TEOREMA DEL FLUSSO

PORTATA DI UNA TUBATURA

Volume di fluido che attraversa una sezione della tubatura in un secondo.

Ma anche…prodotto della sezione S per la velocità V

PORTATA = S·V

TEOREMA DEL FLUSSO

PORTATA DI UNA TUBATURA

Se la superficie non è perpendicolare al vettore velocità il prodotto sarà maggiore, essendo

maggiore S; ma questo non è corretto perché, evidentemente, la quantità di fluido che

attraversa la tubatura è la stessa

BISOGNA MODIFICARE LA FORMULA

TEOREMA DEL FLUSSO

PORTATA DI UNA TUBATURA

La definizione generale in questo caso è:

Dove n è il vettore perpendicolare alla superficie e avente modulo uguale a 1

(NORMALE)

PORTATA = S·V ·cosα

TEOREMA DEL FLUSSO

PORTATA DI UNA TUBATURA

Se α=0 allora cosα =1 e la nuovadefinizione si riduce alla vecchia

TEOREMA DEL FLUSSO

LINEE DI…

FORZA…? VELOCITA’…?

TEOREMA DEL FLUSSO

PORTATA E FLUSSO

La definizione di portata si può estendere a tutti i campi vettoriali, cioè a quelli che si

possono rappresentare mediante linee di forza

Diventa un’operazione puramente matematica, che in qualche caso si può interpretare

fisicamente

IN QUESTO CASO PERO’ NON LA SICHIAMA PORTATA MA

FLUSSO

TEOREMA DEL FLUSSO

FLUSSO DI UN VETTORE

Si dice flusso di un vettore attraverso una superficie il prodotto del vettore per la

superficie per il coseno dell’angolo compreso tra vettore e normale

Φ = S·V ·cosα

TEOREMA DEL FLUSSO

FLUSSO DI UN VETTORE

Se però il campo non è uniforme la definizione si rivela del tutto insufficiente

TEOREMA DEL FLUSSO

FLUSSO DI UN VETTORE

In questo caso si divide la superficie in tanti piccolissimi pezzi indicati da un indice i che vale

1,2,3…fino ad esaurimento dei pezzettini…

TEOREMA DEL FLUSSO

FLUSSO DI UN VETTORE

Si calcola il flusso su ciascun pezzettino:

Φi = Si ·Vi ·cosαi

TEOREMA DEL FLUSSO

FLUSSO DI UN VETTORE

Quindi si calcola il flusso totale come somma dei singoli flussi elementari di ciascun pezzettino

Ovvero, simbolicamente:

...coscoscos 222222111 vsvsvs

iii

n

i

vs cos1

TEOREMA DEL FLUSSO

QUANTO PICCOLO?

Quanto deve essere piccolo un pezzettino? In realtà deve essere infinitamente piccolo, ovvero

bisogna far tendere il numero delle divisioni all’infinito

iii

n

in

vsLim cos1

TEOREMA DEL FLUSSO

SUPERFICIE CHIUSA

Se la superficie è chiusa, come quella di una sfera, si parla di flusso attraverso una

superficie chiusa

TEOREMA DEL FLUSSO

IL FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO

Il flusso del campo elettrico esprime una legge importantissima detta

Questa legge, di fatto, sostituisce la legge di Coulomb in quanto più adatta ad esprimere le

proprietà generali del campo elettrico, assieme a quella della circuitazione.

TEOREMA DI GAUSS

TEOREMA DEL FLUSSO

CAMPO COULOMBIANO

Il campo elettrico si dice COULOMBIANO quando è prodotto da una carica elettrica Q molto

piccola, al limite puntiforme

TEOREMA DEL FLUSSO

CAMPO COULOMBIANO

In questo caso la forza che il campo esercita su una carica di prova q può essere espresso dalla

legge di Coulomb

24

1

r

qQF

o

TEOREMA DEL FLUSSO

CAMPO COULOMBIANO

Non conviene però riferirsi alla forza, perché questa dipende dalla carica di prova che è solo uno strumento di misura, ma al campo elettrico

E che ne è indipendente

TEOREMA DEL FLUSSO

CAMPO COULOMBIANOPoiché per definizione:

La formula del CAMPO ELETTRICO COULOMBIANO è:

24

1

r

QE

o

q

FE

TEOREMA DEL FLUSSO

CAMPO COULOMBIANO

Inoltre, le linee di forza di un campo coulombiano sono raggi che escono dalla

carica Q, nel caso che essa sia positiva, o che vi entrano, nel caso sia negativa

PERCHE’ RIFERIRSI AL CAMPO COULOMBIANO?

Perché in questo caso la dimostrazione è particolarmente semplice

TEOREMA DEL FLUSSO

DIMOSTRATZIONE

Consideriamo una sfera di raggio r con, al centro, una carica Q

TEOREMA DEL FLUSSO

DIMOSTRATZIONELe linee di forza sono ovunque perpendicolari

alla sfera, inoltre sulla sfera il campo è uniforme, quindi…

TEOREMA DEL FLUSSO

DIMOSTRATZIONE…il flusso si calcola senza tante complicazioni

con la prima definizione

Φ= S·E

TEOREMA DEL FLUSSO

DIMOSTRATZIONEIl campo elettrico si calcola con la legge di

Coulomb, la superficie con la geometria

24

1

r

QE

o 24 rS

TEOREMA DEL FLUSSO

TEOREMA DI GAUSSMoltiplicando membro a membro:

E, semplificando…

224

4

1r

r

QSE

o

TEOREMA DEL FLUSSO

TEOREMA DI GAUSS… si ottiene il risultato:

o

Q

TEOREMA DEL FLUSSO

TEOREMA DI GAUSSSe nella superficie ci sono più cariche…

TEOREMA DEL FLUSSO

TEOREMA DI GAUSSAl posto di Q si prende la somma di tutte le Q

n

kk

osc QE

1

1)(