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Ottica geometrica e Ottica geometrica e geometria simpletticageometria simplettica
Daniele Musso
Relatore: Prof. Enrico Massa
Genova 22/9/2005
• Gli aspetti salienti dell’ottica lineare e dell’ottica geometrica rivisitati utilizzando tecniche e strumenti matematici propri della geometria simplettica.
• Ottica lineare descritta con il metodo delle matrici.
William Rowan Hamilton
• Formulazione Hamiltoniana basata sul principio variazionale di Fermat.
Ottica lineare e ottica Ottica lineare e ottica gaussianagaussiana
• Introduzione dell’asse ottico.
• Oggetti ottici rappresentati matematicamente da superfici ottiche.
L’ottica lineare è una teoria classica il cui ambito di applicazione è definito dalle seguenti ipotesi:
• Trascurabilità del carattere ondulatorio della radiazione elettromagnetica
• Indici di rifrazione costanti
• Ipotesi di linearità
Ulteriore ipotesi per l’ottica gaussiana:
• Ipotesi di simmetria cilindrica
in cui è detto momento.
• Rappresentazione della relazione fra gli “stati” di un raggio a due quote diverse mediante una trasformazione lineare simplettica della coppia di parametri e .
np
Definizione del formalismoDefinizione del formalismo
q p
• Caratterizzazione dello “stato” di un raggio mediante i due parametri e variabili in .
q pz
zp
q
1
1
2
2
p
q
dc
ba
p
q
• è simpletticaM 1det M
Sistemi ottici elementariSistemi ottici elementari
Condizione iniziale a :
• Percorso in assenza di superfici ottiche
1zz Condizione finale a :2zz
11, pq
22 , pq
Pongo 12 zzt
Essendo l’indice di rifrazione costante, il raggio si propaga in maniera rettilinea, risulta pertanto:
1
1
1112
12
pnt
qtqq
pp
Ponendo , la matrice di trasferimento dal punto
al punto assume la forma
1nt
T 1z
2z
10
1 T
• Superficie rifrangente
Equazione della linea di separazione: qfzz Per l’ipotesi di simmetria cilindrica rispetto all’asse ottico, è pari e . qf 00 f
A meno di termini di ordine superiore al secondo avremo
2
21kqzz
Con riferimento alla figura, sotto l’ipotesi di linearità, si ottiene
22tankq
Considerando i triangoli rappresentati in figura
11 2
;
22 2
Confrontando e raccogliendo i risultati ottenuti si ricava
kq 11 kq 22
Si considera la legge di Snell linearizzata:
221 nn 1
Utilizzando le relazioni
kq 11 kq 22
si ottiene
kqnnkqnn 222111 vale a dire
Pqkqnnpp 1212
avendo definito il potere della superficie rifrangente
knnP 12
La matrice di trasferimento dal punto al punto sarà pertanto
1z 2z
1
01
P
112
12
pPqp
• Il comportamento del generico sistema ottico è determinato dagli effetti del sistema stesso sull’evoluzione dei raggi luminosi fra e ,
• Nello spazio delle variabili e , tale evoluzione è descritta da una trasformazione appartenente al gruppo
.
• Il gruppo è a sua volta generato dalle trasformazioni di tipo “elementare”
,2Sl
,2Sl
p1z 2z 21 zz
q
10
1 x
1
01
y
•
dipende solo da e non dalla direzione del raggio
stesso; i punti e sono detti coniugati.
Anche i piani sono detti coniugati poiché formati da punti coniugati a due a due.
•
dipende solo da e non dal punto di incidenza.
0b
2q 1q 11,qz 22 ,qz
21 , zzzz
0c
2p 1p
Casi NotevoliCasi Notevoli
1
1
2
2
p
q
dc
ba
p
q
Lente sottile
Per lente sottile si intende la successione di due diottri posti a distanza trascurabile l’uno dall’altro.
Il problema associato alla lente sottile risulta dalla composizione di due problemi di singola superficie rifrangente.
1
01
1
01
1
01
1
011
2121 fPPPP
con21
1
PPf
nfzzzz 12
La matrice associata al sistema in esame è
0
0
10
1
1
0
10
1
1
01
10
1111 f
ff
f
ff
f
f
pertanto 12 fpq 12
1qf
p
Fuochi della lente sottile
• Si considera ancora una lente sottile posta in un mezzo rifrangente uniforme la cui matrice associata è
1
1
10
1
1
01
10
111
11
1 yff
xyxfyxfy
f
x
dc
ba
Si scelgono e in modo chex y
01 xyxfybyxf111
viene detto fattore d’ingrandimento
I piani sono coniugati e vale la seguente relazione
21 , zzzz
12 aqq
yx
yxxxfa
1111 1
Formulazione Hamiltoniana dell’ottica Formulazione Hamiltoniana dell’ottica gaussianagaussiana
1
1
2
2
p
q
dc
ba
p
q
se 0b
122
121
1
1
qdqb
p
aqqb
p
Introduciamo la funzione iconale
Kqqqd
qa
bqqW
21
22
2121 22
1,
1
1
2
2
112221
p
q
dc
ba
p
q
KqpqpW
2
2
1
1
qW
p
qW
p
oppure
L’eq. (1.1) possono essere riscritte in termini delle derivate parziali di W
la funzione iconale è additiva.
231213 WWW
321 zzz jjiijiij pqpqqqW ,,:,
2
122
1
121
qW
p
qW
p
3
233
2
232
q
Wp
q
Wp
2
23
2
12
q
W
q
W
3312233121123113 ,,,,, qqqqWqqqqWqqW
da cui segue che
Esprimendo in funzione di si ha 2q 31, qq
che soddisfa le seguenti relazioni
Scegliendo la funzione iconale coincide con il cammino ottico
asseLK W
i
iilnL
• Propagazione rettilinea
2
122
2
122
122
2
1
2
11 qq
d
nnd
d
qqndqqdnL
con 12 zzd
10
1n
dMatrice associata:
Kqqqqd
nqqW 21
2
2
2
121 22
,
La funzione iconale vale pertanto
identica al cammino ottico per asseLndK
• Superficie ottica
11
22
zzd
zzd
2
2
2
22
1
1
12212211
2
2
22
22
2
1
22
11
21
21
21
21
21
qqdn
qqdn
qnnkdndn
qqkqdnqqkqdnL
kqnnpppnd
qqpnd
qq 211222
221
1
11 ,,
11222211
2211122211
2
12
1
2
1
2
1
qpqpdndn
qqpqqpqppdndnL
2
21kqzz Superficie ottica:
Il cammino ottico è:
Utilizzando le relazioni
si ha
2211 dndnK Identica alla funzione pur di porreW
KqpqpW 11222
1
Legge di Snell e principio di Fermat
11
22
zzd
zzd
2
2
2
22
1
1
12212211 2
121
21
qqdn
qqdn
qnnkdndnL
022
21
1
121 qq
d
nqq
d
nqnnk
dq
dL
Cammino ottico:
Condizione di stazionarietà del cammino ottico:
1221 ppnnkq
22
221
1
11 , p
n
dqqp
n
dqq
Utilizzando le relazioni
si ottiene la legge di Snell:
Willebrord Snell
(1580 – 1626) Claudio Tolomeo
(~ 87 – 150 A.D.)
Pierre Fermat
(1601 – 1665)
William Rowan Hamilton
(1805 – 1865)
Carl Friedrich Gauss(1777-1885)