Post on 01-May-2015
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STRUTTURA DISTRUTTURA DI
Argomenti della lezioneArgomenti della lezione
Prodotto scalare in Prodotto scalare in RRnn
Distanza in RDistanza in Rnn
Topologia di RTopologia di Rnn
Vettori di Vettori di RRnn
Vettore colonnaVettore colonna
X =X =
X1X1
X2X2
X3X3••
••
••
XnXn
Vettore rigaVettore riga
(X1, X2, X3, (X1, X2, X3, •••• •••• •••• XXnn))XXnn))
= X = X ••••
XT =XT =
XTTXTT
Prodotto scalare Prodotto scalare in uno spazio vettoriale in uno spazio vettoriale
V sul corpo RV sul corpo R
Un prodotto scalareUn prodotto scalare
è un’applicazione bilineareè un’applicazione bilineare
simmetricasimmetrica
definita positivadefinita positiva
su V x V a valori in Rsu V x V a valori in R
s: V x Vs: V x V RR
soddisfa le seguenti proprietàsoddisfa le seguenti proprietà
SimmetriaSimmetria
OmogeneitàOmogeneità
AdditivitàAdditività
PositivitàPositività
s: V x Vs: V x V RR
soddisfa le seguenti proprietàsoddisfa le seguenti proprietà
(S1) x, y V s(x, y) = (S1) x, y V s(x, y) = s(y, x)s(y, x)
AA
(S2) x, y V (S2) x, y V
AA
AA
R s(R s(x, y) =x, y) =• • s(x, y)s(x, y)
simmetriasimmetria
omogeneitàomogeneità
s: V x Vs: V x V RR
(S3) x, y, z V s (x + z, y) =(S3) x, y, z V s (x + z, y) =
AA
additivitàadditività
positivitàpositività
s (x, y) + s (z, y)s (x, y) + s (z, y)
s (x,x) > 0 e s (x,x) s (x,x) > 0 e s (x,x) (S4) x(S4) x
AA
VV
⇒
= 0 x = 0= 0 x = 0
Il prodotto scalare su V si indica solitamente con le notazioni
Il prodotto scalare su V si indica solitamente con le notazioni
nella quale si fa riferimento al prodotto righe per colonne
delle matrici
nella quale si fa riferimento al prodotto righe per colonne
delle matrici
In Rn si ha pure la notazione In Rn si ha pure la notazione
x,yx,y = x y = x = x y = xTT y = y = ii xxiiyyii•• nn
s(x, y) = s(x, y) = x, yx, y = (x, y) = x y = (x, y) = x y••
nn
i = 1i = 1
xi yixi yixTy = (x1 x2 x3 xn)xTy = (x1 x2 x3 xn)•••• • • • • •••• ••••
yy11yy11
yy22yy22
yy33yy33
••••
••••
••••
yynnyynn
==
Disuguaglianza di Buniakovski
CauchySchwarz
Disuguaglianza di Buniakovski
CauchySchwarz
Indicheremo con x o con x
Indicheremo con x o con x
x VV (x (x RRnn))x VV (x (x RRnn))
la norma o modulo del vettore
la norma o modulo del vettore
In particolare, in RnIn particolare, in Rn
|x| = xi 2
_______
CASO DICASO DIR2 o R3R2 o R3
u v < u vu v < u v•••• ••••
uu
vv
u v= u v cos u v= u v cos •••• •••• ••••
Distanza Distanza
in Rin Rnn
Proprietà della distanza
Proprietà della distanza
(D1) (simmetria)(D1) (simmetria)
(D2) (positività)(D2) (positività)
(D3) (disuguaglianza triangolare)
(D3) (disuguaglianza triangolare)
x02x02
x01x01
s x0s x0
x0x0 = (x01, x
02)
T= (x01, x
02)
T
Sfere e intervalli in R2.
In generale, in Rn .Sfere e intervalli in R2.
In generale, in Rn .
b2b2
a2a2
a1a1b1b1
Sfere e intervalli in R2.
In generale, in Rn .Sfere e intervalli in R2.
In generale, in Rn .
Topologia Topologia di Rdi Rnn
Punti distinti di R2 (Rn) hanno intorni disgiuntiPunti distinti di R2 (Rn) hanno intorni disgiunti
.yy
xx
è punto internoè punto interno
è punto esternoè punto esterno
è punto di frontieraè punto di frontiera
per per
internointerno
esternoesterno
di frontieradi frontiera
per è punto per è punto