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Operazione in NOperazione in NLe quattro Le quattro operazionioperazioni
Definizioni e Proprietà
Disciplina: MatematicaDisciplina: Matematica
Concetto di OperazioneConcetto di Operazione
NUMERONUMERO
NUMERONUMEROOPERAZIONEOPERAZIONE RISULTATORISULTATO
PROCEDIMENTO CHE PERMETTE DI ASSOCIARE A PROCEDIMENTO CHE PERMETTE DI ASSOCIARE A DUE NUMERI, DATI IN UN CERTO ORDINE, E DETTI DUE NUMERI, DATI IN UN CERTO ORDINE, E DETTI TERMINI DELL’OPERAZIONE, UN NUOVO NUMERO TERMINI DELL’OPERAZIONE, UN NUOVO NUMERO CHIAMATO RISULTATO, CHE SODDISFA CERTE CHIAMATO RISULTATO, CHE SODDISFA CERTE PROPRIETPROPRIETÀÀ
Addizione in Addizione in NN
5 + 3 =8
ADDENDIADDENDI SOMMA O SOMMA O TOTALETOTALE
SEGNO DI OPERAZIONE
L’L’ADDIZIONEADDIZIONE DI DUE NUMERI CHIAMATI DI DUE NUMERI CHIAMATI ADDENDIADDENDI È È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO ESSI UN TERZO NUMERO DETTO SOMMASOMMA O O TOTALETOTALE
Proprietà dell’AddizioneProprietà dell’Addizione
PROPRIETPROPRIETÀÀ COMMUTATIVA COMMUTATIVA
La somma di due o più numeri non cambia “scambiando” l’ordine degli addendi:
8 + 3 = 11
3 + 8 = 11
8 + 3 = 3 + 8
La somma di due o più numeri non cambia se al posto di alcuni addendi si sostituisce la loro somma:
4 + 2 + 3 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 94 + 2 + 3 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9
La somma di due o più numeri non cambia se a uno o più addendi se ne sostituiscono altri aventi per somma l’addendo considerato:
9 + 6 = 15(2 + 7) + 6 = 2 + 7 + 6 = 159 + (2 + 4) = 9 + 2 + 4 = 15
PROPRIETPROPRIETÀÀ ASSOCIATIVA ASSOCIATIVA
LEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNALEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNA
L’addizione è una legge di composizione interna all’insieme dei numeri naturali: se addizioni due numeri naturali ottengo sempre un numero naturale, cioè si può sempre eseguire.
12 + 8 = 20NUMERO NATURAL
ENUMERO NATURAL
E
NUMERO NATURAL
E
ELEMENTO NEUTROELEMENTO NEUTRO
Lo zero è l’elemento neutro dell’addizione:
8 + 0 = 0 + 8 = 8
Sottrazione in Sottrazione in NN
LALA SOTTRAZIONE SOTTRAZIONE DI DUE NUMERI, IL CUI PRIMO DI DUE NUMERI, IL CUI PRIMO SI CHIAMA SI CHIAMA MINUENDOMINUENDO E IL SECONDO E IL SECONDO SOTTRAENDOSOTTRAENDO È È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO DIFFERENZADIFFERENZA
9 - 4 =5MINUENDMINUEND
OODIFFERENZDIFFERENZ
AA
SEGNO DI OPERAZIONE
SOTTRAENDOSOTTRAENDO
DIFFERENZA + SOTTRAENDO = MINUENDO
5 + 4 = 9
Proprietà della SottrazioneProprietà della Sottrazione
La differenza fra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona, o si sottrae se possibile, uno stesso numero:
8 - 5 = 3
(8 + 2) - (5 + 2) = 10 - 7 = 3
(8 - 3) - (5 - 3) = 5 - 2 = 3
PROPRIETPROPRIETÀÀ INVARIANTIVAINVARIANTIVA
Se da un numero di devono sottrarre successivamente più numeri, si possono eseguire le sottrazioni nell’ordine di scrittura, oppure si sottrae dal primo numero la somma di tutti gli altri:
19 - 7 - 5 - 2 = 12 - 5 - 2 = 7 - 2 = 5
19 - 7 - 5 - 2 = 19 - (7 + 5 + 2) = 18 - 14 = 5
REGOLA DI CALCOLOREGOLA DI CALCOLO
Moltiplicazione in Moltiplicazione in NN
LA LA MOLTIPLICAZIONEMOLTIPLICAZIONE DI DUE NUMERI CHIAMATI DI DUE NUMERI CHIAMATI FATTORI FATTORI È È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO PRODOTTOPRODOTTO
5 × 3 = 15
FATTORIFATTORI PRODOTTPRODOTTOO
SEGNO DI OPERAZIONE
MOLTIPLICANDOMOLTIPLICANDO
MOLTIPLICATOREMOLTIPLICATORE
Proprietà della Proprietà della MoltiplicazioneMoltiplicazione
Il prodotto di due o più numeri non cambia “scambiando” l’ordine dei fattori:
4 × 3 = 12
3 × 4 = 12
4 × 3 = 3 × 4
PROPRIETPROPRIETÀÀ COMMUTATIVA COMMUTATIVA
Il prodotto di due o più numeri non cambia se al posto di alcuni addendi si sostituisce il loro prodotto:
2 × 3 × 4 = (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 242 × 3 × 4 = 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
Il prodotto di due o più numeri non cambia se a uno o più fattori se ne sostituiscono altri aventi per prodotto il fattore considerato:
12 × 6 = 72(3 × 4) × 6 = 3 × 4 × 6 = 72
12 × (2 × 3) = 12 × 2 × 3 = 72
PROPRIETPROPRIETÀÀ ASSOCIATIVA ASSOCIATIVA
Per moltiplicare una somma per un numero, si può moltiplicare ogni addendo della somma per quel numero e poi addizionare i prodotti così ottenuti:
(2 + 4) × 5 = 6 × 5 = 30
(2 + 4) × 5 = 2 × 5 + 4 × 5 = 10 + 20= 30
PROPRIETPROPRIETÀÀ DISTRIBUTIVA DELLA DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE MOLTIPLICAZIONE
RISPETTO ALL’ADDIZIONERISPETTO ALL’ADDIZIONE
PROPRIETPROPRIETÀÀ DISTRIBUTIVA DELLA DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE MOLTIPLICAZIONE
RISPETTO ALLA SOTTRAZIONERISPETTO ALLA SOTTRAZIONE
Per moltiplicare una differenza per un numero, si possono moltiplicare minuendo e sottraendo della differenza per quel numero e poi sottrarre i prodotti così ottenuti:
(10 - 4) × 3 = 6 × 3 = 18
(10 - 4) × 3 = 10 × 3 - 4 × 3 = 30 - 12= 18
ELEMENTO NEUTROELEMENTO NEUTRO
L’uno è l’elemento neutro della moltiplicazione:
7 × 1 = 1 × 7 = 7
ELEMENTO ASSORBENTEELEMENTO ASSORBENTE
Lo zero è l’elemento assorbente della moltiplicazione, cioé annulla sempre il prodotto:
5 × 0 = 0 × 5 = 0e vale
0 × 0 = 0
LEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNALEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNA
La moltiplicazione è una legge di composizione interna all’insieme dei numeri naturali: se moltiplico due numeri naturali ottengo sempre un numero naturale, cioè si può sempre eseguire.
2 × 8 = 16NUMERO NATURAL
ENUMERO NATURAL
E
NUMERO NATURAL
E
Divisione in Divisione in NN
15: 3 = 5
QUOTOQUOTO
SEGNO DI OPERAZIONE
DIVIDENDODIVIDENDODIVISOREDIVISORE
1 - DIVISIONE ESATTA O PROPRIA:1 - DIVISIONE ESATTA O PROPRIA:
LALA DIVISIONE ESATTA DIVISIONE ESATTA (O PROPRIA) DI DUE NUMERI, (O PROPRIA) DI DUE NUMERI, IL CUI PRIMO SI CHIAMA IL CUI PRIMO SI CHIAMA DIVIDENDODIVIDENDO E IL SECONDO, E IL SECONDO, DIVERSO DA ZERO, DIVERSO DA ZERO, DIVISORE DIVISORE È È L’OPERAZIONE L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO NUMERO DETTO QUOTOQUOTO
QUOTO × DIVISOREDIVISORE = DIVIDENDODIVIDENDO
5 × 3 = 15
Divisione in Divisione in NN2 - DIVISIONE APPROSSIMATA O IMPROPRIA:2 - DIVISIONE APPROSSIMATA O IMPROPRIA:
QUOZIENTE × DIVISOREDIVISORE + RESTORESTO = DIVIDENDODIVIDENDO
4 × 3 + 1 = 13
SEGNO DI OPERAZIONE
13: 3 = 4 e resto 1 QUOZIENTQUOZIENT
EEDIVIDENDODIVIDENDO DIVISOREDIVISORE RESTORESTO
PROPRIETPROPRIETÀÀ INVARIANTIVA PER INVARIANTIVA PER LA DIVISIONE ESATTALA DIVISIONE ESATTA
Se si moltiplicano, o si dividono quando sono divisibili, il divisore e il dividendo di una divisione per uno stesso numero il quoto rimane invariato:
12 : 6 = 2(12 × 4) : (6 × 4) = 48 : 24 = 2
(12 : 3) : (6 : 3) = 4 : 2 = 2
PROPRIETPROPRIETÀÀ INVARIANTIVA PER INVARIANTIVA PER LA DIVISIONE APPROSSIMATALA DIVISIONE APPROSSIMATA
Se si moltiplicano, o si dividono quando sono divisibili, il divisore e il dividendo di una divisione per uno stesso numero il quoziente rimane invariato, mentre il resto viene moltiplicato o diviso per quel numero:
40 : 12 = 3 e resto 4(40 × 3) : (12 × 3) = 120 : 36 = 3 e resto 12 (=4 × 3)
(40 : 2) : (12 : 2) = 20 : 6 = 3 e resto 2 (=4 : 2)
Approfondimento sulla Approfondimento sulla DivisioneDivisionequoto di due numeri uguali:
12 : 12 = 1Se il divisore è uguale a 1 il quoto è uguale al dividendo:
12 : 1 = 12Se il dividendo è uguale a 0 e il divisore è diverso da 0 allora il quoto è uguale 0:
0 : 12 = 0Se il divisore è uguale a 0 e il dividendo è diverso da 0 allora la divisione è impossibile
12 : 0 = impossibileSe il divisore è uguale a 0 e il dividendo è uguale a 0 allora la divisione è indeterminata
0 : 0 = indeterminata