Post on 02-May-2015
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Ricevimento: lunedì 11-12 c/o il laboratorio di Psicometria – I° Piano ex-
Farmacia
Esercitazioni sulla Probabilità
Esercizio 1
Da un mazzo di 40 carte viene estratta una carta. Calcolare la probabilità di ottenere: Un asso Una carta di bastoni Una figura
Evento indipendente con un’unica estrazione
Svolgimento esercizio 1
PROBABILITA’ DI OTTENERE UN ASSO Qual è il numero degli eventi favorevoli? Qual è il numero degli eventi possibili?
4
40
Svolgimento esercizio 1
PROBABILITA’ DI OTTENERE UNA CARTA DI BASTONI Qual è il numero degli eventi favorevoli? Qual è il numero degli eventi possibili?
10
40
Svolgimento esercizio 1
PROBABILITA’ DI OTTENERE UNA FIGURA Qual è il numero degli eventi favorevoli? Qual è il numero degli eventi possibili?
12
40
Esercizio 2
Da un mazzo di 40 carte viene estratta una carta. Calcolare la probabilità di ottenere: Un fante o un re Una figura o una carta inferiore a “sei” Di non ottenere una figura
Evento mutualmente escludentisi
Svolgimento esercizio 2
PROBABILITA’ DI OTTENERE UN FANTE O UN RE Quale principio applichiamo?
Qual i sono gli eventi? Qual è il numero degli eventi possibili?
Qual è la probabilità dell’evento A?
Qual è la probabilità dell’evento B?
P(A)
40
Principio della somma
P di ottenere un fante
P di ottenere un re P(B)
Svolgimento esercizio 2
PROBABILITA’ DI OTTENERE UN FANTE O UN RE
Principio della somma
Svolgimento esercizio 2
PROBABILITA’ DI OTTENERE UNA FIGURA O UNA CARTA INFERIORE A “SEI”
Qual i sono gli eventi? Qual è il numero degli eventi possibili?
Qual è la probabilità dell’evento A?
Qual è la probabilità dell’evento B?
40
Principio della somma
P di ottenere una figuraP di ottenere una carta
inferiore a “sei”P(B)P(A)
Svolgimento esercizio 2
PROBABILITA’ DI OTTENERE UNA FIGURA O UNA CARTA INFERIORE A “SEI”
Principio della somma
Svolgimento esercizio 2
PROBABILITA’ DI NON OTTENERE UNA FIGURA
Qual i sono gli eventi? Qual è il numero degli eventi possibili?
Qual è la probabilità dell’evento nonA?
40
P di NON ottenere una figura
P(nonA)
Esercizio 3
Dato un mazzo di 40 carte calcolare la probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione: Un re alla prima estrazione e una carta di coppe alla
seconda Un re ed un asso
Eventi indipendenti in quanto con la reimmissione si lascia
inalterata la probabilità dell’evento successivo
Svolgimento esercizio 3
Probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione: Un re alla prima estrazione e una carta di coppe alla
seconda
- Quali sono gli eventi? P di ottenere una carta di coppeP di ottenere un re
P(B)P(A)
Principio del prodotto
Svolgimento esercizio 3
Probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione: Un re alla prima estrazione e una carta di coppe alla
secondaPrincipio del prodotto
Svolgimento esercizio 3
Probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione un re e un asso
Quali sono gli eventi?
Non viene specificato l’ordine dell’estrazione => gli eventi possono
verificarsi in qualsiasi ordine
Permutazioni Permutazioni
P di ottenere un assoP di ottenere un re
P(B)P(A)
Prima A e poi B Prima B e poi A
Svolgimento esercizio 3
Probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione un re e un asso
Permutazioni Permutazioni Prima A e poi B Prima B e poi A
Principio del prodotto
Esercizio 4
Dato un mazzo di 40 carte calcolare la probabilità di ottenere in 3 estrazioni senza reimmissione: Un 4, un 3 ed un 5 nell’ordine indicato Due fanti ed un cavallo nell’ordine indicato Esattamente due re
PROBABILITÀ DI OTTENERE IN 3 ESTRAZIONI SENZA REIMMISSIONE UN 4, UN 3 ED UN 5 NELL’ORDINE INDICATO QUALI SONO GLI EVENTI?Estrarre un 4 Estrarre un 5
Estrarre un 3
P(B)P(A) P(C)
PROBABILITÀ DI OTTENERE IN 3 ESTRAZIONI SENZA REIMMISSIONE DUE FANTI ED UN CAVALLO NELL’ORDINE INDICATO QUALI SONO GLI EVENTI?
Estrarre un fante
Estrarre un cavallo
Estrarre un fanteP(B)P(A) P(C)
PROBABILITÀ DI OTTENERE IN 3 ESTRAZIONI SENZA REIMMISSIONE ESATTAMENTE DUE RE QUALI SONO GLI EVENTI?
Estrarre un re Estrarre un re
P(B)P(A)
Estrarre una qualsiasi carta
P(C)
Non viene specificato l’ordine dell’estrazione => gli eventi possono così
verificarsi verificarsi
Prima A, poi B e poi C
Prima B, poi C e poi A
Prima C, poi A e poi B
Prima A, poi B e poi C
Estrarre un re Estrarre un re
P(B)P(A)
Estrarre una qualsiasi carta
P(C)
Principio del prodotto
Prima B, poi C e poi A
Estrarre un reEstrarre un re
P(B) P(A)
Estrarre una qualsiasi carta
P(C)
Principio del prodotto
Estrarre un re Estrarre un re
P(B)P(A)
Estrarre una qualsiasi carta
P(C)
Principio del prodotto
Prima C, poi A e poi B
PROBABILITÀ DI OTTENERE IN 3 ESTRAZIONI SENZA REIMMISSIONE ESATTAMENTE DUE REPrima A, poi B e
poi C
Prima B, poi C e poi A
Prima C, poi A e poi B
Esercizio 5
In una scuola del nord ci sono 200 bambini, 40 dei quali sono figli di immigrati. Di questi, 10 hanno problemi di apprendimento, mentre la percentuale di bambini che ha problemi di apprendimento in tutta la scuola è del 25%.Sia A l’evento “BAMBINO FIGLIO IMMIGRATO”Sia B l’evento “BAMBINO CON PROBLEMI DI APPRENDIMENTO”
Verificare se P(A) = P(A|B)Verificare se P(B) = P(B|A)
Mettiamo i dati in tabella Figli di immigrati
SI NO TOTALE
Con problemi di apprendimento
10 40 50
Senza problemi di apprendimento
30 120 150
40 160 200
P(A) = 40/200 = 0,2 P(A|B) = 10/50 = 0,2
P(B) = 50/200 = 0,25 P(B|A) = 10/40 = 0,25
Esercizio 6
Un esame è costituito da 12 domande cui bisogna rispondere SI o NO. Ammettendo che uno studente non preparato risponda a caso, indicare qual è la probabilità che:1) Risponda correttamente soltanto a 4 domande2) Risponda correttamente solo alle prime 3
domande3) Sbagli tutte le domande.
Se per superare l’esame sono sufficienti 10 risposte corrette, qual è la probabilità che uno studente non preparato superi l’esame?
N = 12P = prob. di dare una risposta corretta = ½
= 0,5Q = prob. di dare una risposta errata = ½ =
0,5Evento x = rispondere correttamente solo a 4
domande
N = 12P = prob. di dare una risposta corretta = ½
= 0,5Q = prob. di dare una risposta errata = ½ =
0,5Evento x = rispondere correttamente solo alle
prime 3 domande
Visto che la Visto che la sequenza è fissata sequenza è fissata (le prime 3 (le prime 3 domande) non domande) non serve calcolare tutti serve calcolare tutti i possibili ordinii possibili ordini
N = 12P = prob. di dare una risposta corretta = ½
= 0,5Q = prob. di dare una risposta errata = ½ =
0,5Evento x = sbagliare tutte le domande
Se per superare l’esame sono sufficienti 10 risposte corrette, qual è la probabilità che uno studente non preparato superi l’esame?
Calcolare la probabilità che lo studente superi 10 e 11 e 12
domande
P(x=11)P(x=10) P(x=12)
P(x=10)
P(x=11)
P(x=12)
Esercizio 7
La distribuzione dei voti di statistica degli studenti di un’università è normale con media = 24 e deviazione standard = 2. calcolare: La probabilità di estrarre a caso un voto compreso tra
la media e x=27; La probabilità di estrarre a caso uno studente con
voto uguale o superiore a 28; La percentuale di studenti il cui voto sia compreso tra
18 e 23,5; Il rango percentile del voto 20.
La probabilità di estrarre a caso un voto compreso tra la media e x=27
μ = 24σ = 2
Standardizziamo il voto x=27
Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area
compresa
La probabilità di estrarre a caso uno studente con voto uguale o superiore a 28
μ = 24σ = 2
Standardizziamo il voto x=28
Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area
compresa
Per conoscere la percentuale:
0,5 – 0,4772 = 0,0228
La percentuale di studenti il cui voto sia compreso tra 18 e 23,5
μ = 24σ = 2
Standardizziamo il voto x1=18 e x2=23,5
Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area
compresa
Area compresa tra la media e z1 = 0,4987
Area compresa tra la media e z2 = 0,0987
Area compresa z1 e z2
= 0,4987-0,0987=
Il rango percentile del voto 20
μ = 24σ = 2
Standardizziamo il voto x=20
Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area
compresa
Per conoscere la percentuale:
0,5 – 0,4772 = 0,0228
Rango percentile = 2,28
Esercizio 8
Data una distribuzione normale con media = 98 e deviazione standard =7 calcolare: La probabilità di estrarre a caso un punteggio X ugiale
o inferiore a 90 La percentuale di punteggi superiori a 88; La probabilità di estrarre a caso un punteggio X
compreso tra 96 e 100; Il punteggio X corrispondente al 64° percentile La probabilità di estrarre punteggi minori di 84 o
maggiori di 110
La probabilità di estrarre a caso un punteggio X uguale o inferiore a 90
μ = 98σ = 7
Standardizziamo il voto x=20
Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area
compresa
0,500 – 0,3729 = 0,1271
La percentuale di punteggi superiori a 88
μ = 98σ = 7
Standardizziamo il voto x=20
Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area
compresa
0,500 + 0,4236 = 0,9236
La probabilità di estrarre a caso un punteggio X compreso tra 96 e 100
μ = 98σ = 7
Standardizziamo il voto x1=18 e x2=23,5
Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area
compresa
0,1141+ 0,1141 = 0,2282
Il punteggio X corrispondente al 64° percentile
È necessario individuare l’area della curva formata dalla metà sinistra della curva e dell’area compresa tra lo 0 e lo z incognito.
L’area tra lo 0 e lo z L’area tra lo 0 e lo z incognito è pari a:incognito è pari a:0,64 – 0,50 = 0,140,64 – 0,50 = 0,14
Quest’areQuest’area è a è
relativa a relativa a z=0,36z=0,36
Il punteggio X corrispondente al 64° percentile
È necessario individuare l’area della curva formata dalla metà sinistra della curva e dell’area compresa tra lo 0 e lo z incognito.
Z incognito = Z incognito = 0,360,36
μ = 98σ = 7
La probabilità di ottenere punteggi minori di 84 o maggiori di 110
Standardizziamo il voto x1=84 e x2=110
Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area
compresa
μ = 98σ = 7
Area compresa Area compresa tra 0 e ztra 0 e z11 = =
0,47720,4772
Area compresa Area compresa tra 0 e ztra 0 e z22 = =
0,45540,4554
Area compresa Area compresa tra 0 e ztra 0 e z11 = =
0,47720,4772
Area compresa Area compresa tra 0 e ztra 0 e z22 = =
0,45540,4554
P di ottenere un z P di ottenere un z minore o uguale a zminore o uguale a z11 = =
0,500 – 0,4772 = 0,02280,500 – 0,4772 = 0,0228
P di ottenere un z maggiore o P di ottenere un z maggiore o uguale a zuguale a z22 = 0,500 - = 0,500 -
0,4554=0,04460,4554=0,0446
La probabilità di ottenere punteggi minori di 84 o maggiori di 110
P(zP(z11) + P (z) + P (z22) = 0,0228 + ) = 0,0228 + 0,0446 = 0,0674 0,0446 = 0,0674
μ = 98σ = 7
P(zP(z11) ) =0,0228=0,0228
P (zP (z22) ) =0,0446=0,0446