Post on 14-Jun-2015
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TEOREMA DI LAGRANGE:
DIMOSTRAZIONE GEOMETRICA E APPLICAZIONE ECONOMICA
Matematica per le Decisioni Strategiche e il Controllo
REFERENTE :Prof.ssa Gioia Federica
Angela Berardinelli
0255/000053
La scienza economica studia l’allocazione ottima di risorse scarse. Le Persone Ottimizzano
Compagnie Aeree: programmano i voli e gestiscono il personale di bordo in maniera tale da minimizzare i costi
Investitori: gestiscono il loro portafoglio titoli in maniera tale da minimizzare il rischio e massimizzare il ritorno atteso
Industrie: organizzano il processo produttivo in maniera tale da massimizzare l’efficienza.
La Natura Ottimizza
Sistemi Fisici: tendono ad uno stato ad energia minima
Molecole: reagiscono tra loro fino a quando l’energia potenziale degli elettroni non raggiunge il minimo
Concetti e assunti di base
PROBLEMI DI OTTIMO LIBERO
PROBLEMI DI OTTIMO VINCOLATO
𝐴=𝑋
𝐴⊆ 𝑋
Sia F :X →R, una funzione in n variabili a valori reali sul dominio X sottoinsieme di , il punto :
.è punto di massimo per F su X se:
F() ≥ F() X
.è punto di massimo in senso stretto se: F() > F() X
.è punto di massimo locale per F se :
F() ≥ F() X
.è punto di massimo locale in senso stretto per F se :
F() > F() X;
Teorema di Fermat
Sia una funzione C¹ definita su un sottoinsieme A e sia x* un punto interno di A. Se x* è di massimo o minimo locale allora si ha che:
Condizione necessaria del primo ordine
Le Forme QuadraticheUna forma quadratica si può riscrivere sotto forma di una matrice simmetrica Q(x) = con si dice:
a)definita positiva se > 0 per ogni 0 di
b)semidefinita positiva se ≥ 0 per ogni 0 di
c)definita negativa se < 0 per ogni 0 di
d)semidefinita negativa se ≤ 0 per ogni 0 di
e) indefinita se > 0 per almeno un di e se < 0 per almeno un di
Il segno di una matrice
-se gli n Minori Principali di N.O. della Hessiana F) hanno segno alterno in è un Max Locale Stretto
0 ≥0 0
(ovvero i minori dispari ≤ 0, i pari ≥0 ) accogliendo F) sia semidefinita negativa
-se gli n Minori Principali di N.O. della Hessiana F) hanno segno concorde in è un Min Locale Stretto
≥0 ≥0 ≥0
(ovvero tutti i minori ≥0 ) accogliendo F) sia semidefinita positiva
-se almeno un Minore Principale di N.O.della Hessiana F) non rispetti l’andamento dei segni,alloraè un Punto di Sella di F.
Condizione sufficiente del secondo ordine
1)se gli n Minori Principali di N.O. della Hessiana F) hanno segno alterno in è un Max Locale Stretto
0 ≥0 0
(ovvero i minori dispari ≤ 0, i pari ≥0 ) accogliendo F) sia semidefinita negativa
2)se gli n Minori Principali di N.O. della Hessiana F) hanno segno concorde in è un Min Locale Stretto
≥0 ≥0 ≥0
(ovvero tutti i minori ≥0 ) accogliendo F) sia semidefinita positiva
3)se almeno un Minore Principale di N.O.della Hessiana F) non rispetti l’andamento dei segni,alloraè un Punto di Sella di F.
sia F :X →R una funzione di classe C2 ed un punto di Max (min) locale per f.
Allora:
ed
è semidefinita Negativa /semidefinita Positiva
Condizione necessaria del secondo ordine
L’ottimizzazione vincolata
Proprietà di un insieme compatto
1) un insieme si dice chiuso se:
2) un insieme è limitato se:
E’ possibile comunque dimostrare che X è chiuso se e solo se vale la seguente :
Teorema di Weierstrass
Sia . Se f è continua e X è compatto,allora esistono punti XM e Xm in X tali che:
Una funzione continua in un compatto sicuramente sarà dotata di un massimo e di un minimo globali.
max/min
m < n
numero vincoli minore del numero delle variabili, affi nchè Ch non si riduca ad un insieme di punti isolati o all’insieme vuoto
Un problema può essere formulato come:
La Condizione di Qualificazione dei Vincoli Se m=1
cioè ℎ(x₁,…, xn) = a
la CQV nel punto di ottimo è:
Se m>1, l’ulteriore generalizzazione della CQV, coinvolge la matrice Jacobiana della funzione vettoriale h=(h₁,h₂,…,ℎ)
La matrice Jacobiana
Un punto x* è un punto stazionario della funzione vettoriale h=(h₁,h₂,…,ℎ) se il rango di Jh(x*) è minore di m.
Siano funzioni di variabili di classe C1 .Consideriamo il problema di massimizzare (o minimizzare) la funzione sull’insieme ammissibile definito dalle condizioni
Ch sia un punto di massimo o minimo locale per su Ch e che soddisfi la QVND(Qualificazione dei vincoli di non degenerazione).Allora esistono moltiplicatori , tali che sono un punti stazionari della funzione Lagrangiana:
Teorema di Lagrange
Ossia:
𝜕𝐿𝜕𝑥𝑛
(𝑥∗ ,𝜇∗)=0
𝜕𝐿𝜕𝜇1
(𝑥∗ ,𝜇∗)=0
𝜕𝐿𝜕𝜇𝑚
(𝑥∗ ,𝜇∗)=0
𝜕𝐿𝜕𝑥1
(𝑥∗ ,𝜇∗ )=0
⋮ ⋮
Consideriamo la seguente funzione di utilità da massimizzare:
con il vincolo
p1 = prezzo del bene 1 p2 = prezzo del bene 2 x1 =bene 1 x2=bene 2 I = vincolo di spesa
Teorema di Lagrange: dimostrazione economica
Dal punto di vista geometrico, la massimizzazione vincolata della funzione obiettivo consistenell’individuazione della più “alta” curva di livello di f che tocca la curva C.
Pertanto essa deve soddisfare simultaneamente 3 requisiti:
- deve toccare C affinchè il vincolo sia soddisfatto
- deve giacere tutta da un lato di C perché non può intersecarla
-deve essere tangente a C (come il punto x* nella figura)
Se la curva di livello f è tangente alla curva C nel punto di massimo vincolato x*,in tale punto si devono uguagliare la pendenza della curva di livello e la pendenza della curva definita dal vincolo.
pendenza della curva di livello di f nel punto x* è:
pendenza della curva della funzione di vincolo in x* è:
Imponiamo l’uguaglianza delle due pendenze:
(1)
Conviene però scrivere la precedente uguaglianza nella forma
(2)
e indicare con il valore comune dei 2 rapporti:
(3)
Dalla precedente doppia uguaglianza si possono ricavare le 2 equazioni:
𝜕 𝑓𝜕𝑥1
(𝑥∗)−𝜇 𝜕h𝜕 𝑥1
(𝑥∗ )=0 𝜕 𝑓𝜕𝑥2
(𝑥∗ )−𝜇 𝜕h𝜕 𝑥2
(𝑥∗)=0
(1)
(2) (3)
In conclusione abbiamo un sistema di 3 equazioni in 3 incognite:
Per determinare i punti stazionari di questa funzione si calcolano le 3 derivate parziali:
La funzione Lagrangiana
porre equivale a soddisfare
Il moltiplicatore di Lagrange
Esprime la sensibilità del valore ottimo della funzione obiettivo alle variazioni della costante che compare al secondo membro dei vincoli.
𝒎𝒂𝒙 𝒇 (𝒙 , 𝒚 ) h (𝑥 , 𝑦 )=𝑎
Per mettere in evidenza la dipendenza della soluzione dal parametro a,possiamo scriverla come:
e indicare con il corrispondente valore del moltiplicatore.Dunque il valore ottimo della funzione obiettivo è:
Teorema:
Siano ,, funzioni di a e che la CQND sia verificata in allora vale:
il moltiplicatore misura il tasso di variazione del valore ottimo di f rispetto al parametro a.
I gradienti calcolati in un generico punto x sono:
e
sono perpendicolari rispettivamente agli insiemi di livello di f e h passanti per tale punto x*poiché gli insiemi di livello f e h hanno la stessa pendenza in x*,i gradienti e devono appartenere alla stessa retta,puntando nella stessa direzione o nella direzione opposta.
Teorema di Lagrange: dimostrazione geometrica
In entrambi i casi,i due gradienti sono uno il multiplo scalare dell’altro;pertanto esiste un numero reale detto appunto moltiplicatore tale che:
𝝏 𝒇𝝏 𝒙𝟏
𝝏 𝒇𝝏 𝒙𝟐
=𝝁∗
𝝏𝒉𝝏 𝒙𝟏
𝝏𝒉𝝏 𝒙𝟐
ossia:
da cui si ottiene immediatamente il sistema:
𝝏 𝒇𝝏𝒙𝟏
(𝒙∗ )−𝝁 𝝏𝒉𝝏𝒙𝟏
(𝒙∗)=𝟎 𝝏 𝒇𝝏𝒙𝟐
(𝒙∗ )−𝝁 𝝏𝒉𝝏𝒙𝟐
(𝒙∗)=𝟎
Applicazione economica
Teorema di Lagrange
Una compagnia necessita di €600000 per finanziare marketing e ricerca e vi destinerà 30x4/5 y1/3 euro derivanti dalla vendita dei suoi prodotti. A quanto ammontano i profitti derivanti dalla vendita dei prodotti x e y ? Che cosa accade se il budget a disposizione subisce un incremento dell’1%?e se subisce un decremento dell’1.5%?
600-x-y=0
la Lagrangiana è:
+
Le Condizioni del primo ordine sono:
600-x-y=0 (3)
Dalle prime due equazioni si ottiene:
=
ossia x = 2.4y. Sostituendo nella (3) otteniamo 600−2.4y−y = 0 equivalente a y = 600/3.4 ≈ 176.47. Allora x = 423.53.Sostituendo nell’equazione sopra otteniamo
La risoluzione del sistema di equazioni (1),(2) e (3) attestano che (Wx, Wy) = (423.53, 176.47) è soluzione del problema (1) ed il valore ottimale, ossia il totale massimo di prodotti che bisogna vendere è f(423.53, 176.47) =21257.83.
Che cosa accade se il budget a disposizione subisce un incremento dell’1%?
sfruttiamo il significato di , inteso come rilevatore della sensibilità dell’ottimo dell’obiettivo al variare della costante del vincolo.
Se il bilancio ´e aumentato dell’1% a €606000 otteniamo un aumento di 6 nella costante del vincolo e dunque:
6 = 6 ⋅ 40.15 = 240.90 (pari al 1,13% delle vendite precedenti)
(Se effettuassimo il calcolo con il nuovo budget di €606000, l’incremento attuale sarebbe 241.08.)
…e se il budget subisce un decremento dell’1.5%?
l’ 1,5% di 600.000= 591.000€
dunque anche il totale delle vendite subisce un decremento anch’esse di 9
9 = 9 ⋅ 40.15 = 361.35 (pari al 1,7% delle vendite precedenti )
Il decremento attuale nel massimo delle vendite ´e dai calcoli pari a 361.02 non troppo dissimile dal valore trovato!)