Post on 02-May-2015
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Proprietà riflessivaA=A
Proprietà simmetricaSe A=B allora B=A
Proprietà transitivaSe A=C e B=C allora A=B
AA
BB CC
AA
BB
CC
DD
Quali tra questi poligoni Quali tra questi poligoni sono equivalenti?sono equivalenti?
Impossibile saperlo se prima non Impossibile saperlo se prima non si sceglie una unità di misura si sceglie una unità di misura
omogenea alla superficie piana, omogenea alla superficie piana, ad esempio:ad esempio:
Si dice area di una superficie piana quel numero che Si dice area di una superficie piana quel numero che indica quante volte l’unità di misura, o un suo indica quante volte l’unità di misura, o un suo
sottomultiplo, è contenuta nella superficie stessa.sottomultiplo, è contenuta nella superficie stessa.
AA BB
CCDD
AB = 5cmAB = 5cmBC = 3cmBC = 3cm
Il rettangolo può essere scomposto in 15 Il rettangolo può essere scomposto in 15 quadratini che si ottengono riportando quadratini che si ottengono riportando
sulla base e sull’altezza l’unità di misura sulla base e sull’altezza l’unità di misura (il cm) e conducendo le parallele ai lati.(il cm) e conducendo le parallele ai lati.
Formula Formula direttadiretta Formule inverseFormule inverse
hbA hA
bbA
h
AA BB
CCDD
Sappiamo che il quadrato è un Sappiamo che il quadrato è un particolare rettangolo con le dimensioni particolare rettangolo con le dimensioni
congruenti, quindi se consideriamo il congruenti, quindi se consideriamo il quadrato ABCD, che ha il lati l di 3 cm, la quadrato ABCD, che ha il lati l di 3 cm, la
sua area sarà:sua area sarà:
AB = 3cmAB = 3cm
Formula direttaFormula diretta Formula Formula inversainversa
2lllA Al
Con degli elastici Con degli elastici colorati proviamo a colorati proviamo a formare dei rettangoli formare dei rettangoli equivalenti di area 16equivalenti di area 16
Usiamo come unità di Usiamo come unità di misura un quadratino misura un quadratino che ha come vertici 4 che ha come vertici 4 chiodichiodi
latilati areareaa
perimetperimetroro
funzionfunzionee
16x116x1 1616 3434
Ramo Ramo di di
iperboliperbolee
8x28x2 1616 2020
4x44x4 1616 1616
2x82x8 1616 2020
1x161x16 1616 3434
Fra tutti i rettangoli il quadrato è quello che ha Fra tutti i rettangoli il quadrato è quello che ha perimetro minoreperimetro minore
Ce ne sono altri Ce ne sono altri isoperimetrici?isoperimetrici?
Costruiamo con un Costruiamo con un elastico un rettangolo elastico un rettangolo di base 1 e altezza 15di base 1 e altezza 15
Qual è la figura con Qual è la figura con area maggiore?area maggiore?
QUADRATOQUADRATO
FUNZIONE: FUNZIONE: rettaretta
• Bisogna trovare un metodo per verificare l’equivalenza tra il Bisogna trovare un metodo per verificare l’equivalenza tra il poligono considerato e uno di cui si sa già calcolare l’area.poligono considerato e uno di cui si sa già calcolare l’area.
• Sappiamo l’area del rettangolo? Sappiamo l’area del rettangolo? • Sì: A=Sì: A=bb·h·h• Riesco a trasformare Riesco a trasformare il mio parallelogrammo in un rettangolo?il mio parallelogrammo in un rettangolo?• Considero il triangolo Considero il triangolo AHDAHD..• Questo triangolo può essere traslato lungo la base in modo da far Questo triangolo può essere traslato lungo la base in modo da far
coincidere il lato coincidere il lato ADAD con il lato con il lato BCBC..
AA HH BB
CCDD
EE
• I due triangoli I due triangoli AHDAHD e e BECBEC sono congruenti. sono congruenti.• Il rettangolo Il rettangolo HECDHECD risulta equicomposto rispetto al risulta equicomposto rispetto al
parallelogrammo parallelogrammo ABCDABCD e quindi ad esso equivalente. e quindi ad esso equivalente.
AA HH BB EE
CCDD
Formula Formula direttadiretta Formule inverseFormule inverse
hbA hA
bbA
h
AA BB
CC DD
• Anche per trovare l’area del triangolo occorre cercare un metodo per Anche per trovare l’area del triangolo occorre cercare un metodo per verificare la sua equivalenza con un poligono conosciuto di cui si sa già verificare la sua equivalenza con un poligono conosciuto di cui si sa già trovare l’area.trovare l’area.
• Possiamo utilizzare una rotazione di 180° con centro nel punto medio di un Possiamo utilizzare una rotazione di 180° con centro nel punto medio di un suo lato (suo lato (CB in questo casoCB in questo caso).).
• Otteniamo un parallelogrammo che ha la stessa base (Otteniamo un parallelogrammo che ha la stessa base (AB = CDAB = CD) e la stessa ) e la stessa altezza (altezza (CH = BLCH = BL) del triangolo dato.) del triangolo dato.
• I due triangoli I due triangoli ABCABC e e BDCBDC sono congruenti. sono congruenti.
HH
LL
un triangolo è un triangolo è equivalente alla equivalente alla metàmetà di un parallelogramma di un parallelogramma avente la stessa base avente la stessa base
e la stessa altezza.e la stessa altezza.A B
C D
H
L
Formula Formula direttadiretta Formule inverseFormule inverse
2hb
A
hA
b2
bA
h2
AA BB
CC DD
Con la rotazione del triangolo rettangolo si Con la rotazione del triangolo rettangolo si ottiene un rettangolo la cui area si trova ottiene un rettangolo la cui area si trova
moltiplicando moltiplicando AB AB · AC (ovvero i due cateti).· AC (ovvero i due cateti).
• Il romboIl rombo ABCD ABCD è un quadrilatero di 4 lati uguali.è un quadrilatero di 4 lati uguali.• Una delle sue proprietà è quella di avere le diagonali Una delle sue proprietà è quella di avere le diagonali
perpendicolari tra loro (perpendicolari tra loro (DBDB diagonale maggiore; diagonale maggiore; CACA diagonale diagonale minore). Esse dividono il rombo in 4 triangoli rettangoli minore). Esse dividono il rombo in 4 triangoli rettangoli uguali.uguali.
• Possiamo traslare ogni triangolo ottenendo il rettangolo Possiamo traslare ogni triangolo ottenendo il rettangolo EFGHEFGH..
• Questo rettangolo ha per altezza la diagonale minore Questo rettangolo ha per altezza la diagonale minore CA = CA = GF GF e per base la diagonale maggiore e per base la diagonale maggiore DB =EFDB =EF, e l’area di , e l’area di questo rettangolo è doppia di quella del rombo.questo rettangolo è doppia di quella del rombo.
AA
BB
CC
DD
EE FF
GGHH
Un rombo è equivalente Un rombo è equivalente alla alla metàmetà di un di un
rettangolo che ha per rettangolo che ha per base e per altezza base e per altezza
rispettivamente le sue rispettivamente le sue due diagonali (due diagonali (DBDB e e CACA).).
AA
BB
CC
DD
Formula Formula direttadiretta Formule inverseFormule inverse
2Dd
A
DA
d2
dA
D2
AA BB
CCDD
HH EE
Formula Formula direttadiretta Formule inverseFormule inverse
2
hbBA
hA
bB2
bBA
h
2