Date post: | 01-Mar-2018 |
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7/25/2019 01 - Moti Rigidi (1)
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escr z one e mot r g
Robotica I
M. Gabiccini
. . ng. eccanica e utomazione
7/25/2019 01 - Moti Rigidi (1)
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Descrizione di moti ri idi
Consideriamounospazioa3dimensioniEuclideo,ciolospaziodelleternedi
numeridi conpunti e dove e
periqualidefinitaunadistanza(Euclidea)
Duepuntidellospaziodefinisconounvettore anchesso
rappresentabiledaunaterna che,
convenzionalmente,rappresenteremocomevettorecolonna
Traivettori
di
questo
spazio
sono
definite
le
operazioni
di:
prodottoscalare:
Ilprodottovettorialepuessereanchescritto,informamatriciale,come:
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Suipuntidi possonoagiretrasformazioni dinaturadiversa.
,
illimitatodivolte,invertibileconinversaanchessa ,sidiceundiffeomorfismo.
,
mediantelalorodefinizione.Inquestocaso,siusapipropriamentelanotazione
conla
g
stella,
definita
anche
trasformazione
aggiunta,
seguente:
Seunatrasformazionelasciainalteratoilprodottoscalaretravettori,ciose
latrasformazionevienedettaisometrica.
Unaisometriamantieneinvariatelelunghezzedeivettoriegliangolitraivettori:
cidiscendedirettamentedalfattoche
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Sidefiniscerigidaunatrasformazione taleche:
mantieneinvariate
le
distanze
tra
ipunti,
ovvero:
cio
mantiene
invariato
ilprodotto
vettoriale:
Letrasformazionirigidesonoisometrie*.Traleisometrie,lasecondacondizione
.
UnaternadiriferimentoCartesiana,conorigineinunpuntoOeversoridegliassi
coordinati dettadestrorsase ,sinistrorsase
Unversoreunvettoredilunghezzaunitaria,
UnaternaCartesianahaassiortogonali,
(*)Dimostrazione:sidimostracheilprodottoscalaresipreservaintrasf.rigide.
Notoche:
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Notazione per punti e vettori
Incontreremoed
useremo
la
seguente
notazione:
coordinata esimadelpunto
ilpuntosolidalealsistemadiriferimentoCartesiano
il
sistema
di
riferimento
in
cui
si
proiettano
le
coordinate
componente esimadelvettore
ilsistemadiriferimentoincuisiproiettanolecoordinate
r a sce conce o:
ilpunto
solidale
al
framele
componenti
sono
nel
frame
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Moti rigidi: Traslazioni (esempio)
Indettaglio:
Verifichiamocheineffettiunmotorigido:
.
La trasformazioneditraslazione esprimeanchelecoordinate diunpunto
inizialmenteespressonelriferimento quandoilriferimentotraslain
mediantelalegge:
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Cherelazionectralecoordinate primadellaMoti rigidi: Rotazioni
rotazionerigida
equelle
dello
stesso
punto
che
sispostasolidalead (dopolarotazione),
espressenelframedipartenza ?
Datochelecomponentinelriferimentosolidale
rimangonocostanti,sipuscrivere:
Neirispettivi
sistemi
di
riferimento
le
componenti
dei
versori
base
sono:
Equindi,
per
le
coordinate
del
nuovo
punto
in
vale:
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Trasformazione di coordinate per rotazione
Fissatoun
punto
fisso
nello
spazio,
che
relazione
cfralesuecoordinatenellaternafissa edin
quella ruotata ?
Siha:
Dunquelecoordinatediunostessopuntosi
trasformanopercambiamentodicoordinate
Siriportanoinsiemeiduenotevo irisu tatiappenatrovati
(rotazione
rigida
da
config.
di
a
quella
di
)
(trasf.dicoordsda a )
Unarotazionetrasformaunpuntomedianteunatrasformazionelineare(bastaosservarela
formamatriciale).Interessantemente,lastessamatricedirotazioneesprimeancheil
cambiamentodi
coordinate
inverso.
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Rotazione 3D come matrice di rotazione
Nota1:
come
abbiamo
visto,
una
rotazione
trasforma
un
punto
mediante
una
applicazione
lineare(osservareformamatriciale).
Nota2:ilcambiamentodicoordinateda a realizzatodallastessamatriceche
realizzalarotazionedaunaconfigurazioneidentificatada aquellaidentificata
da .Percisipuscrivere:
Nota3:dalladefinizioneprecedentementefornita,la hacomecolonnele
componentideiversoribasedelframe rispettoalframe ,ossia:
matrice).Questinonsonoperindipendenti,dovendovalere:
Dalle6condizioniprecedentidiscendedirettamente che unamatrice
orto onale ossia .Inoltresihache .
Lasceltadelsegnopositivoobbligatadallanecessitdimantenerelorientamento
delleterne.Dunqueulteriorecondizioneche:
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Rotazione 3D come matrice di rotazione (continua)
Dallacondizione
,moltiplicando
scalarmente
tale
equazione
per
,e
ricordandoche:(1)lamatricedirotazione ;(2)ilprodottomisto(scalare
vettore)calcolabilecomesviluppodeldeterminantedellamatricecheimpilaivettoriin
colonna,siha:
(determinantedimat.rotaz.=+1)
Seuna
matrice
verifica
solo
ma
,allora
non
una
rotazione
bens
unariflessione.
Esempio: con ,applicataatuttiiverticidiquestosolidoda:
Globalmente:
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Caratteristiche delle matrici ortogonali O(n)
Linsiemedelle
matrici
ortogonali
di
ordine
detto
.
Questoinsieme,conlaleggedicomposizionedatadalprodottomatriciale,ungruppo.
Infattiperlematrici valgonoleseguentipropriet:
N.B.:talegruppononabeliano (commutativo):
Linsiemedellematricipercuivalelaulteriorecondizione (ossiadellesole
rotazioni)dettoSpecialeOrtogonale .Anchequestoungruppo.
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Verifica che rotazione = trasformazione rigida
Unarotazione
una
trasformazione
rigida.
Verifica:
N.B.:vale
solo
se
Dacui:
(dim.)
(dim.)
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Rotazioni elementari
Siconsiderino
tre
esempi
particolarmente
semplici
di
rotazioni,
effettuate
attorno
a
ciascunodegliassidelsistemadiriferimento.
Ingeneraleilcalcolodellamatricedirotazionevienesvoltonelmodoseguente:
Siindicano:
,
Ricordadoppioruolosvoltoda
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Rotazioni elementari
Perrotazioneattornoalsecondoasse, :
Perrotazioneattornoalterzoasse, :
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Composizione di rotazioni in assi fissi
Siconsideri
un
corpo
rigido
solidale
ad
una
terna
.
A partiredaunaconfigurazioneincui coincidecon ,losiruoti
inmodoche sisovrappongaa
Perilgenericopuntosiha:
Seilcorpovieneruotatoulteriormentefinoaportarlosu e
talerotazioneespressadaunamatrice concomponenti ancorain
Percilarotazioneperportarelaconfigurazione in datada:
Regola:
Lerotazioni
rigide
di
un
corpo
si
compongono
per
premoltiplicazione delle
matrici
di
rotazionescritteincomponentiinassifissi,ossianelriferimentoiniziale.
Quindi,pensandolecomerotazioniinassifissi,sicompongonomoltiplicandoledadestra
versosinistra.
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Composizione di rotazioni in assi fissi (esempio)
Lerotazioni
di
,prima
attorno
allasse
esuccessivamente
allasse
(ancora
del
vecchiosistemadiriferimento) sonodatedallematrici
Compostenelseguentemodo:
Coordinatenellaconfig.iniziale (p.torosso)
Coordinatenellaconfig.finale (p.toviola)
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Le rotazioni non commutano! (con esempio)
Lerotazioni
di
,prima
attorno
allasse
esuccessivamente
allasse
(ancora
del
vecchiosistemadiriferimento) sonodatedallematrici
Compostecos (comeprima)danno:
Compostecos (nuovo)danno:
Leconfigurazionifinaliraggiunte(viola)sonodiverse
neiduecasi!
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Composizione di rotazioni in assi mobili
Si
consideri
un
corpo
rigido
so ida e
ad
una
terna
.A partiredaunaconfigurazioneincui coincidecon ,losiruoti
inmodoche sisovrappongaa
er gener copun os a:
e corpov eneruo a ou er ormen e noapor ar osu e
talerotazioneespressa,questavolta,daunamatrice concomponentinella
ternacorrente ,ossia ,occorre:
1) Portare
in
componenti
in
,
ossia
;2) Applicarelarotazione inquestecomponenti,ossia ;
3) Riportareilrisultatoincomponentiin ,ossia
Ricordandosiche esvolgendoicalcoli:
:
Lerotazioni
rigide
di
un
corpo
si
compongono
per
post
moltiplicazione delle
matrici
di
rotazionescritteincomponentiinassilocali,ossianelriferimentocorrente.
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Composizione di rotazioni in assi mobili (2)
Osservazioni
su
penu timo
passaggio:
pr mo occo ma r c rappresen a a ras ormaz onepers m u ne e a
dalframe alframe secondoilclassicodiagrammacommutativo:
Questainterpretazionecorrispondeancoraallacomposizioneinassifissi.
Notare
che
stato
necessario
riportare
la
dalle
componenti
a ecomponent ,oss atras ormar apercongruenzane a
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Composizione di rotazioni in assi correnti (esempio)
Lerotazioni
di
,prima
attorno
allasse
esuccessivamente
allasse
corrente
sono
datedallematrici
Compostenelseguentemodo:
Comportanolaseguenterotazionecomplessiva:
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Esercizio su composizione di rotazioni
Consideriamoilpuntodicoordinate
Determinarelecorrispondenticoordinateinseguitoalleseguenti
trerotazionisuccessiveeffettuateinassicorrenti:
Risultato:
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Punto della situazione e commenti finali
La
matrice
di
rotazione
ha
la
duplice
veste
di
indicare:
1) Larotazione,espressanelrif. ,chepermettedipassaredallaconfigurazionedi alla
con guraz one . n asea s gn ca o eg ap c s a n a
.
a)da
destra
verso
sinistra
se
si
pensa
di
effettuarle
in
assi
fissi
;
b)dasinistraversodestrasesipensadieffettuarleinassicorrenti
Larappresentazionematricialetuttavia,utilizzandonoveparametrinonindipendenti,pu
presentaredegliinconvenienti,tracui:
nonmoltointuitiva,dovendoricorrerealleespressioniincoordinatedeiversodegli
assidelleterne;
nonmoltorobustanumericamente(unaproceduranumericachedebbacalcolare
levoluzionedeivaloridiunamatricedirotazionepuprodurrelievierrorichefannos
cheilrisultato
non
sia
pi
in
,introducendo
quindi
deformazioni
dei
corpi)