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1 Equazioni differenziali

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Modellizzare con le equazioni differenziali

Nel presentare, nel volume Funzioni di una variabile, Paragrafo 1.2, il processo dimodellizzazione, abbiamo parlato di come si può costruire un modello matematico perdescrivere un problema del mondo fisico attraverso un ragionamento intuitivo sul feno-meno, o a partire da una legge fisica basata sull’evidenza sperimentale. Il modello mate-matico spesso prende la forma di un’equazione differenziale, cioè di un’equazione checontiene una funzione incognita e alcune delle sue derivate. Questo non è sorprendente,perché in un problema concreto notiamo spesso il verificarsi di cambiamenti e vogliamopoter predire il comportamento futuro sulla base delle variazioni dei valori attuali.

Iniziamo esaminando alcuni esempi di come nascono le equazioni differenzialinella modellizzazione di un fenomeno fisico.

Modelli di crescita delle popolazioni

Uno dei modelli di crescita delle popolazioni si basa sull’ipotesi che queste ultime cre-scano a un tasso proporzionale al numero di individui. Tale ipotesi è ragionevole perpopolazioni di batteri o di animali in condizioni ideali (ambiente illimitato, nutrimentoadeguato, assenza di predatori, immunità dalle malattie).

Identifichiamo ed elenchiamo le variabili di questo modello:

Il tasso di crescita della popolazione è la derivata dP/dt. La nostra ipotesi che il tassodi crescita della popolazione sia proporzionale alla popolazione stessa si traducequindi nell’equazione

dove k è la costante di proporzionalità. L’Equazione 1 è il nostro primo modello di cre-scita di una popolazione; è un’equazione differenziale perché contiene una funzioneincognita P e la sua derivata dP/dt.

Dopo aver formulato un modello, studiamone le conseguenze. Se escludiamo unapopolazione di zero individui, allora P(t) > 0 per ogni t. Se k > 0, allora l’Equazione1 mostra che per ogni t. Questo significa che la popolazione è sempre cre-scente. Di fatto, al crescere di P(t), dP/dt diventa sempre maggiore. In altre parole, iltasso di crescita aumenta al crescere della popolazione.

Pt 0

dP

dt kP1

P numero di individui della popolazione variabile dipendente

t tempo variabile indipendente

1.1

3

Probabilmente la più importante tra le applicazioni delcalcolo infinitesimale è quella alle equazioni differen-ziali. Quando gli scienziati delle scienze fisiche o socialiusano il calcolo, molto spesso lo scopo è di analizzareun’equazione differenziale sorta dalla descrizione,

mediante un modello, di qualche fenomeno oggetto distudio. Anche se è spesso impossibile dare una formulaesplicita della soluzione di un’equazione differenziale,vedremo che con un approccio grafico o numerico sipossono ottenere tutte le informazioni necessarie.

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Proviamo a immaginare una soluzione dell’Equazione 1. È necessario trovare unafunzione la cui derivata sia un multiplo della funzione stessa. Sappiamo che le fun-zioni esponenziali hanno questa proprietà. Infatti, se poniamo , allora

Dunque una qualunque funzione esponenziale nella forma è soluzionedell’Equazione 1. Quando studieremo questa equazione in dettaglio nel Paragrafo 1.4,vedremo che non esistono altre soluzioni.

Lasciando variare C tra tutti i numeri reali, otteniamo la famiglia di soluzionii cui grafici sono mostrati in Figura 1. Le popolazioni, però, assumono solo

valori positivi, quindi consideriamo solo C > 0. Probabilmente, poi, ci interessano solovalori di t maggiori dell’istante iniziale t = 0. In Figura 2 sono disegnate alcune solu-zioni che hanno un significato fisico. Ponendo t = 0, otteniamo , dacui vediamo che la costante C rappresenta il valore della popolazione iniziale, .

L’Equazione 1 è appropriata per lo studio della crescita di una popolazione in con-dizioni ideali, ma dobbiamo riconoscere che un modello più realistico dovrebbe tenereconto che un dato ambiente ha risorse limitate. Molte popolazioni cominciano a cre-scere in maniera esponenziale, ma il livello della popolazione non oltrepassa la capa-cità dell’ambiente K (o decresce verso K se a un certo istante è superiore a K). Per unmodello che tenga conto di questi fenomeni, introduciamo due ipotesi:

se P è piccola (Inizialmente il tasso di crescita è proporzionale a P.)

se (P decresce se a un certo istante è superiore a K.)

Una semplice espressione che incorpora entrambe le ipotesi è data dall’equazione

Si noti che se P è piccola rispetto a K, allora P/K è vicino a 0 e dunqueSe P > K allora 1 – P/K è negativo e risulta dP/dt < 0.

L’Equazione 2 è detta equazione differenziale logistica; fu proposta dal matematicotedesco Verhulst negli anni Quaranta del diciannovesimo secolo come modello perstudiare la crescita della popolazione mondiale. Nel Paragrafo 1.5 studieremo delletecniche che ci permetteranno di ricavare esplicitamente le soluzioni dell’equazionelogistica, ma per ora possiamo dedurre alcune caratteristiche qualitative delle solu-zioni direttamente dall’Equazione 2.

Osserviamo innanzitutto che le funzioni costanti e sono solu-zioni perché, in entrambi i casi, uno dei fattori a destra nell’Equazione 2 è zero. (Ciòha senza dubbio significato fisico: se la popolazione è 0 oppure ha il valore della capa-cità dell’ambiente, allora non cambia.) Queste due soluzioni costanti sono chiamatesoluzioni di equilibrio.

Se la popolazione iniziale P(0) si trova tra 0 e K, allora il termine a destranell’Equazione 2 è positivo, dunque dP/dt > 0 e la popolazione cresce. Ma se la popo-lazione ha un valore maggiore della capacità dell’ambiente (P > K), allora 1 – P/K ènegativo e risulta dP/dt < 0: la popolazione decresce. Notiamo che, in entrambi i casi,se la popolazione si avvicina alla capacità dell’ambiente , allora ,cioè la popolazione tende a stabilizzarsi. Dunque ci aspettiamo che le soluzioni dell’e-quazione logistica abbiano grafici del tipo illustrato in Figura 3. Si noti che i grafici siallontanano dalla soluzione di equilibrio P = 0 e si muovono verso la soluzione di equi-librio P = K.

dPdt l 0P l K

Pt KPt 0

dPdt kP.

dP

dt kP1

P

K2

P KdP

dt 0

dP

dt kP

P0P0 Cek0 C

Pt Cekt

Pt Cekt

Pt Ckekt kCekt kPt

Pt Cekt

4 CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI

t

P

FIGURA 1La famiglia di soluzioni di dP/dt=kP

0 t

P

FIGURA 2La famiglia di soluzioni di P(t)=Cekt

con C>0 e t˘0

FIGURA 3Soluzioni dell’equazione logistica

t

P

0

P =K

P =0

soluzionidi equilibrio

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Un modello per il moto di una molla

Studiamo ora un esempio di modello tratto dalla fisica. Consideriamo il moto di unoggetto di massa m appeso all’estremità di una molla verticale (Figura 4). Nel volumeFunzioni di una variabile, Paragrafo 6.5, abbiamo discusso la legge di Hooke, cheafferma che se la molla viene allungata (o compressa) di x unità rispetto alla sua lun-ghezza naturale, allora essa esercita una forza che è proporzionale a x:

dove k è una costante positiva (detta costante di elasticità della molla). Se trascuriamol’effetto di ogni forza resistiva esterna (dovuta all’aria o all’attrito), allora, per laseconda legge di Newton (forza uguale massa per accelerazione), abbiamo

Questo è un esempio di equazione differenziale di secondo ordine, perché coinvolgederivate seconde. Vediamo cosa possiamo capire della soluzione direttamente dall’e-quazione. Possiamo riscrivere quest’ultima come

cioè: la derivata seconda di x è proporzionale a x ma ha segno opposto a x.Conosciamo due funzioni che hanno questa proprietà, le funzioni seno e coseno. Ineffetti, tutte le soluzioni dell’Equazione 3 si possono scrivere come combinazione dideterminate funzioni seno e coseno (si veda l’Esercizio 3). Ciò non è sorprendente; ciaspettiamo che la molla oscilli intorno alla sua posizione di equilibrio, dunque è natu-rale pensare che le funzioni trigonometriche siano coinvolte.

Equazioni differenziali generali

In generale, un’equazione differenziale è un’equazione che contiene una funzioneincognita e una o più delle sue derivate. Si dice ordine dell’equazione differenzialel’ordine della più alta derivata che compare nell’equazione. Per esempio, le Equazioni1 e 2 sono equazioni del primo ordine e l’Equazione 3 è un’equazione del secondoordine. In tutti e tre i casi citati la variabile indipendente è chiamata t e rappresenta iltempo, ma in generale la variabile indipendente non deve necessariamente essere iltempo. Per esempio, quando consideriamo l’equazione differenziale

intendiamo che y è una funzione incognita nella variabile x.Una funzione f si chiama soluzione dell’equazione differenziale se l’equazione è

verificata ponendo e sostituendo le sue derivate nell’equazione. Così, f è unasoluzione dell’Equazione 4 se

per tutti i valori di x in un certo intervallo.Quando è richiesto di risolvere un’equazione differenziale, è necessario trovare

tutte le possibili soluzioni dell’equazione.

f x xf x

y f x

y xy4

d 2x

dt 2 k

m x

m d 2x

dt 2 kx3

forza di richiamo kx

PARAGRAFO 1.1 MODELLIZZARE CON LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI 5

FIGURA 4

m

x

0

x m

posizione diequilibrio

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Abbiamo già risolto alcune semplici equazioni differenziali, cioè quelle nella for-ma

Per esempio, sappiamo che la soluzione generale dell’equazione differenziale

è data da

dove C è una costante arbitraria.Tuttavia, in generale, risolvere un’equazione differenziale non è così facile. Non

esiste una tecnica sistematica di risoluzione. A ogni modo nel Paragrafo 1.2 vedremocome disegnare grafici qualitativi delle soluzioni anche senza avere una formula espli-cita. Impareremo inoltre a trovare approssimazioni numeriche delle soluzioni.

ESEMPIO 1 Mostrare che ogni elemento della famiglia di funzioni

è soluzione dell’equazione differenziale .

SOLUZIONE Usiamo la Regola del Quoziente per derivare l’espressione di y:

Il termine di destra nell’equazione differenziale diventa

Perciò, per ogni valore di c, la funzione data è soluzione dell’equazione differen-ziale.

Quando usiamo le equazioni differenziali, di solito non ci interessa trovare tutte lesoluzioni (la soluzione generale); piuttosto, vogliamo trovare una soluzione che veri-fichi alcune particolari proprietà. In molti problemi fisici si cerca la soluzione parti-colare che soddisfi una condizione del tipo . Questa si chiama condizioneiniziale, e il problema di trovare una soluzione di un’equazione differenziale che sod-disfi la condizione iniziale si chiama problema ai valori iniziali.

Geometricamente, quando imponiamo una condizione iniziale, guardiamo le curvedella famiglia di soluzioni e scegliamo quella che passa per il punto . Fisicamentequesto significa misurare lo stato del sistema al tempo e poi usare la soluzione delproblema ai valori iniziali per prevedere il comportamento futuro del sistema.

t0

t0, y0

yt0 y0

1

2

4ce t

1 ce t2 2ce t

1 ce t2

12 y 2 1 1

2 1 ce t

1 ce t2

1 1

2 1 ce t2 1 ce t2

1 ce t2

ce t c 2e 2t ce t c 2e 2t

1 ce t2 2ce t

1 ce t2

y 1 ce t ce t 1 ce tce t

1 ce t2

y 12 y 2 1

y 1 ce t

1 ce t

y x 4

4 C

y x 3

y f x


La Figura 5 mostra i grafici di settemembri della famiglia dell’Esempio 1. L’e-quazione differenziale mostra che se

, allora . Ciò deriva dalfatto che i grafici si appiattiscono vicino a

e .y 1y 1

y 0y 1

5

_5

_5 5

FIGURA 5

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ESEMPIO 2 Trovare una soluzione dell’equazione differenziale chesoddisfi la condizione iniziale .

SOLUZIONE Sostituendo i valori e nella formula

dall’Esempio 1, otteniamo

Risolvendo questa equazione rispetto a c, si ha , che dà . Dun-que la soluzione del problema ai valori iniziali è

y 1

13 e t

1 13 e t

3 e t

3 e t

c 132 2c 1 c

2 1 ce 0

1 ce 0 1 c

1 c

y 1 ce t

1 ce t

y 2t 0

y0 2y 1

2 y 2 1

PARAGRAFO 1.1 MODELLIZZARE CON LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI 7

7. (a) Cosa si può dedurre sulle soluzioni dell’equazionedirettamente dall’equazione?

(b) Verificare che ogni elemento della famiglia di funzioniè soluzione dell’equazione differenziale

in (a).(c) È possibile immaginare una soluzione dell’equazione dif-

ferenziale che non appartenga alla famiglia difunzioni in (b)?

(d) Trovare una soluzione del problema ai valori iniziali

8. (a) Cosa si può dedurre sul grafico delle soluzioni dell’equa-zione quando x è vicina a 0? E quando x ègrande?

(b) Verificare che ogni elemento della famiglia di funzioniè soluzione dell’equazione differenziale

.

; (c) Disegnare alcuni elementi della famiglia di soluzioni suuna schermata comune. I grafici confermano le previsionifatte in (a)?

(d) Trovare una soluzione del problema ai valori iniziali

9. Una popolazione è modellizzata dall’equazione differenziale

(a) Per quali valori di P la popolazione è crescente?(b) Per quali valori di P la popolazione è decrescente?(c) Quali sono le soluzioni di equilibrio?

dP

dt 1.2P1

P

4200y0 2y xy 3

y xy 3y c x 2 12

y xy 3

y0 0.5y y 2

y y 2

y 1x C

y y 21. Mostrare che è soluzione dell’equazione diffe-

renziale .

2. Verificare che è soluzione del pro-blema ai valori iniziali

nell’intervallo .

3. (a) Per quali valori di k non nullo la funzione sod-disfa l’equazione differenziale ?

(b) Per questi valori di k verificare che ogni elemento dellafamiglia di funzioni

è soluzione dell’equazione data.

4. Per quali valori di r la funzione soddisfa l’equazionedifferenziale ?

5. Quale delle funzioni seguenti è soluzione dell’equazione dif-ferenziale ?(a) (b)(c) (d)

6. (a) Dimostrare che ogni elemento della famiglia di funzioniè soluzione dell’equazione differenziale

.

; (b) Illustrare la parte (a) disegnando alcuni elementi dellafamiglia di soluzioni su una schermata comune.

(c) Trovare una soluzione dell’equazione differenzialeche soddisfi la condizione iniziale .

(d) Trovare una soluzione dell’equazione differenzialeche soddisfi la condizione iniziale .y1 2y xy

y0 5y xy

y xyy Ce x22

y t 2e ty te ty e ty e t

y 2y y 0

y y 6y 0y e rt

y A sin kt B cos kt

y 9y 0y sin kt

2 x 2

y0 1y tan xy cos2 x

y sin x cos x cos x

xy y 2xy x x1

Esercizi 1.1

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Campo di direzioni e metodo di Eulero

Sfortunatamente, è impossibile risolvere la maggior parte delle equazioni differen-ziali, nel senso di ottenere un’espressione esplicita per le soluzioni. In questo para-grafo mostriamo come, nonostante la mancanza della soluzione esplicita, si possanoavere molte informazioni sulle soluzioni attraverso un approccio grafico (campo didirezioni) o un approccio numerico.

Campo di direzioni

Supponiamo di dover tracciare il grafico della soluzione del problema ai valori iniziali

Non conoscendo una formula per la soluzione, come possiamo tracciare il suo gra-fico?

y0 1y x y

1.2


13. Gli psicologi interessati alle teorie sull’apprendimento stu-diano le curve di apprendimento. Una curva di apprendi-mento è il grafico di una funzione , la prestazione di unindividuo che acquista una certa abilità in funzione del tempot. La derivata dP/dt rappresenta la velocità alla quale migliorala prestazione.(a) Formulare un’ipotesi su quando P cresce più rapida-

mente. Cosa succede a dP/dt al crescere di t? Spiegare.(b) Se M è il massimo livello di prestazione di cui il soggetto

è capace, spiegare perché l’equazione differenziale

è un modello ragionevole per l’apprendimento.(c) Tracciare il grafico qualitativo di una possibile soluzione

di questa equazione differenziale.

14. Si supponga di avere versato una tazza di caffè appena fattoa una temperatura di 95 °C in una stanza dove la temperaturaè di 20 °C.(a) Formulare un’ipotesi sul momento in cui il caffè si raf-

fredda più rapidamente. Cosa succede alla velocità di raf-freddamento al crescere di t? Spiegare.

(b) La legge di raffreddamento di Newton afferma che lavelocità di raffreddamento di un oggetto è proporzionalealla differenza tra la temperatura dell’oggetto e quelladell’ambiente circostante, se questa differenza non ètroppo grande. Scrivere un’equazione differenziale chedescriva la legge di Newton in questa particolare situa-zione. Qual è la condizione iniziale? Questo modello è inaccordo con l’ipotesi formulata in (a)?

(c) Tracciare il grafico qualitativo della soluzione del pro-blema ai valori iniziali in (b).

k costante positivadP

dt kM P

Pt

10. Una funzione soddisfa l’equazione differenziale

(a) Quali sono le soluzioni costanti dell’equazione?(b) Per quali valori di y la popolazione è crescente?(c) Per quali valori di y la popolazione è decrescente?

11. Spiegare perché le funzioni disegnate in figura non possonoessere soluzioni dell’equazione differenziale

12. La funzione disegnata in figura è soluzione di una delle equa-zioni differenziali seguenti. Individuare l’equazione corretta,giustificando la risposta.

A. B. C. y 1 2xyy 2xyy 1 xy

0 x

y

y

t1

1

y

t1

1

dy

dt e ty 12

dy

dt y 4 6y 3 5y 2

yt

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Pensiamo al significato dell’equazione differenziale. L’equazione dice chela pendenza in un punto generico (x,y) del grafico (chiamato curva soluzione) è ugualealla somma tra l’ascissa e l’ordinata del punto (Figura 1). In particolare, poiché lacurva passa per il punto (0,1), la sua pendenza deve essere 0 + 1 = 1. Quindi una pic-cola porzione della curva soluzione intorno al punto (0,1) assomiglia a un piccolo seg-mento passante per (0,1) con pendenza 1 (si veda la Figura 2.)

Come guida per tracciare il resto della curva, disegniamo piccoli segmenti passantiper un certo numero di punti (x,y) con pendenza x + y. Il risultato si chiama campo didirezioni ed è mostrato in Figura 3. Per esempio, il segmento passante per (1,2) hapendenza 1 + 2 = 3. Il campo di direzioni ci permette di visualizzare la generica formadi una curva soluzione indicando la direzione in cui si muove la curva in ogni punto.

Ora possiamo tracciare la curva soluzione passante per (0,1) seguendo il campo didirezioni come in Figura 4. Si noti che abbiamo disegnato la curva in modo che risultiparallela ai segmenti più vicini.

In generale, supponiamo di avere un’equazione differenziale del primo ordine nellaforma

dove è un’espressione in x e y. L’equazione differenziale dice che la pendenzadi una curva soluzione nel punto (x,y) della curva è . Disegnando piccoli seg-menti di pendenza in molti punti (x,y), otteniamo un campo di direzioni (ocampo di pendenze). Questi segmenti indicano la direzione in cui si muove una curvasoluzione, quindi il campo di direzioni aiuta a visualizzare l’andamento generale delgrafico delle soluzioni.

Fx, yFx, y

Fx, y

y Fx, y

0 x21

y

FIGURA 3Campo di direzioni per yª=x+y

0 x21

y

(0, 1)

FIGURA 4La curva soluzione passante per (0, 1)

la pendenzain (¤, fi) è¤+fi.

la pendenzain (⁄, ›) è⁄+›.

0 x

y

FIGURA 1Una soluzione di yª=x+y

0 x

y

(0, 1) la pendenza in (0, 1)

è 0+1=1.

FIGURA 2Inizio della curva soluzione passante per (0, 1)

y x y

PARAGRAFO 1.2 CAMPO DI DIREZIONI E METODO DI EULERO 9

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ESEMPIO 1(a) Disegnare il campo di direzioni per l’equazione differenziale .(b) Usare (a) per tracciare il grafico della soluzione che passa per l’origine.

SOLUZIONE(a) Iniziamo con il calcolare la pendenza in alcuni punti e raccogliamo i dati nellaseguente tabella:

Ora disegniamo piccoli segmenti passanti per questi punti con la pendenza calcolata.Il risultato è il campo di direzioni riportato in Figura 5.

(b) Partiamo dall’origine e ci muoviamo verso destra nella direzione del segmento(che ha pendenza –1). Continuiamo a disegnare la curva muovendoci parallelamenteai segmenti più vicini. La curva soluzione ottenuta è mostrata in Figura 6. Torniamopoi nell’origine e disegniamo la curva muovendoci verso sinistra.

Quanto maggiore è il numero di segmenti che disegniamo nel campo di direzioni,tanto migliore è il grafico che otteniamo. Naturalmente è un compito noioso calcolarependenze a mano e disegnare segmenti per un numero elevato di punti, ma l’uso delcomputer è molto adatto a questo scopo. In Figura 7 vediamo un campo di direzionimolto più accurato ottenuto con un computer per l’equazione differenzialedell’Esempio 1. Questo campo permette di disegnare con ragionevole accuratezza lecurve soluzione di Figura 8, aventi intercette sull’asse y pari a –2, –1, 0, 1 e 2.

3

_3

_3 3

FIGURA 7

3

_3

_3 3

FIGURA 8

0 x

y

1 2_1_2

1

2

-1

_2

FIGURA 5

0 x

y

1 2_1_2

1

2

-1

_2

FIGURA 6

y x 2 y 2 1


x 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 . . .

y 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 . . .

3 0 1 0 3 4 1 0 1 4 . . .y x 2 y 2 1

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Vediamo ora come il campo di direzione permetta di avere un’intuizione sull’an-damento dei fenomeni fisici. Il semplice circuito elettrico in Figura 9 contiene unaforza elettromotrice (di solito una batteria o un generatore) che produce una tensionedi E(t) volt (V) e una corrente pari a I(t) ampere (A) al tempo t. Il circuito è dotatoanche di un resistore di resistenza R ohm (Ω) e di un induttore da L henry (H).

La legge di Ohm descrive la caduta di tensione dovuta al resistore, pari a RI. La cadutadi tensione dovuta all’induttore è L(dI/dt). Una delle leggi di Kirchhoff afferma che lasomma delle cadute di tensione è pari al voltaggio fornito E(t). In formula, abbiamo:

che è un’equazione differenziale del primo ordine che modellizza l’andamento dellacorrente I al tempo t.

ESEMPIO 2 Si supponga che nel circuito di Figura 9 la resistenza sia di 12 Ω, l’indut-tanza di 4 H, e che la batteria fornisca una tensione costante pari a 60 V.(a) Disegnare il campo di direzioni per l’Equazione 1 con questi valori.(b) Cosa si può dedurre sul valore limite della corrente?(c) Trovare le soluzioni di equilibrio.(d) Si supponga che l’interruttore sia chiuso al tempo t = 0 per cui la corrente parteda I(0) = 0: usare il campo di direzioni per tracciare la curva soluzione.

SOLUZIONE(a) Se poniamo L = 4, R = 12 ed E(y) = 60 nell’Equazione 1, otteniamo

Il campo di direzioni di questa equazione differenziale è disegnato in Figura 10.

(b) Dal campo di direzioni è evidente che tutte le soluzioni tendono al valore 5 A, cioè

(c) Si vede che la funzione costante I(t) = 5 è un soluzione di equilibrio. Possiamoverificarlo direttamente con l’equazione differenziale. Se I(t) = 5, allora dI/dt = 0,mentre il termine a destra vale .15 35 0

limt l

It 5

FIGURA 100 t1

I

2 3

2

4

6

dI

dt 15 3Iovvero4

dI

dt 12I 60

L dI

dt RI Et1


R

E

interruttore

L

FIGURA 9

dI

dt 15 3I

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(d) Usiamo il campo di direzioni per tracciare il grafico della soluzione che passa peril punto (0,0), come mostrato in rosso in Figura 11.

Si noti dalla Figura 10 che tutti i segmenti disposti lungo una qualsiasi retta oriz-zontale sono paralleli. Questo perché la variabile indipendente t non compare a destradell’equazione . In generale, un’equazione differenziale della forma

in cui manca la variabile indipendente sulla destra dell’equazione viene chiamataautonoma. Per un’equazione di tale forma, le pendenze corrispondenti a punti diversima con uguale ordinata risultano uguali. Questo significa che conoscendo una solu-zione particolare di un’equazione differenziale autonoma se ne ottengono infinite altresemplicemente traslando il grafico della soluzione nota verso destra o verso sinistra.In Figura 11 abbiamo disegnato le soluzioni che si ottengono traslando la curva solu-zione dell’Esempio 2 verso destra di una e due unità. Si noti che il sistema ha lo stessocomportamento a ogni istante.

Metodo di Eulero

L’idea base su cui poggia l’uso dei campi di direzioni può essere sfruttata per trovareapprossimazioni numeriche delle soluzioni di equazioni differenziali. Illustriamo ilmetodo (detto di Eulero) sul problema ai valori iniziali già usato per introdurre i campidi direzioni:

L’equazione differenziale dice che , dunque il grafico della solu-zione ha pendenza 1 nel punto (0,1). Come prima approssimazione della soluzionepossiamo usare l’approssimazione lineare . In altre parole, possiamousare la retta tangente in (0,1) come prima approssimazione della curva soluzione(Figura 12).

L’idea di Eulero era di migliorare questa approssimazione seguendo la retta tan-gente solo per un breve tratto, e poi correggere la direzione nel modo indicato dalcampo di direzioni. In Figura 13 vediamo cosa succede rimanendo sulla tangente finoa x = 0.5. (La distanza orizzontale percorsa si chiama passo.) Poiché ,abbiamo e prendiamo (0.5,1.5) come punto di partenza per un nuovo seg-mento. Dall’equazione differenziale ricaviamo quindi che , eusiamo la funzione lineare

y 1.5 2x 0.5 2x 0.5

y0.5 0.5 1.5 2y0.5 1.5

L0.5 1.5

Lx x 1

y0 0 1 1

y0 1y x y

y f y

I 15 3I

FIGURA 110 t1

I

2 3

2

4

6


y

x0 1

1y=L(x)

curva soluzione

FIGURA 12Prima approssimazione di Eulero

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come approssimazione della soluzione per x > 0.5 (la linea gialla in Figura 13). Sediminuiamo il passo da 0.5 a 0.25, otteniamo un’approssimazione di Eulero migliore,come mostrato in Figura 14.

In generale, il metodo di Eulero consiste nel cominciare nel punto fornito dal datoiniziale procedendo nella direzione indicata dal campo di direzioni. Ci si ferma dopoun breve tratto, si guarda la pendenza nella nuova posizione, e si continua in quelladirezione. Si continua così fermandosi e cambiando direzione secondo il campo didirezioni. Il metodo di Eulero non fornisce la soluzione esatta di un problema ai valoriiniziali, ne dà solo un’approssimazione. Tuttavia, diminuendo l’ampiezza del passo (eaumentando di conseguenza il numero di correzioni della direzione seguita) si otten-gono approssimazioni sempre migliori per la soluzione esatta. (Si confrontino leFigure 12, 13 e 14.)

Per il generico problema ai valori iniziali , , il nostro scopoè quello di trovare valori approssimati della soluzione per valori equispaziati di

, , . . . , dove h è il passo. Dall’equazione differenziale siricava che la pendenza in è , dunque vediamo in Figura 15 cheil valore approssimato della soluzione per è

Analogamente,

In generale,

ESEMPIO 3 Usare il metodo di Eulero con passo 0.1 per costruire una tabella di valoriapprossimati per la soluzione del problema ai valori iniziali

SOLUZIONE Abbiamo che , , e . Dunque otteniamo

Questo significa che, detta y(x) la soluzione esatta, allora .y0.3 1.362

y3 y2 hFx2, y2 1.22 0.10.2 1.22 1.362

y2 y1 hFx1, y1 1.1 0.10.1 1.1 1.22

y1 y0 hFx0, y0 1 0.10 1 1.1

Fx, y x yy0 1x0 0h 0.1

y0 1y x y

yn yn1 hFxn1, yn1

y2 y1 hFx1, y1

y1 y0 hFx0, y0

x x1

y Fx0, y0 x0, y0 x2 x1 hx1 x0 h

yx0 y0y Fx, y

y

x0 1

1

0.5

1.5

FIGURA 13Approssimazione di Eulero con passo 0.5

y

x0 1

1

0.25

FIGURA 14Approssimazione di Eulero con passo 0.25


y

x⁄x¸0

y¸

h

hF(x¸, y¸)

(⁄, ›)

pendenza=F(x¸, y¸)

FIGURA 15

008-015 16-01-2002 16:05 Pagina 13

Continuando con calcoli simili, costruiamo la tabella seguente.

Per avere una tabella di valori più accurata nell’Esempio 3 possiamo ridurre ilpasso. Tuttavia, per un numero elevato di piccoli passi la quantità di calcoli da ese-guire è notevole, ed è necessario ricorrere all’uso di una calcolatrice o di un compu-ter. La tabella seguente riporta i risultati ottenuti applicando il metodo di Eulero conpasso decrescente per il problema ai valori iniziali dell’Esempio 3.

Si noti che le stime di Eulero nella tabella sembrano tendere a certi limiti, ovveroi valori esatti di y(0.5) e y(1). In Figura 16 troviamo i grafici delle approssimazioni diEulero con passo 0.5, 0.25, 0.2, 0.005, 0.02, 0.01 e 0.005. Questi grafici si avvicinanoal grafico della soluzione esatta al tendere a 0 del passo h.

ESEMPIO 4 Nell’Esempio 2 abbiamo discusso un semplice circuito elettrico di resi-stenza 12 Ω, induttanza 4 H e tensione di alimentazione 60 V. Con l’interruttore chiu-

0 x

y

0.5 1

1

FIGURA 16Approssimazioni di Eulero

che convergono alla soluzione esatta


n n

1 0.1 1.100000 6 0.6 1.9431222 0.2 1.220000 7 0.7 2.1974343 0.3 1.362000 8 0.8 2.4871784 0.4 1.528200 9 0.9 2.8158955 0.5 1.721020 10 1.0 3.187485

ynxnynxn

Passo Stima di Eulero di Stima di Eulero di

0.500 1.500000 2.5000000.250 1.625000 2.8828130.100 1.721020 3.1874850.050 1.757789 3.3065950.020 1.781212 3.3831760.010 1.789264 3.4096280.005 1.793337 3.4230340.001 1.796619 3.433848

y1y0.5

008-015 16-01-2002 16:05 Pagina 14

so all’istante t = 0 abbiamo modellizzato la corrente I al tempo t con il problema aivalori iniziali

Stimare la corrente nel circuito mezzo secondo dopo la chiusura dell’interruttore.

SOLUZIONE Usiamo il metodo di Eulero con e passo h= 0.1 secondi:

Dunque la corrente dopo 0.5 s è

I0.5 4.16 A

I5 3.7995 0.115 3 3.7995 4.15965

I4 3.285 0.115 3 3.285 3.7995

I3 2.55 0.115 3 2.55 3.285

I2 1.5 0.115 3 1.5 2.55

I1 0 0.115 3 0 1.5

Ft, I 15 3I, t0 0, I0 0

I0 0dI

dt 15 3I


2. È dato un campo di direzioni per l’equazione differenziale.

(a) Tracciare un grafico qualitativo delle soluzioni che verifi-cano le condizioni iniziali(i) (ii) (iii)

(iv) (v)

(b) Trovare tutte le soluzioni di equilibrio.

y

0 x

3

3_3

5

4

1 2_1_2

1

2

y0 5y0 4

y0 y0 2y0 1

y x sin y1. È dato un campo di direzioni per l’equazione differenziale

.(a) Tracciare un grafico qualitativo delle soluzioni che veri-

ficano le condizioni iniziali(i) (ii)

(iii) (iv)

(b) Trovare tutte le soluzioni di equilibrio.

y

0 x

3

3_3

_3

1 2_1_2

1

2

_1

_2

y0 3y0 3

y0 1y0 1

y y(1 14 y 2)

Esercizi 1.2

008-015 16-01-2002 16:05 Pagina 15

15–16 Usare un sistema di computer algebra (CAS) per dise-gnare un campo di direzioni associato all’equazione differenzialedata. Tracciare poi a mano la curva soluzione che passa per (0,1).Infine usare il CAS per fare lo stesso grafico e confrontare i risul-tati ottenuti.

15.

16.

17. Usare un sistema di computer algebra per disegnare uncampo di direzioni per l’equazione differenziale

. Tracciare poi a mano la soluzione che verificala condizione iniziale per diversi valori di c. Perquali valori di c esiste ? Quali sono i valori possi-bili per questo limite?

18. Tracciare un campo di direzioni per l’equazione differenzialeautonoma , dove il grafico di f è mostrato in figura.In che modo il comportamento limite delle soluzioni dipendedal valore di ?

19. (a) Usare il metodo di Eulero con ciascuno dei seguenti passiper stimare il valore di , dove y è la soluzione delproblema ai valori iniziali .

(i)(ii)

(iii)(b) Sappiamo che la soluzione esatta del problema in (a) è

. Disegnare, il più accuratamente possibile, ilgrafico di , insieme alle approssi-mazioni di Eulero ottenute coi passi della parte (a). (Igrafici ottenuti dovrebbero essere simili alle Figure 12, 13e 14.) Dai grafici dedurre se le stime in (a) sono stime pereccesso o per difetto.

(c) L’errore nel metodo di Eulero è la differenza tra il valoreesatto e il valore approssimato. Trovare gli errori commessiin (a) con l’uso del metodo di Eulero per la stima di ,cioè . Qual è il comportamento dell’errore a ogni dimez-zarsi del passo?

20. È dato il campo di direzioni per un’equazione differenziale.Disegnare, servendosi di un righello, i grafici delle approssi-mazioni di Eulero per la curva soluzione passante per l’ori-gine. Usare passi h = 1 e h = 0.5. Le stime di Eulero sono pereccesso o per difetto? Spiegare.

e 0.4y0.4

y e x, 0 x 0.4y e x

h 0.1h 0.2h 0.4

y y, y0 1y0.4

0 y21_1_2

f(y)

y0

y f y

lim t l yty0 c

y y 3 4y

CAS

y sinx y

y y sin 2x

CAS3–6 Associare a ogni equazione differenziale il suo campo didirezioni (individuato dalla numerazione I-IV). Giustificare larisposta.

3. 4.

5. 6.

7. Usare il campo di direzioni I degli Esercizi 3-6 per tracciarei grafici delle soluzioni che verificano le condizioni iniziali(a) (b) (c)

8. Ripetere l’Esercizio 7 per il campo di direzioni III.

9–10 Disegnare un campo di direzioni associato all’equazionedifferenziale. Tracciare poi tre curve soluzione.

9.

10.

11–14 Disegnare un campo di direzioni associato all’e-quazione differenziale. Tracciare poi la curva soluzione che passaper il punto dato.

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

1, 0y x xy

0, 1y y xy

0, 0y 1 xy

1, 0y y 2x

y x 2 y 2

y 1 y

y0 1y0 0y0 1

x

y

2_2

_2

2

x

y

2_2

_2

2

x

y

2_2

_2

2

x

y

2_2

_2

2

I II

III IV

y y 3 x 3y y 2 x 2

y y xy y 1


016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 16

26. (a) Programmare un CAS per l’uso del metodo di Eulero conpasso 0.01 nella stima di y(2), dove y(x) è la soluzione delproblema ai valori iniziali

(b) Verificare la stima ottenuta disegnando con il CAS lacurva soluzione.

27. La figura mostra un circuito contenente una forza elettromo-trice, un condensatore di capacità C farad (F) e un resistore diresistenza R ohm (Ω). La caduta di tensione ai capi del con-densatore è Q/C, dove Q è la carica (in coulomb), quindidalla legge di Kirchhoff si ha

Ma , quindi

Si supponga che la resistenza sia 5 Ω, la capacità 0.05 F e cheuna batteria fornisca una tensione costante di 60 V. (a) Disegnare un campo di direzioni per questa equazione

differenziale.(b) Qual è il valore limite della carica?(c) Esiste una soluzione di equilibrio?(d) Disegnare sul campo di direzioni la soluzione che verifica

.(e) Se la carica iniziale è , usare il metodo di

Eulero con passo 0.1 per stimare la carica dopo mezzosecondo.

28. Nell’Esercizio 14 del Paragrafo 1.1 abbiamo considerato ilraffreddamento di una tazza di caffè a 95 °C in una stanza a20 °C. Si supponga che il caffè si raffreddi a una velocità di1 °C al minuto quando la sua temperatura è di 70 °C.(a) Come diventa l’equazione differenziale in questo caso?(b) Disegnare un campo di direzioni e tracciare la curva

soluzione per questo problema ai valori iniziali. Qual è ilvalore limite della temperatura?

(c) Usare il metodo di Eulero con passo h = 2 minuti per sti-mare la temperatura del caffè dopo 10 minuti.

C

E R

Q0 0 CQ0 0 C

R dQ

dt

1

C Q Et

I dQdt

RI Q

C Et

y0 1y x 3 y 3

CAS

21. Usare il metodo di Eulero con passo 0.5 per calcolare leapprossimazioni dei valori di della soluzione delproblema ai valori iniziali

22. Usare il metodo di Eulero con passo 0.2 per stimare ,dove y è la soluzione del problema ai valori iniziali

23. Usare il metodo di Eulero con passo 0.1 per stimare ,dove y è la soluzione del problema ai valori iniziali

24. (a) Usare il metodo di Eulero con passo 0.2 per stimarey(1.4), dove y è la soluzione del problema ai valoriiniziali , .

(b) Ripetere la parte (a) con passo 0.1.

; 25. (a) Programmare una calcolatrice o un computer per l’usodel metodo di Eulero nella stima di , dove è lasoluzione del problema ai valori iniziali

(i) (ii)(iii) (iv)

(b) Verificare che è la soluzione esatta dell’e-quazione differenziale.

(c) Calcolare gli errori commessi nell’uso del metodo diEulero per stimare y(1) con i passi indicati nella parte (a).Come cambia l’errore quando il passo viene diviso per 10?

y 2 ex 3

h 0.001h 0.01h 0.1h 1

y0 3dy

dx 3x 2 y 6x 2

yxy1

y1 0y x xy

y0 1y y xy

y0.5

y0 0y 1 xy

y1

y1 0y y 2x

y1, y2, y3, y4

y

2

1

1 2 x0


016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 17

Equazioni separabili

Fin qui abbiamo studiato equazioni differenziali del primo ordine da un punto di vistageometrico (campi di direzioni) e da un punto di vista numerico (metodo di Eulero).Ma cosa si può dire da un punto di vista simbolico? Sarebbe interessante conoscereuna formula esplicita per le soluzioni di un’equazione differenziale. Sfortunatamente,questo non è sempre possibile. In questo paragrafo esaminiamo un tipo particolare diequazioni differenziali che è possibile risolvere esplicitamente.

Un’equazione separabile (detta anche a variabili separabili) è un’equazione dif-ferenziale del primo ordine in cui l’espressione di dy/dx può essere fattorizzata comeuna funzione di x per una funzione di y; in altre parole, la si può scrivere nella forma

Il nome separabile viene dal fatto che l’espressione a destra può essere “separata” inuna funzione di x e in una funzione di y. Equivalentemente, se , si può scrivere

dove . Per risolvere questa equazione la riscriviamo nella forma

in modo che tutte le y si trovino a un membro dell’equazione e tutte le x all’altro, poiintegriamo entrambi i membri:

L’Equazione 2 definisce y implicitamente come funzione di x. In alcuni casi possiamoessere in grado di ricavare y in funzione di x.

Per giustificare il passaggio che porta all’Equazione 2 ricorriamo alla Regola disostituzione:

(dall’Equazione 1)

ESEMPIO 1

(a) Risolvere l’equazione differenziale .

(b) Trovare la soluzione che soddisfa la condizione iniziale .y1

dy

dx

6x 2

2y cos y

y tx dx

y hyx tx

hyx dx

y hy dy y hyx dy

dx dx

y hy dy y tx dx2

hy dy tx dx

hy 1f y

dy

dx

txhy

1

f y 0

dy

dx txf y

1.3


La tecnica per risolvere le equazionidifferenziali separabili fu adoperata perla prima volta da Jacques Bernoulli (nel1690) nella risoluzione di un problemasulle oscillazioni del pendolo e da Leibniz(in una lettera a Huygens del 1691). JeanBernoulli, invece, spiegò il metodo gene-reale in una memoria del 1694.

016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 18

SOLUZIONE(a) Scrivendo l’equazione in forma differenziale e integrando entrambi i membri,otteniamo

dove C è una costante arbitraria. (Formalmente abbiamo introdotto una costantenell’integrazione del termine a sinistra e un’altra costante nell’integrazione diquello a destra, ma poi combiniamo le costanti scrivendo .)

L’Equazione 3 fornisce la soluzione generale in forma implicita. In questo caso èimpossibile risolvere l’equazione per avere esplicitamente y in funzione di x.

(b) La condizione iniziale è , dunque sostituiamo e nell’E-quazione 3:

Perciò la soluzione è data implicitamente da

Il grafico di questa soluzione è mostrato in Figura 2. (Lo si confronti con la Figura 1.)

ESEMPIO 2 Risolvere l’equazione .

SOLUZIONE Prima riscriviamo l’equazione con la notazione di Leibniz:

Se , possiamo riscriverla in forma differenziale e integrare:

Questa equazione definisce y implicitamente come funzione di x. In questo caso pos-siamo però ricavare esplicitamente y nel modo seguente:

da cui

Si noti che la funzione y = 0 è anch’essa una soluzione dell’equazione differenziale.

y e Cex 33

y e ln y e x 33C eCex 33

ln y x 3

3 C

y dy

y y x 2 dx

dy

y x 2 dx y 0

y 0

dy

dx x 2y

y x 2y

y 2 sin y 2x 3 2 2

C 2 2

2 sin 213 C

y x 1y1

C C2 C1

C2

C1

y 2 sin y 2x 3 C3

y 2y cos y dy y 6x 2 dx

2y cos y dy 6x 2 dx

PARAGRAFO 1.3 EQUAZIONI SEPARABILI 19

Alcuni sistemi di computer algebrasono in grado di disegnare curve definiteda equazioni implicite. La Figura 1 mostrai grafici di diversi membri della famiglia disoluzioni dell’equazione differenziale del-l’Esempio 1. Da sinistra a destra, i valoridi sono , , , , , e .3210123C

4

_4

_2 2

FIGURA 1

(1, π)

5

_5

_2 2

FIGURA 2

016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 19

In definitiva, possiamo scrivere la soluzione generale nella forma

dove A è una costante arbitraria ( , oppure , o anche ).

ESEMPIO 3 Nel Paragrafo 1.2 abbiamo modellizzato la corrente I(t) relativa al circuitoin Figura 5 con l’equazione differenziale

Trovare un’espressione per la corrente in un circuito con resistenza pari a 12 Ω, indut-tanza 4 H, dotato di una batteria che fornisce tensione costante pari a 60 V, nell’ipotesiche l’interruttore sia chiuso quando t = 0. Qual è il valore limite della corrente?

SOLUZIONE Con L 4, R 12 ed , l’equazione diventa

o

e il problema ai valori iniziali è

Riconosciamo che questa è un’equazione separabile, e la risolviamo come segue:

I 5 13 Ae3t

15 3I e3Ce3t Ae3t

15 3I e3tC

13 ln 15 3I t C

y dI

15 3I y dt

I0 0dI

dt 15 3I

dI

dt 15 3I4

dI

dt 12I 60

Et 60

L dI

dt RI Et

A 0A eCA eC

y Aex 33


R

E

interruttore

L

FIGURA 5

La Figura 3 mostra un campo di dire-zioni per l’equazione differenziale dell’E-sempio 2. La si confronti con la Figura 4,in cui usiamo l’equazione perdisegnare i grafici delle soluzioni perdiversi valori di . Se si usa il campo didirezioni per tracciare le curve soluzionecon intercetta , , , e , esse rical-cano le curve di Figura 4.

21125

A

y Ae x 3/3

FIGURA 3

2

_4

0 x

y

1 2_1_2

4

6

_2

_6

6

_6

_2 2

FIGURA 4

016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 20

Poiché I(0) = 0, abbiamo , dunque A = 15 e la soluzione è

Il valore limite della corrente, in ampere, è pari a

Traiettorie ortogonali

Una traiettoria ortogonale per una famiglia di curve è una curva che interseca cia-scuna curva della famiglia ortogonalmente, cioè formando angoli retti (Figura 7). Peresempio, ogni elemento della famiglia y = mx di rette passanti per l’origine è unatraiettoria ortogonale per la famiglia di circonferenze centrate nell’ori-gine (Figura 8). Diciamo allora che le due famiglie sono mutuamente ortogonali.

ESEMPIO 4 Trovare le traiettorie ortogonali per la famiglia di curve , dove k èuna costante arbitraria.

SOLUZIONE Le curve costituiscono una famiglia di parabole con l’asse x comeasse di simmetria. Il primo passo consiste nel trovare un’equazione differenziale chesia soddisfatta da tutti gli elementi della famiglia. Se deriviamo , otteniamo

Questa equazione differenziale dipende da k, ma noi cerchiamo un’equazione che siavalida contemporaneamente per ogni valore di k. Per eliminare k notiamo che, dall’e-quazione generale della parabola , otteniamo e dunque l’equazionedifferenziale si può riscrivere come

ody

dx

y

2x

dy

dx

1

2ky

1

2 x

y 2 y

k xy 2x ky 2

dy

dx

1

2kyovvero1 2ky

dy

dx

x ky 2

x ky 2

x ky 2

x

y

FIGURA 8

traiettoriaortogonale

FIGURA 7

x 2 y 2 r 2

5 5 limt l

e3t 5 0 5

limt l

It limt l

5 5e3t

It 5 5e3t

5 13 A 0


La Figura 6 mostra come la soluzionedell’Esempio 3 (la corrente) si avvicina alsuo valore limite. Il confronto con la Figura11 del Paragrafo 1.2 mostra che siamostati in grado di disegnare una curva solu-zione abbastanza precisa a partire dalcampo di direzioni.

6

0 2.5

y=5

FIGURA 6

016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 21

Questo significa che la pendenza della retta tangente nel punto (x,y) appartenente auna qualunque delle parabole è . Su una traiettoria ortogonale il coeffi-ciente angolare della retta tangente deve essere il reciproco di questo valore, cambiatodi segno. Perciò, le traiettorie ortogonali devono risolvere l’equazione differenziale

Questa equazione differenziale è separabile, e la risolviamo nel modo seguente:

dove C è una costante positiva arbitraria. Dunque le traiettorie ortogonali formano lafamiglia di ellissi descritte dall’Equazione 4 e tracciate in Figura 9.

Le traiettorie ortogonali si incontrano in vari settori della fisica. Per esempio, in uncampo elettrostatico le linee di forza sono ortogonali alle curve di potenziale costante.Ancora, in aerodinamica le linee di flusso sono traiettorie ortogonali per le curveequipotenziali di velocità.

Problemi di miscelazione

Un tipico problema di miscelazione riguarda un serbatoio di capacità fissata intera-mente riempito con una soluzione di una qualche sostanza, per esempio sale. Unasoluzione con una certa concentrazione entra nel serbatoio con velocità costante e, unavolta rimescolata, esce con una velocità costante in generale diversa da quella d’in-gresso. Se y(t) è la quantità di sostanza presente nel serbatoio al tempo t, allora èla differenza tra la velocità di entrata e la velocità di uscita. Una descrizione matema-tica di questa situazione porta spesso a un’equazione separabile. Lo stesso tipo diragionamento può essere usato per descrivere una grande varietà di fenomeni: reazionichimiche, scarico di sostanze inquinanti in un lago, iniezione di un farmaco in vena.

ESEMPIO 5 Un serbatoio contiene 20 kg di sale disciolti in 5000 litri d’acqua. Unasoluzione salina che contiene 0.03 kg di sale per litro d’acqua entra nel serbatoio allavelocità di 25 litri/min. La soluzione viene continuamente rimescolata ed esce dal ser-batoio con la stessa velocità. Quanto sale rimane nel serbatoio dopo mezz’ora?

SOLUZIONE Sia la quantità di sale (in kilogrammi) dopo t minuti. Sappiamo chee vogliamo calcolare . Riusciremo a farlo dopo aver trovato un’equa-

zione differenziale soddisfatta da . Notiamo che è la velocità di variazionedella quantità di sale, dunque

dove la velocità d’ingresso è la velocità con cui il sale entra e la velocità d’uscita è lavelocità con cui il sale lascia il serbatoio.

dy

dt velocità d’ingresso velocità d’uscita5

dydtyty30y0 20

yt

yt

x 2 y 2

2 C4

y 2

2 x 2 C

y y dy y 2x dx

dy

dx

2x

y

y y2x


x

y

FIGURA 9

016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 22

7. 8.

9–14 Trovare la soluzione dell’equazione differenziale chesoddisfa la condizione iniziale assegnata.

9. , y1 0dy

dx y 2 1

dz

dt e tz 0

du

dt 2 2u t tu

1–8 Risolvere l’equazione differenziale.

1. 2.

3. 4.

5. 6. y xy

2 ln y

dy

dt

te t

ys1 y 2

y xyyy x

dy

dx

e 2x

4y 3

dy

dx y 2


Esercizi 1.3

Abbiamo

Il serbatoio contiene sempre 5000 litri di liquido, così la concentrazione al tempo t èy(t)/5000 (in kilogrammi per litro). Poiché la soluzione salina esce a una velocità di25 litri/min, risulta

Allora, dall’Equazione 5 otteniamo

Risolvendo questa equazione separabile, abbiamo

Poiché , abbiamo , e dunque

Perciò

Dal momento che è continua, e il termine a destra non è mai nullo,deduciamo che è sempre positivo. Pertanto e risulta

In definitiva la quantità di sale dopo 30 min è

y30 150 130e30200 38.1 kg

yt 150 130et200

150 y 150 y150 yty0 20yt

150 y 130et200

ln 150 y t

200 ln 130

ln 130 Cy0 20

ln 150 y t

200 C

y dy

150 y y

dt

200

dy

dt 0.75

yt200

150 yt

200

velocità d’uscita yt5000

kg

litri25 litri

min yt200

kg

min

velocità d’ingresso 0.03 kg

litri25 litri

min 0.75 kg

min

La Figura 10 mostra il grafico della fun-zione dell’Esempio 5. Si noti come altrascorrere del tempo la quantità di saletenda a 150 kg.

yt

t

y

0 200 400

50

100

150

FIGURA 10

016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 23

27. Risolvere il problema ai valori iniziali dell’Esercizio 27,Paragrafo 1.2, per trovare l’espressione della carica al tempot. Determinare il valore limite della carica.

28. Nell’Esercizio 28, Paragrafo 1.2, abbiamo discusso l’e-quazione differenziale che descrive la temperatura di una tazzadi caffè a 95 °C in una stanza a 20 °C. Risolvere l’equazionedifferenziale per trovare la temperatura della tazza al tempo t.

29. Nell’Esercizio 13, Paragrafo 1.1, abbiamo proposto un modelloper l’apprendimento in forma di equazione differenziale

dove P(t) misura la prestazione di un individuo che acquistauna certa abilità in funzione del tempo t di esercizio, M è ilmassimo livello di prestazione di cui il soggetto è capace, e kè una costante positiva. Risolvere questa equazione differen-ziale per trovare l’espressione di P(t). Qual è il limite diquest’espressione?

30. In una reazione chimica elementare, molecole singole di duereagenti A e B formano la molecola prodotto: A + B → C. Lalegge dell’azione di massa afferma che la velocità della reazioneè proporzionale al prodotto delle concentrazioni di A e B:

Perciò, se le concentrazioni iniziali sono [A] = a moli/litro e[B] = b moli/litro e poniamo x = [C], abbiamo

(a) Assumendo , trovare x in funzione di t. Sfruttare ilfatto che la concentrazione iniziale di C è 0.

(b) Trovare assumendo a = b. Come si semplifica questaespressione per x(t) sapendo che dopo 20secondi?

31. Contrariamente al caso dell’Esercizio 30, gli esperimentimostrano che la reazione H2 + Br2 → 2HBr avviene secondola legge

e dunque per questa reazione l’equazione differenziale diventa

dove e e sono le concentrazioni iniziali diidrogeno e bromo.(a) Trovare x in funzione di t nel caso a = b. Sfruttare il fatto

che x(0) = 0.(b) Se a > b, determinare x(t). [Suggerimento: nell’inte-

grazione usare la sostituzione

32. Una sfera di raggio 1 m ha una temperatura di 15 °C. Una sferaconcentrica esterna di raggio 2 m ha una temperatura di 25 °C.

u sb x .]

bax HBr

dx

dt ka xb x12

d HBrdt

k H 2Br212

C a2x t

a bCAS

dx

dt ka xb x

d Cdt

k AB

dP

dt kM P

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. Trovare l’equazione della curva che verifica eche ha intercetta sull’asse y uguale a 7.

16. Trovare l’equazione della curva che passa per il punto (1,1) econ pendenza in (x,y) pari a .

17. (a) Risolvere l’equazione differenziale .

; (b) Risolvere il problema ai valori iniziali ,, e tracciare un grafico della soluzione.

(c) Il problema ai valori iniziali ,ammette soluzione? Spiegare.

; 18. Risolvere l’equazione e disegnare alcunielementi della famiglia di soluzioni. Come cambia la curvasoluzione al variare di C?

19. Risolvere il problema ai valori iniziali ,, e disegnare la soluzione (se il CAS a dispo-

sizione gestisce curve implicite).

20. Risolvere l’equazione e disegnarealcuni elementi della famiglia di soluzioni (se il CAS a dispo-sizione gestisce curve implicite). Come cambia la curva solu-zione al variare di C?

21–22

(a) Disegnare il campo di direzioni associato all’equazione dif-ferenziale con l’aiuto di un CAS. Tracciare poi alcune curvesoluzione senza risolvere l’equazione.

(b) Risolvere l’equazione differenziale.(c) Con un CAS disegnare alcuni elementi della famiglia di

soluzioni ottenuta in (b). Confrontare con le curve ottenutein (a).

21. 22.

; 23–26 Trovare le traiettorie ortogonali alla famiglia di curvedata. Usare un computer per disegnare alcuni elementi dellafamiglia di soluzioni su una stessa schermata.

23. 24.

25. 26.

y kexy x k1

x 2 y 2 ky kx 2

y x 2yy 1y

CAS

y xsx 2 1ye y CAS

y0 2y sin xsin yCAS

eyy cos x 0

y0 2y 2xs1 y 2

y0 0y 2xs1 y 2

y 2xs1 y 2

y 2x 3

dydx 4x 3y

y1 0dy

dt te y

u0 5du

dt

2t sec2t

2u

y0 1x 2ysx 2 1 dy

dx 0

x0 1xet dx

dt t

y0 1dy

dx

y cos x

1 y 2


016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 24

terminale della goccia è . Trovare un’espressioneper la velocità terminale in termini di g e k.

38. Un oggetto di massa m si muove orizzontalmente attraversoun mezzo che resiste al moto con una forza che è funzionedella velocità; cioè:

dove v = v(t) e s = s(t) sono rispettivamente la velocità e laposizione al tempo t. Si pensi, per esempio, a una barca chesi sposta nell’acqua.(a) Si supponga che la resistenza sia proporzionale alla velo-

cità, cioè , con k costante positiva. (Questomodello è realistico per piccoli valori di v.) Siano

e i valori iniziali di v e s. Determi-nare v e s al variare del tempo t. Qual è la distanza totalepercorsa dall’oggetto a partire da t = 0?

(b) Per valori di v più alti un modello migliore si ottiene sup-ponendo che la resistenza sia proporzionale al quadratodella velocità, cioè . (Questo modello fu pro-posto da Newton.) Siano , i valori ini-ziali di v e s. Determinare v e s al variare del tempo t.Qual è la distanza totale percorsa dall’oggetto in questocaso?

39. Sia A(t) l’area occupata da una coltura al tempo t e sia Ml’area finale a crescita completa. La maggior parte delle divi-sioni cellulari avvengono verso la periferia dell’area, e ilnumero di cellule in questa zona è proporzionale a .Dunque un modello ragionevole per la crescita della colturasi ottiene assumendo che la velocità di crescita dell’area siaproporzionale contemporaneamente a e .(a) Formulare un’equazione differenziale e mostrare che la

maggiore velocità di crescita si ha quando A(t) = M/3.(b) Risolvere l’equazione differenziale per trovare l’espres-

sione di A(t). Usare un CAS per integrare.

40. Secondo la legge di gravitazione universale di Newton, laforza di gravità su un oggetto di massa m lanciato vertical-mente rispetto alla superficie della Terra è

dove dove x = x(t) è la distanza del corpo dallasuperficie al tempo t, R è il raggio della Terra e g l’accelera-zione di gravità. Ancora, dalla seconda legge di Newton,

e dunque

(a) Si supponga che un razzo venga lanciato verso l’alto conuna velocità iniziale . Sia h la massima altezza sopra lasuperficie della Terra raggiunta dal razzo. Mostrare che

v0 2tRh

R h

v0

m dv

dt

mtR2

x R2

F ma m dvdt

x xt

F mtR2

x R2

CAS

M AtsAt

sAt

k 0f v kv2f v kv

s0 s0v0 v0

f v kv

m d 2s

dt 2 m dv

dt f v

lim t l vtLa temperatura T(r) alla distanza r dal centro comune dellesfere verifica l’equazione differenziale

Ponendo , S soddisfa un’equazione differenzialedel primo ordine. Risolverla per trovare l’espressione dellatemperatura tra le due sfere.

33. Una soluzione di glucosio viene somministrata in vena convelocità costante r. Via via che il glucosio viene introdotto,viene trasformato in altre sostanze ed eliminato dal flussosanguigno con una velocità proporzionale alla sua concen-trazione in quell’istante. Dunque un modello per la concen-trazione della soluzione di glucosio C = C(t) nel sangue è

dove k è una costante positiva.(a) Supponendo che la concentrazione al tempo t = 0 sia ,

determinare la concentrazione nel generico istante t risol-vendo l’equazione differenziale.

(b) Assumendo , trovare e interpretarela risposta.

34. In un Paese la moneta corrente in circolazione ammonta a 10miliardi di dollari, e ogni giorno 50 milioni di dollari entranonelle banche del Paese. Il governo decide di introdurre unanuova moneta, facendo sostituire ogni vecchia banconota cheentra in banca con una nuova. Sia x = x(t) la somma di con-tante di nuovo taglio in circolazione al tempo t, con x(0) = 0.(a) Formulare un modello matematico in termini di problema

ai valori iniziali per rappresentare il flusso della nuovamoneta in circolazione.

(b) Risolvere il problema formulato in (a).(c) In quanto tempo le nuove banconote costituiranno il 90%

di contante in circolazione?

35. Un serbatoio contiene 1000 litri di salamoia formata da 15 kgdi sale sciolto. Dell’acqua entra nel serbatoio a una velocitàdi 10 litri/min. La soluzione viene rimescolata continuamentee fuoriesce dalla tanica alla stessa velocità. Quanto salerimane nel serbatoio (a) dopo t minuti e (b) dopo 20 minuti?

36. Un serbatoio contiene 1000 litri d’acqua pura. Una salamoiache contiene 0.05 kg di sale per litro entra nel serbatoio a unavelocità di 5 litri/min. Una seconda salamoia che contiene0.04 kg di sale per litro entra nel serbatoio a una velocità di10 litri/min. La soluzione viene rimescolata continuamente efuoriesce dalla tanica alla velocità di 15 litri/min. Quanto salerimane nel serbatoio (a) dopo t minuti e (b) dopo un’ora?

37. Quando una goccia di pioggia cade, si accresce e la suamassa al tempo t è una funzione di t, m(t). La velocità dicrescita della massa è km(t) per una certa costante positiva k.Applicando la legge del moto di Newton alla goccia, otteni-amo , dove v è la velocità della goccia (direttaverso il suolo) e g è l’accelerazione di gravità. La velocità

mv tm

lim t l CtC0 rk

C0

dC

dt r kC

S dTdr

d 2T

dr 2 2

r

dT

dr 0


016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 25

(c) Quanto tempo è necessario perché il recipiente si svuoticompletamente?

42. Si supponga che il recipiente dell’Esercizio 41 non sia cilin-drico ma abbia sezione trasversale di area A(y) all’altezza y.Allora il volume d’acqua sino a y è e dal Teo-rema fondamentale del calcolo si ottiene . Nesegue che

e dunque la legge di Torricelli diventa

(a) Si supponga che il contenitore sia una sfera di raggio 2 minizialmente riempita d’acqua fino a metà. Se il buco è uncerchio di raggio 1 cm e si assume g = 10 m/s , mostrareche y verifica l’equazione differenziale

(b) Quanto tempo è necessario perché il recipiente si svuoticompletamente?

4y y 2 dy

dt 0.0001s20y

2

Ay dy

dt as2ty

dV

dt

dV

dy dy

dt Ay

dy

dt

dVdy AyV xy

0 Au du

[Suggerimento: dalla Regola di derivazione delle funzionicomposte, si ha .]

(b) Calcolare . Questo limite è chiamatovelocità di fuga dalla Terra.

(c) Con i dati R = 3960 mi e g = 32 fts , calcolare in piedial secondo e in miglia al secondo.

41. Siano y(t) e V(t) l’altezza e il volume dell’acqua in un con-tenitore al tempo t. Se l’acque fuoriesce da un buco di area asul fondo del contenitore, la legge di Torricelli afferma che

dove g è l’accelerazione di gravità.(a) Si supponga che il contenitore sia cilindrico con altezza 6

ft e raggio 2 ft e che il buco sia un cerchio di raggio 1 in.Sapendo che g = 32 fts , mostrare che y verifica l’e-quazione differenziale

(b) Risolvere l’equazione differenziale per trovare l’altezzadell’acqua al tempo t, assumendo che il recipiente siapieno al tempo t = 0.

dy

dt

1

72 sy

2

dV

dt as2ty

ve2

ve limh l v0

m dvdt mv dvdx


È più veloce salire o scendere?

Lanciamo una palla in aria: vogliamo capire se sia maggiore, minore o uguale il tempo disalita rispetto al tempo di discesa. Prima di risolvere matematicamente il problema, cerchiamodi svilupparlo da un punto di vista esclusivamente fisico.

1. La palla di massa m ha una velocità iniziale diretta verticalmente. Si assume che lapalla subisca la forza di attrazione gravitazionale e che una forza di attrito che si opponeal suo moto abbia intensità , dove p è una costante positiva e è la velocitàdella palla all’istante t. Sia in salita sia in discesa la somma delle forze agenti sulla pallaè dunque , ma si osservi che se durante l’ascesa è positiva e la resistenzaè una forza che tira verso il basso, in discesa è negativa e la resistenza dovuta all’at-trito agisce spingendo la palla verso l’alto. Per la seconda legge di Newton, l’equazionedel moto è

Risolvere l’equazione differenziale per mostrare che la velocità della palla è

2. Dimostrare che la funzione che assegna l’altezza della palla rispetto alla superficie terre-stre in funzione del tempo è

yt v0 mt

p m

p 1 eptm

mtt

p

vt v0 mt

p eptm mt

p

mv pv mt

vtvtpv mt

vtp vt

v0

Progettoapplicato

Diversi sono i modelli di forze chevengono utilizzati per descrivere le forzedi attrito nell’aria. Qui si fa uso delmodello lineare , ma per velocitàpiù elevate è possibile usare un modelloquadratico in salita e indiscesa). (Si veda l’Esercizio 38 delparagrafo precedente). Alcune speri-mentazioni hanno mostrato che per iltragitto aereo di una pallina da golf èappropriato utilizzare il modello mentre la pallina sale, e il modello

mentre scende. In ogni caso,indipendentemente dalla funzione

utilizzata per descrivere l’attrito,purché per e per ], la risposta alla domandaposta nel titolo è sempre la stessa.

v 0f v 0v 0f v 0

f v

p v 1.3

pv 1.3

pv 2pv 2

pv

016-026 16-01-2002 16:06 Pagina 26

PARAGRAFO 1.4 CRESCITA E DECADIMENTO ESPONENZIALE 27

Crescita e decadimento esponenziale

Uno dei modelli per studiare la crescita di una popolazione, introdotto nel Paragrafo1.1, si basa sull’ipotesi che la popolazione cresca con un tasso proporzionale allapopolazione stessa:

Si tratta di un’ipotesi ragionevole? Supponiamo che una certa popolazione (di batteri,per esempio) di P = 1000 individui a un certo istante cresca alla velocità dibatteri l’ora. Ora consideriamo altri 1000 batteri dello stesso tipo e uniamoli alla primapopolazione. Le due metà della nuova popolazione crescono alla velocità di 300 indi-vidui l’ora. Ci aspetteremmo che la popolazione totale di 2000 individui cresca con unavelocità iniziale di 600 batteri (nell’ipotesi che ci siano spazio e alimentazione suffi-cienti). Dunque, raddoppiando la popolazione, si raddoppia il tasso di crescita. In gene-rale, sembra ragionevole che il tasso di crescita risulti proporzionale alla popolazione.

La stessa ipotesi può essere usata anche in altre situazioni. In fisica nucleare, lamassa di una sostanza radioattiva decade con una velocità proporzionale alla massastessa. In chimica, la velocità di una reazione molecolare del primo ordine è propor-zionale alla concentrazione di sostanza. In finanza, il valore di un conto di risparmioin regime di interesse composto continuo cresce con un tasso proporzionale a quelvalore.

In generale, se y(t) è il valore di una quantità y al tempo t e se il tasso di variazionedi y rispetto a t è proporzionale a y(t) in ogni istante, allora

dy

dt ky1

P 300

dP

dt kP

1.4

3. Sia l’istante in cui la palla raggiunge la quota massima. Dimostrare che

Calcolare per una palla di massa 1 kg, con velocità iniziale pari a 20 m/s. Si assuma

che la resistenza dell’aria sia della velocità.

; 4. Sia l’istante in cui la palla tocca di nuovo terra. Stimare nelle condizioni esposte nelpunto precedente, dopo aver disegnato il grafico della funzione . È più veloce salire oscendere?

5. In generale, non si può risolvere esplicitamente l’equazione . Possiamo tuttaviautilizzare un metodo indiretto per decidere se sia più rapida la salita o la discesa dellapalla, determinando se è positiva o negativa. Mostrare che

dove . Quindi provare che e che la funzione

cresce per . Usare questo risultato per decidere se è positiva o negativa, e perrispondere così alla domanda posta nel titolo di questa sezione.

y2t1x 1

f x x 1

x 2 ln x

x 1x e pt1m

y2t1 m 2

t

p 2 x 1

x 2 ln x

y2t1

yt 0

ytt2t2

110

t1

t1 m

p lnmt pv0

mt

t1

027-036 16-01-2002 16:07 Pagina 27

dove k è una costante. L’equazione 1 viene talvolta indicata come la legge di crescitanaturale (se k > 0) o legge di decadimento naturale (se k < 0). Poiché si tratta diun’equazione separabile possiamo risolverla con i metodi visti nel Paragrafo 1.3:

dove A( o 0) è una costante arbitraria. Per capire il significato di A, osserviamoche

perciò A è il valore iniziale della funzione.Dal momento che l’Equazione 1 compare frequentemente in natura, riassumiamo

l’analisi appena fatta per l’utilizzo futuro.

La soluzione del problema ai valori iniziali

è

Crescita di una popolazione

Qual è il significato della costante di proporzionalità k? Nel contesto della crescitadelle popolazioni, possiamo scrivere

La quantità

è il tasso di crescita diviso per la popolazione; viene chiamata tasso di crescita rela-tivo. In base alla (3), invece di dire “il tasso di crescita è proporzionale alla popola-zione” si potrebbe dire “il tasso di crescita relativo è costante”. Allora la (2) si traducedicendo che una popolazione con tasso di crescita relativo costante cresce esponen-zialmente. Notiamo che il tasso di crescita relativo k compare come coefficiente di tnella funzione esponenziale . Per esempio, se

e t si misura in anni, allora il tasso di crescita relativo è k = 0.02 e la popolazione cre-

dP

dt 0.02P

y0ekt

1

P dP

dt

1

P dP

dt kovvero

dP

dt kP

3

yt y0ekt

y0 y0dy

dt ky

2

y0 Aek 0 A

eC

y Aekt

y ektC eCekt

ln y kt C

y dy

y y k dt


027-036 16-01-2002 16:07 Pagina 28

sce del 2% all’anno. Se la popolazione al tempo 0 è , allora la popolazione al tempot è descritta dalla formula

ESEMPIO 1 Assumendo che il tasso di crescita sia proporzionale alla popolazione, usarei dati della Tabella 1 per costruire un modello della popolazione del ventesimo secolo.Quanto vale il tasso di crescita relativo? Quanto il modello si avvicina ai dati effettivi?

SOLUZIONE Misuriamo il tempo t in anni e supponiamo che t = 0 corrisponda all’anno1900. Misuriamo la popolazione P(t) in milioni di abitanti. Allora la condizione ini-ziale è P(0) = 1650. Stiamo assumendo che il tasso di crescita sia proporzionale allapopolazione, dunque il problema ai valori iniziali è

Dalla (2) sappiamo che la soluzione è

Un modo per stimare il tasso di crescita relativo k è quello di usare il fatto che la popo-lazione nel 1910 era di 1750 milioni di individui. Perciò

Risolviamo questa equazione rispetto a k:

Dunque il tasso di crescita relativo è circa del 6% all’anno e il modello diventa

La Tabella 2 e la Figura 1 permettono di confrontare le previsioni del modello con idati effettivi. Si può notare che le previsioni diventano piuttosto imprecise dopo 30anni e sottostimano i dati reali di un fattore superiore a 2 nel 2000.

FIGURA 1 Un possibile modello per la crescita della popolazione mondiale

6000

P

t20 40 60 80 100

Anni a partire dal 1900

Popolazione(milioni)

P=1650e0.005884t

Pt 1650e 0.005884t

k 1

10 ln

1750

1650 0.005884

e 10k 1750

1650

P10 1650ek10 1750

Pt 1650ekt

P0 1650dP

dt kP

Pt P0e 0.02t

P0


TABELLA 1

PopolazioneAnno (milioni)

1900 16501910 17501920 18601930 20701940 23001950 25601960 30401970 37101980 44501990 52802000 6070

TABELLA 2

PopolazioneAnno Modello (milioni)

1900 1650 16501910 1750 17501920 1856 18601930 1969 20701940 2088 23001950 2214 25601960 2349 30401970 2491 37101980 2642 44501990 2802 52802000 2972 6070

027-036 16-01-2002 16:07 Pagina 29

Un’altra possibilità per stimare k è quella di usare il valore della popolazione rela-tivo all’anno 1950 invece del 1910. Allora

La stima del tasso di crescita relativo è ora lo 0.88% annuo e il modello è

Le previsioni secondo questo modello sono riportate in Tabella 3 e in Figura 2. Que-sto modello esponenziale è più accurato sul lungo periodo, ma anch’esso si arresta suvalori inferiori alla crescita reale nel periodo più recente.

ESEMPIO 2 Usare i dati riportati in Tabella 1 per modellizzare la popolazione mon-diale nella seconda metà del ventesimo secolo. Usare il modello per stimare il valoredella popolazione nel 1993 per prevedere la popolazione nell’anno 2010.

SOLUZIONE Poniamo t = 0 in corrispondenza del 1950. Allora il problema ai valori ini-ziali è

e la soluzione corrispondente è

Stimiamo k usando la popolazione del 1960:

Il tasso di crescita relativo è di circa l’1.7% annuo e il modello è

Pt 2560e 0.017185t

k 1

10 ln

3040

2560 0.017185

P10 2560e 10k 3040

Pt 2560ekt

P0 2560dP

dt kP

FIGURA 2 Un altro modello per la crescita della popolazione mondiale

6000

P

t20 40 60 80 100



P=1650e0.0087846t

Pt 1650e 0.0087846t

k 1

50 ln

2560

1650 0.0087846

P50 1650e 50k 2560


Nel volume Funzioni di una variabile,Paragrafo 1.5, abbiamo modellizzato glistessi dati con una funzione esponenziale,ma in quel caso avevamo usato il metododei minimi quadrati.

TABELLA 3

PopolazioneAnno Modello (milioni)

1900 1650 16501910 1802 17501920 1967 18601930 2148 20701940 2345 23001950 2560 25601960 2795 30401970 3052 37101980 3332 44501990 3638 52802000 3972 6070

027-036 16-01-2002 16:07 Pagina 30

Stimiamo come popolazione nel 1993:

Il modello prevede che la popolazione nel 2010 sarà

Il grafico in Figura 3 mostra che il modello è inizialmente accurato, e la stima relativaal 1993 è abbastanza realistica. La previsione per il 2010 è più azzardata.

Decadimento radioattivo

Le sostanze radioattive decadono emettendo spontaneamente radiazioni. Se m(t) è lamassa residua di una massa iniziale di sostanza radioattiva dopo il tempo t, allorasi trova sperimentalmente che il tasso di decadimento relativo

è costante. (Poiché dm/dt è negativo, il tasso di decadimento relativo è positivo.) Nesegue che

dove k è una costante negativa. In altre parole, le sostanze radioattive decadono a unavelocità proporzionale alla massa residua. Questo significa che possiamo usare la (2)per mostrare che la massa decade esponenzialmente:

I fisici esprimono il tasso di decadimento in termini di tempo di dimezzamento, iltempo richiesto per il decadimento di metà di una data quantità.

ESEMPIO 3 Il tempo di dimezzamento del radio 226 ( ) è di 1590 anni.(a) Un campione di radio 226 ha massa pari a 100 mg; trovare una formula per lamassa di che rimane dopo t anni.. 88

226 Ra

. 88226 Ra

mt m0ekt

dm

dt km

1

m dm

dt

m0

6000

P

t20 40



FIGURA 3Un modello per la popolazione mondialenella seconda metà del ventesimo secolo

P=2560e0.017185t

P60 2560e 0.01718560 7179 milioni

P43 2560e 0.01718543 5360 milioni


027-036 16-01-2002 16:07 Pagina 31

(b) Trovare la massa residua dopo 1000 anni arrotondando al milligrammo.(c) Quando la massa sarà ridotta a 30 mg?

SOLUZIONE(a) Sia la massa di radio 226 (in milligrammi) dopo t anni. Allora e , dunque la (2) dà

Per determinare il valore di k, usiamo il fatto che . Perciò

e

Pertanto

Potremmo usare il fatto che per scrivere l’espressione per m(t) nella formaalternativa

(b) La massa dopo 1000 anni è

(c) Vogliamo trovare il valore di t tale che , cioè

Risolviamo questa equazione in t prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri:

Dunque

Come verifica del lavoro fatto nell’Esempio 3 usiamo un dispositivo grafico perdisegnare il grafico di m(t) come in Figura 4 assieme alla retta orizzontale m = 30.Queste curve si intersecano per , in accordo con la parte (c) dell’esempio.

Interessi composti continui

ESEMPIO 4 Se 1000 € vengono investiti al 6% d’interesse annuo, dopo un anno il mon-tante è 1000 × 1.06 = 1060 €, dopo 2 anni è [1000 × 1.06] × 1.06 = 1123.60 €, e dopot anni vale €. In generale, se una cifra viene investita a un tasso d’in-teresse r (in questo esempio r = 0.006), dopo t anni essa diventa . Di solito,però, l’interesse viene calcolato più frequentemente, diciamo n volte l’anno. Allora in

A01 rtA010001.06t

t 2800

t 1590 ln 0.3

ln 2 2762 anni

ln 2

1590 t ln 0.3

eln 21590t 0.3ossia100eln 21590t 30

mt 30

m1000 100eln 215901000 65 mg

mt 100 2t1590

e ln 2 2

mt 100eln 21590t

k ln 2

1590

1590k ln 12 ln 2

e 1590k 12da cui100e 1590k 50

y1590 12 100

mt m0ekt 100ekt

y0 100dmdt kmmt


m=30

0 4000

150

m=100e_(ln 2)t/1590

FIGURA 4

027-036 16-01-2002 16:07 Pagina 32

ogni periodo il tasso d’interesse è r/n; ci sono nt periodi in t anni, in modo che il valoredel capitale diventa

Per esempio, dopo 3 anni al 6% d’interesse, 1000 € diventano

1000(1.06)3 € = 1191.02 €

1000(1.03)6 € = 1194.05 €

1000(1.015)12 € = 1195.62 €

1000(1.005)36 € = 1196.68 €

€ = 1197.20 €

Notiamo che l’interesse pagato cresce al crescere di , per cui l’interesse verràcorrisposto in modo continuo e il valore del capitale diventerà

(dove )

Sappiamo che il limite in questa espressione è pari al numero e. Dunque, nel caso diinteresse composto continuo al tasso r, il capitale dopo t anni è

Se deriviamo l’equazione, otteniamo

cioè, nel caso di interesse composto continuo, il tasso di crescita del capitale è pro-porzionale al capitale stesso.

Tornando all’esempio dei 1000 € investiti per 3 anni al 6%, il valore del capitalenel caso di interesse composto continuo diventerebbe

€

Notiamo quanto sia vicino al valore ottenuto con interesse corrisposto giornalmente,1197.20 €. Ma è sicuramente più facile calcolare l’ammontare totale del capitaleusando l’interesse continuo.

A3 1000e 0.063 1000e 0.18 1197.22

dA

dt rA0ert rAt

At A0ert

m nr A0 limm l

1 1

mmrt

A0limn l

1 r

nnrrt

At limn l

A01 r

nnt

limn l

A01 r

nnrrt

n l

con interesse composto giornalmente 10001 0.06

365 365 3

con interesse composto mensilmente

con interesse composto ogni quattro mesi

con interesse composto semestralmente

con interesse composto annualmente

A01 r

nnt


027-036 16-01-2002 16:07 Pagina 33

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