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7/24/2019 Num Nat Presenta2
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Linsieme N dei numeri naturali infinito?
Linfinito!
Nessun altro problema ha mai scosso cos profondamente lo spirito
umano; nessuna altra idea ha stimolato cos proficuamente il suointelletto; e tuttavia nessun altro concetto ha maggior bisogno di
chiarificazione che quello di infinito(David Hilbert, 1921)
1Daniela Valenti, Treccani Scuola
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Linfinito in matematica
In matematicasi distingue fra numeri molto grandi e linfinito.
Il numero di stelle nellUniverso molto grande, ma finito
(circa 1022
) e pi grande, ma sempre finito, il numero diatomi nellUniverso(circa 1080);
Il cervello umano formato da circa 1012neuronied ognuno di
essi entra incontatto con104altri neuroni, perci
grandissimo, ma finito, il numero di contatti nervosi.
La matematica ha raggiunto uno straordinario risultato:elaborare ragionamenti e procedimenti per affrontare
linfinito con il cervello finito delluomo.
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Attivit 2: Linsieme N infinito?
Dividetevi in gruppi di 2 4 persone.
Ad ogni gruppo viene data una scheda dilavoro da completare.
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Avete 30 minuti di tempo
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Che cosa abbiamo trovato?
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Ragionamenti e procedimenti perdistinguere insiemi finiti e infiniti
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A, B, C sono insiemi finiti
B in corrispondenza
biunivoca conA
Bha tantielementi quantiA
B in corrispondenza biunivoca
con A, che un sottoinsieme di C
Bha menoelementi di C
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Linsieme N finito?
in corrispondenza biunivoca con P, che
un sottoinsieme di
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VOCABOLARIO MATEMATICO
Insieme infinito
Un insiemeAinfinito se esiste una corrispondenza
biunivoca fraAe un suo sottoinsieme.
Insieme numerabile
Un insiemeAnumerabile se esiste una corrispondenza
biunivoca fraAe linsiemeNdei numeri naturali.
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Lhotel ha un numero infinito di stanze, ma tutte le stanze sono occupate.
Si presenta un nuovo cliente e lalbergatore dice: Posso sicuramente
trovarle una sistemazione
Il cliente che occupa la camera 0 passa nella 1, quello che occupa la 1 passanella 2 e, in generale, chi occupa la camera npassa nella camera n+1, resta
libera la camera 0 per il nuovo cliente.
Lalbergo di Hilbert
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Lhotel ha un numero infinito di stanze, ma tutte le stanze sono occupate.
Si presentano ancora 100 clienti e lalbergatore dice: Posso trovare una
sistemazione per tuttiIl cliente che occupa la camera 0 passa nella 100, quello che occupa la 1
passa nella 101 e, in generale, quello che occupa la camera npassa nella
camera n + 100. Cos restano libere le camera da 0 a 99 per i nuovi clienti.
Lalbergo di Hilbert
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Paradosso di Galileo
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0 02 = 0
1 12 = 1
2 22 = 4
3 32 = 9
4 42 = 16
. n n2
LinsiemeNqdei numeri quadrati
un sottoinsieme dellinsiemeNdeinumeri naturali.
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Paradosso di Galileo
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B in corrispondenza
biunivoca conA
A e B insiemi finiti
Bha tantielementiquantiA
N e Nqinsiemi infiniti
N in corrispondenza biunivoca
con il suo sottoinsieme Nq
Nqha tantielementiquantiN??
Si estende a N e Nq??
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Paradosso di Galileo
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Insiemifiniticollegati da una corrispondenzabiunivoca
vuol dire
Insiemi con lo stesso numero di elementi .
Origine del paradosso: estendere agli
insiemi infiniti questa intuitiva
affermazione, valida per gli insiemi finiti.
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Risposta di Galileo (1638)
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Io non veggo che ad altra decisione si possa
venire []: infiniti essere tutti i numeri ,
infiniti i quadrati, infinite le loro radici, n la
moltitudine dei quadrati essere minore diquella di tutti i numeri, n questa maggiore di
quella, ed in ultima conclusione,gli attributi
di uguale, maggiore e minore non aver luogo
negli infiniti, ma solo nelle quantitterminate .
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Confronto fra
linguaggio comune e matematica
Linguaggio comunefinitolinsieme delle cifreche uso per scrivere i numeri,perchfiniscodi contarequando arrivo a 9.
Cifre
0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9
infinitolinsiemeNdei numeri naturali,perch non finito:posso continuare a contare
senza arrivare mai ad un numero finale.
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Confronto fra
linguaggio comune e matematica
Matematica infinitolinsiemeNdi tutti i numeri naturali,perch pu essere messo in corrispondenza
biunivoca con un suo sottoinsieme.
finitolinsieme delle cifre, perch non infinito: nonpu essere messo incorrispondenza biunivoca con un suo
sottoinsieme.