1.1 Le misureSe ci guardiamo intorno, potremmo avere l’impressione che la nostra vitasia piena di... numeri. In un certo senso è così, ma si tratta sempre semplicemente di numeri?
Tramite il metro puoi mi-surare la larghezza di untavolo.
Con il termometro rilevi latemperatura dell’ambiente.
Osservando il tachimetro co-nosci la velocità alla quale pro-cede la moto.
lezione multimediale
GRANDEZZE FISICHE
MISURAZIONE
MISURARE
UNITÀ 1 • Misure ed errori 2
Probabilmente, se scrivi quanto sei alto, riporti un numero seguito da unaparola o da un simbolo, qualcosa del tipo: 1,75 metri. Perché questa pre-cisazione? Non bastava scrivere 1,75? Forse, nel parlare, dai per scontatala parola “metri”; comunque sia, non crediamo che tu abbia dubbi sulfatto che dire di essere alti 1,75 può non essere esauriente, se non è chia-ro che si tratta di metri e non di kilometri o di pollici.Avrai allora intuito che nell’esempio visto non abbiamo a che fare con unbanale numero, bensì con una misura. E questo proprio perché numeri diquel tipo sono sempre seguiti da una certa parola o simbolo (immaginia-mo che tu sappia già che nome ha, in ogni caso ne parleremo espressa-mente più avanti). Ecco: capire che cos’è esattamente una misura è ilprimo e fondamentale passo che dobbiamo compiere per poter iniziare aparlare di Fisica.
La Fisica si occupa soltanto di quei fenomeni che possono essere studiatitramite delle grandezze fisiche, cioè tramite grandezze che caratterizzanoquel fenomeno e che siamo in grado di misurare.
Fin qui tutto chiaro... Ma che cosa significa esattamente misurare?
Con la parola misurare intendiamo l’insieme delle operazioni al terminedelle quali associamo un numero a una grandezza.
A questo punto potresti avere l’impressione che stiamo girando intorno alproblema senza in realtà risolverlo, perché ancora non è chiaro che cosasi debba fare concretamente. Tuttavia, operare in maniera scientifica haun grosso vantaggio rispetto ad altri settori, in quanto a un certo punto sipassa... all’azione!
Osserva la figura e prova a pensa-re quali azioni compiresti permisurare la lunghezza L dell’asti-cella utilizzando il metro da sartoriprodotto.
In linea di massima potremmo sintetizzare così ciòche si fa per misurare la lunghezza L dell’asticella:a) si prende il metro da sarto e, dopo averlo aperto, lo
si appoggia sull’asticella; b) si controlla che lo zero del metro da sarto coincida
con un estremo dell’asticella (A); c) si va a leggere sul metro da sarto il valore numerico
Riflettendo sulla sequenza di operazioni svolte, possiamo in sintesi dire chela misurazione è consistita nel confrontare la lunghezza dell’asticella L conun’altra lunghezza (quella del metro da sarto) preparata per questo scopo.
L’essenza delle azioni che chiamiamo complessivamente misurazionenon è altro che un confronto fra la grandezza in esame e un’altra gran-dezza di riferimento, o campione, che costituisce l’unità di misura.
Cerchiamo di comprendere meglio che cosa intendiamo con unità dimisura.
UNITÀ DI MISURA
ERRORE DI SENSIBILITÀ
3 MODULO 1 • Le misure
Per rendere possibile scambiarsi informazioni sulle grandezze fisiche èfondamentale accordarsi su uno stesso campione di riferimento che, purcontinuando a essere frutto di scelte arbitrarie, ha il vantaggio di esserecondiviso da molte persone.
L’unità di misura è un campione di riferimento, dello stesso tipo dellagrandezza da misurare, fissato secondo una precisa convenzione e rispet-to a cui viene determinato il valore della grandezza stessa.
Adesso facciamo una vera e propria misurazione e analizziamo gli effettidi tale azione. L’unità di misura utilizzata è il metro, ma per comoditàricorreremo al centimetro che è un suo sottomultiplo.
L’unità di misura è un elemen-to indispensabile, senza il qualei valori numerici delle grandez-ze non hanno alcun significato.
RRiiccoorrddaa!!......
Che cosa ritieni si debba riportare come valore della grandezza L?
a) 12,5 cm b) 12,6 cm c) 12,7 cm d) 13,0 cm
Forse ti appaiono più convincenti la risposta b oppure la c... Eppure, essesono sbagliate, perché lo strumento adoperato non consente di effettuare,per come è stato costruito, letture di valori intermedi fra 12,5 cm e 13,0 cm.Nessuno può dire se la grandezza valga effettivamente 12,67 cm e non piut-tosto 12,705 cm... Non possiamo dire dei numeri a caso!La risposta corretta è la a.
L’errore di sensibilità corrisponde al valore della distanza tra due divi-sioni (dette anche tacche) successive nella scala dello strumento.Da 0 a 1 cm ci sono due divisioni, per cui ogni divisione vale:
1 : 2 = 0,5 cm
E questo è appunto l’errore di sensibilità del metro da sarto che abbiamoutilizzato.
Il risultato della misura, se vogliamo procedere in modo oggettivo e scien-tifico, non deve essere condizionato dall’operatore che l’ha eseguita. Biso-gna, quindi, tenere conto dei limiti dello strumento usato, cioè dell’erroredi sensibilità dello strumento.
L’errore di sensibilità di uno strumento è la più piccola variazione dellagrandezza che lo strumento è in grado di rilevare.
VALORE DELLA GRANDEZZA
UNITÀ 1 • Misure ed errori 4
Ritornando alla nostra misurazione, abbiamo che la lunghezza L corri-sponde a poco più di 25 divisioni, per cui:
25 ⋅ 0,5 = 12,5 cm
Tale quantità prende il nome di valore della grandezza.
Il valore della grandezza è la quantità numerica che leggiamo sulla scaladi uno strumento adatto a tale scopo.
Tuttavia, il valore della grandezza,come abbiamo visto, non è esatta-mente 12,5 cm, ma «qualcosa dipiù», che però il nostro strumentonon è in grado di apprezzare. Ameno di cambiare strumento,prendendone uno più sensibile (unrighello anziché il metro da sarto,per esempio), dobbiamo rasse-gnarci ad avere un valore dellagrandezza con un certo grado diimprecisione.
Osservando l’ingrandimento non possiamo averedubbi sul fatto che il valore della grandezza sitrova vicino a 12,5 cm ed è chiaramente compre-so fra 12,0 cm e 13,0 cm, vale a dire fra:
12,5 − 0,5 = 12,0 cm e 12,5 + 0,5 = 13,0 cm
8 9 10 11 12 13 14 1512 13
Come esprimere l’imprecisione di una misura, che costituisce pur sempreun’informazione da fornire con la misura stessa?
Il valore della grandezza in generale lo indicheremo con xM, in cui il pedice M sta per«misurato», mentre la lettera x sarà di volta in volta sostituita da altre lettere (per esem-pio, L per la lunghezza, t per il tempo e così via).
RRiiccoorrddaa!!......
Il risultato di un’operazione di misurazione non può mai produrre unvalore numerico infinitamente preciso (cioè con infinite cifre, come losono i numeri trattati in matematica), bensì solo un intervallo di valoripiù o meno ampio.
Tale considerazione non è legata ad azioni errate, ma è dovuta al fatto chela misurazione non può per sua natura portare a un risultato per così direperfetto.
L’intervallo di possibili valori all’interno del quale rientra il valore dellagrandezza misurata (che nel nostro caso va da 12,0 cm a 13,0 cm), si chia-ma intervallo di indeterminazione.
MISURA INDIRETTA
GRANDEZZEDERIVATE
MISURA DIRETTA
5 MODULO 1 • Le misure
1.2 L’incertezza della misuraQuando una misurazione viene effettuata così come esposto nel paragrafoprecedente, viene detta misura diretta.
Si parla di misura diretta quando la grandezza da misurare viene con-frontata (tramite lo strumento) direttamente con il campione preso comeunità di misura, senza passaggi intermedi.
Oltre alle lunghezze, sono misure dirette ad esempio quelle che riguar-dano gli angoli (con il goniometro) e gli intervalli di tempo (con il cro-nometro).
Ci sono però altri casi in cui, anche se la let-tura viene fatta in modo diretto leggendosubito il valore della grandezza sullo stru-mento (per esempio, la misurazione dellatemperatura di un ambiente con il termome-tro), non si può parlare di misure dirette,bensì di misure con strumenti tarati: quelloche vedi in tali strumenti è una grandezzafisica che ne rappresenta un’altra di tipodiverso. Nel termometro, infatti, osservi una posizio-ne del liquido (per esempio l’alcol) presentenel capillare, dunque una lunghezza, a cuiperò viene in qualche modo associata appun-to una temperatura.
Può capitare spesso che le misure siano, invece, il frutto di un calcolomatematico (prova a pensare all’area di una figura geometrica). Si parlaallora di misure indirette.
La misura indiretta di una grandezza è quella misura eseguita effettuan-do dei calcoli a partire dalla conoscenza delle misure di altre grandezze.
Le grandezze misurate indirettamente prendono il nome di grandezzederivate.
laboratoriolaboratoriovirtuale
INCERTEZZA
MISURA
UNITÀ 1 • Misure ed errori 6
Comunque sia, in qualunque tipo di misura il valore della grandezza puòessere semplicemente stimato, cioè determinato con una certa impreci-sione. A tale imprecisione diamo il nome di incertezza.
L’incertezza quantifica il grado di imprecisione che si ha nell’individua-zione del valore di una grandezza.
L’incertezza viene indicata con il simbolo Δx, dove Δ è una lettera grecache si legge «delta», mentre x sta per la grandezza generica. Essa ha lamedesima unità di misura della grandezza alla quale si riferisce.In definitiva, il risultato della misurazione della lunghezza L dell’asticella,per tenere conto di tutto quanto abbiamo detto, viene solitamente scrittonel seguente modo (il simbolo ± si legge «più o meno»):
L = (12,5 ± 0,5) cm
È questo che solitamente si intende quando si parla di misura. Se manca qualcuno degli elementi indicati qui sopra, allora la misura nonè completa.
L’incertezza non sempre è datadall’errore di sensibilità dello stru-mento: non trattare perciò i duetermini come se avessero lo stes-so significato.
RRiiccoorrddaa!!......
La lettera che precede ilsegno di uguaglianzacostituisce una sorta diiniziale del nome dellagrandezza stessa: è ilsimbolo della gran-dezza.
Il primo numero entroparentesi è il numeroottenuto confrontandola grandezza con l’unitàdi misura ed è chiama-to valore della gran-dezza.
Il secondo numero entroparentesi è l’incertezzadella misura.
Il simbolo che comple-ta la scrittura è l’unitàdi misura, cioè il cam-pione di riferimentorispetto al quale valu-tiamo la grandezza fi-sica.
11
14
11
14
11
14
L = (12,5 ± 0,5) cm L = (12,5 ± 0,5) cm L = (12,5 ± 0,5 ) cm 11
14
L = (12,5 ± 0,5) cm
1.3 L’errore relativoSe si deve dire quale fra due misure sia la migliore, vale a dire la più preci-sa, su che cosa possiamo basarci? Sull’incertezza? Proviamo a considera-re per un attimo la seguente situazione, riguardante i risultati ottenuti dadue ipotetici tiratori al piattello:
Apparentemente il tiratore 1 ha fatto globalmente meno errori; tuttavia, iltiratore 2, pur avendo eseguito il doppio dei tiri, ha commesso meno deldoppio di errori:
10 errori su 100 tiri cioè 5 errori su 50 tiri16 errori su 200 tiri cioè 4 errori su 50 tiri
�
ERRORE RELATIVO PERCENTUALE
7 MODULO 1 • Le misure
Essendoci così ricondotti allo stesso numero di tiri (50), adesso appare evidente che il tirato-re più bravo è in realtà il secondo (4 errori contro 5).In quale operazione matematica possiamo tradurre questa valutazione del risultato? Nella divisione fra il numero di errori e il numero di tiri:
tiratore 1: tiratore 2:
Nota che nel caso del tiratore 2, quello più preciso, la divisione ha condotto a un risultatominore. Anche nelle nostre misurazioni accade qualcosa di analogo. Supponiamo di dovermisurare la lunghezza di due diverse asticelle, usando ancora il metro da sarto.
16200
0 08= ,10100
0 1= ,
L1 = (2,0 ± 0,5) cm
un’incertezza di 0,5 cm su un valore di 2,0 cm equivale a:
0 52 0
0 25,,
,cmcm
=
L2 = (14,0 ± 0,5) cm
un’incertezza di 0,5 cm su un valore di14,0 cm equivale a:
L’incertezza è identica (0,5 cm). Eppure, dire che la lunghezza della primaasticella si trova fra 1,5 cm e 2,5 cm non possiede lo stesso grado di precisio-ne dell’affermazione che la seconda è compresa fra 13,5 cm e 14,5 cm. I duenumeri trovati, 0,25 e 0,03571, che sono detti errori relativi, evidenziano ilfatto che la misura di L2 è più precisa di quella di L1, in quanto l’incertezza (0,5 cm) ha meno rilievo, essendo maggiore il valore della grandezza.
L’errore relativo ci dà informazioni sulla precisione di una misura.
L’errore relativo è definito come il rapporto tra l’incertezza e il valoredella grandezza:
errore relativo =
In termini matematici, possiamo scrivere:
ε è una lettera greca che si legge «epsilon», il pedice r sta per relativo.
Talvolta, è comodo esprimere l’errore relativo in forma percentuale. In talcaso si ha:
a) In quanto rapporto fra quantità espresse nella stessa unità di misura, l’errore relativonon ha unità di misura: è adimensionale, un numero puro.
b) L’errore relativo deve essere sempre più piccolo di 1 (in percentuale, più piccolo del100%), non può mai essere più grande di 1.
c) L’incertezza può, invece, essere più grande di 1. In sostanza, può essere un numeroqualunque: l’importante, però, è che risulti piccola rispetto al valore della grandezza.
RRiiccoorrddaa!!......
UNITÀ 1 • Misure ed errori 8
Determina quale fra le seguenti misure, ottenute con stru-menti di sensibilità diversa, è quella più precisa:
a) t1 = (22,8 ± 0,2) s
b) t2 = (75,0 ± 0,5) s
c) t3 = (110 ± 1) s
Mentre prima si poteva dare una risposta subito, questavolta è più difficile. Allora, ricorriamo all’errore relativo: lo calcoliamo in tutti etre i casi e vediamo a quale misura corrisponde quellominore.
esempio
Come vedi, nell’esempio la misura più precisa non è la prima, come avresti forse affermato fret-tolosamente, per il fatto che la sua incertezza è quella minore. Infatti, l’incertezza di per sé nonè né grande né piccola: può essere valutata solamente in rapporto al valore della grandezza a cuisi riferisce. Un’incertezza di un kilometro è grande se rapportata alla distanza fra Rimini e Ric-cione; ma è assai modesta se relativa alla distanza tra la Terra e la Luna!
Talvolta può capitare di dover trovare l’incertezza di una grandezza, conoscendone il valore e l’errorerelativo. Come si può fare? Si parte dalla formula dell’errore relativo εr e si ricaval’incertezza Δx con la formula inversa ( Nonsolo-Matematica).Qui a fianco riassumiamo le formule inverse a partiredalla definizione di errore relativo.
GRANDEZZE OMOGENEE
1.4 Il Sistema Internazionale di UnitàQuando si deve scegliere una grandezza campione per la misura di unacerta grandezza, prima di tutto dobbiamo assicurarci che le due grandez-ze siano omogenee: per misurare una lunghezza, faremo uso di un’altralunghezza usata come campione e non di un intervallo di tempo.
Si parla di grandezze omogenee quando esse possono essere confronta-te fra loro tramite una relazione d’ordine (fissando cioè un criterio con ilquale si può stabilire se una grandezza è minore, maggiore o uguale neiconfronti dell’altra grandezza), per cui è ammesso effettuare fra tali gran-dezze la somma e la differenza.
Per far sì che a livello mondiale siano più agevoli la comunicazione e ilcommercio (basti pensare all’eventualità di acquistare un prodotto o diconsultare una relazione scientifica tramite Internet), da qualche decen-nio si è intrapresa la strada di utilizzare le stesse unità di misura. Persgomberare il terreno da una miriade davvero sconfinata di campioni diriferimento, nel 1960, dalla XI Conferenza Generale di Pesi e Misure tenu-tasi a Parigi, è stato stabilito un sistema di unità di misura detto SistemaInternazionale di Unità (che si abbrevia SI), riconosciuto ufficialmentein tutto il mondo.
a)
b)
c)
(per gli arrotondamenti vedi NonsoloMatematica)La misura più precisa è la seconda, perché il suo errorerelativo è quello minore. Ora rispondi tu.La misura meno precisa è la ................................................................
perché ...............................................................................................................
εr
M
tx tt
( )( )
33
3
1110
= = =Δ0,00909
εr
M
tx tt
( )( ) ,
,22
2
0 575 0
= = =Δ0,00667
εr
M
tx tt
( )( ) ,
,,1
1
1
0 222 8
0 00877= = =Δ
SISTEMA INTERNAZIONALE DI UNITÀ (SI)
9 MODULO 1 • Le misure
Il SI fissa un certo numero di grandezze fondamentali con le rispettiveunità di misura, grazie alle quali è possibile determinare tutte le altregrandezze e le relative unità di misura. In tabella ne riportiamo soltantoalcune, seguite dalle loro definizioni semplificate. (L’elenco completo edettagliato lo trovi nelle tabelle in fondo al testo).
Il kilogrammo è la massa di uncampione cilindrico equilatero diplatino-iridio, di diametro 39 mm,conservato nell’Ufficio Internazio-nale dei Pesi e delle Misure diSèvres, vicino a Parigi. Una voltaera invece la massa di 1 dm3 diacqua distillata alla temperaturadi 4 °C.
SECONDOs
Il secondo è l’intervallo di temponel quale si verifica un certo feno-meno che si ripete con grande pre-cisione riguardante un atomochiamato cesio-133. Dapprimaera una delle 86 400 parti in cuiveniva suddiviso il giorno solaremedio.
METROm
Il metro oggi è definito come ladistanza percorsa nel vuoto dallaluce in un intervallo di tempo paria una frazione piccolissima disecondo (il numero che si ottienefacendo 1 diviso 299 792 458). Inprecedenza, era la quarantami-lionesima parte del meridianoterrestre, poi la distanza fra dueincisioni riportate su una sbarradi platino-iridio.
Concludiamo, notando come qualcosa di apparentemente stabile, quale ilsistema delle unità di misura, evolva invece continuamente, andando dipari passo con il progresso scientifico e tecnologico, che porta a di-spositivi sempre più sofisticati. Per esempio, la precisione (dell’ordine di 1 diviso 100 miliardi) con cui èstato fissato il campione per le lunghezze, cioè il metro, è dovuta alla tec-nologia laser.
Ogni unità di misura ha dei multipli e dei sottomultipli (tabella 2) basatisulle potenze del 10; il loro nome si forma ponendo un prefisso davanti alnome dell’unità di misura. Per ripassare come si eseguono le equivalenzeconsulta NonsoloMatematica.
Ad esempio:
1 hm (ettometro) = 100 metri1 cl (centilitro) = 1/100 di litro1 mm (millimetro) = 1/1000 di metro
prefisso simbolo potenza di 10
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
kilo k 103
etto h 102
deca da 101
– – 1
deci d 10–1
centi c 10–2
milli m 10–3
micro μ 10–6
nano n 10–9
pico p 10–12
Tabella 2
Un granulo di polline di papaveroblu ha dimensioni dell’ordine deimicrometri (10− 6 m).
Betelgeuse, una delle stelle più bril-lanti nel cielo, ha dimensioni del-l’ordine di 109 m.
Costruisci il tuo riepilogoCompleta a matita le parti con i puntini. Concluso il riepilogo, verifica la correttezza dei tuoi interventi, consultando lepagine di questa Unità.
1 La Fisica si occupa di .....................................................................................................................................................................................................................................
2 Misurare significa ..............................................................................................................................................................................................................................................
3 L’unità di misura è ............................................................................................................................................................................................................................................
4 L’errore di sensibilità di uno strumento è ....................................................................................................................................................................................
5 L’intervallo di indeterminazione è ........................................................................................................................................................................................................
6 Si parla di misura diretta quando ........................................................................................................................................................................................................
7 La misura si dice indiretta quando .....................................................................................................................................................................................................
8 Le grandezze si dicono derivate quando ......................................................................................................................................................................................
9 L’incertezza è ........................................................................................................................................................................................................................................................
10 Riporta la nomenclatura di ciascun elemento della misura: t = (36,8 ± 0,1) °C
0,1 (°C) è ......................................................................................................................... °C è .........................................................................................................................
t è ........................................................................................................................... 36,8 (°C) è ...........................................................................................................................
11 L’errore relativo serve per ..........................................................................................................................................................................................................................
è definito come ..................................................................................................................................................................................................................................................
la formula che lo esprime è ...................................................................................................................................................................................................................
12 Due grandezze si dicono omogenee se ........................................................................................................................................................................................
13 Il Sistema Internazionale di Unità è ....................................................................................................................................................................................................
e fra le sue unità di misura di grandezze fondamentali vi sono: .............................................................................................................................
Relazioni fondamentaliAssocia a ogni elemento dell’insieme A uno o più elementi diB che siano a esso logicamente collegati.
Vero-falso
1 La Fisica si occupa anche della bellezza perché è comunque in qualche modo misurabile.
2 La scelta delle unità di misura è assolutamenteconvenzionale, poiché dipende dalla scelta arbitraria del campione.
3 In qualunque misura c’è sempre un certo mar-gine di imprecisione.
4 Le misure che si effettuano con il goniometro sono misure dirette.
5 Tutti gli strumenti tarati consentono di effettua-re misure dirette.
6 L’incertezza non ha unità di misura.
7 L’errore relativo ha la stessa unità di misura del valore della grandezza a cui si riferisce.
8 L’errore relativo serve per valutare la precisione di una misura.
9 L’unità di misura della lunghezza nel Sistema Internazionale è il millimetro.
10 Centimetro, minuto e grammo sono unità di misura fondamentali del Sistema Interna-zionale. FV
FV
FV
FV
FV
FV
FV
FV
FV
FV
misura ■
secondo ■
errore relativo ■
strumento ■
■ SI
■ errore di sensibilità
A B
■ (60 ± 1) mmintervallo diindeterminazione ■
■ incertezza
Δx
Test a scelta multipla1 La Fisica si occupa di tutto quello che si può:
studiare
contare
misurare
descrivere
2 Ipotizzato che tu abbia scelto come unità di misura dei volumiil gonfio (unità stabilita da te), contrariamente al restodell’umanità che continua a utilizzare il m3, allora:
non potresti più misurare i volumi
potresti ancora effettuare la misurazione dei volumi,ma nessuno ti capirebbe
le misure fatte da te sarebbero necessariamentemeno precise
le misure fatte da te sarebbero necessariamente piùprecise
3 Data la corrente elettrica I = (0,85 ± 0,05) A, ottenuta da unalettura diretta sullo strumento, quale delle seguenti afferma-zioni è errata?
I è il simbolo della grandezza e A è l’unità di misura
0,05 A è l’incertezza e 0,85 A è il valore della gran-dezza
L’errore di sensibilità dello strumento con cui è stataeffettuata la misurazione è di 0,05 A
La misura è 0,85
4 L’errore relativo è definito come:
rapporto fra valore della grandezza e incertezza
somma fra valore della grandezza e incertezza
rapporto fra incertezza e valore della grandezza
prodotto fra incertezza e valore della grandezza
5 Quale fra le seguenti affermazioni sull’incertezza è corretta?
Volendo, può essere completamente eliminata
Può essere più grande del valore della grandezza acui si riferisce
È il rapporto tra errore relativo e valore della grandezza
Ha la stessa unità di misura del valore della grandez-za a cui si riferisce
6 Data la misura S = (1,25 ± 0,05) m2, il suo errore relativo vale:
0,05 m2
0,05
0,04 m2
0,04D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
7 Quale fra le seguenti affermazioni sull’errore relativo è corretta?
È un numero puro, vale a dire non possiede unità dimisura
Può essere minore, uguale o maggiore di 1
È un altro modo per chiamare l’errore di sensibilità diuno strumento
Ha la stessa unità di misura del valore della grandez-za a cui si riferisce
8 Quale dei seguenti strumenti consente di effettuare delle misu-re dirette?
Termometro Bilancia
Cronometro TachimetroDB
CA
D
C
B
A
9 L’unità di misura della massa nel Sistema Internazionale è:
il kilogrammo
il grammo
il quintale
l’ettogrammo
10 Indica quale, fra i seguenti gruppi di unità di misura, appartie-ne totalmente al SI:
Suggerimenti Per la determinazione dell’errore disensibilità devi procedere come nell’Esercizio 4. Peraltre informazioni, puoi fare riferimento ai primi dueparagrafi di questa Unità.
1.2 L’incertezza della misura
6 Se leggendo i risultati di una gara di nuoto noti per i primitre posti i seguenti tempi:
51,22 s 51,24 s 51,27 s
quale pensi possa essere l’errore di sensibilità di quelle misuredovuto al cronometro?
7 Se nella misurazione della distanza tra due punti su unfoglio l’incertezza è pari a 2 mm, quanto vale allora l’intervallodi indeterminazione?
8 Esaminato lo strumento qui sotto, riporta il valore delle divi-sioni in azzurro, sapendo che lo strumento può misurare da 0a 3 ampere (A). Dopodiché, disegna una freccia che indichi ilvalore 1,8 A.
9 Esaminato lo strumento qui sotto, riporta il valore delle divi-sioni in rosso, sapendo che lo strumento può misurare da 0 a20 volt (V). Dopodiché, disegna una freccia che indichi il valo-re 16,5 V.
10 Esaminata la figura qui a lato, completa le righe seguenti:
Errore di sensibilità: ..................................................
Valore della grandezza: ..........................................
Risultato della misura:
t = (...................... ± ......................) ................................
11 Esaminata la figura sotto, riporta il risultato della misurazione:
L = (...................... ± ......................) ......................
5 6 7 8 9 10 cm0 1 2 3 4
volt (V)
ampere (A)
0
10
20
30
40
50°C
12 Con l’ausilio di un goniometro, disegna un angolo di 28°e il suo intervallo di indeterminazione, ipotizzando che l’erroredi sensibilità dello strumento adoperato sia di 2°.
13 Con uno strumento, caratterizzato da un errore di sensi-bilità di 20 g, è stata effettuata una lettura di 340 g. Disegnal’intervallo di indeterminazione della misura.
14 Tramite un righello, in cui una divisione sulla scala corri-sponde a 0,5 mm, è stato misurato lo spessore di un libro, trovan-do 2,20 cm. Disegna l’intervallo di indeterminazione della misura.
1.3 L’errore relativo
15 Determina quale fra A e B è la misura più precisa, sapendoche l’errore relativo di A è 0,0045, mentre quello di B è 0,045.
16 Determina quale fra A, B e C è la misura meno precisa,se l’errore relativo di A è 0,0125, l’errore relativo di B è 0,025,mentre quello di C è 0,08.
17 Sono state misurate le due seguenti grandezze:
t = (0,95 ± 0,01) s L = (23,5 ± 0,1) cm
Calcola i rispettivi errori relativi.[0,01053; 0,00426]
Per lo svolgimento dell’esercizio, completa il percorso guidato, inse-rendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
1 L’errore relativo di una generica grandezza x è dato dalla for-
18 Calcola gli errori relativi delle seguenti misure:
v = (112 ± 4) km/ha = (9,81 ± 0,01) m/s2
t = (36,8 ± 0,2) °C[0,03571; 0,00102; 0,00543]
19 Determina, motivando la risposta, la più precisa fra leseguenti misure:
A = (100 ± 5) g C = (40 ± 1) gB = (50 ± 2) g D = (8,0 ± 0,5) g
[C; ...]
ε r
M
Lx LL
( )( ) ......
......= = =Δ
ε r
M
tx tt
( )( ) ,
,= = =Δ 0 01
0 95
ε r
M
xx
= Δ .
Suggerimenti Fissata una semiretta, traccia a partire dal punto d’origine altre tresemirette: quella che forma un angolo di 28° e quelle che formano angoli di...
Suggerimenti Devi calcolare prima gli errori relativi delle quattro misure e quin-di stabilire (vedi esempio svolto nell’Unità) quale fra essi...
26 La figura sotto riproduce un dinamometro, uno strumen-to che studierai più avanti. Esso misura le forze (F) e l’unità dimisura si chiama newton (N); il valore va letto in corrispon-denza della freccia. Dopo aver scritto la misura corrispondentealla situazione riportata in figura, calcola il corrispondente erro-re relativo.
[0,08333]
27 Calcola gli errori relativi nelle tabelle seguenti, in cui nellaprima riga sono riportate le incertezze e nella seconda riga icorrispondenti valori delle grandezze.
28 Esamina le tabelle dell’Esercizio 27, una volta che sonostate completate; rifletti sulla differenza tra i due casi e compi-la gli spazi sottostanti dove trovi i puntini.
se aumenta ...........................................................................................................allora l’errore relativo .......................................................................................
29 Individua nella tua abitazione almeno tre strumenti cheservono per misurare grandezze fisiche, possibilmente di tipodiverso l’una dall’altra. Rilevato l’errore di sensibilità di ciascunostrumento, effettua con ognuno di essi una misurazione, ripor-tando il risultato della misura. Infine, calcola gli errori relativi.Organizza una tabella come quella che segue, senza dimenti-care, dove è necessario, l’unità di misura.
20 Determina, motivando la risposta, la meno precisa fra leseguenti misure:
A = (15,4 ± 0,1) mm C = (39,0 ± 0,5) mmB = (0,85 ± 0,05) mm D = (460 ± 2) mm
[B; ...]
21 Sappiamo che l’errore relativo di una misura è pari a 0,02.Se si tratta di una misura diretta e il valore della grandezza è250 cm, quanto vale l’errore di sensibilità dello strumento?
[5 cm]
Per lo svolgimento dell’esercizio, completa il percorso guidato, inse-rendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
1 La definizione di errore relativo è: εr = ...............................................
2 La formula inversa che dà l’incertezza è invece:
22 L’errore relativo di una misura è pari a 0,00625. Troval’incertezza della grandezza e scrivi la misura, sapendo che ilvalore della grandezza è 80,0 kg. [0,5 kg; ...]
23 L’errore relativo di una misura è 0,0125, mentre la suaincertezza è pari a 2 s. Determina il valore della grandezza escrivi la misura.
[160 s]
24 La figura sotto riproduce un voltmetro; esso misura unagrandezza elettrica chiamata tensione (ΔV) e la sua unità dimisura è il volt (V). Esaminata la figura, calcola gli errori relatividelle misure nelle due posizioni (A) e (B) dell’indice.
[0,11111; 0,05882]
25 La figura che segue riproduce un amperometro, cheserve per misurare l’intensità di corrente elettrica (I), la cuiunità di misura è l’ampere (A). Esaminata la figura, scrivi i risul-tati delle misure e calcola gli errori relativi per entrambe le posi-zioni (A) e (B) dell’indice. [0,11111; 0,04167]
0
1 2
ampere (A)
(A) (B)
3
31
2
40
(A)(B)
volt (V)
Suggerimenti Per determinare xM è sufficiente, nella formula che definiscel’errore relativo, scambiare di posto fra loro εr e xM.
Problemi La risoluzione dei problemi richiede la conoscenza degli argo-menti trasversali a più paragrafi. Con l’asterisco sono contras-segnati i problemi che presentano una maggiore complessità.
1 Una misurazione ha fornito per il valore di una lunghezzaun intervallo di indeterminazione che va da 28,8 m a 29,0 m.Scrivi il risultato della misura, dopo aver individuato l’incertezzae il valore della grandezza.
[(28,9 ± 0,1) m]
2 La figura qui sotto rappresenta l’intervallo di indetermina-zione relativo a una misura. Scrivi il risultato corrispondente,dopo aver individuato l’incertezza e il valore della grandezza.
[(280 ± 40) g]
3 Completa la seguente tabella:
4 Nella figura che segue sono riportate due bilance per lamisurazione della massa, la prima analogica e la seconda digi-tale. Dopo aver esaminato attentamente la situazione:
• individua quale delle due bilance è più sensibile;
• scrivi la misura rilevata da ciascuna bilancia;
• individua la misura più precisa.
[(740 ± 20) g; (235 ± 5) g; ...]
± 5 g
0 200 400 600 800 1000g
Dx (kg) ... 0,1 1 5 0,2 ...
xM (kg) 0,400 50,0 ... 160 ... 2500
er 0,005 ... 0,025 ... 0,0625 0,1
g200 400intervallo diindeterminazione
Suggerimenti Scegli come valore di 1 quadretto da 1 mm, lungo i due assi car-tesiani, rispettivamente le incertezze di t e di s...
30 Osservando che la porzione di carta millimetrata in figu-ra ha un proprio errore di sensibilità (che può essere diversoper ognuno dei due assi cartesiani), riporta la misura completaper s e t relativamente al punto P.
[(17 ± 1) s; (5,8 ± 0,2) m]
Per lo svolgimento dell’esercizio, completa il percorso guidato, inse-rendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
1 Il valore di 1 quadretto da 1 mm sulla carta millimetrata, cor-rispondente all’incertezza, vale:
31 Riportato su un foglio di carta millimetrata un sistema diassi cartesiani, ponendo sull’asse delle ascisse X i tempi t insecondi e su quello delle ordinate Y le distanze percorse s inmetri, individua il punto P dato da:
t = (22,5 ± 0,5) s s = (8,7 ± 0,1) m
1010
valore letto sul graficonumero quadretti tra 0 e valore letto
2
t (s)
s(m)
P
4
6
8
10 20 30 40
Suggerimenti Ti conviene fare un disegno dell’intervallo in questione per capi-re meglio la situazione. Il valore medio dell’intervallo sarà..., mentre la metà ditale intervallo...
