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SCALA INTERVALLO / A RAPPORTO
STATISTICHE:
Moda - Mediana - MediaNdE – Quartili – Quantili – Range – Varianza – Deviazione standard
Difficoltà nel riassumere i dati a causa di un numero di categorie elevato (nel caso di valori discreti NdE>18) o perché la variabile è di tipo continuo.
Raccogliere i valori in Intervalli di Classe
SCALA INTERVALLO / A RAPPORTO
• Possibili rapporti di uguaglianza (livello nominale).• Possibili rapporti di ordine (livello ordinale).• Esiste un’unità di misura (intervallo) che permette di
stabilire la distanza fra 2 categorie.• Per definire le statistiche bisogna definire se le variabili
sono di tipo discreto o continuo.
STATISTICHE:• Moda - Mediana – Media• Quartili – Quantili • NdE –– Range – Varianza – Deviazione standard
Tre misure di tendenza centrale
MEDIA
MEDIANA
MODA
Indici di tendenza centrale
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
f
Voto
Casi
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
f
Voto
Casi
Qual è il punto centrale della distribuzione?
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Voto
Indici di tendenza centrale: la media aritmetica
Maritmetica = xi / n
n
XfXM aritmetica Ponderata
Indici di tendenza centrale: la media aritmetica
Allora potremmo estrapolare una grandezza M tale che
Xtot = M + M + M + ….. + M
Per cui
M + M + M + ….. + M = x1 + x2 + x3 +……+ xn
Da qui:
nM = xi
Maritmetica= xi / n
La media• La media di una distribuzione è la somma
dei valori osservati divisa dal numero delle osservazioni
NX
nXX
Popolazione
N: La grandezza della popolazione
Campione
n: La grandezza del campione
La media
Codice_studente Voto7 258 259 253 265 261 276 2710 294 292 30
9,2610
26910
)30292927272626252525(
X
Perché si chiama così?
Essa si chiama aritmetica perché se applicata ad una progressione aritmetica, costituita da un numero dispari di elementi, ne costituisce l’elemento centrale.
Esempio: 13, 16, 19, 22, 25
Media = (13+16+19+22+25)/5= 19 (valore centrale della progressione)
Indici di tendenza centrale: la media aritmetica
Il concetto di SCARTO: Data una successione di dati x1, x2, x3, x4, ….. , xn si chiamano scarti dalla media i valori pari a
l = xi- M (scarto semplice dalla media)
Indici di tendenza centrale: la media aritmetica
PROPRIETA’ IMPORTANTE DELLA MEDIA ARITMETICA
Indici di tendenza centrale: la media aritmetica
DIMOSTRAZIONE:
Media aritmetica ponderata Quando i dati statistici si ripetono allora succede che x1, x1, x1, x1 n1 volte x2, x2, x2, x2, x2, x2 n2 volte Valori Frequenze x1 n1 x2 n2 x3 n3…… ……. xi ni
Indici di tendenza centrale: la media aritmetica ponderata
f
Xf
n
XfX
Esempio: Media aritmetica di voti di esami
Voti di esame: 18; 22: 22; 24; 24; 24; 25; 25; 25;25; 27; 27.
Potrei fare:
Media aritmetica = (18+22+22+24+24+24+25+25+25+25+27+27) / 12 = 24
Però è più semplice e veloce fare:
Media aritmetica ponderata = (18 + 222 +243+ 254+ 272) / 12 = 24
Indici di tendenza centrale: la media aritmetica ponderata
Media aritmetica ponderata per dati continui suddivisi in intervalli di classi.
Indici di tendenza centrale: la media aritmetica ponderata
La media
• La media è una buona misura di tendenza di misura centrale per le distribuzioni “normalmente” distribuite
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
f
Voto
Casi
21,5X
La mediaLa media è una misura inadatta per le distribuzioni che contengono un numero esiguo di valori estremi
Media = 88.72
MEDIE DI POSIZIONE
MEDIANA
MODA
La moda il valore x cui corrisponde la massima frequenza. Esistono distribuzioni di frequenza che, oltre alla moda principale, hanno una o più mode secondarie.
La moda per variabili intervallari
La mediana per variabili intervallari discreti
Mediana: data una successione ordinata crescente (che va dal valore più piccolo a quello più grande) si chiama Mediana, o termine centrale, quel valore che è preceduto o seguito dallo stesso numero di dati.
Determinazione della mediana per i valori discreti di x.
Numero dei valori DISPARI:
x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 Mdn = x4
Numero dei valori PARI:
per convenzione è definita mediana la semisomma dei due termini centrali.
x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7,x8 Mdn= (x4+x5)/2
La mediana per variabili intervallari discreti
Mediana: data una successione ordinata crescente (che va dal valore più piccolo a quello più grande) si chiama Mediana, o termine centrale, quel valore che è preceduto o seguito dallo stesso numero di dati.
Determinazione della mediana per i valori discreti di x.
x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 Mdn = x4
Esempio:
Valori: 18, 21, 3, 7, 35.
Serie ordinata: 3, 7, 18, 21, 35.
Mediana: 18.
Questo è valido quando il numero dei termini è dispari per cui si può scrivere:
N = 2n + 1 = n + 1 + n
E quindi il termine mediano è n + 1.
Qualora il numero dei termini sia pari:
N= n + n Per cui non esiste un termine mediano, ma per convenzione è definita mediana la semisomma dei due termini centrali. Esempio. Valori: 23, 35, 11, 7Serie ordinata: 7, 11, 23, 35Mediana = (11+23) / 2 = 17
La mediana per variabili intervallari discreti
La mediana per variabili intervallari continui (cenni)
X F Fc Lim.inf Lim.sup
A 1-3 6 6 0.5 3.5
B 4-6 6 12 3.5 6.5
C 7-9 8 20 6.5 9.5
D 10-12 7 27 9.5 12.5
E 13-15 3 30 12.5 15.5
N 30
Per calcolare indici di posizione con variabili intervallari continue si usa l’interpolazione lineare: le ferquenze che cadono in un intervallo si considerano “uniformemente distribuite” all’interno dell’intervallo. Ogni valore xi che cade all’interno dell’intervallo occupa uno spazio pari a 1/fi.
La mediana si trova in posizione 15 ossia in classe C (tra la 13ima e la 20ima posizione). La classe C è costituita da 8 elementi per cui l’ampiezza di ogni elemento è pari a 1/8 (1/fi) che è 0.375.La posizione 15 è la terza all’interno dell’intervallo (15-12) per cui: 0.375+0.375+0.375=1.125. Questo valore va sommato al limite inferiore della classe C:6.5 + 1.125 = 7.625 - Posizione 15 o MEDIANA
La moda il valore x cui corrisponde la massima frequenza. Esistono distribuzioni di frequenza che, oltre alla moda principale, hanno una o più mode secondarie.
La moda per variabili intervallari
Confronto Media – Mediana – Moda
Confronto Media – Mediana – Moda
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