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A
Paolo Di Sia
Fondamenti di Matematica e Didattica II
Prefazione diPaolo Martelli
Copyright © MMXIVARACNE editrice S.r.l.
via Raffaele Garofalo, /A–B Roma()
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I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopiesenza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: aprile
A coloro che,
nonostante tutto,
non smettono
di cercare
Se i fatti non corrispondono alla
teoria, allora cambiate i fatti.
Albert Einstein
7
Indice
13 Prefazione
15 Introduzione
Fondamenti di Matematica e Didattica II
17 Capitolo I
Fondamenti di didattica della matematica
1.1. Introduzione, 17 – 1.2. Il sapere, 19 – 1.3. Il sapere sapiente, 20 – 1.4.
Dal sapere sapiente al sapere da insegnare, 21 – 1.5. Dal sapere da
insegnare al sapere insegnato, 23 – 1.6. L’insegnante, 23 – 1.7.
Devoluzione, 24 – 1.8. Istituzionalizzazione, 24 – 1.9. L’alunno, 24 – 1.10.
Trasmissione della conoscenza (empirismo), 26 – 1.11. Critiche, 27 – 1.12.
Il modello costruttivista, 29 – 1.13. L’influenza del comportamento
sull’insegnamento, 31 – 1.14. La conoscenza come adattamento, 32 – 1.15.
Il costruttivismo sociale, 34 – 1.16. La teoria delle situazioni didattiche, 35
– 1.17. Il concetto di ostacolo epistemologico, 36 – 1.18. Il modello
“inquiry”, 38 – 1.19. Il gruppo collaborativo, 41 – 1.20. Il tutoraggio tra
pari, 43
45 Capitolo II
Algebra: equazioni e disequazioni
2.1. Introduzione storico-didattica, 45 – 2.2. Gli Egizi e i Babilonesi, 48 –
2.3. I Greci, 49 – 2.4. Gli Arabi, 50 – 2.5. Omar Khayyām, 52 – 2.6. Il
8 Indice
Medioevo, 53 – 2.7. Il Rinascimento, 53 – 2.8. L’Ottocento, 54 – 2.9. Prodotti notevoli e triangolo di Tartaglia, 55 – 2.10. Monomi e polinomi,
56 – 2.11. Polinomi di primo grado, 57 – 2.12. Polinomi di secondo grado,
59 – 2.13. Equazioni, 60 – 2.14. Equazioni algebriche di primo grado, 61 –
2.15. Equazioni algebriche di secondo grado, 61 – 2.16. Equazioni
algebriche di grado superiore al secondo, 62 – 2.17. Disuguaglianze e
disequazioni, 63 – 2.18. Sistemi di disequazioni di primo grado, 67 – 2.19.
Disequazioni di secondo grado, 67 – 2.20. Disequazioni di grado superiore
al secondo, 68 – 2.21. Disequazioni razionali fratte, 68 – 2.22. Disequazioni con valore assoluto, 68 – 2.23. Disequazioni irrazionali, 69 –
2.24. Disequazioni esponenziali e logaritmiche, 69 – 2.25. Esercizi, 71
79 Capitolo III
Funzioni e geometria analitica
3.1. Introduzione storico-didattica: la Grecia, 79 – 3.2. La prima scuola di
Alessandria, 80 – 3.3. L’opera “Le Coniche”, 81 – 3.4. Periodo 476 (caduta
di Roma) - 1453 (caduta di Costantinopoli), 85 – 3.5. Rinascimento, 86 –
3.6. Sviluppi della geometria analitica, 90 – 3.7. Asse reale e piano
cartesiano, 91 – 3.8. Il concetto di funzione, 92 – 3.9. Funzione razionale
fratta, 95 – 3.10. Funzione esponenziale e logaritmica, 96 – 3.11. Funzione
composta e inversa, 98 – 3.12. Studio di una funzione, 99 – 3.13.
Trasformazioni di grafici, 103 – 3.14. Equazioni delle coniche, 104 – 3.15.
Esercizi, 108
113 Capitolo IV
Trigonometria
4.1. Introduzione storico-didattica, 113 – 4.2. Angoli, archi orientati e loro
misura, 119 – 4.3. Seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo
orientato, 120 – 4.4. Relazione fondamentale della goniometria, 122 – 4.5.
Interpretazione goniometrica del coefficiente angolare di una retta, 123 –
4.6. Teoremi relativi al triangolo rettangolo, 123 – 4.7. Funzioni circolari,
125 – 4.8. Equazioni con funzioni circolari, 129 – 4.9. Disequazioni con
funzioni circolari, 130 – 4.10. Importanti relazioni, 131 – 4.11. Esercizi,
134
Indice 9
137 Capitolo V
Limiti e continuità
5.1. Introduzione storico-didattica: il concetto di limite, 137 – 5.2.
Definizione di limite, 140 – 5.3. Limiti di successioni, 144 – 5.4. Limiti
notevoli, 145 – 5.5. Teoremi relativi ai limiti, 146 – 5.6. Proprietà dei
limiti, 146 – 5.7. Forme indeterminate, 148 – 5.8. Calcolo di limiti, 148 –
5.9. Continuità, 150 – 5.10. Esercizi, 153
159 Capitolo VI
Derivazione
6.1. Introduzione storico-didattica, 159 – 6.2. Il lavoro di Newton, 161 –
6.3. Il concetto di derivata prima di una funzione, 165 – 6.4. Derivate di
ordine superiore al primo, 167 – 6.5. Teoremi sulle derivate, 167 – 6.6.
Derivate di funzioni elementari, 169 – 6.7. Regole di derivazione, 171 –
6.8. Teoremi di de l'Hôpital e limiti di forme indeterminate, 173 – 6.9.
Polinomio, formula, serie di Taylor e Mac Laurin, 175 – 6.10. Esercizi,
178
185 Capitolo VII
Integrazione
7.1. Introduzione storico-didattica, 185 – 7.2. Dal metodo di esaustione al
calcolo integrale, 188 – 7.3. Il metodo degli indivisibili, 189 – 7.4.
L’integrale di Lebesgue, 193 – 7.5. Considerazioni aggiuntive
sull’integrale di Lebesgue, 196 – 7.6. Funzione primitiva e integrale
indefinito, 198 – 7.7. Metodi di integrazione, 201 – 7.8. Integrale definito,
202 – 7.9. Integrale di una funzione definita a tratti, 203 – 7.10. Integrali
impropri, 204 – 7.11. Esercizi, 207
213 Capitolo VIII
Funzioni di più variabili
8.1. Introduzione didattica, 213 – 8.2. Derivate parziali, 214 – 8.3. Derivate
parziali di funzioni di n variabili, 215 – 8.4. Derivate parziali di ordine
superiore al primo, 216 – 8.5. Differenziali delle funzioni di due o più
variabili, 218 – 8.6. Massimi e minimi di funzioni di due variabili, 218 –
8.7. Massimi e minimi relativi per le funzioni di n variabili, 220 – 8.8.
10 Indice
Massimi e minimi vincolati per le funzioni di due variabili, 221 – 8.9.
Esercizi, 224
231 Capitolo IX
Elementi di topologia
9.1. Introduzione storico-didattica, 231 – 9.2. Distanza e spazi metrici, 235
– 9.3. Intorno e spazio topologico, 236 – 9.4. Spazio vettoriale, 238 – 9.5.
Esercizi, 242
245 Capitolo X
Geometria piana e solida
10.1. Introduzione storico-didattica, 245 – 10.2. Il triangolo, 247 – 10.3. Il
parallelogramma, 248 – 10.4. Il rettangolo, 249 – 10.5. Il rombo, 249 –
10.6. Il quadrato, 250 – 10.7. Il trapezio, 251 – 10.8. Circonferenza e
cerchio, 252 – 10.9. Poligoni regolari, 253 – 10.10. Geometria nello spazio,
255 – 10.11. Prisma, 256 – 10.12. Parallelepipedo e cubo, 257 – 10.13.
Piramide, 258 – 10.14. Cilindro, 259 – 10.15. Cono, 260 – 10.16. Sfera,
261 – 10.17. Solidi particolari, 261 – 10.18. Angolo solido, 268 – 10.19.
Esercizi, 271
273 Capitolo XI
Cenni di geometria moderna
11.1. Matematica e geometria nel periodo 1450-1800, 273 – 11.2. Gauss,
Bolyai, Lobachevsky, Hilbert, 277 – 11.3. La geometria ellittica di
Riemann, 281 – 11.4. La geometria iperbolica di Bolyai-Lobachevsky, 283
287 Capitolo XII
Sull’essenza della matematica
12.1. Il programma di Erlangen e la visione unitaria della geometria, 287 –
12.2. L’importanza delle geometrie non euclidee, 288 – 12.3. Il metodo
storico e quello matematico-scientifico, 289 – 12.4. Il pensiero formale,
290 – 12.5. Sulla natura della matematica, 290 – 12.6. Il “fare
matematica”, 292 – 12.7. Matematica e bellezza, 294
Indice 11
297 Capitolo XIII
Sul concetto di infinito
13.1. La matematica e l’infinito, 297 – 13.2. Definire l’infinito, 299 – 13.3.
Infinito in potenza e in atto, 301 – 13.4. Infinitesimi e infiniti, 302 – 13.5.
Paradossi dell’infinito, 303 – 13.6. Infinito, transfinito, 305
309 Conclusioni
311 Bibliografia
323 Bibliografia (in ordine alfabetico)
335 Elenco delle figure
13
Prefazione
Il testo considera debitamente la rinnovata attenzione posta al
carattere formativo delle materie di base; intende essere uno strumento
di riferimento e un aiuto indispensabile alla didattica dei primi corsi di
matematica a livello accademico. Il volume è caratterizzato da un lato
per il rigore espositivo e tecnico degli argomenti trattati, dall’altro per
una interessante introduzione didattico-pedagogica inerente in
particolare il primo capitolo e i primi paragrafi di tutti gli altri. Vi
sono molti esempi e figure, così come una grande quantità di esercizi,
di difficoltà variabile. Il testo presenta due livelli di lettura e
comprensione: uno più semplice, per tutti coloro che intendono
avvicinarsi agli argomenti trattati in modo didattico e pedagogico,
l’altro rigorosamente tecnico. Questa duplice possibilità di lettura
lascia ai possibili docenti che lo utilizzeranno la libertà di scelta sul
livello in cui porsi, a seconda degli argomenti che trattano e
dell’ambito didattico in cui operano. I potenziali fruitori del testo sono
non solo studenti universitari, ma anche insegnanti in servizio e non,
genitori, chiunque sia interessato e incuriosito dal processo di
evoluzione della matematica e dalla sua inevitabile interazione con la
realtà della vita. Il testo offre molti spunti di riflessione, è duttile e ben
completato da una quantità considerevole di indicazioni
bibliografiche, non solo in lingua italiana. Esso segue il volume
“Fondamenti di Matematica e Didattica I” scritto dall’autore nel 2013,
di cui può considerarsi come “naturale” proseguimento, ma è anche
indipendente da esso. E’ redatto con cura e passione da un
professionista, amante della conoscenza, che ha al suo attivo varie
importanti pubblicazioni nazionali e internazionali inerenti questo
settore e settori affini.
Paolo Martelli
Marzo 2014
15
Introduzione
Questo libro prosegue il cammino iniziato con il volume
“Fondamenti di Matematica e Didattica I” relativo ai fondamenti e alla
didattica della matematica. Il testo parte e introduce in ogni capitolo
gli aspetti pedagogico-didattico-storici delle tematiche trattate, per
passare agli aspetti tecnici rigorosi che contraddistinguono la
matematica nel suo insieme. Ho inserito molti esercizi, con un diverso
grado di difficoltà e con soluzione indicata (per i meno semplici),
nonchè una bibliografia di 280 opere in lingua italiana, inglese,
tedesca e francese. Vi sono inoltre 101 figure illustrative. Partendo dai
fondamenti della didattica della matematica, viene esposta l’algebra,
la geometria analitica, la trigonometria, l’analisi, le funzioni di più
variabili, la topologia, la geometria piana e solida, per concludere con
argomenti di geometria moderna, l’essenza della matematica e il
concetto di infinito. I vari capitoli sono strutturati in modo da essere
indipendenti uno dall’altro, permettendo quindi anche una lettura
parziale del volume.
Desidero ringraziare tutte/i le/i componenti della casa editrice
Aracne editrice S.r.l. di Roma, che con professionalità e serietà hanno
seguito le fasi di creazione e realizzazione del volume.
Un ringraziamento speciale va al Dr. Paolo Martelli, che ha letto il
volume con attenzione, offrendo, in particolare per gli aspetti
pedagogico-didattici, la sua documentata professionalità in ambito
teorico e sperimentale.
Paolo Di Sia
Bressanone, Marzo 2014
17
Capitolo I
Fondamenti di didattica della matematica
1.1. Introduzione
La preparazione specifica dell’insegnante è di norma necessaria
ma non sufficiente; l’entusiasmo che un insegnante mostra durante
l’insegnamento è infatti senza dubbio importante per gli allievi, che
possono venire positivamente influenzati, ma ciò non è sufficiente per
cercare di trarre da ogni allievo il meglio che può dare.
Analogalmente il buon senso può condurre fuori strada; esistono
infatti insegnanti di buon senso che nella pratica hanno
comportamenti didattici assai diversi. Da questo si evince l’esistenza
di una grande complessità di rapporti tra insegnamento e
apprendimento1; la convinzione che le situazioni d’insegnamento
possano essere descritte esclusivamente in modo razionale è diventata
l’origine della didattica vista come campo scientifico. Gli studiosi di
didattica si occupano del come e del cosa si insegna, ma anche del
come e del cosa si apprende. La distinzione fra insegnamento e
apprendimento è fondamentale; esiste un’inevitabile distanza tra gli
obiettivi e intenzioni dell’insegnante e le conoscenze e i sapere poi
realmente acquisiti dagli allievi. Tutto ciò può essere schematizzato
nel cosiddetto triangolo didattico (Fig. 1):
18 Fondamenti di Matematica e Didattica II
Fig. 1: Il “triangolo didattico”.
In esso vengono riassunte le interazioni tra insegnante e allievo
relativamente ad un dato sapere in una situazione d’insegnamento;
viene superato il modello lineare della sola relazione insegnante-
allievo. Oggetto di studio della didattica diventano perciò
l’insegnante, l’alunno e il sapere insegnato, in tutte le modalità di
interazione2. In particolare la pedagogia ha spesso considerato
l’attività dell’allievo indipendente dal sapere insegnato; si è capito che
tra i parametri necessari per valutare l’attività dell’allievo è
indispensabile inserire anche il contenuto dell’insegnamento.
Le teorie generali che si sono staccate dai contenuti delle discipline
“non riescono ad aiutare gli insegnanti a comprendere le difficoltà
incontrate dagli studenti per specifici concetti e specifiche
competenze”3. Inoltre è chiaro come i concetti e le conoscenze
derivino da problemi specifici che l’uomo ha dovuto affrontare nel
corso della storia, quindi nelle teorie generali manca l’importante
aspetto epistemologico.
Pertanto in una disciplina possiamo distinguere:
i contenuti;
i contenuti della didattica di quella disciplina;
i contenuti di didattica generale, che si pone il problema di
come passare dai contenuti di una specifica disciplina a quelli
di qualunque disciplina.
Fondamenti di didattica della matematica 19
Per la preparazione di un buon docente di matematica sono quindi
necessarie le tre discipline: matematica, didattica della matematica,
didattica generale.
Oggi la ricerca in didattica segue in particolare due strade:
studi e ideazioni di strumenti e di situazioni atte a migliorare
l’insegnamento. Il centro dell’attenzione non è l’allievo bensì
l’argomento in gioco;
ricerca empirica sulla fase di apprendimento. Il centro
dell’attenzione è soprattutto l’allievo e il processo di
apprendimento, ma anche l’insegnante e il suo metodo
d’insegnamento4.
1.2. Il sapere
Il termine sapere è molto generico ed interrogarsi sul suo
significato conduce al di fuori del sistema didattico in senso stretto.
Yves Chevallard5 distingue a questo proposito tre tipi di sapere:
sapere sapiente (oggetto di sapere);
sapere da insegnare (oggetto da insegnare);
sapere insegnato (oggetto di insegnamento).
Il processo generale di trasformazione che permette di passare dal
sapere sapiente al sapere insegnato è stato denominato “trasposizione
didattica” da Chevallard che, tra i primi, ne ha fatto l’analisi in
didattica.
La trasposizione didattica in senso lato è rappresentata dal seguente
schema:
→ oggetto di sapere → oggetto da insegnare → oggetto di
insegnamento, nel quale il primo anello della catena segna il
passaggio dall’implicito all’esplicito, dalla pratica alla teoria, dal
precostruito al costruito.
20 Fondamenti di Matematica e Didattica II
1.3. Il sapere sapiente
Gli oggetti che costituiscono il sapere matematico sono prodotti
dalla comunità matematica. Durante la fase di costruzione del sapere
l’attività del ricercatore è personalizzata, poiché è lui stesso a
scegliere il problema di cui occuparsi, gli strumenti concettuali e la
strada da adottare nella sua ricerca. Nell’elaborare le sue riflessioni
egli può commettere errori, può avere ripensamenti. Risultano anche
personali le motivazioni che hanno condotto il ricercatore a questo suo
lavoro che riguarda in genere un problema specifico; questa attività
assume pertanto anche un carattere contestualizzato.
Il ricercatore elabora delle conoscenze, sufficientemente nuove ed
interessanti per essere comunicate alla comunità matematica, dando ad
esse la forma più generale possibile, secondo le regole di
comunicazione vigenti nella comunità scientifica. Questa fase
rappresenta il momento della comunicazione del sapere. Un
ricercatore, per comunicare agli altri ricercatori ciò che pensa di aver
trovato, lo trasforma:
elimina “l’infanzia” della sua ricerca, ossia le riflessioni inutili,
gli errori, gli itinerari tortuosi, che portano a vicoli ciechi.
Sopprime anche tutto ciò che attiene all’ordine delle
motivazioni personali o a quello del suo punto di vista sulle
basi ideologiche della scienza. Chiamiamo l’insieme di queste
soppressioni con il termine “depersonalizzazione”;
toglie la storia anteriore che lo ha condotto a tale ricerca, la
distacca dal problema particolare che voleva risolvere e cerca
il contesto più generale nel quale il risultato è vero. E’ ciò che
viene indicato con il termine “decontestualizzazione”6.
La descrizione del processo attraverso cui il ricercatore in
matematica arriva a comunicare una scoperta serve a comprendere
meglio alcune caratteristiche dell’oggetto di sapere così come esso
appare nei testi dell’istituzione produttrice; non si può ovviamente
ridurre a questo la descrizione del lungo processo storico che ha
condotto ai vari oggetti del sapere matematico.
La depersonalizzazione e la decontestualizzazione sono due
caratteristiche dell’oggetto di sapere, così come questo appare
Fondamenti di didattica della matematica 21
culturalmente, e si può dire che esse abbiano sia un effetto positivo
che negativo sul processo successivo di trasposizione didattica.
L’effetto positivo è quello di rendere il sapere pubblico,
dunque utilizzabile e verificabile da chiunque, da tutti i
membri di una stessa comunità scientifica.
L’effetto negativo è quello di far scomparire parzialmente o
totalmente il contesto della ricerca e della scoperta. Questa
perdita non riguarda tuttavia i ricercatori contemporanei o
dello stesso settore dell’autore della pubblicazione, poichè essi
conoscono il retroterra del lavoro e la posizione esatta della
scoperta nell’ambito dei problemi a loro familiari.
1.4. Dal sapere sapiente al sapere da insegnare
Si potrebbe ritenere che l’insegnante sia in grado di trasformare
direttamente, di sua iniziativa, un sapere sapiente in oggetto di
insegnamento. In realtà esiste un lavoro essenziale che precede quello
dell’insegnante, in cui quest’ultimo non ha influenza diretta in quanto
solo insegnante.
Il sistema di insegnamento deve essere considerato come un
sistema aperto, avente cioè interazione con l’ambiente sociale, in
particolare con le famiglie e le comunità scientifiche, e il suo
funzionamento deve essere compatibile con tale ambiente sociale.
Yves Chevallard ha utilizzato il termine “noosfera” per designare
l’insieme dei luoghi e delle istanze dove avvengono gli scambi tra il
sistema di insegnamento ed il suo ambiente, rappresentato ad esempio
da associazioni di specialisti e da commissioni di riflessione
sull’insegnamento. Nella noosfera i rappresentanti del sistema di
insegnamento incontrano i rappresentanti della società, genitori degli
alunni, specialisti della disciplina, emissari degli organi politici, etc.
Il problema primario da risolvere affinchè l’insegnamento sia
possibile riguarda la compatibilità del sistema con il suo ambiente.
La noosfera deve sostenere costantemente la matematica in quanto
disciplina, difendere e giustificare il suo ruolo all’interno
dell’insegnamento. Particolare e fondamentale compito della noosfera
22 Fondamenti di Matematica e Didattica II
è quello di effettuare, nella trasposizione didattica, il passaggio dal
sapere sapiente al sapere da insegnare:
“…..da una parte il sapere insegnato deve essere visto dai
“sapienti” stessi come sufficientemente vicino al sapere
sapiente….., dall’altra il sapere insegnato deve apparire come
sufficientemente lontano dal sapere dei “genitori”, cioè dal
sapere banalizzato dalla società (e banalizzato soprattutto dalla
scuola)”5.
La noosfera assolve il suo compito mediante una operazione di
cambiamento di programmi, diminuendo la distanza tra il sapere da
insegnare ed il sapere sapiente e ristabilendo la distanza con il sapere
banalizzato.
Il sapere da insegnare non si colloca solo nei testi dei programmi;
un testo di programma deve infatti essere interpretato. Il sapere da
insegnare è dunque quello che l’insegnante trova interpretato sui libri
di testo e nelle abitudini che si consolidano nel tempo. Chevallard
parla di “testo del sapere”, sottolineando che questo testo non è
interamente scritto da nessuna parte.
Merita attenzione anche un fenomeno che spesso influenza la
trasposizione didattica, nel passaggio dal sapere sapiente al sapere da
insegnare; si tratta del “processo di elementarizzazione” del sapere
sapiente, nel quale l’insegnante può avere un ruolo determinante
attraverso la sperimentazione di un sapere sapiente che non è ancora
diventato sapere da insegnare7.
Questo processo, che rende più elementari certe concezioni o teorie
altrimenti proprie solo dei ricercatori, è solitamente attuato da
insegnanti in collegamento a gruppi di ricerca didattica e il suo
sviluppo può anche richiedere un arco di tempo abbastanza lungo1.
In passato tale processo ha ricoperto un ruolo importante per ciò
che riguarda il calcolo infinitesimale, la geometria analitica, le
trasformazioni geometriche, l’informatica, la probabilità e la
statistica, argomenti che fino a qualche tempo fa segnavano il distacco
tra la matematica pre-universitaria e quella universitaria.
