500

600

700

800

387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397Quote [m.s.l.m.]

Inva

si [

103 m

3]

Serie storiche Quote-Invasi

25

Ricalibrazione della relazione Quote-Invasi per il serbatoio di Piaganini

0

100

200

300

400

500

600

700

800

387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397Quota [m.s.l.m.]

Inva

so [

103 m

3]

Dati dal 1988 al 1992

Dati dal 1993 al 2001

Dati del Febbraio 19933 Febbraio '93

26

Relazione invaso - superficie t tS S s

Si determina con le medesime tecniche.

27

Modello tempo-continuo del serbatoio

( ) , , ,ds t

a t i t s t e t S s t r t s t p tdt

s(t) = volume invasato all’istante t [m3]

a(t) = portata di afflusso all’istante t [m3/s]

e(t) = evaporazione per unità di superficie all’istante t [m/s]

i(t,s(t)) = infiltrazione [m3/s]

S(s(t)) = area dello specchio liquido [m2] r(t,s(t),p(t)) = rilascio quando l’apertura delle paratoie è p [m3/s]

28

dipende dalle scale di deflusso e dalla posizione p

degli organi di scarico

dipende dalle scale di deflusso e dalla posizione p

degli organi di scarico

( ) , , ,ds t

a t i t s t e t S s t r t s t p tdt

Semplificazioni

Invaso cilindrico n(t) = a(t)-e(t)S afflusso netto

i = 0 quasi sempre vera, perlomeno in serbatoi artificiali

n(t)

29

Scale di deflusso istantanee

• s min , s max : limiti fascia di regolazione• s* : invaso corrispondente alla quota dello sfioratore

s min s max s*

sfioratore

paratoie aperte

massimo rilascio

minimo rilascio

s(t)

è limitato

min,norN

maxN

max,norN

minN

max, massimo rilascio nel rispetto della normanorN min, minimo rilascio nel rispetto della normanorN

( )r t

30

Scale di deflusso di Campotosto

port

ata

[m3/s

]

invaso [m3]

N max (•)

N min (•)

~

~

31

Un modello per la gestione

Il modello tempo-continuo non serve per la gestione, perché:• le decisioni si assumono in istanti temporali discreti• non sempre possediamo dati tempo-continui

discretizzare

32

st+1 = st +nt+1 -rt+1

nt+1 = volume di afflusso netto in [t ,t+1)

+nt+1

Modello discreto del serbatoio

t t +1

nt+1= volume di afflusso netto in [t , t+1)

nt+1

lo supporremodistribuito uniformemente

st = volume invasato all’istante t

st

rt+1 = volume effettivamente erogato in [t , t+1)

-rt+1

( )n t

33

La funzione di rilascio

rt+1 = Rt (st ,nt+1 ,ut)

1

1max,, ,t t t

tnor

t

V s n N s d

Massimo volume erogabile in [t , t+1)

1

1min,, ,t t t

tnor

t

v s n N s d

Minimo volume erogabile in [t , t+1)

rt+1

nt+1

ut

ut

rt+1fissato st e ut

fissato st, nt+1

Vt

vt

45°

decisione di rilascio

con

min,( ) ( ) ( , ( ))

( ) [ , 1)

n r

t

os n s

s t s t t

N

      

max,( ) ( ) ( , ( ))

( ) [ , 1)

nor

t

s n s

s t s t t

N

con

34

Minimo e massimo rilascio di Campotosto

n = 50 m3/s

n = 0 m3/s

35

Insieme dei controlli ammissibili U(st)

controlli ammissibili

U(st)

dipendono dall’afflusso!

1 1min( ) : ( , ) ( ma, x )t t tt tt t t t tU n ns u v s u V s 1 1min( ) : ( , ) ( ma, x )t t tt tt t t t tU n ns u v s u V s

36

Insieme dei controlli ammissibili U(st)

ut

fissato st

Vt (st,min{nt+1})

vt(st,min{nt+1})

rt+1

45°

Vt (st,max{nt+1})

vt(st,max{nt+1})

U(st)

37

Commenti

Se nt+1 noto

Forme alternative dell’equazione di continuità

rt+1 = ut

1 1

1

t t

t t

n rh h

S S

ht = livello all’istante t rt+1 = Rt(st ,nt+1 ,ut) = Rt (ht ,nt+1 ,ut) rilascio effettivo in [t , t +1)

1 1 1t t t th h n r nt+1= afflusso netto espresso in livello

rt+1= rilascio effettivo espresso in livello

vt(st ,nt+1) rt+1 Vt(st ,nt+1)

vt(st ,nt+1) ut Vt(st ,n t+1)

vincolo ridondante incluso in Rt(•)

NO rilasci di interesse)( ttt sUu

38

CONCLUSIONE

1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

( , , , )

( , , , )

( )

t t t t t t t t t t

t t t t t t

t t

t t

t t t

t t

s s a e S s R s u a e

r R s u a e

h h s

S S s

E e S s

u U s

Modello di un serbatoio in esercizio

uscite

controlli ammissibili

transizione di stato

39

CONCLUSIONE

1 1 1 11

1 1 1

1 1

( , , , , ) se

0 se

( , , , , )

( , )

>0

=0t t t t t t t t t

t

t t t t t t

t t

t t

t

p p

p

p

t t

tp

p

t

p

u u

u

u

u

u

s a e S s R s u a es

r R s u a e

h h s

S S s

E e S s

u U s

U

Modello di un serbatoio in progetto

1 1( , , , , )t t t tp

tR u a es u

40

Leggere

MODSS Cap. 5

VERBANO Cap. 6

41

Il passo temporale

La maggior parte delle variabili (livelli, disturbi, afflussi, ...) varia

nel tempo con continuità.

Solo le decisioni di gestione (i controlli) vengono assunte in istanti discreti (reti irrigue, centrali idroelettriche, ...).

L’intervallo di tempo che intercorre tra una decisione e la successiva è detto passo decisionale.

Si potrebbe credere che la sua durata dipenda dalla rapidità con cui varia lo stato del sistema, ma in realtà non è così!

o è uniforme o è periodico.

Il passo decisionale deve essere uguale al passo di modellizzazione.

42

Il passo temporale

Due opposte esigenze:

Come fissare la durata del passo temporale?

1. abbastanza breve da permettere il tempestivo adeguamento

della decisione alle variazioni del sistema.

2. abbastanza lungo da consentire che tutti i fenomeni fisici ed

economici che la decisione influenza si adattino a essa.

La decisione non si cambia in tempo nullo e comporta dei costi.

Rappresentabilità del sistema fisico

Accettabilità sociale della alternativa

43

Il passo temporale

Quando il sistema è già in esercizio

il passo temporale esistente è quasi sicuramente un buon compromesso tra le due esigenze; se così non fosse il regolatore farebbe fatica a gestire il sistema.

Quando il sistema è realizzato ex-novo è necessario considerare:

- i vincoli imposti dalla dinamica del sistema

- la frequenza con cui sono misurate le variabili idrologiche

- le esigenze di stabilità dei Portatori d’interesse

44

Il passo temporale

Quando assumere un passo temporale periodico?quando il passo che si vorrebbe adottare non è un sottomultiplo del periodo T del sistema.

Esempio: T = anno

= giorno: è un sottomultiplo, il passo può essere costante

= settimana: non è un sottomultiplo, passo non costante

Porre t uguale a 7 giorni per le prime 52 settimane e

a 1 o 2 giorni alla fine dell’anno

45

= decade: non è un sottomultiplo, passo non costante

Definire t uguale a 10 giorni, in corrispondenza del primo e dell’undicesimo giorno del mese, e di durata pari alla

restante parte del mese in corrispondenza del ventunesimo.

= mese: il passo è naturalmente periodico

Il passo temporale

46

Il passo temporale: due difficoltà

Spesso periodicità diverse agiscono sullo stesso sistema.

Esempio 1

In un distretto irriguo l’eliofania ha periodicità annuale, mentre le attività agricole settimanale.

Esempio 2

In un impianto idroelettrico la domanda ha una componente periodica annuale, a causa della temperatura, e una settimanale, a causa della distribuzione delle attività antropiche.

L’anno non è periodico per la presenza degli anni bisestili.

47

Soluzione: tempo naturale e antropico

Si definisce un ANNO STANDARD anno non-bisestile che inizia di lunedì

Al giorno corrente si associano due indici:

Tempo naturale: il numero ordinale che lo contraddistingue a partire dal primo giorno dell’anno corrente (giorno 0)

Tempo antropico: il tempo naturale del giorno più vicino nell’anno standard che ha lo stesso nome (Lunedì, Martedì, ...) del giorno corrente.

48

Un esempio

ANNO STANDARD

lunedì domenicasabatovenerdìgiovedìmercoledìmartedì

0 654321

domenicasabatovenerdìgiovedì

1gen04 4gen043gen042gen040 1 2 3 tempo naturale

3 4 5 6 tempo antropico3

49

MODSS Par. 4.8 e pag. 241

Leggere

50

Laghi in regime naturaleh

e

s

a r

hmin

n t a t e t

r

s

(s - smin)

0 se ssmin

N(s) =

s t n t r t

N(s(t))

afflusso netto o efficace

scala di deflusso( ) ( ( ))r t N s t

smin

51

min min

1 +

s s s s e n

t

e d

t

s t n t N s t (s - smin)

Nota: s(t+1) dipende da s(t) solo se = .

T è detta costante di tempo del serbatoio.

Linearizzazione e costante di tempo

r

ssmin

t t+1

Sistema lineare a tempo continuo

( )s t As t Bn t

0

(0) t

A tAts t e s n e d

Formula di Lagrange

52

min min

1 +

s s s s e n

t

e d

t

s t n t N s t (s - smin)

Nota: s(t+1) dipende da s(t) solo se = .

T è detta costante di tempo del serbatoio.

Linearizzazione e costante di tempo

r

ssmin

t t+1

Significato di T

Ponendo =T=1/ si ottiene

T è il tempo impiegato dall’invaso per portarsi a circa 1/3 del suo valore iniziale.

1min min1s t s s t s e

min min

1 +

s s s s e n

t

e d

t

53

min min

1 +

s s s s e n

t

e d

t

s t n t N s t (s - smin)

Nota: s(t+1) dipende da s(t) solo se = .

T è detta costante di tempo del serbatoio.

Linearizzazione e costante di tempo

r

ssmin

t t+1

Una buona modellizzazione richiede Teorema di Shannon o del campionamento

Una buona modellizzazione richiede Teorema di Shannon o del campionamento

54

LAGO S T=

[km2] [giorni]

Maggiore 212.0 7.4Lugano 48.9 8.7Varese 15.0 34.7Alserio 1.5 8.0Pusiano 5.2 15.0Como 146.0 7.7Iseo 61.0 7.8Garda 370.0 86.6

Il passo temporale di modellizzazione dei laghi con T = 8è di circa 1 giorno.

Sono tutti laghi con bacini imbriferi piccoli rispetto alla superficie del lago.

La loro bocca non ha ancora raggiunto la condizione di equilibrio.

Per la maggior parte dei laghi T è di circa 8 giorni.

Costanti di tempo dei laghi lombardi

55

dB1/T

• Le ampiezze di onde entranti con frequenza minore di 1/T non vengono attenuate.

Es.: onde di piena da scioglimento nivale.

• Onde con frequenza maggiore di 1/T vengono attenuate.

Es.: onde di piena prodotte da temporali.

Diagramma di Bode

Laminazione ossia smorzamento

56

Il passo temporale dipende dallo stato

Il modello non è lineare: T non definita.

Sarebbe quindi opportuno avere modelli con passo variante con s, ma gli algoritmi oggi disponibili non lo permettono

Unica possibilità: utilizzare modelli con diversi in momenti diversi

varia con s

T varia con il punto s in cui si linearizza

Linearizzare il sistema

Per la rappresentabilità del sistema fisico:

0,1* T

57

r

h

Confronto tra due laghi

min

nh h

2 >1 12h h

12h t h t

livello medio

2

2

1

10 0h h

.

min n t

h h hS S

1) ( )

2) 0

n t n.h

hmax

h

t

58

Comunità rivierasca

*

minmax 0t

n Ph t h h

S

Utenti di valle *

t

TPr t n e

S

più soddisfatta dal lago 2 ( T piccolo )

più soddisfatti dal lago 1 ( T grande )

Confronto tra i due laghi soggetti a una piena impulsiva

CONFLITTOCONFLITTOh

t

r

t

*

min 0t

Tn Ph t h e t

S

livello mediolivello medio*

min

nh

*

min

nh

risposta a una piena impulsivarisposta a una piena impulsiva

t

TPe

S

t

TPe

S

n

t

n*

P

59

Comunita’ rivierasche grande

Utenze di valle piccolo

Quale compromesso?

Lago naturale Lago regolato

Scale di deflusso diverse in tempi

diversi

Scala in regime libero

Scala naturale

Scale per diverse posizioni delle paratoie

r

h

Regolazione del lago

60

Utenti di valle

Mesi

t

t

Rivieraschi

h(t)

r

Regolazione del lago

t

t