Date post: | 01-May-2015 |
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alcuni modi di vedere l’infinito in matematica
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Attività 1a
Hai davanti a te una torta. Puoi mangiarla seguendo queste regole:
dividi la torta in due parti uguali e mangi in un sol boccone una delle due parti;
dividi a metà la parte rimasta; mangi in un sol boccone una delle due parti e così via.
Ai professori devi riservare la torta rimasta. Avanzerà qualche cosa ?…… Perché ?
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1 1...
8
1
4
1
2
1
3
Attività 1c (aiutati colorando il quadrato dell’allegato 1 che trovi nella pagina seguente)
Dividi il quadrato in quattro parti uguali, colorane una.Applica lo stesso procedimento al quadrato non adiacente
e continua così “infinite volte”.Che parte del quadrato grande hai colorato?……
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16
1
3
1...
64
1
16
1
4
1
4
Lavorando con le torte si scopre che:
E’ facile costruire alcune successioni numeriche costituite di infiniti termini, ove ogni termine è più piccolo del precedente e più grande del susseguente, e tali che la somma converge ad un valore finito.
2
1....
3
1...
81
1
27
1
9
1
3
1
n 3
1....
4
1...
256
1
64
1
16
1
4
1
n
4
1....
5
1...
125
1
25
1
5
1
n
1
1....
1...
11132
nnnnn m
...;;2
1...;;
16
1;
8
1;
4
1;
2
1n
1....2
1...
16
1
8
1
4
1
2
1
n
Congettura!
5
Il paradosso di Zenone su Achille e la tartaruga è analogo al problema delle torte, per esempio nell’ipotesi che Achille vada a velocità doppia della tartaruga e conceda metà strada come vantaggio alla tartaruga:
Dovrà coprire una distanza costituito da infiniti tratti:
…
AMAMAM
1....
16
1
8
1
4
1
2
1
Sempre che la nostra congettura sulle torte sia esatta!
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Alla dimostrazione della nostra congettura si può arrivare attraverso le curiose proprietà dei numeri periodici: essi non sono solo un altro modo di toccare l’infinito, ma sono anche una possibile chiave nella dimostrazione della nostra congettura.
Dato un numero periodico è possibile risalire alla sua frazione generatrice, esempio:
110
44,0
xx 1
110
99,0
xx
In particolare:
110
1...1111111,01,0
Questa uguaglianza è vera se assumiamo come validi i principi di risoluzione delle equazioni.
CONSIDERAZIONE: I principi di risoluzione restano veri indipendentemente dalla base in cui siano stati scritti i numeri che vi compaiono: 0,11111…; 1; 10;
7
Poiché l’ultima relazione è indipendente dalla base in cui sono scritti i numeri che vi compaiono:
base 5
base n
base 10
base 3
binaria
se trascritta in base 10 significa:
Nella base:
)2()2(
)2()2( 110
1...111,0
1
12
1...
16
1
8
1
4
1
2
1
)3()3(
)3()3( 110
1...111,0
2
1
13
1...
81
1
27
1
9
1
3
1
)5()5(
)5()5( 110
1...111,0
)10()10(
)10()10( 110
1...111,0
)()(
)()( 110
1...111,0
nn
nn
4
1
15
1...
625
1
125
1
25
1
5
1
9
1
110
1...
1000
1
100
1
10
1
1
1...
1111432
nnnnn
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Cascata, Mauritz Cornelis Escher Costruzione a tre travi
Modello per la costruzione a tre travi
9
Limite del quadrato, Maurits Cornelis Escher
10
la figura completa contiene quadrati
disposti con un lato orizzontale e con un lato lungo la diagonale del quadrato precedente.
I quadrati sono successivamente uno la
metà del precedente.
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Il teorema di Pitagora e la diagonale del quadrato
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Irrazionalità e incommensurabilità
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con il metodo geometrico possiamo individuare la frazione continua che permette di ottenere valori sempre più approssimati di 2
Si ottiene che:
........2
12
12
112
La frazione continua di 2
ossia lo spettro:
,...)2,2,2;1(2
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Con il metodo aritmetico, sfruttando la proprietà dei radicali:
2 11
2 1
L’uso della frazioni continue evidenzia un algoritmo molto pratico per la determinazione di 2
1+1
+21/x
+1
Numero cicli inverso …….+1
0 cicli 0,5 0,5+1=1,5
1 ciclo 0,4 0,4+1=1,4
2 cicli
15
16