Post on 02-May-2015
transcript
Moto uniformemente accelerato
http://cosmo.fisica.unimi.it/didattica/corsi/fisica-generale-con-elementi-di-fisica-tecnica/fisica-generale-fisica-tecnica-20142015/
Mailing list Aniello.Mennella@mi.infn.it
Nella maggioranza dei moti la velocità non è costante
Nell’esempio le macchine partono da ferme, quindi con velocita nulla.La velocità nella prima fase del moto aumenta da zero ad un valore massimo.Poi si attesta attorno al valore di crociera.Alla fine diminuisce fino a tornare a zero.
0 100 200 300 400 5000
20
40
60
80
100
v(m/s)
t(s)
0 100 200 300 400 5000
20
40
60
80
100
v(m/s)
t(s)
Moto rettilineo uniforme Moto vario
vmedia=100/9,69=10,3199 m/s
Riprendiamo l’esempio di Usain Bolt. Qui siamo a Pechino
100 m in 9.69 s
t(s) s(m)
0,17 0,2
1,85 10
2,87 20
3,78 30
4,65 40
5,50 50
6,32 60
7,14 70
7,96 80
8,79 90
9,69 100
Passaggi ogni 10 m. vmedia=10,3199 m/s
Dt(s) Ds(m)
0,17 0,2
1,68 10
1,02 10
0,91 10
0,87 10
0,85 10
0,82 10
0,82 10
0,82 10
0,83 10
0,9 10
t(s) v(m/s)
0,17 1,17
1,85 5,95
2,87 9,8
3,78 10,98
4,65 11,49
5,50 11,76
6,32 12,19
7,14 12,19
7,96 12,19
8,79 12,04
9,69 11,11
0 2 4 6 8 10
0
20
40
60
80
100
s(m)
t(s)
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
12
14
v(m/s)
t(s)
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
12
14
v(m/s)
t(s)
Moto rettilineo uniforme (quasi)
Moto rettilineo uniformementeaccelerato
Accelerazione
a =Dv
Dt
Le dimensioni dell’accelerazione sono:
velocità
tempo
spazio
tempo2=
E si misura in m/s2
Legge della velocità
0 100 200 300 400 5000
20
40
60
80
100
v(m/s)
t(s)0 100 200 300 400 500
0
20
40
60
80
100
v(m/s)
t(s)
Moto uniforme Moto uniformemente accelerato
v=costante v=v0+at
Se l’accelerazione è costante il moto è detto uniformemente accelerato.
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100
v(m/s)
t(s)
Dsi=viDtiPer un intervallo di tempo Dti molto corto:
Per tanti intervalli di tempo Dti : Ds=SviDti
Per un intervallo di tempo Dt lungo a piacere: Ds=vDt/2
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100
v(m/s)
t(s)
v
Di
t
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100
v(m/s)
t(s)
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100
v(m/s)
t(s)
v
Dt
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100
v(m/s)
t(s)
Per un intervallo di tempo Dt lungo a piacere: Ds=vDt/2
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100
v(m/s)
t(s)
v
Di
t
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100
v(m/s)
t(s)
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100
v(m/s)
t(s)
v
DtΔtv
2
1Δs Δtta
2
1Δs 2ta
2
1Δs In generale:
200 at
2
1tvss
Per chi si ricordi che cosa sono derivate e integrali:
dt
dva
2
2
dt
xd
adtv vdtx
Se il moto è uniformemente accelerato, a = cost:
adtv dta ta vdtx atdt tdta 2at
2
1
Legge oraria
0 100 200 300 400 5000
20
40
60
80
100
s(m)
t(s)0 100 200 300 400 500
0
20
40
60
80
100
s(m)
t(s)
200 at
2
1tvss
Moto uniformemente accelerato
vtss 0
Moto uniforme
0 100 200 300 400 5000
20
40
60
80
100
s(m)
t(s)0 100 200 300 400 500
0
20
40
60
80
100
s(m)
t(s)
S0=0V0=0
2at2
1s
V0=0
20 at
2
1ss
Una formula utile: il legame tra spostamento e velocità
v=v0+at
200 at
2
1tvss
v-v0=at t=(v-v0)/a
200 at
2
1tvss
2
200
00 a
)v(va
2
1
a
)v(vvss
a
)v(v
2
1
a
)v(vv
200
0
))v(v2
1(v
a
)v(vss 00
00
)v(v
2
1
a
)v(v0
0
a
)v(v
2
1 20
2
Tutti i corpi, che non siano trattenuti,
cadono verso terra con accelerazione
costante g=9.8 m/s2.
L’aria trattiene il corpo e frena il moto
in modo diverso a seconda della forma
del corpo
Caduta libera nel vuoto.
Caduta libera nel vuoto
Di solito si posiziona l’asse z con l’origine a terra.
z=0
asse z
Il corpo quindi ha una posizione iniziale non nulla:
z0=h
h
g
La componente dell’accelerazione lungo l’asse z è
Negativa -g
Nella caduta libera la velocità iniziale è nulla:
v0=0
z=0
asse z
h
g
Legge della velocità
Dv
Dta= = -g
v-v0
t-t0
= -gv0=0
t0=0
v=-gt
z=0
asse z
h
gLegge oraria
v0=0
t0=0
v=-gt
z0=hz=z0- gt21
2
200 at
2
1tvzz
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100
s(m)
t(s)0 2 4 6 8 10
-100
-80
-60
-40
-20
0
v(m/s)
t(s)
v=-gt z=z0- gt212
Esercizio 1
Quanto ci mette un corpo a cadere da
1m
10m
100m
1km
z=z0- gt212 z0
z=0
0=z0- gt212
z0= gt212
g
zt 02 2
g
zt 02
8.9
2t
st 45.0
Esercizio 1
Quanto ci mette un corpo a cadere da
1m
10m
100m
1km
z=z0- gt212
z0
z=0
0=z0- gt212
z0= gt212
g
zt 02 2
g
zt 02
8.9
102xt
st 42.1
Esercizio 1
Quanto ci mette un corpo a cadere da
1m
10m
100m
1km
z=z0- gt212
z0
z=0
0=z0- gt212
z0= gt212
g
zt 02 2
g
zt 02
8.9
1002xt
st 51.4
Esercizio 1
Quanto ci mette un corpo a cadere da
1m
10m
100m
1km
z=z0- gt212
z0
z=0
0=z0- gt212
z0= gt212
g
zt 02 2
g
zt 02
8.9
10002xt
st 28.14
La formula che abbiamo usato:
g
z2t 0
vale in generale nella caduta libera.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
t(s)
z0(m)
Z0(m) t(s)
1 0.4510 1.42100 4.511000 14.28
Esercizio 2
Una persona, su un grattacielo alto 100 m, lancia una palla verso l’alto con una velocità di 20 m/s. Denominando i punti del moto come in figura, calcolare:
A
B
C
D
E
1) Tempo di arrivo e posizione in B2) Tempo d’arrivo e velocità in C3) Se passa da D dopo 6 secondi, po- sizione e velocità in D4) Tempo di arrivo e velocità in E5) Velocità media del moto.
Esercizio 2
zA=100m, posizione iniziale
vA=20 m/s, velocità iniziale. A
B
C
D
E
v=vA-gtz=zA+vAt-1/2 gt2
0 2 4 6 8-80
-60
-40
-20
0
20
v(m/s)
t(s)
0 2 4 6 80
20
40
60
80
100
120
s(m)
t(s)
Esercizio 2
zA=100m
vA=20 m/s. Questa è la velocità iniziale.
Chiamo tB il tempo di arrivo in B.
A
B
C
D
E
1) Tempo di arrivo e posizione in B
Dato che il corpo in B si ferma e torna indietro, in quel punto la sua velocità è nulla, vB=0.
v=vA-gt
vB=vA-gtB=0 tB=vA/g
A
B
C
D
E
1) Tempo di arrivo e posizione in B
0 2 4 6 8-80
-60
-40
-20
0
20
v(m/s)
t(s)
0 2 4 6 80
20
40
60
80
100
120
s(m)
t(s)
tB=vA/g tB=20/9.8 s = 2.04s
BB
z=zA+vAt-1/2 gt2
zB=zA+vAtB-1/2 gtB2zB=100+vAtB-1/2 gtB
2zB=100+20tB-1/2 9.8tB2
zB=100+20x2.04-1/2 9.8x2.042zB=120.4 m
A
B
C
D
E
2) Tempo di arrivo e velocità in C
0 2 4 6 8-80
-60
-40
-20
0
20
v(m/s)
t(s)
0 2 4 6 80
20
40
60
80
100
120
s(m)
t(s)
C
z=zA+vAt-1/2 gt2
0=20tC-1/2 9.8tC2
zC=zA+vAtC-1/2 gtC2
In C si ha che zC=zA
C
tC(20-1/2 9.8tC)=0
A
B
C
D
E
2) Tempo di arrivo e velocità in C
0 2 4 6 8-80
-60
-40
-20
0
20
v(m/s)
t(s)
0 2 4 6 80
20
40
60
80
100
120
s(m)
t(s)
C
0=20tC-1/2 9.8tC2
C
tC(20-1/2 9.8tC)=0
tC=0
(20-1/2 9.8tC)=0
1/2 9.8tC=20 tC=20x2/9.8 =4.08 s
A
B
C
D
E
2) Tempo di arrivo e velocità in C
0 2 4 6 8-80
-60
-40
-20
0
20
v(m/s)
t(s)
0 2 4 6 80
20
40
60
80
100
120
s(m)
t(s)
CC
tC=4.08 s
vC=vA-gtC =20-9.8x4.08
v=vA-gt
=20-40 =-20 m/s
0 2 4 6 80
20
40
60
80
100
120
s(m)
t(s)
A
B
C
D
E
3) Posizione e velocità in D
0 2 4 6 8-80
-60
-40
-20
0
20
v(m/s)
t(s)
D D
tD=6 svD=vA-gtD =20-9.8x6
v=vA-gt=20-58.8=-38.8 m/s
z=zA+vAt-1/2 gt2 zD=zA+vAtD-1/2 gtD2
zD=100+20x6-1/2 9.8x62=100+120-176.4 =43.6m
0 2 4 6 80
20
40
60
80
100
120
s(m)
t(s)
A
B
C
D
E
4) Tempo d’arrivo e velocità in E
0 2 4 6 8-80
-60
-40
-20
0
20
v(m/s)
t(s)
E
E
zE=0 v=vA-gt z=zA+vAt-1/2 gt2
zE=zA+vAtE-1/2 gtE2 0=100+20tE-1/2 9.8xtE
2
4.9xtE2-20tE-100=0
8.9
9.4100440020 xxtE
8.9
58.4820
8.9
58.4820 s99.6
0 2 4 6 80
20
40
60
80
100
120
s(m)
t(s)
A
B
C
D
E
4) Tempo d’arrivo e velocità in E
0 2 4 6 8-80
-60
-40
-20
0
20
v(m/s)
t(s)
E
E
zE=0 v=vA-gt stE 99.6
vE=vA-gtE vE=20-9.8x6.99 =20-68.5
=-48.5 m/s
A
B
C
D
E
5) Velocità media
0 2 4 6 8-80
-60
-40
-20
0
20
v(m/s)
t(s)
E
v=vA-gt vE=-48.5 m/s
vmedia=(vE+vA)/2 =(-48.5+20)/2 =-28.5/2
=-14.25
=-100/7
vscalare media=140.8/7
=20.11
Esercizio 3• Un’auto viaggia con velocità costante di 70 km/h, valore oltre il limite di velocità.
Dietro un cartellone pubblicitario c’è appostata una moto dei vigili urbani, che, dopo un secondo dal passaggio dell’auto, parte all’inseguimento. La moto ha un’accelerazione di 3 m/s2.
• Quando la moto raggiunge l’auto?
0 10 200
200
400
s(m)
t(s)
0 10 200
200
400
a,0a vv
tva,0 2mm,0m,0m ta
2
1tvss
AutoMoto rettilineo uniforme
= 70 km/h
tvss a,00a
MotoMoto uniformemente accelerato
tavv mm,0m )t(tavv 0mm,0m
20m0m,0m,0m )t(ta
2
1)t(tvss
20mm )t(ta
2
1s
2m )1(t3
2
1s
t44.19sa
= 70*1000/3600 m/s = 19.44 m/s
Definiamo come t=0 l’istante in cui la macchina passa davanti al cartellone
0 10 200
200
400
s(m)
t(s)
0 10 200
200
400
t44.19sa 2m )1(t3
2
1s
ma ss 2)1(t32
1t44.19
t44.191.5t3t5.1 2 01.5t44.22t5.1 2
5.12
5.15.1444.2244.22t
2
x
xx
5.12
23.2244.22
x
=0.067 s
=14.89 s
0.067<1 Precedente alla partenza della motoDa scartare
Sicurezza stradale e cinematica
Tempo di reazione e distanze di sicurezza
Il tempo di reazione è l’intervallo di tempo che passa tra il momento in cui si percepisce un pericolo e il momento in cui si inizia ad agire per evitarlo. In condizioni normali il tempo di reazione è circa 0.75-1 s .Se il conducente è sotto l’effetto di alcol, il tempo di reazione aumenta esponenzialmente col tasso alcolico.Per esempio, in stato di euforia debole (alcolemia=0.4 g/l), il tempo di reazione è 1.5 s.
Da quando vede un ostacolo, il conducente di un veicolo impiega circa 1 s prima di iniziare a frenare e percorre uno spazio di reazione Δsr = v (1 s) che dipende dalla velocità v a cui procede. Se l’ostacolo dista meno di Δsr metri dall’auto, l’automobilista non ha neppure il tempo per iniziare a frenare e urta contro l’ostacolo con la velocità v.
0 50 100 150 2000
20
40
60
s(m)
v(km/h)
Lo spazio di frenata è la distanza che un veicolo percorre fra l’inizio della decelerazione e l’arresto. Nell’ipotesi che la decelerazione prodotta dai freni sia costante, il moto del veicolo è uniformemente accelerato. La velocità iniziale v0 , lo spazio di frenata , quella finale v = 0 m/s, l’accelerazione (<0) e lo Δsf sono legati dalla relazione :
Lo spazio di frenata dipende dalle condizioni del veicolo e dal fondo stradale, che determinano il valore della decelerazione. Lo spazio di frenata cresce con il quadrato della velocità.Per un’automobile in buone condizioni, su una strada con aderenza media, gli spazi di frenata sono molto vicini a:
Gli spazi di frenata aumentano in modo considerevole in caso di pioggia o ghiaccio e quando le gomme sono sgonfie o comsumate.
v (km/h) Δsf (m)
25 4
50 16
90 52
130 110
Spazio di frenata
|a|
v
2
1
a
)v(v
2
1s
20
20
2
f
a=-6 m/s2
Distanza di sicurezza
La distanza di sicurezza è la distanza che un veicolo deve mantenere da quello che lo precede per potersi arrestare senza urtarlo.La distanza di sicurezza Δss è la somma dello spazio di reazione e dello spazio di frenata:
Δss = Δsr + Δsf
0 20 40 60 80 100 120 1400
20
40
60
80
100
120
sf(m
)
v(km/h)
Δsr
Δss
A 50 km/h, Dss= 35 m
A 100 km/h, Dss= 110 m
Conclusione
• Guidare sempre sobri e senza aver fumato canne (non parliamo poi di altre sostanze)
• Mettersi nelle condizioni di vederci bene
• Fare attenzione a ghiaccio, neve, pioggia, stato degli pneumatici e dei freni
• Guidare a bassa velocità