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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE e AMBIENTALE Sezione Geotecnica
Dinamica dei TerreniDinamica dei TerreniComportamento dei terreni a bassi e medi livelli deformativi
Prof. Ing. Claudia Madiai
prof. ing. Claudia MadiaiCorso di Ingegneria Geotecnica Sismica
‘LIVELLI DEFORMATIVI’ E COMPORTAMENTO DEI TERRENI
Il comportamento dinamico e ciclico di provini saturi in laboratorio (MACROSCALA) è influenzato da un gran numero di fattori(MACROSCALA) è influenzato da un gran numero di fattori
Per un sottosuolo reale (MEGASCALA) il numero dei fattori che ne influenza la risposta in condizioni di carico dinamico e ciclico è molto maggiore e, soprattutto in condizioni sismiche, il quadro delle possibili risposte è assai vario e molteplice
Aumenta pertanto il numero dei dati necessari per un’analisi accurata e servono leggi costitutive più complesse di quelle richieste quando i carichi dinamici e ciclici sono bene identificati e il terreno permane nel dominio elastico, seppure
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non lineare
Il comportamento dinamico di ciascun tipo di terreno è fortemente dipendente dalle ampiezze delle deformazioni di taglio raggiunte durante la sollecitazione sismica e che possono essere messe in rapporto alla soglia lineare γl e volumetrica γv
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‘LIVELLI DEFORMATIVI’ E COMPORTAMENTO DEI TERRENI
In relazione al livello deformativo raggiunto si distinguono le seguenti grandicategorie di problemi:
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(1) problemi in cui i livelli deformativi massimi raggiunti sono molto bassi(γ ≤ γl ≈ 10-3 %); in tal caso il comportamento del terreno ricade nel“dominio elastico”
(2) problemi in cui i livelli deformativi massimi raggiunti hanno valori medi(γl ≤ γ ≤ γv ≈ 10-1 %), inferiori alla soglia volumetrica; in tal caso ilcomportamento del terreno rientra nel “dominio isteretico stabile”
(3) problemi in cui i livelli deformativi massimi raggiunti sono molto elevati(γ > 10-1 %) arrivando fino alla condizione di pre-collasso o di rottura delterreno (durante o dopo l’applicazione del carico ciclico); in tal caso ilcomportamento del terreno rientra nel “dominio isteretico instabile”
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DOMINI DI COMPORTAMENTO, PARAMETRI DINAMICI E MODELLI
deformazioneγ [%] 10-4 10-3 10-2 10-1 1 10
Li ll d f γ γ
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Livello deform. basso medio alto
Dominio Elastico lineare Isteretico stabile Isteretico instabile
Parametri
G0, D0
G(γ), D(γ)
G(γ, Ν), D(γ, Ν), Δu(γ, Ν)
τcyc =τcyc (γ,N)
γl γv
cyc cyc (γ, )
PROBLEMI TIPICI
Fondazioni di macchine vibranti,vibrazioni da traffico, misure geofisiche
Risposta sismica locale (terremoti non distruttivi)
Instabilità e rotture in condizioni sismiche (terremoti forti e distruttivi)
MODELLI Elastico o viscoelastico lineare
Viscoelastico lineare equivalente o non
lineareNon lineari
44
3
Comportamento del terreno a bassi livelli deformativi
A bassi livelli deformativi (γ ≤ γl ) il comportamento dei terreni in condizionidi carico dinamico e ciclico è visco-elastico lineare, con energia dissipatamolto bassa
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molto bassa
τ
Curva dorsale 1
G0
All’aumentare del numero dei cicli N e della deformazione di taglio γ (purchéγ < γl) la risposta del terreno non cambia: il modulo di taglio e il rapporto dismorzamento sono costanti e pari ai valori iniziali
Il terreno a bassi livelli deformativi ècaratterizzato da:
γc γ
Curva dorsale
τc = G γc G=G0 e D=D0 τc = G0 γc
55
Modulo di taglio iniziale G0 – Misura diretta
G0 può essere misurato sia in sito sia in laboratorio con strumentazioni capaci di apprezzarelivelli deformativi estremamente bassi (inferiori a 10-5 %)
Le misure in sito sono più rappresentative delle condizioni reali del terreno e consentono di
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Le misure in sito sono più rappresentative delle condizioni reali del terreno e consentono diavere un numero più elevato di misure con la profondità
Le prove di laboratorio offrono per contro la possibilità di controllare meglio le condizioni alcontorno e di esplorare aspetti del comportamento del terreno in condizioni di interesse perla progettazione ingegneristica e la ricerca scientifica
In un mezzo elastico omogeneo, isotropo, G0 è legato alla velocità di propagazione delleonde S nel terreno, VS e alla densità del materiale, ρ , dalla relazione:
G0 = ρVS2
G0 (sito) Si ricava da VS, generando artificialmente onde sismiche(down-hole, cross-hole, etc.)
G0 (laborat.) Si ricava direttamente (colonna risonante e tagliotorsionale ciclico) o da VS (bender elements)
generalmente: G0 (sito)/G0 (lab) = 1.5 ÷ 2.566
4
Modulo di taglio iniziale G0 – Stima indiretta
Svantaggi delle misure dirette: delicate e costose
Pertanto: è possibile (anche se sconsigliabile) ricorrere all’uso di correlazioni empirichecon parametri desunti da prove geotecniche di tipo corrente
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Vs (in sito) è correlato a grandezze rappresentative dello stato del terreno in sitofacilmente misurabili mediante prove di tipo “convenzionale”
G0 (o VS) (in laboratorio) è correlato a parametri ottenuti da prove di laboratorio,quali proprietà indici e proprietà meccaniche in campo statico (indice dei vuoti e,pressione di confinamento σ’0 , densità relativa Dr , ecc.).
VS = f(σ’v, σ’0, z, NSPT, qc , ecc.)SITO
p p g p
pressione di confinamento σ 0 , densità relativa Dr , ecc.).
G0(VS) = f(e, σ’0, DR , ecc.)
Svantaggi della stima indiretta: errori associati alla stima molto elevati(alle stime indirette vanno associate misure dirette, per calibrare le correlazioni esistenti oricavarne delle nuove); le correlazioni ottenute a scala regionale sono preferibili a quelle diletteratura (riferite a generiche categorie di litotipi)
LABORATORIO
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Fattori che influenzano il modulo di taglio iniziale G0 nei terreni a grana grossa
Il modulo di taglio iniziale G0 dei terreni a grana grossa dipende da:
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stato di addensamento iniziale (indice dei vuoti, e, o densità relativa DR)
pressione di confinamento, σ0’
distribuzione granulometrica
forma e scabrezza dei grani
età geologica
grado di cementazione
N.B. Per la misura di G0 in laboratorio vengono utilizzati provini saturi ricostituiti(anche la tecnica di ricostituzione influenza G0; meno influenti sono la velocità dideformazione e il tempo di consolidazione)
grado di saturazione (per terreni allo stato naturale)
88
5
Dipendenza di G0 da σ’0 ed e per terreni a grana grossa
I fattori più influenti (e quindi maggiormente considerati per le correlazioni) sono:
τ
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stato di addensamento iniziale(legato all’indice dei vuoti, e , o alladensità relativa DR , o, nel caso di unaprova in sito, all’indice della prova)
G0(σʹ03)
γ
G0 SD
G0 SS
SS
SD sabbia densa
sabbia sciolta
pressione di confinamento σ0’τ
γ
σʹ01
σʹ02 σʹ03 G0(σʹ01)
G0(σʹ03) G0(σ’02)
99
Dipendenza di G0 da σ’0 ed e per terreni a grana grossa
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1010
6
Stima indiretta di G0 per terreni a grana grossa
( ) ( ) n'
Le correlazioni più usate sono del tipo:
con parametri da prove di laboratorio
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( ) ( ) n0s0 eFA)V oppure(G σ⋅⋅=
con A ed n costanti empiriche, F(e) funzione dell’indice dei vuoti
( ) ( ) n'0
ms0 SA)V oppure(G σ⋅⋅=
con parametri da prove di laboratorio
con parametri da prove in sito
con S indice della prova, m ed n costanti empiriche
Autori G0 e σ'0 in KPaKokusho e Esashi (1981) (1) G0 = {8400[(2.17-e)2/(1+e)]}(σ'0)0.6
D50 = 13mm(2) G0 = {13000[(2.12-e)2/(1+e)]}(σ'0)0.55
D50 = 30mmSeed et al. (1986) (3) G0 =220K2(σ'0)0.5
K2(materiale, Dr, γ) K2,max=75-135
STIMA DI G0 PER GHIAIE DA PROVE DI LABORATORIO
1111
Hardin e Black (1968) (1) G0 = {4798[(2.12-e)2/(1+e)]}(σ'0)0.6
σ'0 < 95.8kPaG0 = {6910[(2.12-e)2/(1+e)]}(σ'0)0.5
STIMA DI G0 PER SABBIE CON PARAMETRI DA PROVE DI LABORATORIO
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σ'0 > 95.8kPa(2) G0 = {3230[(2.97-e)2/(1+e)]}(σ'0)0.5
Hardin e Drnevich (1972) (3) G0 = {3230[(2.97-e)2/(1+e)]}OCRk(σ'0)0.5
Iwasaki e Tatsuoka (1977) (4) G0 = {14100[(2.17-e)2/(1+e)]}(σ'0)0.4
Hardin (1978) (5) G0 = {625/(0.3+0.7e2)}(Paσ'0)0.5
Chung et al. (1984) (6) G0 = {523/(0.3+0.7e2)}(Pa)0.52(σ'0)0.48
Kokusho e Essashi (1981) (7) G0 = {8400[(2.17-e)2/(1+e)]}(σ'0)0.5
Yu e Richart (1984) (8) G0 = {700[(2.17-e)2/(1+e)]}Pa0.5[(σ'a+σ'r)/2]0.5( ) ( ) { [( ) ( )]} [( ) ]
(9) G0 = {326[(2.97-e)2/(1+e)]}Pa0.5[(σ'a+σ'r)/2]0.5
Acar e El-Tahir (1986) (10) G0 = {631/(0.3+0.7e2)}(Pa)0.57(σ'0)0.43
Brignoli et al. (1987) (11) G0 = {526/(0.3+0.7e2)}(Pa)0.52(σ'0)0.48
Saxena e Reddy (1989) (12) G0 = {428/(0.3+0.7e2)}(Pa)0.43(σ'0)0.57
Lo Presti et al. (1993) (13) G0 = {710[(2.27-e)2/(1+e)]}(Pa)0.57(σ'0)0.43
Lo Presti et al. (1997) (14) G0 = {724/e1.3}(Pa)0.55(σ'0)0.45
(15) G0 = {708/e1.3}(Pa)0.38(σ'0)0.62 1212
7
1000
(1)
STIMA DI G0 PER SABBIE CON PARAMETRI DA PROVE DI LABORATORIO
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100
di ta
glio
G0/F
(e) [
MPa
] (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)
Iwasaki e Tatsuoka (1977) (4)
1010 100 1000
Mod
ulo
Tensione media efficace σ'0 [kPa]
(12)(13)(14)(15)
Hardin e Blak (1968) (2)
Yu e Richart (1984) (9)
Hardin e Drnevich (1972) (3)
1313
bNaV ⋅= d SPT2VG
Stima indiretta di G0 per terreni a grana grossa
STIMA DI G0 A PARTIRE DAI RISULTATI DI PROVE IN SITO
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bcS qaV ⋅=
)',()'(
)'(
22 vc
vS
cv
bS
cbS
S
S
NfKdoveKaV
NaV
zNaV
NbaVNaV
σσ
σ
=⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅+==
• da prove CPT
• da prove SPT(N=NSPT)
2S0 VG ⋅= ρ
5.00
25.01
25.00111 )'/()/()'/(
)'(
vaacNcvaSSb
NcS
cs
bcS
cv
bcS
cbcS
cS
cS
ppqqpVVdoveqaV
fqaV
qaV
zqaV
qbaVqaV
σσ
σ
=⋅=⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅+=• da prove CPT
qc: resistenza di puntafs: resistenza di attrito laterale
1414
8
Autori VS [m/s]Ohta e Toriuma (1970) (3) VS = 85.3N0.31
Ohta et al. (1972) (4) G0 = 2.85⋅105N0.72
VS = 87.2N0.36
Ohsaki e Iwasaki (1973) (5) G0 = 1.33⋅105N0.94
VS = 81 4N0.39
STIMA DI VS PER SABBIE DA RISULTATI DI PROVE SPT
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VS 81.4NOhsaki e Iwasaki (1973) (6) G0 = 2.85⋅105N0.78
VS = 59.4N0.47
Imai e Yoshimura (1975) (7) VS = 92.0N0.329
Imai et al. (1975) (8) VS = 89.9N0.341
Imai (1977) (9) VS = 91N0.337
VS = 80.6N0.331
VS = 97.2N0.323
Ohta e Goto (1978) (10)VS = 85.35N0.348
VS = 67.79N0.348z0.230
JRA (1980) (11)VS = 80N0.333
S d Id i (1981) (12)V 61 0N0 5Seed e Idriss (1981) (12)VS = 61.0N0.5
VS = 56.4N10.5
Barrow e Stokoe (1983) (13)VS = 145.1+4.2NVS = 144.8+4.1N1
Sykora e Stokoe (1983) (14)VS = 100.1N0.29
Muzzi (1984) (15)VS = 80.6N0.331
Lin et al. (1984) (16)VS = 65.58N0.502
Janan (1985) (17)VS = 116.1(N+0.3185)0.202
Lee (1990) (18)VS = 157.4N0.49
Lee (1992) (19)VS = 104.7N0.296
1515
500
]
(3)
(4)
(5)Lin et al. (1984) (16)
STIMA DI VS PER SABBIE DA RISULTATI DI PROVE SPT
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200
300
400
cità
del
le o
nde
di ta
glio
, VS
[m/s
]
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Lin et al. (1984) (16)
Janan (1985) (17)
0
100
0 10 20 30 40 50 60
Velo
c
Numero di colpi SPT, N
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
1616
9
Il modulo di taglio G0 dei terreni a grana fine dipende da:
Fattori che influenzano il modulo di taglio iniziale G0 nei terreni a grana fine
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1. pressione di confinamento, σ0’
2. indice dei vuoti, e
3. indice di plasticità, IP
4. grado di sovraconsolidazione, OCR
5. velocità di deformazione, (o frequenza di applicazione dei carichi, f)γ&
6. età geologica (tempo di consolidazione)
7. storia di carico (“prestraining”)
5. velocità di deformazione, (o frequenza di applicazione dei carichi, f)γ
1717
Dipendenza di G0 da σ’0 , e , OCR per terreni a grana fine
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1818
10
Le correlazioni più usate sono del tipo:
da prove di laboratorio 2
Stima indiretta di G0 per terreni a grana fine
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( ) ( ) n'0s0 eFA)V oppure(G σ⋅⋅=
con A ed n costanti empiriche, F(e) funzione dell’indice dei vuoti
N.B. valide solo per terreni NC e di bassaplasticità (non compaiono nella formulazionele altre grandezze, IP e OCR)
( ) ( ) βαscs0 fqA)V oppure(G ⋅⋅=
da prove in sito (CPT)
con A, α, β costanti empiriche
( )αcs0 qA)V oppure(G ⋅=
1919
con F(e) funzione dell’indice dei vuoti
( ) ( ) ( ) n'0
k0 OCReFAG σ⋅⋅⋅=
Stima indiretta di G0 per terreni a grana fine
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con F(e) funzione dell indice dei vuoti, k funzione dell’ indice di plasticità, A ed n costanti empiriche
IP [%]
K [ ‐ ]
0 0 20 0 18
kIP
20 0.1840 0.30 60 0.41 80 0.48
> 100 0.50 2020
11
)('0 MPaKG ncσ⋅=
STIMA DI G0 PER TERRENI A GRANA FINE CON PARAMETRI DA PROVE DI LAB.
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100
1000
G0
[MPa
]
1
10
0.001 0.01 0.1 1σ'c [MPa]
1
2
3
4
2121
350
s (m
/s)
Materiali “coesivi”
STIMA DI G0 PER TERRENI A GRANA FINE DA RISULTATI DI PROVE CPT
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VS = 193.0 qc0.315
- di origine pleistocenica
(n.= 21; r2 = 0.810)
VS = 211.2 qc0.199
- di origine alluvionale
(n.= 25; r2 = 0.830)
200
250
300 V
( ; )
100
150
0 1 2 3 4 5 6qc (MPa)
Materiali "coesivi" di origine alluvionale
Materiali "coesivi" di origine pleistocenica(VS in m/s; qc in MPa)
Madiai & Simoni, 2004
2222
12
EB C
D
1000
G0 (
MPa
)
A
C
DESTIMA DI G0 DA RISULTATI DI PROVE CPT
Madiai & Simoni, 2004
prof. ing. Claudia MadiaiCorso di Ingegneria Geotecnica Sismica
α β r2
A 106 3 0 505 0 812 Madiai e Simoni (2004) grana grossa Alta Valtiberina Umbra
G0 = α qcβ
F
A
10
100
0,1 1 10 100qc (MPa)
F
B
A 106,3 0,505 0,812 Madiai e Simoni (2004) grana grossa Alta Valtiberina Umbra
B 89,8 0,461 0,871 Madiai e Simoni (2004) grana fine Alta Valtiberina Umbra
C 49,2 0,51 0,483 Simonini & Cola (2000) sands, silts and silty clay Laguna di Venezia
D 28,1 1,335 0,713 Mayne & Rix (1993) clay 31 siti del mondo
E 28,0 1,400 0,940 Bouckovalas et al. (1989) very soft clay Agios Stefanos (Grecia)
F 71,2 0,611 - Imai & Tonouchi (1982) alluvial clay using qc - NSPTrelationship 2323
(VS in m/s; qc and fs in MPa)βαscS fqAV ⋅⋅=
STIMA DI G0 DA RISULTATI DI PROVE CPT
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N A α β r2
Hfg 25 140 0.30 -0.13 0.92Pfg 21 182 0.33 -0.02 0.81Hfg Pfg 46 155 0 29 0 10 0 91
(Madiai & Simoni, 2004)
scS fq
Olocenico a grana fine (Hfg)Olocenico a grana grossa (Hcg)
TIPO DI TERRENO:
Hfg-Pfg 46 155 0.29 -0.10 0.91Hcg 18 268 0.21 0.02 0.73Pcg 12 172 0.35 -0.05 0.66Hcg-Pcg 30 224 0.26 -0.01 0.81
g g ( g)Pleistocenico a grana fine (Pfg)Pleistocenico a grana grossa (Pcg)
2424
13
bS zaV ⋅=
STIMA DI VS PER TERRENI A GRANA FINE IN FUNZIONE DELLA PROFONDITÀ
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500
600
700
800
V S[m
/s]
1
2
3
4
5
VS in m/s; z in m
0
100
200
300
400
0 10 20 30 40 50 60
V
z [m]
5
2525
Il valore di G0 cresce all’aumentare della velocità di deformazione, in misuratanto maggiore quanto più elevato è l’indice di plasticità
(anche per questo i valori di G0 da prove in sito sono in genere più alti di quelli ottenuti inlaboratorio: le vibrazioni prodotte artificialmente in sito hanno frequenze ovvero velocità
5. Effetto di γ (o f ) su G0 per i terreni a grana fine
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laboratorio: le vibrazioni prodotte artificialmente in sito hanno frequenze, ovvero velocitàdi applicazione del carico, piuttosto elevate)
ecan
te, G [M
pa]
γ = 0.1 [%/s]
γ = 0.01 [%/s]
γ = 0.001 [%/s]
γ = 1 [%/s]γ = 10 [%/s]
65
75
70
(Isenhower e Stokoe, 1981 mod.)
Ampiezza della deformazione di taglio, [%]γ
Mod
ulo se
0.001 0.01 0.1 0.000155
60 coefficiente di velocità di deformazione
OSS: L’influenza della velocità di deformazione sulla rigidezza aumenta con la deformazione
2626
14
6. Effetto del tempo di consolidazione su G0 per i terreni a grana fine
È stato osservato che la risposta di provini a pressione di confinamentocostante è dipendente dal tempo, ed è caratterizzata da due fasi:
una fase iniziale dovuta essenzialmente alla consolidazione primaria
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OSS. Confrontando i valoridi G0 ottenuti in sito e inlaboratorio per depositi dietà diversa le differenze
una fase iniziale dovuta essenzialmente alla consolidazione primaria
una seconda fase in cui G0 aumenta pressoché linearmente con il logaritmodel tempo (long-term time effect)
IG
o iniziale, G
0
(G )IG
età diversa, le differenzesono tanto più rilevantiquanto più antica è l’età delterreno (nel tempo si ha unaumento di rigidezza dovutoai processi fisico-chimicisuccessivi alla deposizione)
Tempo di confinamento , t [min]
Mod
ulo di ta
glio
1 10 100 1000 10000 100000
Consolidazione primaria Consolidazione secondaria
tp
(G )0 p
(G )0 1000
2727
Le discrepanze esistenti tra misure di G0 in sito e in laboratorio possono essereattribuite anche agli effetti del tempo e stimate con la relazione (Anderson eStokoe, 1978):
6. Effetto dell’età geologica su G0 per i terreni a grana fine
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G0(sito) = G0(lab) + FA⋅ IG
G0(lab) = valore di G0 misurato in laboratorio al termine della consolidazioneprimaria per la pressione efficace litostatica media
dove:
FA = log10 (tc/tp) = fattore di età del deposito (valori tipici di FA sono compresitra 4 e 8)
tc = tempo da cui hanno avuto inizio i più recenti cambiamenti della storia dicsforzo nel deposito (per i depositi eluvio-colluviali varia tra 27.000 e 15.000anni e per le argille lacustri tra 115.000 e 40.000 anni)
tp = tempo richiesto per completare la consolidazione primaria in sito aseguito del cambiamento dello stato di sforzo (può essere ricavato applicandola teoria della consolidazione edometrica)
2828IG = variazione di G0 per ciclo logaritmico a consolidazione avvenuta (v. DIA 27)
15
L’applicazione di una serie di cicli di carico di ampiezza elevata (“prestrainingdinamico”) modifica la rigidezza iniziale G0 del terreno.
7. Effetto del prestraining dinamico su G0 per i terreni a grana fine
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In particolare:
la rigidezza iniziale, in condizioni non drenate, di argille sottoposte aprestraining si riduce, tuttavia, dopo un certo tempo dall’applicazione dellasequenza ciclica, si ha un recupero di rigidezza e G0 assume valori maggiori diquelli che si avevano in assenza di prestraining (Dobry e Vucetic, 1987)
2929
7. Effetto del prestraining dinamico su G0 per i terreni a grana fine
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G0
[MPa
]
3030
16
Rapporto di smorzamento iniziale D0 – Misura diretta
Le proprietà smorzanti del terreno giocano un ruolo fondamentale nei problemi didinamica: quando la frequenza del carico ciclico è prossima a una delle frequenze
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q q p qproprie del deposito, l’amplificazione in superficie è tanto maggiore quanto minore è ilrapporto di smorzamento D
ampl
ific
azio
ne
Funzione di amplificazione di uno strato di terreno omogeneo visco-elastico di spessore H su substrato infinitamente rigido
3131frequenze proprie
Fattori che influenzano il rapporto di smorzamento iniziale D0 nei terreni a grana grossa
A bassi livelli deformativi gli effetti dissipativi nei terreni a grana grossa sonod ti (D ≤ 1%)
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modesti (D0 ≤ 1%)
Anche se la definizione di D0 per i terreni a grana grossa è di scarso interesse,si è osservato che tale parametro dipende da:
stato di addensamento iniziale (indice dei vuoti, e, o densità relativa DR)
pressione di confinamento, σ0’
età geologica e cementazione
In particolare:
• le sabbie hanno valori di D0 leggermente più alti delle ghiaie e la presenza di materiale fine può incrementare D0 fino a valori superiori al 2%
• il valore di D0 si riduce all’aumentare di σ0’ , dell’età geologica e del grado di cementazione
• D0 è praticamente indipendente dalla velocità di carico3232
17
Fattori che influenzano il rapporto di smorzamento iniziale D0 nei terreni a grana fine
I terreni a grana fine esibiscono invece un comportamento dissipativo rilevante
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3. pressione di confinamento, σ0’
4. indice dei vuoti, e
1. indice di plasticità, IP
5. età geologica (tempo di consolidazione)
2. velocità di deformazione, (o frequenza di applicazione dei carichi, f)γ&
g p panche a bassi livelli deformativi. I principali fattori che influenzano D0 sono:
OSS. L’indice di plasticità è considerato in genere il fattore più influente, mentre sonoininfluenti il grado di sovraconsolidazione OCR e la storia di carico (prestraining):
3333
Rapporto di smorzamento iniziale D0 – Misura diretta
D0 può essere misurato in maniera affidabile solo in laboratoriocon prove di colonna risonante (RC) e di taglio torsionale ciclico (CTS)
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Poiché D0 dipende dalla frequenza del carico, per le applicazioni sismichedovrebbe essere misurato con frequenze delle sollecitazioni cicliche prossimea quelle dei terremoti (1÷10 Hz)Pertanto la prova CTS (frequenze tipiche: 0.1÷1 Hz) appare più appropriataper la misura di D0 ai fini sismici rispetto alla prova RC (frequenze tipiche abassi livelli deformativi > 20÷30 Hz)
In particolare, evidenze sperimentali hanno mostrato che: D0(RC) > D0(CTS)
(Zhang et al., 2005)
D0 e IP in [%], σ0’ [kPa], Pa = 100 kPa
Stima indiretta di D0 per terreni a grana fine
k= 0.316 exp(-0.014 IP) terreni quaternari
k= 0.316 exp(-0.011 IP) terreni terziari3434
18
10n
-D0
[%]
5. Dipendenza di D0 dal tempo di consolidazione
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1
ppor
to d
i sm
orza
men
to m
in
0.10.1 1 10 100 1000 10000
Rap
Tempo di consolidazione - t [min]
ID = ΔD / Δlog(t)ND = 100⋅(ID / D1000)
ID = coeff. di incremento assoluto di D
ND = indice di incremento relativo di D 3535
5. Dipendenza di D0 dall’età geologica
D0
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Pleistocene: da 1,8 milioni di anni fa a 11.000 anni faOlocene: da 11.000 anni fa ad oggi 3636
19
f
Comportamento del terreno a bassi livelli deformativi
MODELLI LINEARI
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Valgono fintanto che γ < γl
Tali condizioni si realizzano nei problemi che riguardano:fondazioni di macchine vibranti, vibrazioni indotte dal traffico, ecc..
I parametri del terreno necessari per definire un modello lineare sono G0
τ
Go e Do1
γOSS: Il modello elastico lineare è impiegatonell’interpretazione di misure geofisiche
3737
Comportamento del terreno a medi livelli deformativi
A medi livelli deformativi (γl < γ ≤γv) il comportamento dei terreni in condizioni dicarico dinamico ciclico è visco-elastico non lineare (deform. plastiche trascurabili)Al crescere di γ : l’inclinazione della retta congiungente gli estremi del ciclo (quindi Geq)
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γ g g g (q eq)diminuisce e l’area racchiusa dal ciclo (quindi D) aumenta;Tuttavia dopo pochi cicli di carico la risposta sforzi-deformazioni del terreno si stabilizza:-i cicli di carico-scarico-ricarico tendono a sovrapporsi e-il terreno non perviene a rottura (comportamento stabile)
G=G(γ) e D=D(γ)τ
G( )γc1
D( ) <γc1τ
Il terreno a medi livelli deformativi è caratterizzato da:
1
1G( )γc2
γc1 γc2
D( )γc1
D( )γc2 γ
3838
20
La legge di variazione del modulo di taglio normalizzato G/G0 (curva didecadimento) e la legge di variazione del rapporto di smorzamento D (curva dismorzamento) con l’ampiezza della deformazione γ dipendono innanzitutto dalla
t d ll i i d l t diff i t i t i
Comportamento del terreno a medi livelli deformativi
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natura e dalla composizione del terreno e sono differenziate per i terreni agrana grossa e fine
I. Nei terreni a grana grossa l’origine fisica delle variazioni di rigidezza esmorzamento con la deformazione di taglio è quasi esclusivamente dovuta ailegami frizionali nei contatti intergranulari (essendo le modificazioni dellastruttura molto piccole)
II. Nei terreni a grana fine la rigidezza e lo smorzamento sono influenzatig gsoprattutto dai legami interparticellari e quindi dalla plasticità e dalla storiatensionale
N.B. Fintanto che le deformazioni sono inferiori alla soglia volumetrica, i fattori da cuidipendono gli andamenti di G(γ)/G0 e D(γ) sono gli stessi da cui dipendono G0 e D0
3939
La legge di variazione del modulo di taglio G e del rapporto di smorzamento D dipendonodalla natura del terreno (coesivo o granulare) e da una serie di fattori nel modo seguente:
Fattori che influenzano le curve G (γ)/G0 e D(γ)
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Fattori (crescenti) G/GO DPressione di confinamento σ’o aumenta decresceIndice dei vuoti e decresce aumentaEtà geologica aumenta decresceCementazione può aumentare può decrescereGrado di sovraconsolidazione OCR aumenta poco influenzatoIndice di plasticità Ip aumenta decresceDeformazione ciclica decresce aumentaDeformazione ciclica decresce aumentaVelocità di deformazione poco influenzato può crescereNumero di cicli di carico N decresce (per γ > γv) può crescere (per γ > γv)
OSS: il comportamento di D è influenzato dai diversi fattori in modo approssimativamente opposto a quello di G
4040
21
Dipendenza di G(γ)/G0 e D(γ) dalla natura del terreno
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OSS: Teoricamente per γ < γl : D0= 0 (comportamento elastico lineare), sperimentalmente invece risulta D0 ≅ 1÷ 5%
4141
Dipendenza di G(γ)/G0 e D(γ) dall’indice di plasticità
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G/G
0
4242
22
Dipendenza di G(γ)/G0 e D(γ) dall’indice dei vuoti (stato di addensamento)
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emax
emin
emax
emin
emaxemin
4343
Dipendenza di G(γ)/G0 e D(γ) dalla pressione efficace di confinamento per terreni sabbiosi
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4444
23
Dipendenza di G(γ)/G0 e D(γ) dalla pressione efficace di confinamento per terreni argillosi
0
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G/G
0
OSS: dal confronto con la fig. precedente si nota che per le argille σ’0 è menoinfluente che per le sabbie
4545
Dipendenza di D dalla velocità di deformazione
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Prevalgono fenomeni di “creep”
Comportamento dissipativo di natura “isteretica”(prevalentemente attritiva)
Comportamento dissipativo di natura “visco-elastica” (per la presenza del fluido interstiziale) 4646
24
Depositi quaternari Depositi terziari e più antichi
Tecnica di misura (frequenza)
Dipendenza di G(γ)/G0 e D(γ) da frequenza , IP , età geologica
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Plasticità
4747
Individuazione delle curve G(γ) e D(γ)Le leggi di variazione del modulo di taglio e del rapporto di smorzamento vengonoricavate in laboratorio con prove di colonna risonante e di taglio torsionale ciclicoPer la difficoltà di eseguire prove di laboratorio su campioni “indisturbati”, per iterreni a grana grossa vengono spesso utilizzate relazioni empiriche di letteratura
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terreni a grana grossa vengono spesso utilizzate relazioni empiriche di letteratura
G0(und) ≅ 2 •G0(dist)
Effetto del disturbo su G(γ) Effetto del disturbo su D(γ)4848
25
Rollins et al., 1998
1G
)]101(201[1
GG)1 10
0γγ ⋅−+⋅⋅+
=
STIMA DI G(γ) PER GHIAIE
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i %)]102.1(161[
1GG)2 20
0γγ ⋅−+⋅⋅+
= γ in %
4949
STIMA DI G(γ) PER SABBIE
Seed e Idriss, 1970
G e σ0’ in kPa ; K2 funzione della densità relativa e della deformazione γ
5.002 )'(K220G σ⋅⋅=
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0 2 γ
5050
26
Shibata e Solearno, 1975
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+
=0 10001
1GG
γ ’ i k / 2 f i di 1
STIMA DI G(γ) PER SABBIE
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⎟⎠
⎜⎝
+ 5.00'
10001σ σ ’0 in kg/cm2; γ come frazione di 1
5151
0m)(m0
0)'()(K
GG −⋅= γσγ Ishibashi e Zhang, 1993
STIMA DI G(γ) PER SABBIE
’
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0
K(γ
)
m(γ
) -m
0
σ ’0 in kPa
γ γ
5252
27
Rollins et al., 1998
STIMA DI D(γ) PER GHIAIE
( ) 75.09.015.01188.0D−−⋅+⋅+= γ
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( )γ in %
5353
Hardin, 1965
STIMA DI D(γ) PER SABBIE
5.00
2.0 )'(450D −σ⋅γ⋅=
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σ ’0 in psf (1psf = 0.0479kPa); γ in %
5454
28
Saxema e Reddy, 1989
STIMA DI D(γ) PER SABBIE
38.0
033.0 '22.9−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅=D σγ
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⎟⎠
⎜⎝ ap γ in %
5555
Individuazione delle curve G(γ) e D(γ)
Poiché la legge di variazione del rapporto di smorzamento (crescente con γ) haandamento opposto alla legge di variazione del modulo di taglio (decrescente con γ)sono state proposte per D(γ) relazioni empiriche in funzione del rapporto G(γ)/G0
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⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅= 1
GG547.1
GG586.03.33D
0
2
0
Ishibashi e Zhang, 1993 (per sabbie)
Zhang et al., 2005 (per argille)D0= (0.008 IP…. v. DIA 35)
G/G0
5656
29
Largamente utilizzati per la loro semplicità, valgono fintanto che γ < γV
Tali condizioni si realizzano tipicamente per terremoti di intensità medio bassa
MODELLI LINEARI EQUIVALENTI
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Comportamento del terreno a medi livelli deformativi
Tali condizioni si realizzano tipicamente per terremoti di intensità medio-bassa
Nel dominio isteretico stabile si può prescindere dal numero di cicli di carico,quindi, per un determinato valore di γ e un determinato ciclo, il comportamentodel terreno può essere descritto utilizzando 2 parametri (G e D), ovveroricorrendo ancora ad una ‘formulazione lineare’
I parametri del terreno necessari per definire un modello lineare equivalente sono:- la legge di variazione G = G(γ) o G(γ)/G0
- la legge di variazione D = D(γ)
OSS: I modelli lineari equivalenti sono utilizzatinella modellazione di prove dinamiche ecicliche di laboratorio e nella modellazionenumerica della rispsta sismica locale 5757
MODELLI LINEARI EQUIVALENTI
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Comportamento del terreno a medi livelli deformativi
Poiché γ, oltre la soglia lineare, dipende a sua volta da G e D, per applicare un modello lineare equivalente occorre seguire una
Avendo osservato sperimentalmente che:
applicare un modello lineare equivalente occorre seguire una procedura iterativa:
- con una coppia di valori G e D di tentativo (es. G0 e D0) si determina γ; - si ricavano i valori di G e D corrispondenti e si ridetermina γ;- si ripete la procedura finché ⎜γi+1- γi ⎜≤ε, con ε molto piccolo
la legge G(γ) è all'incirca iperbolicaesiste una correlazione fra G e D
sono stati proposti diversi modellianalitici per esprimere la leggeG(γ)/G0 e la relazione fra G e D
5858
30
La maggior parte dei modelli analitici assume per la legge di variazione G(γ)/G0
MODELLI LINEARI EQUIVALENTI
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Comportamento del terreno a medi livelli deformativi
una funzione iperbolica. Tra questi i più importanti:
max0
1τ
γγτ
+=
G r
GG
γγ
+=
1
1
0 essendo
τ
γτ
γ ddG lim
00
→=
)( γτ=τ∞→γ
limmax
1. modello iperbolico di Hardin e Drnevich (1972)
e per la legge D = D(γ):
0
max Gr
τγ =
0max1
GG
DD
−=
N.B.: i parametri del modello (G0 , γr ; Dmax) sono propri del materiale e possono esseredeterminati mediante curve di regressione adattate ai dati sperimentali
5959
MODELLI LINEARI EQUIVALENTI
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Comportamento del terreno a medi livelli deformativi
2. modello iperbolico modificato di Hardin e Drnevich (1972)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅+⋅
γγ
+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛γγ
−r
b
rea
GG
11
1
0 0max1
GG
DD
−=
Parametri (costanti del materiale di adattamento al modello): γr , G0 , a, b ; Dmax
βγ⋅α+=
11
0GG
3. modello iperbolico modificato di Yokota et al. (1981)Parametri (costanti del materiale di adattamento al modello): G0 , α , β ; λ, Dmax
6060
31
MODELLI LINEARI EQUIVALENTI
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Comportamento del terreno a medi livelli deformativi
4. modello iperbolico modificato di Kondner e Zelasko (1963)Parametri (costanti del materiale di adattamento al modello): γr , G0 , β , s
5. modello di Ramberg e Osgood (1943)P t i ( t ti d l t i l di d tt t l d ll ) G C R ; D
s
r
GG
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+
=
γγβ1
1
0
Parametri (costanti del materiale di adattamento al modello): G0 , C, R ; Dmax
R
oo GC
Gτ
⋅+τ
=γ0max
1GG
DD
−=1R1R2Dmax +
−=
πcon
Molto flessibile ed utile per l’interpretazione dei risultati ottenuti in laboratorio;usa una relazione sforzi-deformazioni “inversa”:
6161
ADATTAMENTO DI MODELLI ANALITICI AI DATI SPERIMENTALI
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Le costanti che compaiono nelle espressioni analitiche dei diversi modelli sonoi parametri di adattamento del modello ai dati sperimentali (ottenuti da provedinamiche e cicliche a bassi e medi livelli di deformazione) e vengonodeterminate mediante opportune procedure di interpolazione
In generale, per adattare un modello complesso ad una serie di datisperimentali conviene, se possibile, operare un cambiamento di variabili inmodo da trasformare la relazione originaria in una relazione lineareg
Per i modelli descritti l’accorgimento è applicabile
6262
32
ADATTAMENTO DI MODELLI ANALITICI AI DATI SPERIMENTALI
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La determinazione di G0 mediante il modello Hardin e Drnevich è un passofondamentale anche per l’adattamento di altri modelli
MODELLO DI HARDIN E DRNEVICH: DETERMINAZIONE DI G0 (1/2)
)Gessendo(G1
G11
GG
1
1GG
0rmaxmax0r
0
0⋅=+=⇒+=⇒
+= γτ
τγ
γγ
γγ
posto: y=1/G e x=γ si ha: y = a + b⋅x
con a=1/G0 e b=1/τmax
rγ
6363
Dati sperimentaliγ [%] G [KPa] 1/G
0,000120 79764,0 1,2537E-050,000239 79784,0 1,25338E-050,000449 79790,8 1,25328E-050,000900 79790,8 1,25328E-05
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MODELLO DI HARDIN E DRNEVICH: DETERMINAZIONE DI G0 (2/2)
0,001804 79797,6 1,25317E-050,002779 78498,5 1,27391E-050,004458 76500,6 1,30718E-050,006449 74016,1 1,35106E-050,010295 69546,8 1,43788E-050,014883 64142,4 1,55903E-050,021879 56503,1 1,76981E-050,037212 46368,7 2,15663E-050,070298 31949,7 3,12992E-050,084571 30152,4 3,31649E-050,206701 13741,8 7,27707E-050,350951 9408,3 0,0001062890 441489 7852 5 0 000127348 r2=0.99797
b a
0,441489 7852,5 0,000127348
G0 = 1/a = 82030 kPaτmax = 1/b = 3749 kPa
x yr 0.99797
6464
33
βγα ⋅=− 1G/G
1⇒= β1
1GG
MODELLO G(γ) IPERBOLICO MODIFICATO DI YOKOTA ET AL. (1/2)
ADATTAMENTO DI MODELLI ANALITICI AI DATI SPERIMENTALI
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G/G 0⋅+ βγα10G
Dati sperimentaliGamma [%] G [KPa] G/Go 1/G x = log(γ) y=log[G0/G-1]
0,00012 79764 0,972375079 1,2537E-05 -3,920818754 -1,5465327790,000239 79784 0,972618892 1,25338E-05 -3,621602099 -1,5504916870,000449 79790,8 0,972701789 1,25328E-05 -3,347753659 -1,5518455230,0009 79790,8 0,972701789 1,25328E-05 -3,045757491 -1,551845523
0 001804 79797 6 0 972784685 1 25317E 05 2 743763467 1 553203361
G0= 82030 kPa - da Hardin & Drnevich
)log(x;)1Go/G
1(logy γ=−= α= logAposto: si ha y = A + β·x con
0,001804 79797,6 0,972784685 1,25317E-05 -2,743763467 -1,5532033610,002779 78498,5 0,956947811 1,27391E-05 -2,556111453 -1,346893010,004458 76500,6 0,932592109 1,30718E-05 -2,350859936 -1,1409809970,006449 74016,1 0,902304437 1,35106E-05 -2,190507623 -0,9654782520,010295 69546,8 0,847820761 1,43788E-05 -1,987373649 -0,7459486380,014883 64142,4 0,781937607 1,55903E-05 -1,827309518 -0,5545913270,021879 56503,1 0,688809567 1,76981E-05 -1,659972532 -0,3450729350,037212 46368,7 0,565264635 2,15663E-05 -1,429316988 -0,1140268440,070298 31949,7 0,389487639 3,12992E-05 -1,153057031 0,1952007820,084571 30152,4 0,367577383 3,31649E-05 -1,072778534 0,2356586120,206701 13741,8 0,167521487 7,27707E-05 -0,684657422 0,6963025140,350951 9408,3 0,114693301 0,000106289 -0,454753516 0,8875556980,441489 7852,5 0,095727086 0,000127348 -0,355080113 0,975264682 6565
β = 1,0725A = 1,3979
α = 10A = 24 9971
MODELLO G(γ) IPERBOLICO MODIFICATO DI YOKOTA ET AL. (2/2)
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r2 = 0 9992 α = 10A = 24,9971r2 = 0.9992
6666
34
malnln0 DGDeD GG
+⋅=⇒=⋅
λλ
MODELLO D(γ) IPERBOLICO DI YOKOTA ET AL. (1/2)
ADATTAMENTO DI MODELLI ANALITICI AI DATI SPERIMENTALI
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max0max
lnln DG
DeD
+⇒ λ
oGGx;Dlny ==posto: Dati sperimentali
γ[%] G [KPa] D [%] G/Go ln(D)0,000120 79764,0 - 0,972375 -0,000239 79784,0 2,398717 0,972619 0,87493420,000449 79790,8 2,188972 0,972702 0,78343220,000900 79790,8 2,210355 0,972702 0,79315330,001804 79797,6 2,339226 0,972785 0,84982030,002779 78498,5 2,295533 0,956948 0,83096500,004458 76500,6 2,379242 0,932592 0,8667818
maxDlna =
si ha y = a + λ·x
con
0,004458 76500,6 2,379242 0,932592 0,86678180,006449 74016,1 2,758761 0,902304 1,01478170,010295 69546,8 3,276777 0,847821 1,18686040,014883 64142,4 4,023713 0,781938 1,39220500,021879 56503,1 4,989409 0,68881 1,60731740,037212 46368,7 6,939022 0,565265 1,93716080,070298 31949,7 8,844466 0,389488 2,17979190,084571 30152,4 10,1212 0,367577 2,31463180,206701 13741,8 15,12202 0,167521 2,71615170,350951 9408,3 - 0,114693 -0,441489 7852,5 - 0,095727 -
6767
λ = -2,40a = 3,1870
D = ea = 24 2148
MODELLO D(γ) IPERBOLICO MODIFICATO DI YOKOTA ET AL. (2/2)
prof. ing. Claudia MadiaiCorso di Ingegneria Geotecnica Sismica
r2 = 0.9906 Dmax = ea = 24,2148r 0.9906
6868
35
Rττ
MODELLO G(γ) DI RAMBERG E OSGOOD (1/3)
ADATTAMENTO DI MODELLI ANALITICI AI DATI SPERIMENTALI
prof. ing. Claudia MadiaiCorso di Ingegneria Geotecnica Sismica
sostituendo τ = G·γ e passando ai logaritmi:C00 GG
ττγ ⋅+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
00loglog1log
GGRC
GG γγ
⎞⎛⎤⎡ ⎞⎛ GG
R
00 GGC
GG1 ⋅
⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
γγ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
00 GGlogx;
GG1logy γγ ClogA =posto: si ha: y = A + R·x con
6969
Dati sperimentaliγ [%] G [KPa] G/Go x = log(γ·G/G0) y=log[γ·(1-G/G0)]
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MODELLO G(γ) DI RAMBERG E OSGOOD (2/3)
γ [%] G [KPa] G/Go x log(γ G/G0) y log[γ (1 G/G0)]0,000120 79764,0 0,999578935 -3,921001659 -7,2964693060,000239 79784,0 0,999829569 -3,621676123 -7,390053020,000449 79790,8 0,999914784 -3,347790669 -7,4172345760,000900 79790,8 0,999914784 -3,045794501 -7,1152384080,001804 79797,6 1,000000000 -2,743763467 #NUM!0,002779 78498,5 0,983720062 -2,563239925 -4,34445870,004458 76500,6 0,958682968 -2,369184924 -3,7347308180,006449 74016,1 0,927547946 -2,223171255 -3,3304569230,010295 69546,8 0,871539996 -2,047086327 -2,8786057180,014883 64142,4 0,803813649 -1,922154142 -2,5346407280 021879 56503 1 0 708080193 1 809890086 2 1947089680,021879 56503,1 0,708080193 -1,809890086 -2,1947089680,037212 46368,7 0,581078880 -1,665081897 -1,8071847310,070298 31949,7 0,400384222 -1,550580076 -1,3751839790,084571 30152,4 0,377860988 -1,495446478 -1,2788910990,206701 13741,8 0,172208187 -1,448603628 -0,7667362950,350951 9408,3 0,117902042 -1,383232188 -0,5092366990,441489 7852,5 0,098405215 -1,362061997 -0,400068722
7070
36
R = 3,1632A = 3,6548
C = 10A = 4516 1325
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MODELLO G(γ) DI RAMBERG E OSGOOD (2/3)
r2 = 0.9897C = 10A = 4516,1325
7171
prof. ing. Claudia MadiaiCorso di Ingegneria Geotecnica Sismica
MODELLO G(γ) DI RAMBERG E OSGOOD
Variazione di posizione e pcurvatura delle curve G(γ) in
funzione dei parametri C ed R
7272