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Basilio Bona – DAUIN – Politecnico di TorinoAA 2006/07 005/1
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BO
TIC
A –
01
CFI
DV
02
CFI
CY
Tipi di polso robotico – 2 gdl
I polsi possono avere 2 o 3 giunti = 2 o 3 gdlI polsi sono tutti R, ma con caratteristiche
diversePer alcuni compiti bastano polsi 2R come
illustrato
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Per altri compiti sono necessari polsi 3R
Tipi di polso robotico – 3 gdl
Codice coloriR asse xG asse yB asse z
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Cinematica dei Polsi
Polso “euleriano” 3R
Polso “roll-pitch-yaw” 3R
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Condizione di singolarità
Allineamento degli assi
Cinematica dei Polsi
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Spazio di lavoro o “operativo”
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Un robot reale è mosso dai giunti
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Motoriduttori
Motodiruttore epicicloidale Harmonic drive
Sugli assi dei motori sono collegati dei motoriduttori che hanno lo scopo di abbassare la velocità e aumentare la coppia motrice
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Cinematica
La cinematica riguarda lo studio delle 4 funzioni che legano le variabili “giunto” con le variabili “cartesiane”
Cinematica diretta di posizioneCinematica inversa di posizioneCinematica diretta di velocitàCinematica inversa di velocità
Posizione e velocità di cosa?
Di solito del riferimento solidale con la punta operativa
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Cinematica
P
y
xα
βCinematica diretta
Cinematica inversa
x
y
αβ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇐⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x
y
αβ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇐⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Facile !
Difficile !
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Il robot come sistema multi-corpo
BASE
PINZA
PR
0R?
Ogni corpo rigido è caratterizzato da 6 parametri,3 di posizione e 3 di assetto
qual’è la relazione tra questi due sistemi di riferimento?
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iR
= ×k i j
j
i
colori assi = convenzione RGB
Il riferimento DEVE essere destrorsoregola della mano destra o del cavatappi
Riferimento cartesiano
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Corpo rigidoUn corpo rigido è descrivibile
quando è noto il riferimento solidale ad esso e la sua relazione con un riferimento “assoluto”
o “inerziale” (convenzionalmente “fisso”)
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Trasformazioni rigide
RotazioneTraslazioneRoto-traslazione Riflessione (impossibile effettuarla con oggetti fisici)
Le trasformazioni hanno un significato geometrico e fisico, oltre che una rappresentazione matematica
A noi interessano entrambi, perché ci aiutano a scrivere i modelli dinamici dei robot
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Rotazioni (1)La rotazione può avvenire sia intorno a un asse passante
per l’origine del riferimento localeoppure
per l’origine del riferimento “fisso”;
Perciò occorre definire l’angolo di rotazione, ma anche dire se la rotazione avviene rispetto al riferimento fisso o a quello locale
asse Locale/Mobileasse Fisso
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Rotazioni (2)
• La rotazione è rappresentata da una matrice 3 x 3• La matrice ha determinante +1 ed è ortonormale, ossia
T T
T1−
= =
=
RR R R I
R R
• Ogni riga e ogni colonna hanno norma unitaria• Di una matrice dovete saper calcolare
1. Il determinante2. La traccia3. La trasposta4. L’inversa5. La norma6. E anche gli autovalori
• Di un vettore dovete saper calcolare la norma
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Riferimenti e rotazioni (1)
Un riferimento rispetto ad un altro si definisce attraverso una matrice di rotazione
ARBR
rappresenta inABR BR AR
rappresenta inBAR AR BR
( )B AA B=R R
T
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Riferimenti e rotazioni (2)
AA =R I
1 2 3
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜= + + =⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + + = + +
I
e e e i j k
AB
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
R
ABi A
Bj A
Bk
ABi è il versore dell’asse x di B
rappresentato in AABj è il versore dell’asse y di
B rappresentato in AABk è il versore dell’asse z di B
rappresentato in A
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Riferimenti e rotazioni (3)
( )A A A AB B B B=R i j k
ARBR
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Riferimenti e rotazioni (4)
Una matrice di rotazione rappresenta tre concetti:
La rotazione fisica per “portare” il riferimento Aal riferimento B (e quindi il corpo rigido A al corpo rigido B )
La rappresentazione dei versori del riferimento B nel riferimento A
Un operatore di trasformazione tra vettori
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CY
Rotazioni = trasformazioni (1)
Caso A: due riferimenti con origine coincidente
v
( )
AA B B
B B AB A A A B
=
= =
v R v
v R v R RT
ARBR
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Rotazioni = trasformazioni (2)
Caso B: due riferimenti non coincidenti
v
Risposta: occorre distinguere1. Il vettore rappresenta un segmento orientato?2. Il vettore rappresenta un punto geometrico?
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CFI
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Rotazioni = trasformazioni (3)
Se il vettore rappresenta un segmento orientato, come velocità lineari o angolari, forze, momenti, accelerazioni, campi…
vP
1 2 3
1 1 2 2 3 3
x y zv v v
v v v
v v v
= + +
= + +
= + +
v i j k
i j k
e e e
Q
Modi diversi per dire la stessa cosa
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CFI
CY
Rotazioni = trasformazioni (4)
Il vettore rappresenta un punto geometrico
vP
1 2 3
1 1 2 2 3 3
x y zv v v
v v v
v v v
= + +
= + +
= + +
v i j k
i j k
e e e
stessa rappresentazione di prima
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CFI
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Rotazioni = trasformazioni (5)
Se rappresenta un segmento orientato, si ha semplicemente
Se rappresenta un punto geometrico
Questa è la traslazione tra le origini dei sistemi di riferimento (da A a B)
Se i sistemi di riferimento coincidono
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Rotazioni elementari
,
1 0 0
0 cos sin
0 sin cosα α α
α α
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
iR
,
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
β
β β
β β
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜− ⎟⎜⎝ ⎠
jR
,
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1γ
γ γ
γ γ
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
kR
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CFI
CY
Composizione di Rotazioni (1)
Se componiamo più rotazioni, come si fa?si moltiplicano tra loro le matrici di rotazione
ma poiché il prodotto di matrici non ècommutativo, quale si mette prima e quale dopo?
1 2 2 1 ?RR RRoppure
regola: Pre-Fisso; Post-Mobileche vuol dire?
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CFI
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Composizione di Rotazioni (2)
rotazione intorno ad asse fisso
rotazione intorno a asse mobile
rotazione intorno ad asse fisso
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CFI
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Composizione di Rotazioni (3)
dall’alto si capisce meglio
rotazione asse “mobile” rotazione asse “fisso”
uno viene detto “fisso” l’altro “mobile”è solo una questione di termini relativi
FISSO MOBILE
il risultato finale non è lo stesso
all’inizio i due riferimenti stanno in
questa posizione reciproca
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CFI
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Composizione di Rotazioni (4)
rotazione asse “mobile” rotazione asse “fisso”
cosa succederebbe se cambiassimo le definizioni di fisso e mobile?
FISSOMOBILE
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Traslazioni
1 2 3
0 0
0 ; ; 0 ;
0 0
x x
y y
z z
d d
d d
d d
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
t t t t
1t
2t3
t
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CFI
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Traslazioni = trasformazioni (1)
Il vettore rappresenta un punto geometrico
vP
At B= +v v t
L’operatore è una somma vettoriale
tv
ARBR
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CFI
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Traslazioni = trasformazioni (2)
vP Q
Se il vettore rappresenta un segmento orientato, come velocità lineari o angolari, forze, momenti, accelerazioni, campi…
vP Q
La traslazione non cambia la rappresentazione del segmento orientato
( ) ( )A Q P
A AB Q B P B Q P
= −
= + − + = −
v v v
v v t v t v v
AR
BR
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Rototraslazione (1)
Per unificare gli operatori di rotazione (prodotto per matrice) e di traslazione (somma di vettore), si introducono i vettori omogenei
I vettori omogenei sono delle rappresentazioni “proiettive” 4 x 1 dei vettori tradizionali 3 x 1
11
22
3 43
i ii
wvv
wv v wvv v
wv v wv
w
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⇒ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
v v
Fattore di scala o di omogeneizzazione
Ciò permette di scrivere
Ossia come un unico prodotto matrice x vettore
1 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
R t vRv t
0
Matrice omogenea di rototraslazione
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CFI
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CFI
CY
Rototraslazione (2)
( , )1
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
R tT T R t
0 T
1
cos cos sin sin sin cos
sin cos cos sin cos sin
0 sin cos
0 0 0 1
i i i i i i i
i i i i i i iii
i i i
a
a
d
θ α θ α θ θ
θ α θ α θ θ
α α−
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
T
Struttura fissa
ESEMPIO
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Rappresentazione omogenea (1)
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TIC
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01
CFI
DV
02
CFI
CY
Rappresentazione omogenea (2)
( , )1 1 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= = =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
R t I t R 0T T R t
0 0 0T T T
Traslazione
Rotazione
L’operatore di rototraslazione può essere interpretato come una traslazione seguita da una rotazione rispetto agli assi mobili (post-mobile)
Oppure come una rotazione seguita da una traslazione rispetto agli assi fissi (pre-fisso)
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CFI
DV
02
CFI
CY
Rappresentazione omogenea (3)
t Traslazione + rotazione “mobile”
Rotazione + traslazione “fisso”
ESEMPIO
Basilio Bona – DAUIN – Politecnico di TorinoAA 2006/07 005/38
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01
CFI
DV
02
CFI
CY
Rappresentazione omogenea (4)ESEMPIO
Abbiamo invertitol’ordine
Basilio Bona – DAUIN – Politecnico di TorinoAA 2006/07 005/39
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CFI
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02
CFI
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Angoli di Eulero (1)
Fisso Mobile Mobile
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01
CFI
DV
02
CFI
CY
Angoli di Eulero (2)
θ
φψ
Basilio Bona – DAUIN – Politecnico di TorinoAA 2006/07 005/41
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01
CFI
DV
02
CFI
CY
Angoli di Eulero (3)
Basilio Bona – DAUIN – Politecnico di TorinoAA 2006/07 005/42
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01
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DV
02
CFI
CY
Angoli di Eulero (4)
, ,φ θ ψ
Basilio Bona – DAUIN – Politecnico di TorinoAA 2006/07 005/43
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01
CFI
DV
02
CFI
CY
Angoli di Eulero (5)
Basilio Bona – DAUIN – Politecnico di TorinoAA 2006/07 005/44
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A –
01
CFI
DV
02
CFI
CY
Angoli di Eulero (6)
c c s c s c s s c c s s
s c c c s s s c c c c s
s s c s c
φ ψ φ θ ψ φ ψ φ θ ψ φ θ
φ ψ φ θ ψ φ ψ φ θ ψ φ θ
ψ θ ψ θ θ
⎛ ⎞− − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
Partiamo dalla matrice simbolica
Osserviamo che se 1 0cθ θ= ⇒ =
( ) 00
0 0 1
c c s s c s s c
s c c s c c s sφ ψ φ ψ φ ψ φ ψ
φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ
ψ ψ
⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
cos( )φ ψ+
sin( )φ ψ+
3 angoli
1 angolo
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CFI
CY
Angoli RPY (1)
Fisso Fisso Fisso
Basilio Bona – DAUIN – Politecnico di TorinoAA 2006/07 005/46
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A –
01
CFI
DV
02
CFI
CY
Angoli RPY (2)