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PROGETTOPROGETTOLAUREE LAUREE
SCIENTIFICHESCIENTIFICHE
Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico TecnologicoAnno Scolastico 2006-07
Polinomi e Equazioni
Simonetta Guglielmetto
CHE COS’E’ CHE COS’E’ L’ALGEBRA ?L’ALGEBRA ?
Risposte diverse a seconda dei periodi storici
L'algebra si caratterizza prima di tutto per il suo metodo, che comporta l'uso di lettere e di espressioni letterali sulle quali si eseguono delle trasformazioni secondo regole ben definite.
Il metodo algebrico, cioè il metodo del calcolo letterale, permea tutta la matematica.
Una parte essenziale della soluzione di un qualsiasi problema matematico spesso non è altro che un calcolo algebrico più o meno complesso
Il valore del metodo algebrico è cresciuto enormemente negli ultimi decenni:
alcune questioni di analisi sono state risolte con metodi
algebrici avanzati.
i rami superiori dell'algebra hanno trovato applicazioni
nella fisica moderna
alcune questioni di analisi sono state risolte con metodi
algebrici avanzati.
alcune questioni di analisi sono state risolte con metodi
algebrici avanzati.
alcune questioni di analisi sono state risolte con metodi
algebrici avanzati.…….
1)PER EULERO
.
2) ALLA FINE DEL XVIII SECOLO
il problema centrale è trovare la soluzione delle equazioni algebriche e in particolare la soluzione della equazione algebrica di grado n in 1 incognita:
1 21 2 1... 0n n n
n nx a x a x a x a
l'algebra è la teoria del calcolo con quantità diverse
l'algebra era definita come la teoria delle equazioni algebriche.
3) NEL XX SECOLO
.L'algebra come studio di diversi sistemi algebrici
Molti problemi pratici si trasformano
nella risoluzione di un’equazione polinomiale
PROBLEMA DI PRIMO GRADO
Pierino ha 8 anni e suo padre 37; tra quanti anni l’età del padre sarà doppia di quella di Pierino?
(37+x)=2(8+x)x= 21
FORMULA RISOLUTIVAFORMULA RISOLUTIVAEQ. PRIMO GRADOEQ. PRIMO GRADO
0ax b
bx
a
PROBLEMA DI SECONDO GRADO
Calcolare il perimetro di un campo rettangolare, sapendo che un lato è il doppio dell’altro e che la superficie
misura 7200 m2
(x2x)=7200x= 60
FORMULA RISOLUTIVAFORMULA RISOLUTIVAEQ. SECONDO GRADOEQ. SECONDO GRADO
² 0ax bx c
² ²²
4 ² 4 ²
b b b cx x
a a a a
²
4 ²
b c
a aSi divide per a e si aggiunge ad
ambo i membri
2 ² 4
2 4 ²
b b acx
a a
² 4
2 4 ²
b b acx
a a
² 4
2
b b acx
a
NB sempre due soluzioni
che però possono essere non reali
PROBLEMA DI TERZO GRADO
Una pianta ha prodotto nel 1° anno di vita un certo numero di rami; nel 2° anno, da ogni ramo del 1° anno uno in meno
rispetto a quelli del 1°; nel 3° anno, da ogni ramo del 2° anno due in meno rispetto a quelli del primo. Se nel 3° anno
i rami prodotti risultano 210, quanti rami sono stati prodotti nel 1° anno?
1 2 210x x x
COME LA RISOLVO?
SVOLGO I CALCOLI?
SO USARE IL TEOREMA DI
RUFFINI?
Data l’equazione
1 21 2 1... 0n n n
n nx a x a x a x a
Soluzione con stratagemmi:
binomie, trinomie,…
Metodi di scomposizione
Metodo di Ruffini per trovareun divisore
del polinomio
ESISTE UNA FORMULA RISOLUTIVA PER RADICALI PER EQUAZIONI DI TERZO
E QUARTO GRADO
Spesso è più conveniente utilizzare il teorema di Ruffini ovvero
fattorizzare il polinomio
determinare innanzitutto le soluzioni razionali
TEOREMA DI RUFFINITEOREMA DI RUFFINI Siano F(x) un polinomio di grado n e c un numero reale.
Allora c è una radice di F(x) = 0 se e soltanto
se F(x) si può fattorizzare nel prodotto di x - c per un polinomio di grado n - 1.
Dim: Per sapere se un numero c è radice del polinomio F(x) possiamo eseguire la divisione con resto di F(x) per il polinomio di primo grado x - c ottenendo:
F(x) = (x- c) G(x) + rdove r è un polinomio di grado inferiore al grado di x - c, ossia
r è un numero reale
Calcolando F(c) si ottiene
F(c) = r
c è radice di F(x) se e soltanto se r = 0 ossia
se e soltanto se F(x) = (x - c) G(x).c.v.d.
una equazione polinomiale di grado n ha al massimo n radici,
anche contando la molteplicità di ciascuna.
Come applico Ruffini ?
Si applica la regola del resto ai divisori del termine noto
se il coefficiente del termine di grado massimo è 1
Esempio : x³-2x²+3x-6=0
Divisori di 6 : 1, 2, 3, 6
Calcolo F(divisori) ; se uno annulla fattorizzo
Come si opera se il coefficiente a 0
≠1 ?
REGOLA DEL RESTO GENERALIZZATA
Data l’equazione
1 20 1 2 1... 0n n n
n na x a x a x a x a
dove i coefficienti sono numeri interi e 0na
(in caso contrario 0 è una soluzione e possiamo dividere il polinomio per x).
Ogni sua soluzione razionale b/c , dove b, c sono numeri interi senza fattori comuni,
avrà la proprietà che il suo numeratore b è un divisore del termine noto
e il suo denominatore c è un divisore del coefficiente direttivo a0.
Dimostrazione:
Sostituiamo b/c nell'equazione e poi facciamo il m.c.m.
1 2 2 10 1 2 1... 0n n n n n
n na b a b c a b c a bc a c
Possiamo raccogliere b dai primi n addendi e portare l'ultimo a secondo membro:
1 2 3 2 10 1 2 1...n n n n n
n nb a b a b c a b c a c a c
Poichè b non ha fattori in comune con c, allora deve dividere an; allo stesso modo si prova che c deve dividere a 0.
IN PRATICA
1. scrivere l'elenco di tutte le frazioni che si ottengono mettendo un divisore di an al numeratore e un divisore di a0 al denominatore
2. sostituirle una ad una nell'equazione verificando se annullano
3. procedere alla fattorizzazione
Esempio4 3 21 3 1
02 2 2
x x x x
Formula di Cardano-Formula di Cardano-TartagliaTartaglia
a x3 + b x2 + c x + d = 0
Formula risolutiva Formula risolutiva equazioni di quarto gradoequazioni di quarto grado
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_quarto_grado
http://planetmath.org/encyclopedia/QuarticFormula.html
a x4 + b x3 + c x2 + d x + e = 0
TEOREMA DI ABEL-RUFFINITEOREMA DI ABEL-RUFFINI
NON ESISTONO FORMULE RISOLUTIVE PER RADICALI DELLE EQUAZIONI DI GRADO >=5
Formula di Cardano-TartagliaFormula di Cardano-Tartaglia
Vogliamo trovare una formula risolutiva per le equazioni di terzo grado, ossia per equazioni del tipo: :
3 2 0x ax bx c
Per prima cosa osserviamo che è sempre possibile ricondurre questa equazione ad una del tipo:
3 0x px q
Mediante una trasformazione 3
ay x
(1)
Introduco quindi u e v tali che
u+v=x e uv=-p/3.
Svolgendo i calcoli dalla 1 si ottiene
Quindi se trovo due numeri u e v che soddisfano questo sistema allora x=u+v soddisfa l’equazione [1].Sostituendo v e moltiplicando per u3 la prima equazione si ottiene un’equazione trinomia in z=u3 che si può risolvere come un’eq. di secondo grado…
3 3
3
u v q
puv
ESEMPI
1. x³-2x+3=0
2. x³-15x-4=0
E si ottiene la formula di Cardano-Tartaglia
2 3 2 33 3
2 2 3 2 2 3
q q p q q px