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U.Gasparini, Fisica I 1
legge del moto descritta dal vettore: OP(t) r(t) (x(t), y(t), z(t))
P
x
y
z
r(t)
y(t)x(t)
z(t)
“traiettoria”
O
P0
s(t) : “coordinata curvilinea”
x = x(t)y = y(t)z = z(t)
“equazioni parametriche” della traiettoria nel parametro t (tempo)
Eliminando il tempo, ad es. invertendo la funzione x(t) : t= t(x)
y = y [ t(x)] = f y (x)z = z [ t(x)] = fz (x)
“equazioni della traiettoria”
Moto di un “punto materiale” P nello spazio tridimensionale:
U.Gasparini, Fisica I 2
v tdr t
dt
r t t r t
t
r
tt t
( )( ) ( ) ( )
0 0
lim lim
r(t)
r (t+ t)
r
O
La velocità é un vettore tangente alla traiettoria :
rP(t)
P(t + t)
drr dr = ds uTt 0
s(t)
versore tangente
v t
dr
dt
ds
dtu v t uT T( ) ( )
velocità scalare
Vettore velocità :
U.Gasparini, Fisica I 3
dt
tdz
dt
tdy
dt
tdxvvvv zyx
)(,
)(,
)(),,(
Infatti:
Se è nota la funzione (vettoriale) velocità, la legge del moto r(t) si ottiene per integrazione :
dr v t dt ( )
r r t r t dr v t dto
ot
t
( ) ( ) ( ' ) '
r t r t v t dto
ot
t
( ) ( ) ( ' ) '
x t x t v t dt
y t y t v t dt
z t z t v t dt
o
o
o
o
o
o
x
t
t
y
t
t
z
t
t
( ) ( ) ( ' ) '
( ) ( ) ( ' ) '
( ) ( ) ( ' ) '
zzyyxxzyx
zyx
utvutvutvudt
tdzu
dt
tdyu
dt
tdxdt
utzutyutxd
dt
trdv
)()()()()()(
))()()(()(
Componenti cartesiane del vettore velocità
U.Gasparini, Fisica I 4
a tdv t
dt
d r t
dt( )
( ) ( )
2
2
L’accelerazione ha una componente tangente ed una componente normale alla traiettoria :
C“centro dicurvatura”
a
a
a
T
N
dt
tudtvu
dt
tdvdt
tutvd
dt
tvdta
TT
T
)()(
)(
)]()([)()(
v tuN
( )
(raggio di curvatura)
a = aT uT + aN uN
accelerazione tangente :
accelerazione normale :
dt
tdvtaT
)()(
)(
)(2 tv
taN
Vettore accelerazione
U.Gasparini, Fisica I 5
uT (t)uT (t+dt)
d
d
uT (t)
uT (t+dt)
duT = d uN
d u u duT T T( ) 2 2 0 du uT T
du
dt
d
dtu
ds
dtu
v tuT
N N N
1 ( )
ds = d
ds
d
/2
Il modulo del versore u T è costante:il vettore d u T
è normale al versore uT
Il modulo del vettore d u T
è uguale a d = ds /
In definitiva:
Accelerazione normale
U.Gasparini, Fisica I 6
a a a a
d x t
dt
d y t
dt
d z t
dtx y z
( , , )
( ),
( ),
( )2
2
2
2
2
2
adv t
dt
d v t u v t u v t u
dt
dv t
dtu
dv t
dtu
dv t
dtu
d
dt
dx t
dtu
d
dt
dy t
dtu
d
dt
dz t
dtu
d x t
dtu
d y t
dtu
x x y y z z
xx
yy
zz
x y z
x y
( ) ( ( ) ( ) ( ) )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )2
2
2
2
d z t
dtu
a t u a t u a t u
z
x x y y z z
2
2
( )
( ) ( ) ( )
Infatti:
Componenti cartesiane dell’ accelerazione
U.Gasparini, Fisica I 7
velocità con modulo costante:v
ds t
dtRd t
dtR
( ) ( )
coordinata curvilinea s(t)=R (t)
“velocità angolare”:
d t
dt
( )
s(t)=R (t)
v(t) = R u (t)
(t)
P
O
y
x
uN
)sin,cos(
uT ( sin ,cos )
R
x t R t
y t R t
( ) cos ( )
( ) sin ( )
v tdx t
dtR t
d
dtR t
v tdy t
dtR t
d
dtR t
x
y
( )( )
sin ( ) sin ( )
( )( )
cos ( ) cos ( )
v t v t v t R t tx y( ) ( ( ), ( )) ( sin ( ),cos ( ))
v t R u t vu tT T( ) ( ) ( )
( )t t 0
uT
T
traiettoria
Esempio: moto circolare uniforme
U.Gasparini, Fisica I 8
a tdv t
dtR t
d
dtR t
a tdv t
dtR t
d
dtR t
xx
yy
( )( )
cos ( ) cos ( )
( )( )
sin ( ) sin ( )
2
2
a t a t a t R t tx y( ) ( ( ), ( )) ( cos ( ), sin ( )) 2
)(cos)(
)(sin)(
tRtv
tRtv
y
x
s(t)
v(t) = R u (t)
(t)
P
O x
uN
( cos , sin )
uT ( sin ,cos )
R
T
a t R u t
v
Ru tN N( ) ( ) ( ) 2
2uN
Moto circolare uniforme (II)
U.Gasparini, Fisica I 9
v t v t a t dto
ot
t
( ) ( ) ( ' ) '
v t v t a t dt
v t v t a t dt
v t v t a t dt
x x x
t
t
y y y
t
t
z z z
t
t
o
o
o
o
o
o
( ) ( ) ( ' ) '
( ) ( ) ( ' ) '
( ) ( ) ( ' ) '
v v t v t dv a t dto
ot
t
( ) ( ) ( ' ) '
dv a t dt ( )
Invertendo la relazione che definisce l’accelerazione e integrando :
Integrazione della velocità
U.Gasparini, Fisica I 10
a = g , vettore costante
v t v gdt v g t t
r t r v t dt r v g t t dt
t
t
t
t
t
t
( ) ' ( )
( ) ( ' ) ' [ ( ' )] '
0 0 0
0 0 0 0
0
0 0
r t r v t t g t t( ) ( ) ( ) 0 0 0 0
21
2
g
v 0
r0
traiettoria
Il moto avviene nel piano individuato dai vettori g e v0
Moto con accelerazione costante: moto di un “grave”
Con opportuna scelta degli assi:
g g
v v v
r x y z
x y
( , , )
( , )
( , , )
,
0 0
00 0 0
0 0 0 0
r t r v t gt( ) 0 0
21
2
x t x v t
y t y v t gt
z t z
x
y
( )
( )
( )
0 0
0 02
0
1
2
posto t0 = 0 :
“equazioni parametriche “della traiettoria
t
x(t)
x0
t
y(t)
z0
z(t)
t
t M
yM
y0
v t v gty M y M( ) 0 0
y y t y v t gt
yv
ggv
g
M M y M M
y y
( ) 0 02
002
02
2
1
2
1
2
tv
gMy 0
y yv
gMy 0
02
2
Equazioni parametriche della traiettoria
U.Gasparini, Fisica I 12
Equazioni parametriche equazione della traiettoriax x t
y y t
( )
( )
t t x ( )y y t x y x ( ( )) ( )
x t v t
y t y v t gt
x
y
( )
( )
0
0 021
2
Scelta opportunamente l’origine degli assi x0 0
t x v x / 0
y x y vx
vg
x
vyx x
( )
0 0
0 0
21
2
y x y tg xg
vx( )
cos 0
02 2
2
2
“traiettoria” :
v 0
y x( )
xxG“gittata”
angolo iniziale del vettore v0:
xy vvtg 00 /
Equazione della traiettoria
U.Gasparini, Fisica I 13
y xx
vv
g
vx
xy
x( )
00
02Per y0 0
vg
vxy
xG0
020
.y xG( ) .0
x v v gv
gG x y 22
0 002
/cos sin
“gittata” :
Fissato il modulo di v0 , la gittata è funzione dell’inclinazione iniziale ;
gittata massima :dx
dG ( )
0d
d
(sin cos )
0
sin cos2 2 0
4
xG ( )
2
4
0.
v
g02
2
Gittata nel moto di un grave
U.Gasparini, Fisica I 14
O
P
v
x
y
z v r
r
(t)
d t
dt
( )
è al piano del moto, con verso definito dalla “regola della mano destra”
r r r v
ds t
dtrd t
dtsin
( ) ( )
2
Infatti:
d t
dt
( )
/ 2
Moto circolare: vettore velocità angolare
d t
dt
( )
Accelerazione:
a
dv t
dt
d r
dt
d
dtr
dr
dt
( ) ( )
v r
a r r ( )aT
aN
a rT
r a rN ( )
v r
aT
moto decelerato
moto accelerato
Vettore accelerazione angolare
U.Gasparini, Fisica I 16
O
P
ur
u
r t r t u tr( ) ( ) ( )
r(t)
v
r(t+dt)
d
v tdr t
dt
dr t
dtu r t
du t
dtrr( )
( ) ( )( )
( )
x
y
u tr ( )
u t dtr ( )
du d ur
d
dtu
v t
dr t
dtu r t
d t
dtur( )
( )( )
( )
rv
v
“velocità trasversa”“velocità radiale”
v t
dr t
dtr t
d t
dt
dx t
dt
dy t
dt( )
( ), ( )
( ) ( ),
( )
componenti cartesianecomponenti polari
ur
2 1 costante
du u dur r r 2 2 0 u dur r
Componenti polari della velocità
a
dv t
dt
d
dt
dr
dtu r
d
dtur
( )
d r
dtu
dr
dt
du
dt
dr
dt
d
dtu r
d
dtu r
d
dt
du
dtrr
2
2
2
2
d
dtu
d
dtur
2dr
dt
d
dtu
a
d r
dtrd
dtu
dr
dt
d
dtrd
dtur
2
2
2 2
22
ar
“accelerazione radiale”
a
“accelerazione trasversa”
In un moto circolare ( r = costante) :
a rd
dtr ar N
22
a rd
dtrd
dtr aT
2
2
u uN r
u uT
Componenti polari dell’ accelerazione
U.Gasparini, Fisica I 18
1) moto circolare uniforme:
sovrapposizione di due moti armonici sfasati di e di uguale pulsazione lungo due assi ortogonali
x t R t R t
y t R t
( ) cos sin( / )
( ) sin( )
2 equazioni parametrichedella traiettoria
t
x(t)
y(t)
tTT/2
y
x
t=T/4
t=
t=R
la pulsazione del motoarmonico è la velocitàangolare del motocircolare
(t)= t
Composizione dei moti
U.Gasparini, Fisica I 19
2) moto di una “cicloide”composizione di un moto circolare uniforme di raggio R
con velocità angolare e di un moto traslatorio con
velocità v = R nel piano del moto circolarex t R t Rt
y t R t R
( ) sin
( ) cos
equazioni parametrichedella traiettoria
P
v = RC
moto del punto periferico di una ruota in moto con velocità costante
x
y
3) moto “elicoidale”
composizione di un moto circolare e di un moto traslatoriocon velocità v perpendicolare al piano del moto circolare
x t R t
y t R t
z t v tz
( ) sin
( ) cos
( )
xy
z
Esempi di composizione dei moti