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Lezione n° 7Università degli Studi Roma Tre – Dipartimento di IngegneriaCorso di Teoria e Progetto di Ponti – A/A 2013-2014 - Dott. Ing. Fabrizio Paolacci

Definizione• La linea di influenza è un grafico che fornisce la

risposta della struttura (sollecitazione o spostamento)in un punto in funzione della posizione della forza.

• I diagrammi delle sollecitazioni rappresentano (peruna forza fissata) le sollecitazioni in tutti i punti dellastruttura. In alternativa è possibile costruire ildiagramma per punti.

• Le linee di influenza rappresentano la sollecitazionein un punto al variare della posizione della forza.

DefinizioneLe ordinate della data grandezza Y relativa allaprefissata sezione S considerata si riportano incorrispondenza delle ascisse del carico mobile F

FSezioneS

Y= Reazione in S dovuta a F

Metodi di calcolo delle L.I. per letraviEsistono due metodi distinti

• Il metodo diretto, che consiste nel calcolo del graficodelle L.I basandosi su un calcolo diretto dellagrandezza interessata. Si applica anche in quei casiin cui è possibile facilmente esprimere la linea diinfluenza in forma analitica

• Il metodo indiretto che si basa sull’uso del teoremadi reciprocità di Betti.

Metodo diretto (Calcolo analitico)La definizione di linea di influenza offre un procedimento direttoper la costruzione di una qualsiasi linea di influenza per punti.Si pone il carico P = 1 sulla ascissa 1 e si calcola l'effetto che sidesidera nella prefissata sezione S; si sposta il carico P postouguale a 1 su un'altra ascissa 2 e si trova il corrispondentevalore dell'effetto studiato sempre sulla sezione S; si ripete ilprocedimento, applicando iI carico P =1 su altre ascisse 3 ...i ,…n e ricavando, in S, i valori correlativi si· determina così, unaserie di coppie di valori (i, i), costituite dall'ascissa dove agivail carico P = 1 e dal valore che ha assunto l'effetto nella sezioneS.A questo punto basta riportare in un diagramma i valori sullaverticale dei corrispondenti valori di Si per ottenere la linea diinfluenza di 1 sulla sezione S.

Metodo diretto (Calcolo Numerico)Esempio: Trave continua

xP x x

Taglio in S

Momento in S

00 0 0

x L x xxP P x x x

L LM x

xxxP x P x x x

Metodo diretto (Calcolo analitico)

Esempio:Trave appoggiata

Reazione in A

Reazione in B

xxsePT

Taglio in S Momento in S

xxsexxPM

Reazione in A

Metodo diretto (Calcolo analitico)Esempio: Trave incastro-appoggio

Reazione in B

Reazione in A

BAYY 1

Metodo diretto (Calcolo analitico)Esempio: Trave incastro-appoggio

Momento in A

Taglio in APxLYxM

BA)( AA

Metodo diretto (Calcolo analitico)Esempio: Trave doppiamente incastrata

Metodo diretto (Calcolo Numerico)Discretizzando la strutturamediante n nodi siesaminano n condizioni dicarico, ciascuna ottenutaapplicando una forzaunitaria in un nodo.Ad ogni CC sono associaten sollecitazioni (taglio,momento, forza normale) .Con queste grandezze sipuò costruire una tabella,riportando in ogni colonna lesollecitazioni prodotte daciascuna cc

Metodo diretto (Calcolo Numerico)

Questa matrice, letta per colonne, fornisce idiagrammi della grandezza s in tutti i nodidella struttura per ogni posizione della forza.Letta per righe fornisce la grandezza s in unadata sezione come funzione della posizionedel carico, cioè la sua linea di influenza.

Metodo indiretto

Metodo indirettoSi possono calcolare facilmente le seguenti L.I:

• L.I. di uno spostamento o rotazione• L.I. di reazioni vincolari di travi isosatatiche• L.I. di caratteristiche di sollecitazione di travi isos.• L.I. di reazioni iperstatiche• L.I. di caratteristiche di sollecitazione di travi iperst.

Metodo indirettoL.I. di una rotazione

E’ valida ·la seguente asserzione: la L.I. delloabbassamento i relativo ad una prefissatasezione S, coincide con la linea elastica dellatrave, prodotta dal carico unitario agente sullasezione S.

Infatti se applichiamo in S una forza unitaria epoi di seguito una forza unitaria in i la forza inS compie lavoro di trascinamento 1s

Se poi applichiamo in ordine contrario le forzeotteniamo un lavoro 1

Per il teorema di Betti si ha che

= s (Teorema di Maxwell)

Quindi la linea elastica dello spostamento in Scoincide con la deformata per una forzaunitaria applicata in S

E’ valida ·la seguente asserzione: la L.I. delloabbassamento i relativo ad una prefissatasezione S, coincide con la linea elastica dellatrave, prodotta dal carico unitario agente sullasezione S.Infatti se applichiamo in S un Momentounitario e poi di seguito una forza unitaria in iil momento in S compie lavoro ditrascinamento 1s

Se poi applichiamo in ordine contrariomomento e forza otteniamo un lavoro 1

Per il teorema di Betti si ha che

= s (Teorema di Maxwell)

Quindi la linea elastica della rotazione in Scoincide con la deformata per momentounitario applicata in S

OSSERVAZIONELe linee di influenza di spostamentio di rotazioni sono semprecurvilinee, sia nel caso di traviisostatiche che in quello di traviiperstatiche, perchè coincidonocon le linee elastiche dovute. acarichi unitari oppure a coppieunitarie, applicati alle travieffettive, che conservanq invariati ivincoli et{ettivi.

Metodo indirettoL.I. di reazioni di traviisostatiche

Si voglia la L.I. di YB : a tale scoposopprimiamo il carrello in B ed applichiamoal suo posto la forza verticale YB. In questecondizioni il sistema, inizialmente isostatico,è diventato labile con un grado di libertà.Imprimiamo al sistema uno spostamentovirtuale B

*=1, compatibile con i restantiVincoli in A, C, D.Detto () lo spostamento in corrispondenzadella forza P=1 per il teorema di Betti sia ha

YB= ()

Quindi la linea elastica della rotazione in Scoincide con il meccanismo ottenutosopprimendo il vincolo di cui si vuole lareazione e applicando li un spostamentounitario

Metodo indirettoL.I. delle caratteristiche della sollecitazione di traviisostatiche

Esempio: Linea di influenza del momento

1Linea influenzaTaglio

ESEMPIOTrave appoggiata consbalzo. Si voglionotrovare le linee diinfluenza di T ed M perla sezione S, compresanel tratto Be.

ESEMPIOTrave GerberL.I. in S1, S2 ed S3

Metodo indirettoL.I. delle reazioni iperstatiche

Lavoro che il momentoVirtuale m1* compie nelladeformazione reale = 0

Lavoro che il le forze realicompiono nelladeformazione virtuale

Calcolo sollecitazioni massime e minimeCon l’ausilio delle L.I. si possono calcolare le sollecitazionimassime e minime. Occorre caricare le zone della strutturache danno gli effetti con segno + o segno -

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