Post on 23-Jan-2021
transcript
ITALSKA ALGEBRAICKA SKOLA
SCIPIONE DEL FERRO (1465 – 1526)
NICCOLO TARTAGLIA (1500 – 1557)
GIROLAMO CARDANO (1501 – 1576)
LODOVICO FERRARI (1502 – 1565)
RAFAEL BOMBELLI (1526 – 1572)
1
PRINOS:
• Resenı rovnic 3. a 4. stupne
• Rozsırenı cıselneho oboru
VYSLEDKY:
1545 ARS MAGNA (CARDANO)
1570 ARS MAGNA – 2. vyd.
1572 ALGEBRA (BOMBELLI)
RESENI ALGEBRAICKYCH ROVNIC
Typy:A. x3 + ax = b
B. x3 = ax+ b
C. x3 + b = ax
2
SCIPIONE DEL FERRO (1465 – 1526)
Italsky matematik, profesor aritmetiky a geometrie na univerzitev Bologni
Na pocatku 16. stol. ovladl metodu resenı kubicke rovnice typux3 + ax = b, kde a, b > 0. (Nenı jasne, jak k nı dospel - sam ciji nalezl ve starsım rukopise)
Metodu nezverejnil, na smrtelnem lozi s nı seznamil sveho zakaAntona Maria Fiore.
3
NICCOLO TARTAGLIA (FONTANA)(1500 – 1557)
Italsky matematik, mechanik a topo-graf
Narozen v Brescii
1512 tezky uraz hrtanu od uderu me-cem (”koktal”)
sam se naucil cıst, latinu, rectinu, ma-tematiku (ve 14 letech soukromy ucitelctenı, penıze dosly u K)
Od roku 1539 na univerzite ve Verone
Autor prvnıho prekladu EukleidovychZakladu do italstiny (1543)
4
12. brezna 1535 matematicky souboj s A. M. Fiore – predstretnutım se dozvedel, ze Fiore zna metodu resenı rovnice x3+ax = b; podle svych slov se pred soubojem tak soustredil, az nani prisel tez, navıc i na metodu resenı rovnice typu x3 = ax+ b,
kde a, b > 0.
1546 Quesiti et Inventioni Diverse
5
GIROLAMO CARDANO (1501 – 1576)
Italsky matematik, lekar, astrologa filozof
Narozen v Pavii, zde vystudoval uni-verzitu, zıskal doktorat medicıny
Prakticky lekar, prednasel na univer-zite v Milane medicınu a matematiku
1539 profesor medicıny na univerzitev Pavii, od r. 1650 v Bologni
1570 2 mesıce ve vezenı (hereze),dalsı 3 v domacım vezenı
V poslednıch letech v Rıme – penzeod papeze
6
1536 Cardano se dozvedel, ze Tartaglia a Fiore znajı metoduresenı kubickych rovnic
1539 Tartaglia ji Cardanovi na nalehanı sdelil – ve versıch a podprısahou na Evangelium, ze ji neprozradı (napoprve nesrozumi-telne, pod dalsı prısahou vysvetlenı)
1543 Cardano se svym zakem Ferrarim navstıvili Bolognu –setkanı s Fiore, ktery jim ukazal rukopis Scipiona del Ferro obsa-hujıcı popis metody; Cardano videl, ze v Bologni ji neskryvajı anecıtil se dale vazan prısahou
Ars Magna, 1545 (spolu s Ferrarim) mj. zde podrobne popsal adale rozvinul metodu resenı kubickych rovnic, casus irreducibilis
. . . Scipione dal Ferro z Bologni vyresil prıpad, kdy se tretı a prvnımocnina rovna konstante [x3+px = q], skutecne elegantnı a ob-divuhodny vykon. Tento objev svou hodnotou prevysuje vsechnuvynalezavost smrtelnıku a vsechen lidsky duvtip, je to dar nebesa zkouska lidskeho rozumu; kdokoliv jej sam vyuzije, uverı, zenenı nic, co by nemohlo byt pochopeno. Ve snaze jej nasledovat,muj prıtel Niccolo Tartaglia, aby neprohral, vyresil stejny prıpad v
7
utkanı s jeho [Ferrovym] zakem Antonio Maria Fiorim a po mychmnohych nalehanıch mi je sdelil, dukaz zatajil. . . . Vyuzıvaje toho,hledal jsem dukaz a nalezl ho, ale s namahou, zpusobem, kteryvylozım dale.
Tartaglia dotcen, 1546 vydava Quesiti et inventioni diverse(Problemy a ruzna resenı), kde popisuje styky s Cardanem –nevzdelanec, prazdny ubozak
Cardana branı Ferrari, 1547–48 vydava Cartelli di matematicadisfida (Vyzvy k matematicke disputaci), s Tartagliem si vyme-nili 12 dopisu (urazky)
duben – kveten 1547 navzajem si zadali 31 problemu k resenı,Tartaglia 5 vynechava (kubicke rovnice)
srpen 1548 disputace v kostele v Milane: Tartaglia x Ferrari,Ferrari vıtezı, zvan k verejnym prednaskam do Rıma a Benatek;resenı algebraicke rovnice 4. stupne (publikovano v Ars Magna)
Risposto an Lodovico Ferrari (Odpoved’ L. Ferrarimu), 1547– 1548
8
1570 Ars Magna – 2. vydanı (casus irreducibilis, pocıtanı simaginarnımi cısly)
ODVOZENI CARDANOVA VZORCE
x3 + ax2 + bx+ c = 0 (1)
Prevod na rovnici bez kvadratickeho clenu: x = y −a
3
y3−3y2a
3+3y
a2
9−
a3
27+ay2−2a2
y
3+
a3
9+by −
ba
3+c = 0
y3 −(
b −1
3a2
)y +
(2
27a3 −
1
3ab+ c
)= 0 ,
tj.
y3 + py + q = 0 , kde p = b −1
3a2 , q =
2
27a3 −
1
3ab+ c .
9
Uvazujme tedy rovnici
x3 + px+ q = 0 . (2)
Zaved’me pomocne promenne u, v vztahem
x = u+ v , (3)
po dosazenı do (2) zıskame
u3 + v3 + 3u2v + 3uv2 + p(u+ v) + q = 0,
tj.
u3 + v3 + (3uv + p)(u+ v) + q = 0 .
Pridejme podmınku:
3uv + p = 0, tj. uv = −p
3
Dostaneme rovnici10
u3 + v3 + (3uv + p)(u+ v) + q = 0 .
a tedy
u3v3 = −p3
27, u3 + v3 = −q .
Prıslusna u, v jsou koreny kvadraticke rovnice
z2 + qz −p3
27= 0 ,
tj.
u3 = −q
2+
√q2
4+
p3
27; v3 = −
q
2−
√q2
4+
p3
27
Vratıme-li se zpet k x = u+ v , zıskame Cardanuv vzorec:
x =3
√√√√−q
2+
√q2
4+
p3
27+
3
√√√√−q
2−
√q2
4+
p3
27, (4)
11
Casus irreducibilis:
x3 = 20x+ 25 ,
tj.x3 − 20x − 25 = 0
Koreny:
x1 = 5, x2,3 =1
2(−5±
√5) ,
ale625
4−8000
27< 0 .
Nebo:
(x − 1)(x − 2)(x+ 3) = 0 , tj. x3 − 7x+ 6 = 0 .
Od sameho pocatku zname koreny: 1, 2, −3 , ale D = −100
27<
0My:
x = 3
√−3 +
10
9i√3 + 3
√−3−
10
9i√3
12
FRANCOIS VIETE(1540 – 1603)
Narozen v Fontenay-le-Comte
1560 bakalar prav
pravnık, vyznamnı klienti(napr. anglicka kralovna Marie)
Matematika ve volnem case
1584 poradce a vyjednavackrale Jindricha III.
Vyhnan (rivalove), 1589 zpet
Nejslavnejsı uspech: rozlustenı zakodovane depese pro JindrichaIV behem valky se Spanelskem (spanelsky kral Filip II. nemohluverit, ze by toho clovek mohl byt schopen a protestoval u papeze,ze Francouzi pouzili cernou magii)
13
Matematicke vysledkyPomohl osamostatnit algebru od geometrickeho stylu dokazovanı
Pısmena pro nezname
Znaky +, −
Souvislost algebry a trigonometrie
De aequationum recognitione et emendatione, 1591
Resenı kubicke rovnice je ekvivalentnı s trisekcı libovolneho uhlu:Uvazujme rovnici tvaru
x3 + px+ q = 0
a polozme x = ky , kde k je voleno tak, aby
k3
ak= −
4
3, neboli k =
√−4a
3.
Zıskame rovnici4y3 − 3y = c .
14
S vyuzitım vztahu
4 cos3 θ − 3 cos θ = cos 3θ
a polozenım y = cos θ obdrzıme
cos 3θ = c .
Je-li dano c, muzeme sestrojit trojuhelnık s uhlem 3θ ; trisekcetohoto uhlu nam pak da resenı rovnice y = cos θ .
Problem s interpretacı pro |c| > 1 – potreba komplexnıch cısel
Vietova metoda vyzaduje komplexnı cısla prave tehdy, kdyz Car-danova nikoli
Kubicke rovnice = kolebka komplexnıch cısel
15
LODOVICO FERRARI (1502 – 1565)
Resenı polynomialnı rovnice 4. stupne: (otisteno v Ars Magna)
x4 + ax3 + bx2 + cx+ d = 0
Linearnı transformacı lze rovnici prevest do tvaru bez kubickehoclenu:
x4 + px2 + qx+ r = 0 ,
tj.(x2 + p)2 = px2 − qx+ p2 − r .
Pro libovolne y je
(x2 + p+ y)2 = (px2 − qx+ p2 − r) + 2y(x2 + p) + y2
= (p+ 2y)x2 − qx+ (p2 − r + 2py + y2)= Ax2 +Bx+ C
Kvadraticky clen na prave strane je druhou mocninou, je-li
B2 − 4AC = 016
coz je kubicka rovnice pro y .
Po odmocnenı pak vznikne kvadraticka rovnice pro x .
Nasledujıcıch 250 let: resenı polynomialnıch rovnic v radika-lech (koreny vyjadrene pomocı racionalnıch funkcı a odmoc-nin koeficientu)
17