Tensioni e deformazioni interneUna trave soggetta a carichi ortogonali, si inflette spazzando il piano di inflessioneLa direzione di inflessione, se c simmetria rispetto al piano xy, diretta secondo ySi ha flessione pura se la sola sollecitazioneSi ha flessione pura se la sola sollecitazione dovuta al momento flettente, senza taglioSi ha flessione non uniforme se alla flessione viene associato un taglioFless. puraF. Non unif.F. Non unif.Come si vedr, in genere le zone pi sollecitate a flessione sono lontane da quelle sollecitatate a taglio e quindi si disaccoppiano gli effettiCURVATURA DI UNA TRAVE (piccoli spostamenti)La trave si oppone al momento incurvandosi, e ci responsabile dellinsorgere di tensioniIl centro di curvatura O identificato dalla normale a due punti m1e m2distanti dxIl raggio di curvatura (ed il suo inverso ) rendono la trave tanto meno rettilinea quanto maggiore M1=d ds =1 dds= =Nellambito dei piccoli spostamenti si pu confondere ds con dx1 ddx =Altro modo di vedere le cose: curvatura positiva se il centro di curvatura si pone verso la direzione positiva delle yIn questa trattazione si assumer la curvatura positiva (derivata seconda positiva) che si instaura per effetto di un momento flettente positivoBasandosi solo su considerazioni di simmetria si pu dimostrare che:CONSIDERAZIONI DI CONGRUENZASezioni piane e perpendicolari alla linea dasse rimangono piane anche dopo deformazioneLa perpendicolarit con la linea dasse si mantiene anche dopo la deformazioneLangolo d dunque il medesimo per la fibra e-f e quella neutra s-s( )1

xdxdxdy+= = xy= Alcune linee dasse si comprimeranno TOP ed altre si allungheranno BOTTOMEsiste una linea dasse particolare ASSE NEUTRO per la quale le fibre non si allungano n si accorcianoLa sollecitazione che ci si aspetta quindi assiale, in quanto alcune fibre (estradosso) si allungheranno, le altre (intradosso) si accorceranno.Dato che la sollecitazione monodimensionale (x) si osserver anche una deformazione nelle altre due direzioni y xz xyy = = = = Centro curvatura principaleCurvatura secondariaQuindi le travi prismatiche si incurvano in tutti e tre i piani, ma si tensionano solo sul piano x-y y z = =Centro curvatura secondariozPer il calcolo delle tensioni che si creano per effetto del momento applicato, si hanno a disposizione le due equazioni di equilibrio, longitudinale edei momenti0;x xA AdA y dA M = = TENSIONE NORMALE=; 0 ; 0x x y zyE E| | = = = |\ Lequazione di Hooke, applicata al caso monodimensionale, fornisce landamento della tensioneQuindi anche la tensione, come la curvatura, segue un andamento lineare con la distanza dallasse neutrox xA A Se lasse di sollecitazione di simmetria (y) lasse baricentrico appartiene al piano neutroPer la simmetria su y il piano neutro piano principale dinerziaIl momento statico della sezione rispetto al piano neutro nullo lasse neutro (traccia piano neutro su piano di simmetria) baricentricoDalla I:0AnEy dA = 0A y dA =Dalla convenzione dei segni adottata, un momento positivo sposta il centro di curvatura nel semispazio delley positiveDalla II:2x zA AE EM y dA y dA J = = = 1 zME J = =Jz il momento di inerzia che viene detto z in quanto misura la distanza y dallasse neutro zIl termine EJzper analogia con la sollecitazione di trazione, viene anche indicato come rigidezza flessionaleCombinando le due equazionisi ottiene lo stato di sollecitazione che risulta variabile linearmente (farfalla)() zM yyJ = Per una sezione simmetrica e bilanciata rispetto baricentroLa tensione risulta massima dove massima la distanza dallasse neutro di flessioneSEZIONE CIRCOLARE PIENA E CAVAPiena:464zJ D=Cava:( )4 464zJ D d= Il massimo valore si ha in corrispondenza del raggio massimo,3322x DzM D MJ D = =( ),4 4322x DzM D M DJ D d = = Il massimo valore si ha in corrispondenza della massima distanza dallasse neutro,262x DzM h MJ b h = =( ) ( ),33622 2x DzM D M hJbh b s h s = = ( SEZIONE RETTANGOLARE PIENA E CAVAPiena:3112zJ bh =Cava:( ) ( )3312 212zJ bh b s h s (= ORipasso: Leggi per il trasporto dei momenti dinerzia di sezioneOOX x XY y Y= += +Su un nuovo SdR (XY) spostato di O di coordinate XO YO:( )22 22X O O OA A A AJ y Y dA y dA Y dA Y ydA = + = + + 22X x O x OJ J Y S Y A = + +22Y y O y OJ J X S X A = + +( )( )XY O O xy O y O x OOJ x X y Y dA J X S Y S X Y A = + + = + + +Momento centrifugo:O( )( )XY O O xy O y O x OOAJ x X y Y dA J X S Y S X Y A = + + = + + +centrifugo:Se il riferimento xy ha per origine il baricentro (O G), le trasformazioni sono:22gggX x GY y GXY xy G GJ J Y AJ J X AJ J X Y A= += += +Lutilit di queste trasformazioni notevole, in quanto il calcolo dei momenti di inerzia si semplifica molto suddividendo la sezione in parti elementari, ciascuna delle quali viene sommata dopo averla riportata al baricentro dellintera strutturaTrasformazioni di HuygensEsempioSezione resistenteLa struttura in acciaio montata a sbalzo e presenta un carico distribuito Calcolare i valori massimo e minimo della tensione assialeSoluzione:Dato che la sezione costante, i valori massimi e minimi di tensione si avranno l dove risulta massimo il momento flettente3375 N 10125 N0 NDiagramma del taglioDiagramma del momento( )00xM M V x dx = +Bisogna innanzitutto calcolare il baricentro della sezione (mediante la media pesata)1 2 31 2 3407440 GA A AyA A A+ +=+ +zygy8027612 126861.52 Gy mm =I momenti di inerzia baricentrici delle 3 aree sono:3 41112 80 512000 12I mm = =3 421276 12 39744 12I mm = =A1A3A21243512000I mm =Utilizzando il teorema di Huygens si calcola il momento di inerzia totale( )( ) ( )( )2 26 42 512000+ 80 12 61.52 - 40 39744 + 276 12 74 - 61.52= 2.469 10totI mm (= + Tensione al TOP( )263375 =80- 61.52 = 25.3N2.469 10Topmm () zM yyJ = ( )263375 =-61.52 =84.2N2.469 10Botmm Tensione al BOTMassima trazione al Bottom47.3 MPaTensione al TOP ( )261898 =80- 61.52 =14.2N2.469 10Topmm () zM yyJ = ( )261898 =-61.52 = 47.3N2.469 10Botmm Tensione al BOTMassima compressione al Bottom- 84.2 MPaMODULO DELLA SEZIONECiascuna sezione pu anche essere caratterizzata da un modulo, che consente il passaggio immediato dal momento applicato alla tensione normale (Top o Bottom) topTopzM yJ = TopzTopMS = BotBotzM yJ = Botz BotMS = zzJSy=464zdJ=332zdS=312zbhJ =26zbhS =Top Bot = PROGETTO DI UNA TRAVEIn genere noto il momento massimo applicato e si sceglie la beam che soddisfa lamaxammMSSe la beam non simmetrica rispetto piano neutro oppure se il materiale non ha comportamento simmetrico trazione-compressione, occorrer estendere la verifica a entrambe le posizioni Top e BottomIn genere sono disponibili travi di molteplici forme e materiali: In acciaio: per lo pi laminate, di carpenteria o saldate se di grandi dimensioni In alluminio: per lo pi estruse In legno: per lo pi incollate e/o chiodate In cemento armato: per lo pi colate in forma In compositi a fibra: estruse, injection molding, pressofusione, EFFICIENZA RELATIVA TRA TRAVI20.1676 6zbh AhS Ah = = = A parit di area conta solo laltezza30.12532cerchiodS A d= =3 20.14776 12 4quadratoh dS d A d = = Prendendo un cerchio di pari area ad un quadrato4d h =2h d=Nella sezione quadrata si ha meno inutile materiale sullasse neutroLa soluzione migliore prevederebbe luso di materiale nelle sole flangie, per cui:222 4idealeA hI| || |= ||\ \ 0.5idealeS A h =0.35effettivoS A h =Questo valore in realt non pu essere raggiunto perch necessaria unanima che tiene lontane le due flange e che non pu essere troppo sottile per non andare incontro ad instabilitEsempioUna barriera temporanea allacqua realizzata da tavole orizzontali sostenute da pali verticali infissi nel terreno. Calcolare la dimensione dei pali a livello massimo dellacqua se la tensione ammissibile del legno pari a 8.0 MPa.Soluzione:Ciascun palo supporta un carico per unit di lunghezza crescente (triangolare) che agisce per una larghezza sq hs = 0q hs = Il massimo momento si ha alla base e vale30max2 3 6q h h h sM| |= = |\ Il modulo della sezione necessario risulta3max6 amm ammM h sS= = 36bS =3 ammsb h=assumendo310000/ N m = 0.8s m =2.0h m =3610000 0.82.00.200 8 10b m= =TRAVI A SEZIONE VARIABILEIn molte applicazioni, risparmio di materiale ed ottimizzazione inducono a realizzare forme a sezione variabile lungo lasse, come negli esempi a latoOvviamente, la zona pi sollecitata pu non corrispondere al punto ove massimo il momentoIn genere si usa la variazione di sezioneIn genere si usa la variazione di sezione proprio per minimizzare il peso in favore di una sollecitazione uniforme TRAVI A FLESSIONE DI UNIFORME RESISTENZAVediamo le possibili configurazioni per una trave incastrata-libera (clamped) PM P x =xIn questo caso necessario che JzoSzvarino linearmente con xLARGHEZZA VARIABILE( )0 cost2zP x hJ x = =( )0 costzP xS x = =( )26lastzb xS x h =PALTEZZA VARIABILEOra la variabilit lineare di Sxsar affidata alla variazione della sola altezza Ora la variabilit lineare di Sxsar affidata alla variazione della sola altezza( )0 costzP xS x = =( )02 6xbPh x=( )6ammPxh xb=Ne risulta un profilo parabolicoOvviamente si potrebbero ancora impostare modifiche contemporanee di spessore ed altezza Tensioni dovute al taglioIn linea teorica si pu avere sollecitazione di solo taglio, ma in realt essa si accompagna sempre a momento flettentexyVVCiononostante, anche in presenza di taglio il momento flettente si calcola allo stesso modo in quanto esso fornisce tensioni normali, mentre il taglio d tensioni tangenziali, nel riferimento adottatoSpesso, in I approssimazione, si considera il taglio uniformemente distribuito sulla sezione resistenteVA =Il calcolo della tensione di taglio su una sezione in realt assai pi complesso, esso varia sia secondo x che y (in forma parabolica per una sezione rettangolare)Proprio per effetto delle forze di taglio la flessione di due travi sovrapposte e di ununica trave di spessore doppio differiscono sensibilmenteAIn modo pi esatto, ma sempre approssimato (Jourawsky) , il taglio viene mediato lungo la direzione dello spessore (z), e considerato variabile lungo yxVVMM+dMiijjr syxxybdxyz()sup yxF b y dx = Si consideri lequilibrio del parallelepipedo ii - rr - ss - jj in direzione xSulla faccia superiore agisce una risultante:Sulla faccia inferiore agisce una risultante nulla (Non sono applicate forze)Sulle facce laterali lungo x agiscono le tensioni dovute ai momenti flettenti M e M+dM()1zMy yJ = ()( )2zM dMy yJ+ = xySi considera di isolare un elementino assiale (lunghezza dx) rsxyxyRicordando che() ()1 2 z z z zM M dM dM Vdxy y y y y yJ J J J+ + = + = =() () ()1 2( ) ( ) dx 0yxA rr ii A ss jjy dA y dA b y + = Sommando i tre contributi, con il segno dato dallasse x:12yxxugualiPortando fuori dallintegrale le grandezze che rimangono costanti()()()()( ) ( ) yx yxA i j A i jz z zV S yVdx Vy dA b y dx y dAJ J b y J b y = = = Quindi lungo y (essendo costante in z) il taglio varia secondo il momento statico S(y) e lo spessore della sezione b(y)Asse baricentricoyI momenti statici delle due sezioni, superiore ed inferiore sono uguali!() b ysup infS S =13H23H( )2211 1 122 2 2 4h y h b hS y b y y| | +| | | |= = || |\ \ \ ()222 4yxV hy yJ | | = |\ SEZIONE RETTANGOLAREIl momento statico si pu calcolare come area della parte sottesa alla corda ii per la distanza del suo baricentro dallasse neutroIl valore massimo (y=0)()23 Vh V()2 4yxy yJ = |\ ()2382yxVh VyJ A = =Pertanto, il taglio presenta, lungo y, un andamento dominato dal momento statico esso si annulla al top/bottom e risulta massimo nella sezione baricentricataglioyxRispetto al taglio mediato su tutta la sezione, il taglio al baricentro superiore del 50 % nella sezione rettangolareCon alcune cautele la formula di Jourawsky applicabile anche a sezioni non regolariTensioni ribaltateIl tensore delle tensioni dovr comunque risultare sempre tangente al profilo esterno, pertanto, occorre sovrapporre alle tensioni di taglio di Jourasky unaltra componente xz(antisimmetrica) che riorienti localmente le .()0sinRxAS y dA r r d dr = = ( , ) dA r r d dr = Calcolo del momento statico GSEZIONE CIRCOLARELa tensione media pu calcolarsi anche per una sezione circolare, tenendo conto le limitazioni sul riorientamento delle nei bordi non paralleli a y. In particolare sul diametro:00A ()32 3002cos3 12RxDS r dr R = ( = = 322 3 41 2 3xGS Ry RA R = = = Da cui si pu ricavare anche lordinata del baricentro:( )( )3max4064 1 40 12 3V SD VVJ b D D A| || || | = = = | | |\ \ \ Dato che esiste il semplice legame = / G tra taglio e scorrimento, questo ultimo sar massimo al centro e nullo al top / bottomLe sezioni, inizialmente ortogonali allasse, si ingobbanoLo sforzo di taglio induce lelemento a variare di forma (ma non di volume) secondo un angolo di scorrimento DEFORMAZIONE A TAGLIOTuttavia, lo scorrimento uguale per ogni fibra assiale, per cui non si instaurano (per sezioni costanti) sollecitazioni o deformazioni assiali (taglio puro senza flessione)Lo spostamento tra due sezioni pu essere valutato mediante la deformazione (scorrimento) mediamediad dx = mediaTGA = Fattore di taglioIl lavoro di deformazione, in accordo al teorema di Clapeyron, pari allintegrale, lungo la linea, della met della tensione di taglio per lo scorrimento medio 1 2meddW V dx = od anche sul volume()() V S yJ b y =( )()2 22 2 S y1 J 2 AVdW dA dxb y G=()()222 2S y1 2 G JAVdW dAdxb y=21 2 VdW dxGA= dAS A 2i= Il fattore di taglio pu essere calcolato dAb JA2i2i= Il fattore di taglio pu essere calcolato analiticamente per ogni sezioneIn sollecitazioni di momento non uniforme (presenza di taglio) landamento delle nelle flangie presenta due componenti (ma quella orizzontale pi importante)TENSIONI DI TAGLIO IN TRAVI FLANGIATEArea sezione flangia:1h hA b| |= |Le tensioni sullanima si possono calcolare utilizzando la formula di Jourawsky:()() V S yJ b y =112 2h hA b| |= |\ Area sezione parziale anima:12 12hA t y| |= |\ Momento statico:( )1 1 11 1 2 122 4 2h h h h yS y A A y | | | |= + + + ||\ \ ( )( ) ( )2 2 2 21 1 1 148 8b tS y h h h y = + Sostituendo e semplificando()( )( )( ) ( )1 2 2 2 21 1 11 48 V S yVb h h t h yJ b y J t( = = + Lunica variabile y1, in modo quadratico12 2 2max 1 10 8 yVbh bh thJ t= ( = = + 1 12 2min 12 8 y hVbh bhJ t= ( = = Generalmente, per le travi flangiate, lanima a supportare quasi tutto lo sforzo del taglio verticale applicato (90-98 %)verticale applicato (90-98 %) In genere si trascura il contributo delle flangie, e si considera il taglio mediato su tutta lanima con la semplicissima formula1 animaVt h =Il semplice metodo utilizzato non pu essere esteso al calcolo del taglio verticale sulle flangie, e si trascura la presenza del raccordo circolare, che pure determinante per abbassare i picchi di tensione TRAVI COMPOSTEIn molte applicazioni si ricorre a travi ottenute dallassemblaggio di pi elementi, anche in materiali differenti, per ottenere ottime performance leggerezza / costo / dimensioniIl calcolo di queste travi necessita di due passaggi: Il calcolo di queste travi necessita di due passaggi:Verifica del comportamento della trave a flessione-taglio composta come se fatta di un sol pezzoVerifica delle connessioni presenti (chiodature, incollaggi, bullonature, spine, saldature, ) attraverso il concetto del flusso di taglio()( ) ( ) yxA i j A i jVdx dMb y dx y dA y dAJ J = = Riprendiamo lequilibrio introdotto per il taglio, evidenziando la variazione del momento:Il flusso del taglio f definito:()1 yxdM Vf b y y dA y dAdx J J= = = Tale flusso (per unit di lunghezza) utilizzato per verificare le saldature longitudinaliNel caso a fianco, il flusso viene calcolato per il tramite del momento statico esteso a tutta la flangia superiore (comprensiva delle alette verticali)()V Vf y dA S yJ J= =In questo caso il flusso va calcolato alla fine dellanima, in corrispondenza delle saldature, ottenendo S(y) dallarea evidenziata(comprensiva delle alette verticali)Il flusso cos calcolato si scaricher in modo discreto sui rivetti di connessioneIn questo caso il flusso va calcolato in corrispondenza di cc dd. Larea evidenziata serve per il calcolo del momento statico.Il flusso cos calcolato si scaricher in modo discreto sui chiodi di connessioneTRAVI SOGGETTE ANCHE A SFORZO NORMALEIn molti casi le travi sono contemporaneamente sollecitate a trazione/compressione e a forze laterali (flessione semplice o composta)Se la trave non troppo sottile il calcolo si pu fare sovrapponendo gli effetti( )N x =P Q S = +

( ) ( )M x Q L x = ( )V x Q = ( )N x S =( )xN xA =()( ) ()()xyzV x S yyJ b y =()( )xzM xy yJ = Queste due tensioni sommano i rispettivi contributiSovrapposizione delle tensioni assialee flessionaleCrescendo ancora il momento Mlasse neutro pu comparire e traslare()xzN My yA J = Questa combinazione viene ad esempio utilizzata nel cemento armato precompressoTRAVI SOGGETTE A CARICO ECCENTRICOSi tratta di travi nelle quali il carico assiale non applicato al baricentroMomento di trasporto()xzP Pey yA J = +La sovrapposizione comporta in pratica lo J= La sovrapposizione comporta in pratica lo spostamento dellasse neutro che si ritrova ponendo nulla la tensione assiale0zJyAe= di un certo interesse definire la zona entro la quale leccentricit del carico non induca un cambio nel segno della tensione: materiali non resistenti a trazione/compressioneConsiderando anche leccentricit nellaltra direzione si delimita una zona (rombo) detto nocciolo della sezioneSez. rettang.: la condizione limite si ha quando y0= -h/231 21 2 6b h heb h h= =Nel caso ancor pi generale di spostamento del carico secondo due direzioni, lasse neutro non pi normale allasse di sollecitazione n parallelo agli assi principali di inerzia yzx N My zPe yP Pe zA J J = + = + +Lasse n-n si ricava dallequazione della retta che si ottiene annullando la : z z zJ e Jy z = y y yy zJ e A e= Nei calcoli di questa parte si assunto che le deformate fossero tali da non modificare i carichiSi anche assunto che le tensioni fossero sempre sovrapponibili e quindi disaccoppiate fra loro, ci non vero se la trave diviene sottile e lo sforzo normale fuori asse fornisce un momento flettente aggiuntivoFinora si sempre trattato di travi ad asse baricentrico rettilineo, in caso contrario unaltra trattazione necessariaCONCENTRAZIONI DI TENSIONEValgono le medesime considerazioni fatte per il caso assiale circa la validit delle soluzioni di St. VenantSi fa sempre riferimento alle tensioni nette per il calcolo delle tensioni nominali( )3 36nomBMy MdJb h d = =La tensione massima si ricava dal fattore K puramente geometrico tabellato e ricavabile in letteratura geometrico tabellato e ricavabile in letteratura Max nomBK = Caso di due intagli simmetrici su lastra inflessa