1 CAMPO LONTANO DI UNA DISTRIBUZIONE DI CORRENTI · Se r′ ≪ r, allora X `e piccolo, e possiamo...

1 CAMPO LONTANO DI UNA DISTRIBUZIONE DI CORRENTI

Il dipolo corto e il piu semplice caso di antenna (effettivamente realizzabile). Unaantenna e un dispositivo costituito da una struttura fisica, normalmente di conduttore elettricoperfetto, che, se opportunamente alimentata, produce un campo elettromagnetico nello spazio.Uno dei problemi importanti in elettromagnetismo e quindi il calcolo del campo prodotto dauna data antenna. Questo problema puo essere decomposto in due sottoproblemi

• calcolare la corrente che si induce su di una antenna a causa della alimentazione;• calcolare il campo prodotto dalla distribuzione di corrente indotta1.

Il primo sottoproblema dipende in maniera essenziale dalla struttura della antenna, chepuo essere molto varia. Pertanto andra affrontato caso per caso, e nel seguito vedremo alcunidei casi di interesse per questo corso.

Il secondo sottoproblema, invece, ammette una soluzione generale relativamente sem-plice2, che si semplifica ulteriormente se il campo che ci interessa e quello a grande distanza dallaantenna. Vedremo quindi come prima cosa come si esprime il campo elettromagnetico prodottoda una distribuzione di correnti elettriche J(r), che occupa un volume VJ finito, nei punti al difuori di VJ .

Una delle proprieta della delta di Dirac e

J(r) =

∫

J(r′) δ(r − r′) dV ′ (1)

in cui l’integrale dovrebbe essere esteso a tutto lo spazio. Tuttavia, essendo J diverso da zerosolo in VJ , basta estenderlo solo a questo volume.

Ricordando che un integrale e una somma, la (1) afferma che la distribuzione di correnteJ puo essere considerata come la somma di tante distribuzioni elementari

Je(r) =

[

J(r′) dV ′

]

δ(r− r′)

Ovviamente J ha, in generale, tre componenti, e quindi la distribuzione elementare Je

si puo decomporre come

Je = Jexix + Jeyiy + Jeziz (2)

corrispondente alla somma delle tre componenti di J. Ogni termine della (2) corrisponde a undipolo elementare posto in r′ e opportunamente orientato. Per semplicita nel seguito supporremoche la corrente J abbia solo la componente z3, per cui la distribuzione totale di corrente sara lasomma di dipoli elementari allineati con l’asse z, di ampiezza [Jz(r

′) dV ′], posti in r′.

1 Come visto nella discussione del teorema di equivalenza, e sempre possibile sostituire all’oggettofisico (antenna) la sua corrente indotta e calcolare il campo (nel vuoto) di questa correnteindotta.

2 In qualche caso ci interessera il campo di una distribuzione di corrente che non e ottenuta dauna antenna. Le considerazioni di questo paragrafo si applicheranno anche a questi casi.

3 Le considerazioni che seguono sono valide anche per correnti comunuqe orientate nello spazio.Il campo di un dipolo con direzione diversa da z ha la stessa dipendenza da r di quello lungo zconsiderato nella prima parte di questo corso, ma con una diversa dipendenza dagli angoli θ, φe differenti componenti sferiche.

1

Per la sovrapposizione degli effetti, detto dEd(r) il campo elettrico4 del dipolo diampiezza [Jz(r

′) dV ′] , il campo elettrico complessivo E(r) della distribuzione di correnti J(r) =Jz(r)iz e pari a

E(r) =

∫

VJ

dEd(r) (3)

E’ evidente che la espressione (3) e solo formalmente semplice, in quanto il suo utilizzonella forma completa, ovvero utilizzando l’espressione del campo di un dipolo utilizzata nellaprima parte di questo corso, richiede una valutazione numerica. Se pero ci limitiamo a distanzegrandi tra punto sorgente r′ e punto campo r, sono possibili alcune semplificazioni della (3),dipendenti pero dalla distanza a cui si ci trova.

La prima semplificazione si puo fare se

β |r− r′| ≫ 1 ∀r′ (4)

ovvero se la distanza tra il punto campo e un qualunque punto della sorgente e grande rispettoalla lunghezza d’onda.

In tal caso anche la relazione diretta tra correnti e campo puo essere espressa in terminisemplici, in quanto il campo dEd(r) nella (3) vale

dEd(r) = j

ζ

[

Jz(r′) dV ′

]

2λ |r− r′| e−jβ|r−r′| sin θ′ i′θ (5)

dove l’angolo θ′ e l’angolo tra la congiungente il punto sorgente e il punto campo, e l’asse polarez. Di conseguenza il versore i′θ dipende anch’esso dalle posizoni del punto sorgente e del puntocampo.

Sommando su tutti i dipoli della sorgente segue allora

E(r) = jζ

2λ

∫

VJ

Jz(r′)

|r− r′| e−jβ|r−r′| sin θ′ i′θ dV

′ (6)

in cui θ′ e i′θ variano al variare del dipolo che consideriamo nella somma (6), e quindi non possonoessere portati fuori dall’integrale.

La (6) e ancora abbastanza complessa. Ulteriori semplificazioni sono possibili solo sela distanza |r − r′| e grande rispetto alle dimensioni della sorgente medesima. Per valutarenumericamente quest’ultima, si puo considerare la minima sfera che include completamente ilvolume VJ che contiene tuttele sorgenti, e assegnare come dimensione della sorgente il diametroD di tale sfera.

Se la distanza r tra il punto campo e il centro di tale sfera e grande rispetto al semi-diametro della sorgente

r ≫ D

2(7)

4 Analoga relazione vale ovviamente anche per il campo magnetico, e anche a questa possonoessere applicate le semplificazioni che vedremo per il campo elettrico. Tuttavia, in molti deicasi di interesse, il campo magnetico potra essere ottenuto in modo immediato una volta notoil campo elettrico.

2

allora un osservatore, posto nel punto campo, vede la sorgente come puntiforme. In tal casopossiamo considerare, dal punto di vista geometrico, tutti i dipoli posti nello stesso punto, equindi considerare θ′ e i′θ costanti (al variare del punto campo). Se indichiamo con θ e iθ i valorirelativi al centro della sorgente, la (6) diventa, in questa ipotesi

E(r) = jζ

2λ

∫

VJ

Jz(r′)

|r− r′| e−jβ|r−r′| dV ′ sin θ iθ (8)

Altre semplificazioni sono possibili esaminando i termini contenenti |r− r′| nella (6) (equindi, anche, nella (8) ), sempre nella ipotesi che la distanza r sia grande rispetto al diametrodella sorgente.

Risulta

|r− r′|2 = (r− r′)2 = r2 − 2 r · r′ + (r′)2 = r2

[

1− 2ir · r′r

+

(

r′

r

)2]

essendo r = rir. Estraendo la radice quadrata segue

|r− r′| = r

√

1− 2ir · r′r

+

(

r′

r

)2

(9)

Nella ipotesi che r′ ≪ r, possiamo sviluppare la (9) con la formula di Taylor rispetto al

parametro piccolo r′/r. Non conviene pero farlo direttamemte, ma con un artificio. Il secondofattore a secondo membro e la radice quadrata di 1 +X, con

X = −2ir · r′r

+

(

r′

r

)2

(10)

Se r′ ≪ r, allora X e piccolo, e possiamo utilizzare l’espansione di Taylor di√1 +X

rispetto a X, ovvero

√1 +X ≃ 1 +

X

2− X2

8+ . . .

e poi sostituire l’espressione (10) di X in ambo i membri. Nel fare questa sostituzione a secondo

membro occorre pero ricordare che lo sviluppo cercato e in r′/r, e quindi vanno conservati tutti

e soli i termini fino all’ordine desiderato in r′/r. Se siamo interessati allo sviluppo al secondoordine, allora dobbiamo sostituire a secondo membro5

X = −2ir · r′r

+

(

r′

r

)2

X2 =

[

−2ir · r′r

]2

mentre X3 non contribuisce, contenendo solo termini di terzo ordine o superiore.Si ottiene quindi

5 Nel caso di uno sviluppo al primo ordine andrebbe conservato solo X e solo il suo primoaddendo.

3

√

1− 2ir · r′r

+

(

r′

r

)2

≃ 1 +

1

2

[

−2ir · r′r

+

(

r′

r

)2]

−

1

8

[

−2ir · r′r

]2

= 1− ir · r′r

+1

2

(

r′

r

)2

− 1

2

[

ir · r′r

]2(11)

Sostituendo la (11) nella (9) si ottiene infine

|r− r′| ≃ r −(

ir · r′)

+1

2r

[

(r′)2 − (ir · r′)2

]

(12)

Tuttavia, essendo interessati al campo, la (12) puo essere usata solo se l’errore relativosul campo e piccolo. Per valutare questo errore sul campo (8), occorre considerare che la (12)dovrebbe essere sostituita sia nel termine di ampiezza |r− r′|−1, sia nel termine di fase.

Nel termine di ampiezza basta approssimare |r− r′| ≃ r, arrestandosi al primo termine.L’errore relativo che si commette vale infatti

∣

∣ir · r′∣

∣

r≤ r′

r≤ D

2r

in quanto r′ e la distanza di un punto interno alla sfera di diametro D dal centro. Se r ≫D/2,allora si puo approssimare |r − r′|−1 con r−1. Poiche questa e la stessa condizione geometricache abbiamo utilizzato per gli angoli, possiamo dire che se

r ≫ D

2

allora

E(r) = jζ

2λ r

∫

VJ

Jz(r′) e−jβ|r−r′| dV ′ sin θ iθ (13)

Diverso, e indipendente, e il discorso relativo all’approssimazione dell’esponenziale, di-scorso gia affrontato nella parte sulle onde piane. Infatti occorre considerare non la approssi-mazione (12), ma quella dell’esponente completo del termine esponenziale della (13), ovvero

−jβ|r− r′| ≃ −jβr + jβ(

ir · r′)

− jβ

2r

[

(r′)2 − (ir · r′)2

]

(14)

Se decidiamo di utilizzare solo i primi due termini della (14) (sempre assumendo cher ≫D/2) per approssimare l’esponenziale della (13) (ovvero della (8))

e−jβ|r−r′| ≃ e−jβr e−jβ(

−ir·r′

)

(15)

questo conduce a un errore accettabile sul campo (che si ottiene da un integrale in cui va inseritala (15)) se il massimo del termine trascurato nella (14) e inferiore a π/8.

Il massimo del termine trascurato

−jβ

2r

[

(r′)2 − (ir · r′)2

]

si ottiene considerando che

4

(r′)2 − (ir · r′)2 ≤ (r′)2 ≤

(

D

2

)2

L’errore e allora accettabile se

β

2r

D2

4≤ π

8=⇒ r ≥ 2D2

λ(16)

Se vale la (16) (oltre alle (4,7)) si dice allora che il punto campo e in campo lontano,o in zona di Fraunhofer. In questo caso possiamo approssimare l’esponenziale nella (13) con la(15) e si ha quindi

E(r) = jζ

2λ re−jβr

∫

VJ

Jz(r′) ejβ(ir·r

′) dV ′ sin θ iθ (17)

2 ANTENNE – ALTEZZA EFFICACE – CAMPO LONTANO

Le forme possibili delle antenne sono le piu svariate. Per i nostri scopi, comunque, leproprieta che ci interessano sono solo due:

• Ogni antenna ha una porta di ingresso per alimentarla. Se attraverso tale porta vienefatta scorrere una corrente IA, l’antenna produce nello spazio un campo elettromagnetico(effetto) il cui valore e, in ogni punto, proporzionale alla corrente di alimentazione IA(causa), in quanto, in elettromagnetismo, le relazioni causa–effetto sono lineari.

• Ogni antenna ha una dimensione massima. Per valutarla numericamente si puo conside-rare la minima sfera che include completamente la antenna, e assegnare come dimensionedella antenna il diametro D di tale sfera.

Da questa definizione segue che una antenna puo essere costituita, oltre che da oggettiche irradiano campo, anche eventualmente da circuiti (a costanti distribuite o concentrate) chedistribuiscono la corrente di ingresso agli oggetti irradianti.

Se esiste una porta di ingresso, e quindi una corrente IA, la densita di corrente indottarisulta proporzionale ad IA. La (17) puo allora essere ulteriormente modificata, scrivendo

E(r) = jζ

2λ re−jβr IA

∫

VJ

Jz(r′)

IAejβ(ir ·r

′) dV ′ sin θ iθ (18)

L’integrale nella (18) dipende dalla distribuzione spaziale della corrente e contiene tuttele informazioni sull’andamento spaziale del campo, a parte il fattore di propagazione

e−jβr

rcomune al campo lontano di tutte le antenne, e tutte le informazioni sulla polarizzazione delcampo lontano. Questo termine (o la sua generalizzazione al caso di distribuzioni di correntetridimensionali), che e una funzione di (θ, φ), prende il nome di altezza efficace della antenna esi indica con h (e si misura in m).

5

h(θ, φ) =

∫

VJ

Jz(r′)

IAejβ(ir·r

′) dV ′ sin θ iθ (19)

Tenendo anche conto che il campo deve essere localmente una onda piana, possiamoallora scrivere il campo in zona di Fraunhofer di qualunque antenna, alimentata da una correnteIA nella forma

E = jζIA2λr

e−jβr h(θ, φ)

H =1

ζir ×E

(20)

in cui l’altezza efficace h(θ, φ) e il termine caratteristico della singola antenna e fornisce leproprieta direzionali della antenna stessa, ovvero come il campo varia rispetto alle direzioniangolari θ, φ. Inoltre h indica anche la polarizzazione del campo elettrico (che viene dettapolarizzazione della antenna). Sempre dalle proprieta del campo lontano, risulta che h deveessere ortogonale a ir

h · ir = 0

Per un dipolo elementare di lunghezza ∆z risulta

h(θ, φ) = ∆z sin θ iθ (21)

e per un dipolo corto di lunghezza 2ℓ

h(θ, φ) = ℓ sin θ iθ (22)

Le altezze efficaci (e quindi i campi) di tali antenne sono indipendenti da φ per lasimmetria delle antenne stesse.

Le espressioni (20) valgono se il punto–campo (punto in cui si vuole calcolare il campo)e nella zona lontana della antenna (detta anche zona di Fraunhofer) caratterizzata dal verificarsidi tutte le seguenti condizioni per la distanza r tra il punto–campo e la antenna

β

[

r − D

2

]

≫ 1 r ≫ D

2r >

2D2

λ

che possiamo riscrivere, per avere tutte valutazioni quantitative (e con errori paragonabili, in-torno al 10% massimo), come

[

r − D

2

]

>10

β=

5λ

πr > 5D r >

2D2

λ(23)

Naturalmente, al variare della frequenza e della dimensione della antenna, il collo dibottiglia sara una o l’altra di esse.

Conviene allora considerare, in un diagramma, tutte le possibili condizioni. Il dia-gramma puo essere in due dimensioni in quanto cio che conta sono r/λ e D/λ. Le relazioniprecedenti diventano allora

r

λ>

1

2

D

λ+

5

π

r

λ> 5

D

λ(24)

6

r

λ> 2

(

D

λ

)2

(25)

e ciascuna di queste condizioni dividono il diagramma r/λ in funzione di D/λ, riportato in Fig.1, in due regioni. I confini di tali regioni sono due rette per le condizioni (24), e un arco diparabola per la condizione (25).

5/π

12.5

10/9π 2.5

zona di Fraunhofer

zona delle sorgenti

zona dei campi reattivi

Fr

r/λ

D/λ

5/π

12.5

10/9π 2.5

zona di Fraunhofer

zona delle sorgenti


Fr

r/λ

D/λ

5/π

12.5

10/9π 2.5

zona di Fraunhofer

zona delle sorgenti


Fr

r/λ

D/λ

5/π

12.5

10/9π 2.5

zona di Fraunhofer

zona delle sorgenti


Fr

r/λ

D/λ

5/π

12.5

10/9π 2.5

zona di Fraunhofer

zona delle sorgenti


Fr

r/λ

D/λ

Fig. 1: Regioni di campo lontano e campo vicino.

La zona di Fraunhofer e quella in alto a sinistra. La restante parte viene detta di campovicino, ed e divisa in due regioni. Quella in cui non vale la prima delle condizioni (24) vienedetta zona dei campi reattivi. Si puo infatti verificare che al di fuori di questa zona le densita dienergia elettrica e magnetica sono uguali, mentre in questa zona sono diversi, e quindi vi e flussodi potenza reattiva. La zona intermedia e detta zona delle sorgenti perche in essa la sorgentenon viene vista come puntiforme ma estesa, benche il flusso di potenza sia puramente reale.

Nella Fig. 1 e poi evidenziata anche un’altra zona, che esiste solo per sorgenti grandi,ed e indicata con Fr. Tale zona e detta di Fresnel, ed in essa il campo ha tutte le caratteristichedella zona lontana, salvo il fatto che l’onda e, anche localmente, sferica.

Il campo in zona lontana e quello che viene generalmente considerato per i collegamentiradio. L’interesse per la zona vicina e cresciuto solo di recente in quanto i limiti normativi sulleesposizioni della popolazione vanno essenzialmente verificati nella zona delle sorgenti, in quanto,per le antenne che tipicamente si usano nelle aree urbane, il campo nella zona di Fraunhofere molto piu basso dei limiti stessi. La zona dei campi reattivi e invece molto piccola. Per leantenne per telefonia cellulare, ad esempio, tale zona termina a 2–3 metri dalla antenna, unazona in cui l’accesso della popolazione e normalmente interdetto. Il campo in tale zona, quindi,interessa soprattutto per chi si occupa della manutenzione degli impianti.

Notiamo infine che le (23), e di conseguenza la Fig. 1, sono relative al campo in unpunto. In molti casi, pero, e richiesto che il campo della nostra antenna sia una onda piana intutta una regione di diametro DR, ovvero che il campo in tutta questa regione sia approssimabilecome una onda piana, a partire dal valore della (20) al centro della regione stessa. In questocaso si dimostra che le (23) vanno sostituite da

7

[

r − D +DR

2

]

>10

β=

5λ

πr > 5 max[D,DR] r >

2(D +DR)2

λ(26)

La seconda delle (26) e certamente verificata se r > 5(D + DR), e in questo caso e

possibile utilizzare il diagramma di Fig. 1, ovviamente considerando sulle ascisse (D +DR)/λ.Tuttavia, in qualche caso di antenne di dimensioni intermedie, questa richiesta potrebbe esserepiu restrittiva del necessario1.

3 PARAMETRI DELLE ANTENNE IN TRASMISSIONE

Una antenna in trasmissione e completamente caratterizzata dalla sua altezza efficace.Sono pero utili anche altri parametri, ovviamente collegati alla altezza efficace h(θ, φ).

Ricordiamo che il vettore di Poynting di una antenna, calcolato a grande distanza, ereale e diretto lungo ir. Usando l’espressione generale del campo lontano di una antenna (20) siha per esso

S∞(r, θ, φ) =1

2ζ|E|2 ir =

ζ

2

|IA|2(2λr)2

∣

∣h(θ, φ)∣

∣

2ir (27)

Si definisce diagramma di radiazione il rapporto

F (θ, φ) =S∞(r, θ, φ)

SMAX(r)=

∣

∣h(θ, φ)∣

∣

2

∣

∣h∣

∣

2

MAX

dove S∞(r, θ, φ) e la componente radiale del vettore di Poynting a grande distanza, dato da (27)e indichiamo con SMAX il suo valore massimo rispetto agli angoli. Il diagramma di radiazionerisulta funzione di (θ, φ), ed e normalizzato al suo valore massimo. A partire da (27) si ottienela potenza irradiata da una antenna generica, come

Pirr =

∫

S∞(r, θ, φ) · ir r2 dΩ =1

2|IA|2

ζ

(2λ)2

∫

∣

∣h(θ, φ)∣

∣

2dΩ (28)

essendo dΩ = sin θ dθ dφ, e l’integrale esteso a tutto lo spazio.Dal teorema di Poynting segue che la potenza irradiata da una antenna deve entrare

dai morsetti di ingresso della antenna stessa. Se la antenna e ideale, la potenza din ingresso allaantenna viene tutta irradiata. Se invece la antenna non e ideale, vi sara anche potenza dissipataPD nella antenna. Questa potenza viene dissipata da tutte le parti che non sono C.E.P., maanche da eventuali resistenze (o elementi dissipativi) presenti nella antenna. La potenza totaledi ingresso vale alllora

1 Si consideri ad esempio una sorgente con D = λ e una regione con DR = λ. Usando la Fig. 1con D +DR = 2λ si trova che la zona di Fraunhofer comincia a 10λ, e il collo di bottiglia e laseconda delle (23). In realta, usando le (26), si trova che la zona di Fraunhofer comincia a 8λ,e il collo di bottiglia e la terza delle (26). Infatti la seconda delle (26) richiede ora solo r > 5λ.

8

Pin = Pirr + PD (29)

Se l’antenna e usata in trasmissione, presentera ai suoi morsetti una impedenza Zin =Rin + jXin, detta impedenza di ingresso della antenna1. La potenza in ingresso alla antennavale allora

Pin =1

2Rin |IA|2 (30)

Normalmente Pin e la potenza di interesse, ed e quella in genere piu semplicementecalcolabile. La potenza irradiata, se necessaria, viene calcolata dalla (29), dopo aver determi-nato la potenza dissipata (somma delle potenze dissipate individualmente da ciascun elemenodissipativo).

Poiche la potenza irradiata, Pirr, e quella dissipata, PD, sono anch’esse proporzionali a|IA|2, si possono introdurre una resistenza di irradiazione e una resistenza di dissipazione RD

tramite

Pirr =1

2Rirr |IA|2 =⇒ Rirr = 2

Pirr

|IA|2

PD =1

2RD |IA|2 =⇒ RD = 2

PD

|IA|2(31)

da cui segue

Rin = Re[

Zin

]

= Rirr +RD (32)

Possiamo introdurre inoltre una efficienza η (dovuta alle perdite) data da

η =Potenza irradiata

Potenza totale in ingresso=

Potenza irradiata

Potenza irradiata + Potenza dissipata(33)

Ricordando le espressioni (31,32) segue

η =Pirr

Pin=

Pirr

Pirr + PD=

Rirr

Rirr +RD=

Rirr

Rin(34)

da cui

Rirr = η Rin e RD = (1− η) Rin

L’altezza efficace e una misura di come la antenna irradia nello spazio, espressa tramiteil campo irradiato. Conviene introdurre anche una misura differente, legata alla potenza, che eil guadagno

G(θ, φ) = limr→∞

S(r, θ, φ)1

4πr2Pin

= limr→∞

1

2ζ|E|2

1

4πr2Pin

(35)

1 Questa impedenza puo dipendere anche da eventuali circuiti inseriti nella antenna.

9

(dove il limite non dipende da r in quanto S a grande distanza e proporzionale a r−2) che legala densita di potenza irradiata alla potenza entrante nella antenna. La (35) collega l’effetto(il campo prodotto in una data direzione) alla causa di interesse (la potenza che deve esserefornita alla antenna per produrre quel campo), ed e quindi un parametro largamente usato nelleappliazioni.

Il guadagno G rappresenta il rapporto tra la densita di potenza irradiata in una di-rezione, e quella media che verrebbe irradiata se la potenza di ingresso fosse equidistribuita intutte le direzioni.

Collegata al guadagno e la direttivita

D(θ, φ) = limr→∞

S(r, θ, φ)1

4πr2Pirr

(36)

in quanto risulta

D(θ, φ) =1

ηG(θ, φ)

In termini di campo o di altezza efficace la (36) diventa

D(θ, φ) = limr→∞

1

2ζ|E|2

1

4π

∫

1

2ζ|E|2 dΩ

=|h(θ, φ)|2

1

4π

∫

|h(θ, φ)|2 dΩ(37)

Gli integrali in (37) sono estesi a tutto lo spazio. La direttivita D rappresenta il rapportotra la potenza irradiata in una direzione, e quella media irrdiata, e quindi misura la capacitadi una antenna di concentrare la potenza irradiata in una direzione. Anche il guadagno misurale capacita direzionali di una antenna ma, al contrario di D, tiene conto anche delle eventualiperdite.

Si noti anche che la definizione (36) di direttivita si puo applicare anche a una dis-tribuzione generica di correnti, senza riferimento ad antenne o morsetti di ingresso (al contrariodelle altre definizioni di questo paragrafo, e in particolare del guadagno, definito solo per an-tenne). In tal caso solo la prima espressione della (37) e applicabile.

I termini guadagno e direttivita, comunque, oltre che le funzioni2 G(θ, φ) e D(θ, φ) datedalle (35,37), indica anche il loro valore massimo GMAX e DMAX .

In particolare, il valore massimo della direttivita (e quindi del guadagno) si ottieneconsiderando a numeratore il massimo della altezza efficace, e puo quindi essere espresso tramiteil diagramma di radiazione F (θ, φ)

DMAX =1

ηGMAX =

|h|2MAX

1

4π

∫

|h(θ, φ)|2 dΩ=

4π∫

F (θ, φ) dΩ

I due parametri G e D contengono informazioni diverse sulla antenna, in particolarese η e significativamente minore di 1. Se lo scopo di una antenna e quello di produrre un

2 Le funzioni G(θ, φ) e D(θ, φ) coincidono, a meno di una costante, con il diagramma di radi-azione. Piu precisamente, quest’ultimo e anche il guadagno (o la direttivita) normalizzata alsuo massimo

10

certo campo in una data direzione, allora interessa il guadagno. Tuttavia un dato guadagno(ad esempio G = 10) puo essere ottenuto da una antenna con η = 1 e D = 10, o con unaantenna3 con η = 0.2 e D = 50. Nel secondo caso, pero, il campo irradiato nelle altre direzionie notevolmente inferiore. Ma ovviamente lo stesso risultato si puo ottenere con η = 1 e D = 50,ma impiegando una potenza di ingresso 5 volte piu piccola.

Viene anche talvolta usato il guadagno realizzato, in cui al denominatore va la potenzadisponibile dal generatore, e che quindi tiene conto di eventuali disadattamenti. Se la alimen-tazione della antenna e fatta con una linea, allora il guadagno realizzato vale

GR = (1− |Γ|2)G

essendo Γ il coefficiente di riflessione sulla linea.

Possiamo esprimere il guadagno in termini della resistenza di ingresso della antenna.Dalla definizione (35) e dalla (30) segue


1

2ζ|E(r, θ, φ)|2

1

4πr2Pin

= limr→∞

1

2ζ

ζ2|IA|24λ2r2

|h(θ, φ)|2

1

4πr21

2Rin|IA|2

=π ζ |h(θ, φ)|2

λ2 Rin(38)

in cui la resistenza di ingresso di una antenna viene calcolata con considerazioni circuitali4.

Fanno eccezione alcune antenne semplici, in cui la resistenza di irradiazione e calcolabiledirettamente tramite la (28). Tra queste possiamo considerare i dipoli elementari o corti, conaltezza efficace massima5 pari ad hM . Usando l’espressione gia calcolata della potenza irradiata,segue

Rirr =2πζ

3

(

hM

λ

)2

= 800

(

hM

λ

)2

[Ω] (39)

e ovviamente

Rin =1

ηRirr

Sostituendo queste espressioni in (38) si ottiene guadagno e direttivita di un dipoloelementare o corto:

3 Questa seconda antenna risulta normalmente molto piu grande dell’altra.

4 Invece la resistenza di irradiazione va calcolata a partire dalla potenza irradiata, differenza traquella di ingresso e quella dissipata. Ne segue che per il guadagno e in genere piu sempliceusare l’ultima espressione della (38), e non la prima. Invece per la direttivita conviene usarela (36) e non l’equivalente della (38)

D(θ, φ) =π ζ |h(θ, φ)|2

λ2 Rirr

5 La lunghezza del dipolo e pari ad hM se il dipolo e elementare e a 2hM se corto

11

G(θ, φ) =π ζ h2

M sin2 θ

λ21

η

2πζ

3

(

hM

λ

)2 =3

2η sin2 θ =⇒ D(θ, φ) =

3

2sin2 θ (40)

corrispondente a 1.76 dB per una antenna ideale. Segue che un dipolo, elementare o corto, none in grado di concentrare il campo in una data zona, e quindi produce campo sostanzialmentein tutto lo spazio. Per avere guadagni piu elevati, occorre utilizzare antenne piu grandi.

4 ANTENNE FILIFORMI

Un’asta metallica di lunghezza 2ℓ e raggio a costituisce una antenna filiforme se il fattoredi snellezza1

Ω = log

(

2ℓ

a

)2

risulta abbastanza grande (superiore a 5-10). L’asta e divisa in due parti con una piccolainterruzione, detta gap, tramite cui l’antenna viene alimentata.

L’alimentazione e costituita da un campo elettrico Ei, orientato tra i due lati dal gap(come tra le armature di un condensatore), ovvero mediante un anello di corrente magnetica(frill current), ad esso equivalente (vedi Fig. 1). Per effetto di questa alimentazione sullacorrente si induce una corrente superficiale Js, che produce un campo diffuso Ed, ad essa pro-porzionale. Imponendo che sulla superficie metallica della antenna il campo diffuso e quello dialimentazione abbiano complessivamente componente tangente all’antenna nulla si ottiene unaequazione (integrale) nella corrente indotta, la cui soluzione consente di calcolare tale corrente.

E iM

Fig. 1: Alimentazioni di una antenna filiforme

1 Qui e nel seguito log indica il logaritmo naturale.

12

z

irθ

Fig 2: Geometria per unaantenna filiforme.

Un coefficiente di snellezza grande consente di assume-re la densita di corrente allineata con la antenna (ovvero aventesolo la componente z), e indipendente da φ. La piccolezza di aconsente poi di imporre che la densita di corrente si annulli sulbordo della antenna (ovvero non vi sia corrente sulle basi delcilindro)

Js(z, φ) = Js(z) iz con Js(±ℓ) = 0

La particolare forma della corrente, e la piccolezza di aconsente di calcolare il campo di una tale antenna considerandouna distribuzione lineare (e non tridimensionale) di dipoli diampiezza I(z) dz, essendo I(z) la corrente totale che scorre sullaantenna. La (18) diventa allora

E(r) = jζ

2λ re−jβr IA

∫ ℓ

−ℓ

I(z)

IAejβ(ir ·r

′) dz′ sin θ iθ (41)

con r′ = z′ iz.Ricordando che (confronta Fig. 2) ir · iz = cos θ, la altezza efficace diventa

h(θ) =

∫ ℓ

−ℓ

I(z)

IAejβz

′ cos θ dz′ sin θ iθ (42)

La (42) mostra che la altezza efficace, e quindi il diagramma di radiazione, e (a menodi termini lentamente variabili) la trasformata di Fourier della distribuzione di corrente sullaantenna filiforme, considerando come variabili coniugate z e u = β cos θ.

Questa relazione di trasformata di Fourier vale (in forma simile) anche per tutti gli altritipi di antenne, ed ha una conseguenza molto importante. Il campo irradiato, come funzionedegli angoli2, puo variare tanto piu rapidamente, quanto piu l’antenna e grande, in quanto ilcampo e una funzione a banda limitata, con banda (spaziale) pari alla dimensione della antenna(espressa in termini di lunghezza d’onda). Ne segue che antenna con guadagno elevato, dovendoavere una variazione molto rapida del campo in funzione degli angoli, devono necessariamenteessere grandi rispetto alla lunghezza d’onda.

Si puo dimostrare che la distribuzione di corrente su di una antenna filiforme a sezioneomogenea e approssimabile da

I(z) = IAsin [β(ℓ− |z|)]

sin βℓ(43)

che consente di calcolare con notevole precisione il campo in zona di Fraunhofer, e anche, conprecisione inferiore ma sufficiente, nella zona del campo vicino radiativo. E invece del tuttoinsufficiente per la zona di campo vicino reattivo, il cui campo dipende in maniera essenzialedai dettagli della distribuzione di corrente, dettagli che vengono mediati dalla (43). Pertato la(43) e utile anche per calcolare tutti i parametri della antenna ad eccezione della reattanza diingresso , che dipende quasi solo dal campo nella zona di campo vicino reattivo3.

2 In realta’ le variabili da cui dipende la trasformata sono i coseni direttori delle direzioni sottocui l’antenna vede il punto campo.

3 Si veda la discussione relativa alla potenza reattiva di un dipolo.

13

La approssimazione (43) non e utilizzabile (per motivi formali) se βℓ = nπ, ovvero perantenne lunghe un multiplo intero di λ. In tal caso, infatti, la corrente di alimentazione predettadalla (43) sarebbe nulla (mentre la corrente vera e certamente diversa da zero). Conviene alloraparametrare la corrente alla corrente massima IM scrivendo I(z) = IM sin [β(ℓ− |z|)].

Se βℓ ≪ 1, allora la corrente varia linearmente

I(z) = IA

(

1− |z|ℓ

)

e l’antenna filiforme e in realta un dipolo corto

L’altezza efficace si ottiene da (42) (sostituendo la (43) e integrando) e vale

h(θ) =λ

π

cos(βℓ cos θ)− cos βℓ

sin βℓ sin θiθ (44)

L’andamento vero (ottenuto tramite un programma di simulazione numerica di antennefiliformi, chiamato NEC-2 ), e il diagramma di radiazione di varie antenne filiformi e mostratonel file aggiuntivo Va.

Le antenne filiformi singole sono tra le poche antenne in cui si puo calcolare facilmente lapotenza irradiata tramite la (28), e quindi anche la resistenza di irradiazione dalla (31). Infatti,per il calcolo della potenza irradiata (e quindi della resistenza di irradiazione) la (44) e del tuttoadeguata. Tenendo conto della simmetria, dalla (28) segue

Pirr =1

2|IA|2

ζ

(2λ)22π

∫ π

0

∣

∣h(θ)∣

∣

2sin θdθ

e dalla (31)

Rirr(ℓ) =2Pirr

|IA|2=

ζ

(2λ)22π

∫ π

0

∣

∣

∣

∣

λ

π


sin βℓ sin θ

∣

∣

∣

∣

2

sin θdθ (45)

il cui andamento e riportato nella Fig. 3.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Res

iste

nza

[Ω]

4l/λ

Resistenza di irradiazione di antenne filiformi

Fig. 3: Rirr di una antenna filiforme.

14

Particolare interesse hanno le antenne a λ/2, ovvero quelle per cui βℓ =π/2In tal caso risulta

I(z) = IA cos βz e h(θ) =λ

π

cos(π

2cos θ

)

sin θiθ (46)

e la sua resistenza di irradiazione vale4

Rirr =ζ

(2λ)22π

∫ π

0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

λ

π

cos(π

2cos θ

)

sin θ)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

sin θdθ ≃ 75Ω

La direttivita massima si ottiene dalla (38) e vale 1.64 (2.15 dB). Pertanto neancheuna antenna a λ/2 e in grado di concentrare il campo in una direzione. Tuttavia, avendo unaresistenza di ingresso molto piu alta di quella di un dipolo corto, ha normalmente una efficienzamolto alta, e, come vedremo, puo essere adattata molto meglio alla rete di alimentazione.

Per quanto riguarda, infine, la reattanza di ingresso, questa dipende in maniera essen-ziale dal campo nella zona reattiva, e dai dettagli costruttivi della antenna stessa. Una buonaapprossimazione della reattanza di ingresso per antenne sottili e

Xin = − ζ

2π(Ω− 3.4) cot β0ℓ (47)

La precisione della (47) e buona se Ω > 10 e ragionevole per valori poco piu piccoli.In particolare, per antenne corte,

Xin ≃ − ζ

2π(Ω− 3.4)

1

β0ℓ

che mostra che un dipolo corto non solo ha una resistenza di ingresso molto piccola, ma ha ancheuna reattanza di ingresso molto piu grande, con un fattore di merito che puo arrivare anche almigliaio, e quindi con una banda utile molto piccola. L’adattamento di dipoli corti, e in generaledi anetnne di piccole dimensioni, e pertanto un problema critico. In particolare per tale classedi problemi sono stati sviluppati gli adattamenti non–Foster.

Per una antenna a λ/2, invece, la (47) mostra che la reattanza di ingresso e nulla. Inrealta la reattanza si annulla per antenne leggermente piu corte, con un accorciamento dipen-dente dal raggio a della antenna. Tuttavia nel seguito considereremo come caratteristiche dellaantenna a λ/2 una impedenza di irradiazione pari a 75 + j0Ω e altezza efficace data da (46).La resistenza di ingresso dipendera invece dalle eventuali perdite, secondo la (34).

5 ALIMENTAZIONE DI ANTENNE FILIFORMI

Le antenne filiformi tipicamente utilizzate sono quelle corte, quelle a λ/2 e quelle conlunghezza totale prossima a λ/2. Le prime hanno impedenze di ingresso fortemente reattive, e

4 Il valore esatto dell’integrale (46) e 73.1Ω, ma la resistenza di irradiazione dipende leggermenteanche dal diametro della antenna per cui il valore dato nella espressione seguente e quellonormalmente usato.

15

con parte reale piccola, per cui richiedono circuiti di alimentazione particolari (si veda il capitolosulle linee di trasmissione).

Quelle prossime a λ/2 sono invece semplici da alimentare. Inoltre la loro lunghezza vieneutilizzata per modulare la fase (e anche l’ampiezza) della corrente di alimentazione. Convieneallora cercare delle espressioni semplici per la Zin di antenne filiformi.

Per antenne di lunghezza totale prossima a λ/2 (ovvero con ℓ ≃λ/4) e possibile ottenereuna espressione esplicita (approssimata) della Rirr(ℓ) sviluppando la (45) in serie di Taylor.Risulta (calcolando numericamente i vari termini tramite la (45))

Rirr(ℓ) ≃ Rirr

(

λ

4

)

+dRirr(ℓ)

dℓ

∣

∣

∣

∣

ℓ=λ/4

(

ℓ− λ

4

)

= 73.13 + 215.43

(

4ℓ

λ− 1

)

(48)

che, come si vede dalla Fig. 1, approssima bene la vera Rirr(ℓ) in un intervallo di lunghezzatotale dell’antenna del ± 10% attorno a λ/2 (con un errore, in questo intervallo, inferiore a 2.5Ω).

40

60

80

100

120

140

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

Res

iste

nza

[Ω]

4l/λ

Confronto resistenza di irradiazione

Valore veroSerie di Taylor

Fig. 1: Precisione della serie di Taylor (48) della Rirr di una antenna filiforme.

Naturalmente, in assenza di perdite, la (48) fornisce anche la resistenza di ingresso,mentre in presenza di perdite la Rin va calcolata sostituendo la (48) nella (34).

La reattanza di ingresso e data dalla (47), che e una espressione esplicita. Tuttavia puoessere utile anche la sua espansione in serie di Taylor attorno a ℓ =λ/4.

Risulta

cot βℓ = tan(π

2− βℓ

)

= − tan(

βℓ− π

2

)

dove l’argomento della tangente e piccolo e consente quindi di scrivere

− tan(

βℓ− π

2

)

≃ −(

βℓ− π

2

)

a meno i termini di ordine 2 e quindi con lo stesso ordine di approssimazione della (48).L’impedenza di ingresso varra quindi

Zin(ℓ) ≃ 73.13 +

[

215.43 + jζ

4(Ω− 3.4)

] (

4ℓ

λ− 1

)

[Ω] (49)

16

a meno di termini di ordine 2. Ovviamente, come gia detto, il primo termine della (49) vienenormalmente approssimato con 75Ω.

Ovviamente la variazione di impedenza con la lunghezza data dalla (49) puo anche essereinterpretata come variazione della Zin al variare della frequenza (con lungheza fissata). E quindiconsente di valutare la larghezza di banda della antenna. Se la nostra antenna, lunga λ/2 allafrequenza f0, viene alimentata con una linea di impedennza caratteristica 75Ω, e evidentementeadattata a f0. Possiamo calcolare allora |Γ(ω)| attorno a f0 usando la (49). Le relative curve,riportate in Fig. 2, dipendono evidentemente dal coefficiente di snellezza Ω.

-50

-40

-30

-20

-10

0

0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06

|Γ|

[d

B]

f/f0

Ω=10Ω=15Ω=20

Fig. 1: Coefficiente di riflessione di una antenna filiforme per vari valori di Ω.

Si nota immediatamente che al crescere del diametro del filo (e quindi al ridursi di Ω) labanda utile della antenna aumenta. Comunque, per valori di Ω intorno a 10 la banda passantea −10 dB e intorno al 12%.

17

6 SISTEMI DI ANTENNE

Le antenne filiformi, e in generale tutte le antenne di dimensioni confrontabili (o piccole)alla lunghezza d’onda, hanno prestazioni paragonabili, e non particolarmente elevate.

Antenne con prestazioni piu elevate devono necessariamente essere grandi rispetto allalunghezza d’onda. Questo di puo ottenere o con strutture grandi (ad esempio, le antenne ariflettore, di cui si da un cenno in Appendice), oppure utilizzando assieme piu antenne piccole,alimentate in modo coerente, ovvero in modo che le correnti di alimentazione abbiano la stessafrequenza e una precisa relazione di fase tra esse.

In questo corso ci occupiamo solo di questo secondo caso, considerando sia insiemi diantenne connesse a un unico generatore mediante una rete (detta rete di beam–forming, in genereabbreviata con BFN1), sia antenne con generatori singoli (ovviamente sincronizzati tra loro).

Consideremo dapprima il calcolo del campo di un sistema di antenne, per occuparcisuccessivamente del calcolo delle correnti di alimentazione delle varie antenne. Consideriamoallora due antenne (ma il discorso si generalizza in modo ovvio al caso di tre o piu antenne),poste in rA ed rB rispettivamente. Qui e nel seguito considereremo come posizione di unaantenna il punto in cui si trova il suo centro di fase, punto da cui si misura la distanza traantenna e punto campo, ovvero il centro delle sfere equifase del campo lontano.

Le antenne hanno correnti di alimentazione IA e IB e altezze efficaci2 hA(θA, φA) ehB(θB , φB).

P

O

rA

rB

r

P

Oθ

θA

θB

r

Fig. 1: Geometria per il calcolo del campo di due antenne(per semplicita sono state considerate due antenne filiformi coplanari)

Scelto un sistema di riferimento (con il centro O nella zona delle antenne, e spessocoincidente col baricentro dei due centri di fase, o con il centro di fase di una delle due antenne),sia r = (r, θ, φ) la posizione del punto campo P . Il campo complessivo delle due antenne, se r ein campo lontano di ciascuna delle due antenne, vale, grazie alla linearita del problema,

1 Maggiori dettagli sulle BFN si trovano nel prossimo paragrafo.2 Il valore delle due altezze efficaci nel punto campo puo essere diverso sia perche le due antennesono differenti, oppure orientate differentemente, ma anche perche gli angoli, relativi ai sistemidi riferimento solidali con le due antenne possono essere diversi.

18

E(r) = jζIA2λRA

e−jβRA hA(θA, φA) + jζIB2λRB

e−jβRB hB(θB, φB) (50)

essendo RA = |r−rA| e RB = |r−rB|. La (50) puo essere ulteriormente semplificata se r = |r| ein zona di Fraunhofer sel sistema complessivo delle due antenne. Indichiamo con DS il diametrodel sistema di correnti indotte sulle due antenne. Se r > 5DS allora, in modo analogo a (13), sipossono considerare coincidenti tutti i termini geometrici, e in particolare RA = RB = r, anchese solo al denominatore dei campi. Ovviamente, nell’esponenziale, tale apporssimazione non puoessere fatta. Tuttavia possiamo sommare e sottrarre r in ciascun esponenziale e scrivere la (50)come

E(r) = jζ

2λre−jβr

[

IAhA(θ, φ) e−jβ(RA−r) + IB hB(θ, φ) e

−jβ(RB−r)]

(51)

Il termine in parentesi quadre prende il nome di fattore di interferenza, e coinvolge tuttee sole le grandezze che, nelle ipotesi fatte, possono essere diverse tra le due antenne. I terminiRA− r e RB − r vengono detti differenze di cammino, ed esprimono il ritardo di fase dovuto allapropagazione su tratti di lunghezza differente. Il loro valore dipende solo dalle posizioni relativedei vari centri di fase delle singole antenne rispetto al punto O scelto come origine.

Una ulteriore semplificazione puo essere ottenuta se r e in campo lontano del sistema

complessivo delle antenne r >2D2S/λ.

In tal caso, analogamente a (11,12), segue

RA ≃ r − ir · rA RB ≃ r − ir · rB (52)

e il campo diventa

E(r) = jζ

2λre−jβr

[

IAhA(θ, φ) ejβ(ir·rA) + IB hB(θ, φ) e

jβ(ir·rB)]

(53)

Se le due antenne sono connesse da una rete di Beam–forming, allora il rapporto trail termine della (53) in parentesi quadra e la corrente di alimentazione complessiva Iin,S e laaltezza efficace hS del sistema di antenne (considerato come una unica antenna)

hS =1

Iin,S

[

IAhA(θ, φ) e−jβ(−ir·rA) + IB hB(θ, φ) e

−jβ(−ir ·rB)]

(54)

A

O

O’α

r

d

Fig 2: Calcolo della differenzadi cammino

L’utilizzo delle (52) per il calcolo delle differenzedi cammino si presta spesso ad una semplice valutazionegrafica.

Consideriamo riferimento la Fig. 2, in cui e in-dicato il centro di fase di una antenna (posta in A) el’origine O del riferimento. Il punto campo e a grandedistanza, per cui nella scala del disegno le varie con-giungenti risultano parallele. Si ha per la differenza dicammino

RA − r = −ir · rA = d cosα

essendo d = |rA|, e ricordando che il vettore rA puntaverso il punto A. Consideriamo il triangolo rettangoloOAO′. La differenza di cammino d cosα risulta ugualea AO′, ed e positiva, essendo A piu lontano. Segue cioe

19

che le differenze di cammino (se vale la (52) ) possono essere calcolate assumendo le congiungentiparallele. Proiettando l’origine sulle varie congiungenti si ottengono le corrispondenti differenzedi cammino.

7 MUTUA IMPEDENZA

Per calcolare il campo dei sistemi di due (o piu) antenne, e necessario conoscere lacorrente di alimentazione delle antenne stesse. Normalmente l’alimentazione di un sistema diantenne e ottenuto tramite un solo generatore, connesso a un circuito (detto beam–formingnetwork, e normalmente indicato con la sigla BFN) che consente di dividere la potenza tra levarie antenne. Poiche le antenne interagiscono tra loro mediante i campi che queste antenneirradiano, e necessario considerare il sistema di N antenne (e tutto lo spazio) come una rete aN porte, lineare e passiva.

Vg

Z g

A1

I1

A2

I2

A3

I3

AN

IN

. . . .

BFN

Fig. 1: Schema equivalente della alimentazione di un sistema di N antenne A1, A2, . . . , AN .

Lo schema che si utilizza e quello di Fig. 1, in cui il blocco a destra comprende tuttele antenne, e tutto lo spazio in cui queste irradiano. Questo blocco va descritto mediante unadelle matrici di rete, e in particolare si utilizzano le matrici di impedenza Z e di ammettenzaY , in dipendenza dal tipo di antenna utilizzata. Nel caso di antenne filiformi, si preferisce usarela matrice Z, definita da

V = Z · I =⇒

V1 = Z11I1 + Z12I2 + . . .+ Z1NIN

V2 = Z21I1 + Z22I2 + . . .+ Z2NIN

. . .

VN = ZN1I1 + ZN2I2 + . . . + ZNNIN

(55)

La matrice Z e simmetrica (se lo spazio in cui le antenne producono campo e isotropo,o almeno reciproco), e i suoi elementi sono definiti da

Z11 =

[

V1

I1

]

I2=...=IN=0

Z21 =

[

V2

I1

]

I2=...=IN=0

(56)

20

e similiari.

In altri termini Z11 e l’impedenza di ingresso della antenna 1 quando tutte le altreantenne sono a circuito aperto. Invece, Z21 = Z12, detta mutua impedenza tre le antenne 1 e 2,e il rapporto tra la tensione a vuoto misurata ai capi della antenna 2 e prodotta alimentandola sola antenna 1 (con tutte le altre a vuoto), e la corrente di alimentazione della antenna 1. Lamatrice Z tiene quindi contoanche delle eventuali perdite delle antenne del sistema.

Caratteristica delle antenne filiformi, soprattutto di quelle non troppo lunghe, e che lacorrente che si induce quando i morsetti sono aperti e sostanzialmente nulla. Quindi Z11 coincidecon l’impedenza d’ingresso della antenna 1 isolata. E per questo motivo che si preferisce usareZ per le antenne filiformi.

Una volta nota la matrice Z della rete di antenne, e possibile risolvere il circuito di Fig.1. In particolare, se tutte le antenne sono alimentate, l’impedenza che si vede alla porta p-esimavale

ZAp =

Vp

Ip= Zpp +

[

Zp1I1Ip

+ Zp2I2Ip

+ . . .+ ZpNINIp

]

(57)

e1 prende il nome di impedenza attiva. Poiche l’impdedenza attiva dipende dalle correnti, e moltoutile quando le correnti (o, almeno, i rapporti tra esse) sono note. Risulta invece spesso pocoagevole utilizzarle per determinare le correnti.

La conoscenza della impedenza attiva consente di calcolare la potenza che entra nellaantenna. Le impedenze attive sono infatti i carichi delle varie porte della rete di beam–forming.Quindi ’impedenza di ingresso della antenna si ottiene risolvendo il circuito costituito dallaBFN,e da questa e facile calcolare la potenza Pin. Una volta che il circuito e risolto, si puocalcolare l’eventuale potenza dissipata nella BFN, e la potenza dissipata nelle antenne

Pdiss,antenne =1

2

N∑

p=1

Re[

ZD,p

]

|Ip|2

essendo ZD,p la resistenza di dissipazione della antenna p–esima. La potenza irradiata totalesara allora

Pirr,totale = Pin − Pdiss,BFN − Pdiss,antenne

Anche la potenza che entra nelle singole antenne, e quindi quella Pin,totale antenne cheentra nella rete a destra della Fig. 1, possono essere calcolate usando le impedenze attive.Risulta infatti

Pin,p =1

2Re

[

ZAp

]

|Ip|2 =⇒ Pin,totale antenne =1

2

N∑

p=1

Re[

ZAp

]

|Ip|2 (58)

Ovviamente Pin,totale antenne > 0. Invece, e possibile che una o piu delle Pin,p sianonegative. Fisicamente, questo significa che quelle antenne stanno ricevendo potenza dalle altre.In tal caso il flusso di potenza attiva tra la BFN e le antenne e positivo verso queste ultimesolo su alcune connessioni.

1 Ovviamente, nella somma in parentesi quadra di (57), manca il termine p–esimo

21

Caso limite e quello delle antenne parassite, ovvero antenne che non sono collegate allaBFN , ma sono alimentate mediante la mutua impedenza dalle antenne alimentate. Conside-riamo, ad esempio, il caso di due antenne, di cui una alimentata e una parassita (chiusa su diun carico ZQ), come in fig. 2a.

Vg

Z g

A1

I1

A2

I2ZQ

BFNVg

Z g

A1

I1

A2

I2ZQ

BFN

Fig. 2a: Schema equivalente della alimentazione di una antenna parassita (A2).Fig. 2b: Come Fig. 2a, ma con una BFN a 1+2 porte.

In tal caso e evidente che la potenza che si dissipa su ZQ viene del generatore, entranella rete a destra mediante la antenna 1 e viene poi trasmessa alla antenna 2, che la consegnaal carico. Tuttavia la configurazione di Fig. 2a puo essere anche descritta da una rete comequella di Fig. 1. Basta inserire ZQ nella BFN , come in Fig. 2b. In tal caso la potenza attivache entra alla porta 2 e negativa (ovvero, il flusso fisico di potenza va da destra verso sinistra).

8 GUADAGNO ED EFFICIENZA NEI SISTEMI DI ANTENNE

Se le antenne di un sistema di antenne presentano dissipazione, l’efficienza complessivadel sistema dipende non solo da questa dissipazione, ma anche dalla mutua impedenza tra leantenne e dalla rete di alimentazione. In particolare, come vederemo, anche se le singole antennehanno la stessa efficenza, e la rete di alimentazione e priva di perdite, l’efficenza totale puo essereanche molto diversa da quella delle singole antenne.

Consideriamo ad esempio due antenne filiformi uguali, di impedenza di ingresso ZA edefficienza ηA. La resistenza di irradiazione vale quindi

Ri = RAηA

con RA = Re[ZA]. Tra le due antenna esiste una mutua impedenza Zm.Supponiamo di alimentare la prima antenna, e di chiudere la seconda su di una reattanza

jX. Le equazioni della matrice Z, e il vincolo di alimentazione sono

V1 = ZAI1 + ZmI2

V2 = ZmI1 + ZAI2e V2 = −jX I2

Risolvendo si trova

I2 = − Zm

ZA + jXI1

22

La potenza di ingresso si ottiene dalla impedenza attiva dell antenna 1 (in quantol’ingresso della antenna 1 e anche l’ingresso della antenna complessiva):

ZA1 = ZA + Zm

I2I1

= ZA − Z2m

ZA + jXcome

PIN =1

2Re[ZA

1 ] |I1|2 =1

2

RA − Re[Z2m(ZA − jX)]

|ZA + jX|2

|I1|2

Invece la potenza dissipata si ottiene dalla resistenza di dissipazione RD = RA − Ri

(uguale per entrambe le antenne), come

PD =1

2RD |I1|2 +

1

2RD |I2|2 =

1

2RD |I1|2

[

1 +

∣

∣

∣

∣

Zm

ZA + jX

∣

∣

∣

∣

2]

e da questa si ottiene l’efficienza del sistema di antenne

η = 1− PD

PIN= 1− RD

RA

|ZA + jX|2 − |Zm|2

|ZA + jX|2 − Re[Z2m(ZA−jX)]RA

Per Zm = 0 l’ultimo fattore e unitario e si trova η = ηA. Ma se Zm 6= 0 allora l’efficenzaη e diversa da ηA. A titolo di esempio, si riporta in Fig. 1 l’andamento della efficienza per unsistema di due antenne a λ/2 al variare della reattanza di carico della seconda antenna e per varivalori della distanza d tra le antenne. L’efficienza della singola antenna e pari al 96%.

95

96

97

98

99

100

0 20 40 60 80 100 120 140

η

[%]

X [Ω]

Efficienza di un sistema di antenne

d=λ/4d=λ/2d=λ

Fig. 1: Efficienza totale di un sistema di due antenne a λ/2.

9 DIAGRAMMA DI RADIAZIONE E MASSIMI DI IRRADIAZIONE

Il diagramma di radiazione di una antenna F (θ, φ) e stato definito come la distribuzionespaziale normalizzata del guadagno G(θ, φ), o di grandezze ad esso proporzionali, come |h(θ, φ)|2.

23

A partire dal diagramma di radiazione, vengono definite alcune direzioni caratteristichedel campo irradiato da una antenna, e precisamente:

• Massimo di irradiazione: direzione in cui il diagramma di radiazione ha un massimo(rispetto agli angoli;

• Nullo: direzione in cui il diagramma di radiazione e nullo.

Si introduce anche, talvolta, il minimo di irradiazione, come la direzione in cui il dia-gramma di radiazione ha un minimo.

Nel seguito indicheremo spesso una direzione (θ, φ) con Ω, per semplicita di scrittura.Tuttavia, molti esempi saranno di diagrammi funzione solo di θ, e quindi costanti rispetto a φ.In tal caso, la direzione sara considerata solo rispetto a θ (ovvero la direzione di massimo sarain realta un cerchio a θ costante). Vediamo alcuni esempi.

1 Un diagramma F (θ) = sin2 θ ha un massimo in θ =π/2, e nulli in θ = 0, π.

2 Per un diagramma F (θ) = (sin θ+cos θ)2, le direzioni di massimo si ottengono derivandola funzione rispetto a θ, e imponendo che la derivata si annulli. Segue allora

2(sin θ + cos θ)(cos θ − sin θ) = 0

e solo i nulli del secondo termine possono essere massimi. Segue allora come possibilemassimo θ =π/4, in cui la funzione vale 2. Poiche agli estremi, ovvero per θ = 0, π, lafunzione vale 1, θ =π/4 e effettivamente il massimo. Invece θ =3π/4 e un nullo.

3 Un diagramma F (θ) = 2 − cos2 θ ha un massimo in θ =π/2, e minimi in θ = 0, π, chesi ottengono calcolando gli zeri della derivata, ma non ha nulli.

4 Per un diagramma F (θ, φ) = | sin(2θ) cosφ|, i punti estremali sono gli zeri delle derivate,ovvero le soluzioni del sistema

2 cos(2θ) cos φ = 0

− sin(2θ) sinφ = 0

Questi zeri sono gli zeri di cos(2θ) e sinφ, oppure gli zeri di sin(2θ) e cosφ. Quindi sonoθ = ±π/4 e φ = 0, π, oppure θ = 0, π/2, π, e φ = ±π/2. E facile verificare che il primo grupposono massimi di irradiazione1, mentre i valori del secondo gruppo sono nulli. Si noti che, essendoil diagramma 3D, sono nulli anche le curve θ = 0, π/2, π con φ qualunque, e φ = ±π/2 con θqualunque.

Notiamo poi che per un diagramma del tipo F (Ω) = A F (Ω), e possibile determinare imassimi, nulli e minimi di irradiiazione su F (Ω) se

• A e costante con le direzioni Ω = (θ, φ);• A e lentamente variabile con le direzioni Ω = (θ, φ).

Nel secondo caso, ovviamente, le direzioni di massimo e minimo sono solo approssimate,mentre quelle di nullo sono, altrettanto ovviamente, esatte, ma incomplete: infatti sono nullidel diagramma anche gli eventuali zeri della sola A. Caso tipico di A lentamente variabile e ilcaso del campo (54) ma con le altezze efficaci uguali. In tal caso si puo considerare l’altezza

1 Si noti che il diagramma di radiazione e sempre non negativo. Nel nostro caso abbiamo derivatosin(2θ) cosφ senza tener conto del modulo. Questo e possibile se poi si tiene conto che puntiche danno come valore +1 o −1 sono entrambi massimi.

24

efficace lentamente variabile, e calcolare massimi (e eventualmente minimi) sul solo fattore diinterferenza. I nulli saranno invece l’unione dei nulli del fattore di interferenza e di quelli delfattore A.

Passiamo ora a considerare il caso in cui il campo della antenna, e quindi il suo dia-gramma di irradiazione, dipenda da un certo numero di parametri Li. Le definizioni precedentisono ancora valide, ma le varie direzioni dipenderanno dai parametri Li.

Pertanto ha senso porsi il problema della scelta dei parametri in modo che il massimo diirradiazione sia in una certa direzione Ω0. In tal caso, se indichiamo con F (Ω;Li) il diagrammadi radiazione, occorre determinare i punti ΩM (Li), soluzione, per le direzioni di massimo, delproblema

maxΩ

F (Ω;Li)

(analogamente per minimi e nulli) e poi scegliere i parametri Li in modo che ΩM (Li) = Ω0.Consideriamo, come esempio, un fattore di interferenza dato da una somma di esponen-

ziali del tipo:

F (θ;L1) =∣

∣e−jβL1 cos θ + 2jejβL1 cos θ∣

∣

2

di cui si vuole un massimo (o un minimo) in θ0. Poiche abbiamo a che fare con una somma didue numeri complessi a modulo costante, il massimo si ha quando i due addendi hanno la stessafase, e il minimo quando hanno fase che differisce di π. Quindi, per il massimo2 si ha

−βL1 cos θ =π

2+ βL1 cos θ + 2nπ =⇒ βL1 cos θ = −π

4+ nπ

e per il minimo

−βL1 cos θ =π

2+ βL1 cos θ + π + 2nπ =⇒ βL1 cos θ = −π

4− π

2+ nπ

In particolare imponendo θM (L1) = θ0 si ottiene

θM (L1) = ± arccos

[−π4 + nπ

βL1

]

= θ0 =⇒ βL1 =−π

4 + nπ

cos θ0

che e la stessa soluzione che si sarebbe ottenuta imponendo direttamente l’uguaglianza di faseper θ = θ0

Se il fattore di interferenza e la somma di piu di due termini esponenziali del tipoconsiderato sopra, sempre con modulo costante, la condizione di massimo (ma non quella diminimo) e ancora analoga: si ha un massimo quando (e se) tutte le fasi sono uguali, a menodi multipli di 2π. Per vedere questo, rappresentiamo ogni addendo come un vettore nel pianodei numeri complessi. Se per θ = θ0 le fasi sono tutte uguali, i vettori corrispondenti sonoallineati, e quindi il modulo della somma e pari alla somma dei moduli. Per un qualunquecambio dell’angolo, piccolo a piacere, le varie fasi saranno diverse, i vettori non saranno piuallineati e la loro somma sara piu piccola.

2 Coi simboli precedentemente introdotti, θM (L1) sono le direzioni θ defnite dalla equazione chesegue.

25

Conviene a questo punto notare che esiste un altro problema di massimizzazione legatoa questo caso, e precisamente il problema di massimizzare il campo lontano per Ω = Ω0. In talcaso le derivate vanno fatte rispetto a Li. Ovviamente, se il fattore di interferenza e la sommadi due o piu di due termini esponenziali con modulo costante, e il resto del campo e costanterispetto a Li, la condizione sulle fasi consente di trovare anche questo massimo. Se pero modulie fattore comune variano, il massimo del campo non puo essere trovato in questo modo, maoccorre derivare il modulo quadro rispetto a tutti gli Li.

Consideriamo infine la ricerca del massimo (o del minimo) di irradiazione quando ilfattore di interferenza e la somma di due o piu termini esponenziali con moduli variabili, ma incui l’angolo θ e solo negli esponenti.

Se e possibile porre, scegliendo i parametri Li, tutte le fasi uguali per θ = θ0, alloraquesta e la condizione di massimo. Infatti, una volta fissati i parametri Li, i moduli dei terminiesponenziali diventano costanti1, in quanto stiamo calcolando un massimo rispetto a Ω, e quindiil ragionamento precedente puo essere ripetuto in maniera analoga. Ovviamente, se vogliamoun minimo, e i termini sono solo due, bastera imporre che le fasi differiscano di π.

Consideriamo come esempio

F (θ;x) =

∣

∣

∣

∣

1

1 + jx+ eja cos θ

∣

∣

∣

∣

2

=1

1 + x2+ 1 + 2Re

[

e−ja cos θ

1 + jx

]

=1

1 + x2+ 1 +

2

1 + x2[cos(a cos θ)− x sin(a cos θ)]

= 1 +1 + 2 cos(a cos θ)− 2x sin(a cos θ)

1 + x2

Il massimo di irradiazione in θ0 si ha quando la fase del primo termine e pari a quella delsecondo, ovvero se − arctan(x) = a cos θ0. il massimo del campo (campo piu grande possibile,al variare di x) si ottiene invece derivando F (θ;x) rispetto a x, e imponendo la derivata nullain θ0. In tal caso si ha l’equazione

−2 sin(a cos θ0) (1 + x2) = (1 + 2cos(a cos θ0)− 2x sin(a cos θ0) 2x

ovvero

x2 sin(a cos θ0)− x [1 + 2 cos(a cos θ0)]− sin(a cos θ0) = 0

Scelto θ0 =π/3, e a =π/4, il massimo di irradiazione si ha per x = −1. Invece l’equazioneper il massimo del campo diventa

√2

2x2 + [1 +

√2]x−

√2

2= 0

e le soluzioni sono x = −0.27 e x = 3.685, a cui corrispondono valori del campo proporzionalia 3.6 e 0.8 rispettivamente. Quindi il masimo si ha in x = −0.27. Per confronto, il valore delcampo in x = −1, che corrisponde al massimo di irradiazione in θ0, vale solo 2.9.

1 E qui che occorre l’ipotesi che θ sia solo nell’esponente.

26

10 ANTENNE IN RICEZIONE

Prendiamo in considerazione una antenna di morsetti AB , connessa a un carico ZC ,che viene immersa in un campo elettromagnetico pre–esistente (Ei,Hi). Il campo (Ei,Hi) emisurato in assenza della antenna ed e detto campo incidente (o, piu precisamente, campoincidente sulla antenna).

A causa del campo incidente, si indurranno sulla antenna delle correnti, che produrrannoun ulteriore campo (Es,Hs), che viene detto campo diffuso dalla antenna. Il campo totalepresente nella zona della antenna in presenza di quest’ultima sara evidentemente la somma diquesti due campi

Etot = Ei +Es

Htot = Hi +Hs(59)

Il campo totale sara presente anche ai morsetti della antenna, e produrra quindi unacorrente attraverso il carico ZC . Questo carico assorbe pertanto una potenza, che viene prelevata,tramite la antenna, dal campo incidente.

Per caratterizzare l’antenna dal punto di vista del carico, possiamo utilizzare il teoremadi Thevenin ai morsetti AB1 di ingresso della antenna,sostituendo l’antenna col circuito equiv-alente di Thevenin (Fig. 1). L’impedenza ZA e l’impedenza che si vede guardando nei morsettiAB in assenza di campo incidente. Si tratta quindi della impedenza di ingresso dell’antenna (intrasmissione). Invece, la tensione a vuoto V0 dipende dal campo incidente, tramite la correnteda esso indotta sull’antenna. La tensione a vuoto e l’integrale di linea del campo elettrico totaleEtot tra i due morsetti dell’antenna e quindi dipende linearmente da Etot = Ei + Es. D’altraparte anche Es dipende linearmente dal campo incidente Ei. Di conseguenza, la tensione avuoto dipende linearmente da Ei.

V0

+ Z A

Z C

A

B

Fig. 1: Antenna collegata a un carico. La parte di circuito racchiusa nella linea tratteggiatae il circuitoequivalente di Thevenin della antenna (con morsetti A e B) quando riceve.

1 Il morsetto cui e connesso il terminale positivo del generatore equivalente di Thevenin e lostesso da cui entra la corrente se l’antenna e usata in trasmissione.

27

In teoria, il valore di V0 dipenderebbe da tutto il campo incidente. In realta quello cheinteressa e il valore del campo incidente nella zona dell’antenna, ovvero in tutti i punti di unvolume VA che racchiude l’antenna2. Si ha cioe

Ei(r) , ∀r ∈ VA −→ V0 (60)

Questa relazione non e, naturalmente, di facile utilizzo, ma ha una importante con-seguenza:

campi incidenti diversi, che pero coincidono nella zona della antenna VA, pro-ducono la stessa tensione a vuoto

La (60) fornisce invece un metodo molto efficiente di calcolo della tensione a vuoto seil campo incidente Ei e una onda piana, oppure coincide con una onda piana nella zona dellaantenna VA. In questo secondo caso si dice che il campo incidente e localmente piano3. In talcaso, infatti, la conoscenza del campo incidente nel centro di fase rCF della antenna ricevente(o in un qualunque altro punto di VA), e del vettore di propagazione dell’onda piana k consentedi calcolare il campo incidente in tutto VA. La (60) diventa quindi

Ei(rCF ) e k −→ V0 (61)

che richiede la conoscenza di un unico valore del campo incidente (e non di tutta la distribuzionedel campo in VA, richiesta se il campo incidente e generico).

Ovviamente, V0 dipende linearmente dal valore del campo incidente nel centro di fase,che qui e nel seguito indicheremo semplicemene con Ei. Rcordando che la tensione e uno scalare,e si misura in V , menrte il campo e un vettore e si misura in V/m, questa dipendeza lineareconduce a concludere che esiste un vettore hr, dipendente da k tale per cui la (61) diventa

V0 = hr ·Ei (62)

Il vettore hr si misurera in m e viene detto altezza efficace in ricezione della antenna.Ricordiamo esplicitamente che la (62) vale solo se il campo incidente e piano, o almeno

localmente piano, e che la altezza efficace dipende dal vettore di propagazione di questa ondapiana (e, se necessario, indicheremo esplicitamente questa dipendenza).

Supponiamo, come esempio, di avere un campo incidente somma di N onde piane, diampiezza Ep e vettore di propagazione kp, p = 1, N , con i vari kp tutti diversi tra loro. Il campoincidente vale ovviamente Ei =

∑

p Ep, ma non e una onda piana. Pertanto ad esso non si puoapplicare la (62).

Poiche vale comunque la sovrapposizione degli effetti, la tensione a vuoto totale V0 e lasomma delle tensioni a vuoto dovute a ciascuna onda piana singolarmente. Poiche queste ultimesono calcolabili dalla (62), segue

2 La definizione precisa di VA dipende dalla antenna considerata. Per semplicita, useremo unadefinizione qualitativa della zona della antenna, come volume poco piu grande della min-ima sfera che racchiude l’antenna, che e esatta per le antenne filiformi di cui occuperemoprincipalmente.

3 Ovviamente, sulla base della proprieta precedente, questi due casi forniscono la stessa tensionea vuoto.

28

Ei =∑

p

Ep =⇒ V0 =∑

p

hr(kp) ·Ep

dove ovviamente i vari valori della altezza efficace della nostra antenna sono diversi.

11 RECIPROCITA TRASMISSIONE–RICEZIONE

La tensione a vuoto prodotta su di una antenna e dovuta a una distribuzione qualunquedi correnti JT (ad esempio, ma non necessariamente, la corrente indotta su di una antenna chesta trasmettendo) puo essere calcolata in forma generale se il mezzo che contiene l’antenna ela distribuzione di correnti e isotropo o almeno reciproco. L’espressione che si ottiene e piusemplice di quella che si potrebbe derivare dalla (60), benche in generale di uso non immediato.

L

A

B

Fig. 1: Antenna collegata a un carico (box L) tramite una linea di trasmissione.La sezione AB della linea costituisce la porta di ingresso della antenna.

Consideriamo l’antenna connessa a un box L tramite un cavo coassiale (o altra lineadi trasmissione schermata), e prendiamo su questa linea (a congrua distanza sia dalla antenna,sia dal box) la porta di ingresso AB della antenna, come mostrato in Fig. 1. Sulla lineaconsidereremo poi un sistema di riferimento con asse z posto da L verso la antenna. Il box L,inoltre, e chiuso da un conduttore perfetto, salvo dove si connette al cavo coassiale.

L

A

B

S

in

Fig. 2: Superficie S del teorema di reciprocita.in e la normale uscente dal volume V a cui si applica il teorema.

29

Essendo il mezzo reciproco, possiamo applicare il teorema di reciprocita a tutto lospazio, ad esclusione della zona del box, fino alla porta di ingresso. Con riferimento alla Fig.2, applichiamo il teorema al volume V compreso tra la superficie S tratteggiata e la superficieall’infinito. I due campi a cui applichiamo il teorema di reciprocita sono le seguenti.

Campo A Il campo prodotto dalla nostra antenna, alimentata da una corrente (alla porta di in-gresso) pari a IA. La antenna viene quindi usata in trasmissione, e il blocco L e pertantoun generatore.

Campo B Il campo prodotto dalla distribuzione JT , mentre la nostra antenna e a vuoto. In questocaso il blocco L deve presentare al suo ingresso una reattanza che, se trasportata allasezione AA′, divenga un circuito aperto.

Il teorema di reciprocita fornisce

∮

SV

[

EA ×HB −EB ×HA

]

· in dS =

∫

V

[

EB · JA −EA · JB

]

dV (63)

non essendo presenti correnti magnetiche1. Nella (63), SV e la superficie che delimita V , costi-tuita dalla superficie all’infinito e dalla superficie S. Quest’ultima, a sua volta, e l’unione dellasezione trasversa della linea ST e del resto di S, che si appoggia su un conduttore perfetto. Dalteorema di reciprocita sappiamo che l’integrale sulla superficie all’infinito, e quello su S − ST

sono nulli. L’integrale su S si riduce pertanto al solo integrale su ST .

Per quanto riguarda il secondo membro della (63), la corrente JB = JT . Invece lecorrenti JA scorrono sulla antenna, che e di conduttore perfetto. Il campo (totale) EB prodottoda JT e evidentemente ortogonale a tale conduttore, e quindi alle correnti JA. Ne segue che lecorrenti JA non contribuiscono all’integrale di volume. La (63) diventa quindi

∫

ST

[

EA ×HB −EB ×HA

]

· in dS = −∫

V

EA · JT dV (64)

dove l’integrale di volume e esteso solo alla regione in cui JT 6= 0.

L antenna

A

B

in

z

Fig. 3: Sezione ST dell’integrale a primo membro della (64).in e la normale uscente dal volume V a cui si applica il teorema di reciprocita.

1 La (63) e le relazioni successive si generalizzano in modo ovvio se nella situazione B vi fosseroanche correnti magnetiche.

30

Passiamo ora a considerare l’integrale a primo membro dalla (64). Questo integrale diflusso e, come detto, fatto solo su ST , ovvero sulla sezione di ingresso della antenna (sezione AB,vedi Fig. 3) e coinvolge solo le componenti tangenti dei campi, ovvero quelle trasverse rispettoa z (vedi Fig. 3). Dalla teoria delle linee di trasmissione sappiamo che queste ultime sono dateda

E = V e

H = I h

dove e e h sono caratteristiche della linea di trasmissione utilizzata, e quindi non dipendonoda quale situazione (A o B) stiamo considerando. Invece tensioni e correnti vi dipendono.Sostituendo a primo membro di (64) segue

∫

ST

[

EA ×HB −EB ×HA

]

· in dS =

∫

ST

[(

VAe)

×(

IBh)

−(

VBe)

×(

IAh)]

· in dS

=(

VAIB − VBIA

)

∫

ST

e× h · in dS

=(

VAIB − VBIA

)

∫

ST

e× h ·(

− iz)

dS

(65)

in quanto la normale in uscente dal volume V coincide con −iz (vedi Fig. 3).

Poiche nella situazione B la sezione di ingresso della antenna e a vuoto, risulta IB = 0,mentre VB = V0, tensione a vuoto ricevuta dalla antenna e prodotta dalla corrente JT . D’altraparte

∫

ST

e× h · iz dS = 1

e segue, sostituendo nella (65)

∫

ST

[

EA ×HB −EB ×HA

]

· in dS = V0IA

dove, ricordiamo, la IA e la corrente di alimentazione della antenna nella situazione A. La (64)fornisce quindi

V0 =1

IA

[

−∫

V

EA · JT dV

]

= −∫

V

EA

IA· JT dV (66)

La (66) esprime quindi la tensione a vuoto prodotta dalla sorgente JT sulla antennamediante il campo (normalizzato a IA) che la antenna stessa produce nella regione in cui JT 6= 0(si veda il commento dopo la (64)). Si ha quindi una completa corrispondenza2 (reciprocita)tra il comportamento in trasmissione della antenna, rappresentato da EA, e quello in ricezione,rappresentato da V0.

Conseguenza della reciprocita espressa dalla (66) e che

2 Questa corrispondenza, naturalmente, si ha solo se nell’ambiente in cui l’antenna e la sorgenteJT si trovano, vale il teorema di reciprocita.

31

antenne diverse che producono lo stesso campo in una regione VX nello spazioricevono la stessa tensione a vuoto da qualunque sorgente interamente contenutain VX .

Se il campo incidente e prodotto da un dipolo

JD(r) = (ID ∆z) δ(r− rD) iD (67)

posto in un punto qualunque rD e orientato in un modo qualunque, la (66) fornisce come tensionea vuoto

V0 = −∫

V

EA

IA· JD dV = −

∫

V

EA

IA· (ID ∆z) δ(r− rD) iD dV

= −(ID ∆z)EA(rD)

IA· iD

(68)

per le proprieta della delta di Dirac.

12 UGUAGLIANZA DELLE ALTEZZE EFFICACI

La reciprocita espressa dalla (66) ha come conseguenza la uguaglianza (nelle stesseipotesi in cui vale la (66)) della altezza efficace in tresmissione (vedi (18)) e in ricezione, definitada (62), di una stessa antenna. Ovviamente, essendo le altezze efficaci funzione della direzione,l’uguaglianza si ha per ciascuna direzione.

iθ

iD

Fig. 1: Reciprocita tra antenna e dipolo.

Per dimostrarlo applichiamo la (68) a un dipolo posto in campo lontano della nostraantenna, e orientato ortogonalmente alla congiungente antenna–dipolo, come in Fig. 1.

Il campo incidente EiD sulla antenna e evidentemente il campo lontano del dipolo, ed e

quindi una onda piana. E possibile quindi usare la (62) ottenendo, per il primo membro della(68)

V0 = hr ·EiD = hr · j

ζID∆z

2λ |rD| e−jβ|rD| iθ (69)

dove naturalmente hr e calcolato nella direzione del dipolo.

32

Per calcolare il secondo membro della (68), notiamo che rD e in campo lontano dellaantenna, e quindi possiamo esprimere EA(rD) tramite la l’altezza efficace h in trasmissione dellaantenna, usando la (20)

EA(rD) = jζIA

2λ |rD| e−jβ|rD | h (70)

Sostituendo (69,70) in (68) si ottiene

hr · jζID∆z

2λ |rD| e−jβ|rD | iθ = −(ID ∆z)

[

jζ

2λ |rD| e−jβ|rD | h

]

· iD (71)

che vale ∀ rD, purche in campo lontano della antenna (e quindi per ogni direzione), e ∀ iD purcheortogonale alla congiungente (ovvero al vettore rD). Poiche iD e ortogonale alla congiungente,risulta iθ = −iD. Semplificando tutti i fattori comuni della (71) segue allora

hr · iθ = −hr · iD = −h · iD ∀iD (72)

che implica che i componenti di h e di hr ortogonali ala congiungente (ovvero a rD) sono uguali.Per dimostrare l’uguaglianza dei due vettori, uccorre allora esaminare solo la compo-

nente lungo ir in direzione della congiungente. Poiche il campo lontano di una antenna e sempretrasverso, segue h · ir = 0. D’altra parte, la (62) richiede un campo incidente costiuito da unaonda piana, quindi ortogonale a ir. Pertanto il componente radiale di hr, ovvero (hr · ir) irpuo essere definito in modo arbitraro, in quanto non interviene sulla tensione a vuoto. Se lodefiniamo pari a zero, segue allora

h = hr (73)

per tutte le direzioni.

13 POTENZA RICEVUTA

Se una antenna che sta ricevendo viene connessa a un carico, fornira potenza a questocarico. La potenza disponibile dalla antenna, ovvero la potenza che la antenna (di impedenzadi ingresso ZA) fornisce a un carico adattato Z∗

A e pari a

Pdisp =1

8RA|V0|2 (74)

essendo RA = Re[ZA] e V0 la tensione a vuoto sulla antenna.Se il campo incidente e una onda piana (o localmete piana) allora vale la (62), e la (74)

diventa1

Pdisp =1

8RA|h ·Ei|2 (75)

1 Da ora in poi supporremo sempre il mezzo reciproco, e quindi hr = h.

33

La potenza disponibile dipende dal modulo quadro di h e di Ei, ma anche dalla relazioneche c’e tra le polarizzazioni di questi vettori.

Infatti la (62) puo essere espressa come prodotto scalare generalizzato (si confrontil’appendice sulla disuguaglianza di Schwartz)

V0 = (h∗,Ei)

per cui, utilizzando la disuguaglianza di Schwartz

|V0|2 = |(h∗,Ei)|2 ≤ |h|2 |Ei|2 (76)

e di conseguenza

Pdisp ≤ 1

8RA|h|2 |Ei|2 (77)

che fornisce un limite superiore a Pdisp, dipendente solo dal modulo di campo incidente e altezzaefficace.

La disuguaglianza di Schwartz fornisce anche una ulteriore informazione sulla potenzadisponibile. Inaftti, se

Ei = α h∗ (78)

con α scalare (complesso), allora la Pdisp coincide col suo estremo superiore, che diventa pertantoun massimo. Si ha cioe che il massimo di Pdisp, per |h| e |Ei| costanti, si ha se vale la (78). Ilmassimo e dato dal secondo membro di (77). Si noti che questa massimizzazione e fatta rispettoalle polarizzazioni della antenna (ovvero di h) e del campo incidente. La condizione di massimo(78) prende infatti il nome di condizione di adattamento in polarizzazione.

Naturalmente, se non e possibile ottenere la (78), il massimo della Pdisp sara piu basso.Ad esempio, per una antenna filiforme (e quindi in polarizzazione lineare) e un campo incidente inpolarizzazione lineare, la condizione (78) si otterra semplicemente ruotando l’antenna (attornoalla direzione da cui proviene il campo). Ma se il campo fosse polarizzato circolarmente, lacondizione di adattamento in polarizzazione non sarebbe mai ottenibile.

Se vale la condizione di adattamento in polarizzazione, e possibile legare la potenzadisponibile (che ora e la massima potenza disponibile per quel dato campo) direttamente alvettore di Poynting

Si =1

2ζ|Ei|2

dell’onda incidente. Infatti, se vale la (78), risulta

Pdisp =1

8RA|h|2 |Ei|2 =

1

8RA|h|2 2ζ Si =

[

ζ |h|24RA

]

Si (79)

La quantita in parentesi quadra nella (79) prende il nome di area efficace della antenna.Se indichiamo con

Ae =ζ |h|24RA

(80)

l’area efficace, allora

34

max[Pdisp] = Ae Si (81)

L’area efficace dipende naturalmente (come |h|) dalla direzione di arrivo della ondapiana incidente. L’andamento e lo stesso del guadagno G, a cui l’area efficace e proporzionale.

Ricordando infatti la (38), che riscriviamo

G =π ζ |h|2λ2 RA

(38)

e confrontandola con la (80), segue

Ae

G=

ζ |h|24RA

λ2 RA

π ζ |h|2 =λ2

4π(82)

14 COLLEGAMENTI TRA ANTENNE

Finora abbiamo considerato il comportamento in ricezione di una antenna, a partiredal campo incidente, e quindi senza alcun riferimento alla sorgente di questo campo incidente.Passiamo ora a considerare il collegamento tra una antenna (Tx, di diametro DT ) che funzionain trasmissione e una seconda antenna (Rx, di diametro DR) che invece funziona in ricezione.Indichiamo con R la distanza tra le due antenne, come in Fig. 1.

R

Fig. 1: Collegamento tra due antenne

35

La potenza disponibile dalla ricevente si ottiene dalla (74) a partire dalla tensione avuoto, che va calcolata a partire dal campo incidente, ovvero dal campo della antenna Txcalcolato nella zona della antenna Rx, ma in assenza di quest’ultima.

Questa analisi e particolarmente semplice se il campo incidente e, in tutta la zona dellaricevente, una onda piana (o, almeno, localmente piana). Si dimostra che questo e vero se lecondizioni (26) del paragrafo 2 sono soddisfatte, cosa che assumiamo nel resto del paragrafo.

In tal caso la tensione a vuoto su Rx e data da

V0 = hR · Ei

dobe hR e al altezza efficace della Rx nella direzione della Tx, e Ei e il campo della Tx nelcentro di fase della Rx (in assenza di quest’ultima). Se la Tx ha altezza efficace (nella direzionedella Rx) pari ad hT , ed e alimentata da una corrente ITA, allora

V0 = hR ·[

jζITA

2λRe−jβR hT

]

(83)

Assumiamo anche adattamento in polarizzazione. Allora la potenza disponibile inricezione vale

Pdisp = AR Si

essendo AR l’area efficace di Rx, e Si il vettore di Poynting del campo prodotto da Tx.Quest’ultimo puo essere calcolato dalla (35) ottenendo

Pdisp = ARGTPin,T

4π R2(84)

con Pin,T e GT rispettivamente potenza di ingresso e guadagno di Tx. La (84) prende il nomedi formula di Friis (o del collegamento).

Usando la (82), la formula di Friis assume le forme seguenti, che sono normalmente piuusate

Pdisp =λ2

4πGR

GTPin,T

4π R2= GTGR

(

λ

4π R

)2

Pin,T

Pdisp = AR4π

λ2AT

Pin,T

4π R2=

AT AR

λ2 R2Pin,T

(85)

Poiche il guadagno di una antenna e normalmente il dato piu disponibile, la prima formae in genere quella utilizzata. Per antenne grandi, per le quali l’area efficace e prossima (ma piupiccola dell’area fisica), anche la seconda forma viene usata.

Si noti anche che la dipendenza della Pdisp dalla frequenza non e esplicita nella formula diFriis (e infatti le due (85), che sono ovviamente equivalenti, dipendono da λ in maniera opposta).Per ottenerla bisogna considerare il tipo di antenna. Ad esempio, per antenne filiformi, in cui ilguadagno non dipende da ω, la prima delle (85) mostra che la Pdisp si riduce al crescere dellafrequenza. Invece, per antenne grandi in cui l’area efficace (essendo in genere strettamente legataall’area fisica) e sostanzialmente costante con ω, la potenza disponibile dal collegamento crescecon la frequenza.

Si noti anche che la formula di Friis vale nel vuoto. Nella realta, un collegamento tradue antenne e influenzato dagli agenti atmosferici (in particolare dalla pioggia e, a frequenze piu

36

elevate, dall’assorbimento dell’aria e della ionosfera), che riducono, anche fortemente, la potenzaricevuta.

Una caratteristica importante della formula di Friis (vedi (84)) e che la potenza trasmes-sa non entra direttamente, ma sempre in prodotto col guadagno. In altri termini, la causa delcollegamento e il prodotto GTPT che viene detto ERP. Poiche il valore dell’ERP e la causadei collegamenti, anche di quelli non voluti, le normative sulla protezione delle interferenzeelettromagnetiche fanno normalmente riferimento ai valori di ERP, e non di potenza trasmessa.

37

15 SENSORI DI CAMPO

Abbiamo visto che la tensione a vuoto indotta su di una antenna ha una espressionesemplice solo se il campo incidente e una onda piana, o almeno e localmente piano. Altrimentiva usata la (66) e occorre conoscere il campo vicino della antenna ricevente. Se pero l’antennae piccola, la tensione a vuoto indotta su di essa puo essere calcolata agevolmente anche senzaassumere alcuna proprieta particolare per il campo che produce tale tensione.

Infatti la piccolezza delle dimensioni rende valide, nella zona occupata dalla antenna, leequazioni della statica, e in particolare i principi di Kirchhoff. Ne segue che su una tale antennacollegata a vuoto, anche se immersa in un campo elettromagnetico, non si inducono correnti.Di conseguenza il campo totale, in presenza della antenna, coincide con quello in assenza dellaantenna, ovvero col campo incidente 1.

Nel seguito considereremo la tensione a vuoto indotta su di un dipolo elementare, e quellasu di una spira piana elementare, ovvero una spira di forma regolare e con un raggio piccolorispetto alla lunghezza d’onda. Le tensioni a vuoto indotte su tali antenne verranno calcolate apartire direttamente dalle equazioni di Maxwell. Per ovviare alle difficolta realizzative dei dipolielementari, vedremo poi che anche la tensione a vuoto su di un dipolo corto puo essere calcolataaltrettanto agevolmente.

Tutti questi oggetti possono poi essere utilizzati anche come sensori di campo, ovvero permisurare il campo (o, piu precisamente, una componente del campo) presente in un dato punto(prima dell’introduzione del sensore). In particolare i dipoli sono sensori di campo elettrico,mentre la spira e un sensore di campo magnetico.

Relativamente al loro uso, va considerato che, mentre per una onda piana, usare unsensore di E o di H e equivalente, per misurare completamente campi vicini occorre usare duesensori, uno per E e uno per H. In alternativa, se la misura serve a valutare il superamentoo meno dei limiti di esposizione, allora si puo usare solo il sensore del campo che si consideracritico ai fini del rispetto delle normative.

Dipolo elementare

Ricordiamo che un dipolo elementare e una antenna filiforme, di lunghezza ∆z ≪ λ, suicui scorre una corrente costante con z.

Questo puo essere ottenuto aggiungendo al filo verticale due dischi orizzontali (vedi Fig.1, in cui il dipolo e riportato in sezione) di raggio grande rispetto a ∆z, ma sempre piccoli rispettoa λ, costituenti un condensatore con una capacita sufficientemente grande da accumulare caricasufficiente ad evitare che la corrente debba annullarsi all’estremita del filo (come avviene in unaqualunque antenna filiforme).

Per il dipolo di Fig. 1, i morsetti di ingresso (e quindi di uscita) sono i terminali A e B.La tensione a vuoto e quindi, per definizione

V0 = −∫ A

B

E · iD dℓ = VA − VB (86)

1 Piu precisamente, le correnti indotte sono molto piccole, e quindi il campo prodotto da esse, chesi somma al campo incidente per produrre il campo totale, risulta molto piu piccolo di quelloincidente, e soprattutto localizzato solo nelle immediate vicinanze del conduttore costituentel’antenna

38

essendo E il campo totale presente nella zona del gap della antenna. Data la piccolezza deldipolo, comunque, il campo totale puo essere considerato irrotazionale, e quindi e possibilespostare il cammino di integrazione lungo il C.E.P. (senza farne variare il valore, in quanto lad.d.p tra due punti dello stesso C.E.P. e nulla) ottenendo

V0 = VA − VB = VA′ − VB′ = −∫ A′

B′

E · it dℓ (87)

A

B

A’

B’

itiD

Fig 1: Dipolo elementare

Nella zona della integrazione della eq.(87) il campo prodotto dalla antenna e trascu-rabile2, e quindi si puo assumere E ≃ Ei, es-sendo Ei il campo incidente, ovvero il campoin assenza del dipolo elementare. Tale campopuo essere considerato costante in tutta la zonadel dipolo elementare (che, ricordiamo, e pic-cola rispetto alla lunghezza d’onda), e quindiportato fuori dall’integrale;

V0 ≃ −∫ A′

B′

Ei · it dℓ ≃ −Ei ·∫ A′

B′

it dℓ

Ovviamente anche it e costante (e pari a iD) sul cammino di integrazione e si ottiene,in definitiva

V0 ≃ −Ei ·∫ A′

B′

it dℓ = −Ei · iD∫ A′

B′

dℓ = −Ei · iD ∆z (88)

in quanto l’integrale vale la lunghezza del cammino di integrazione. La (88) ci dice che un dipoloelementare puo essere usato come sensore di campo, ovvero come dispositivo atto a misurare ilcampo elettromagnetico in un punto dello spazio. Piu precisamente, un dipolo elementare misurauna componente del campo. Una misura completa richiede quindi tre dipoli indipendenti, oppureun dipolo che venga fatto ruotare nello spazio.

Spira elementare

it inB

A

A

B

it

Fig 2: Spira elementare piana

Consideriamo una spira costituita daun filo di C.E.P., di forma regolare e di areaS ≪ λ2. Una tale spira e detta elementare.Nel seguito supporremo per semplicita che siaanche piana, e, inizialmente, che sia costituitada un solo anello.

Un esempio di tale spira e riportatain Fig. 2. La spira di questa figura e circo-lare, ma sono possibili ovviamente anche altreforme (es., quadrata, rettangolare, ellittica),

2 Invece tra A e B il campo diffuso ha una ampiezza significativa, in quanto ai due capi delgap della antenna, che ha una ampiezza molto piu picola di ∆z, si trovano cariche uguali edopposte.

39

senza che questo alteri il calcolo della tensione a vuoto. E solo richiesto che la forma sia rego-lare.

Indichiamo ancora con A e B i morsetti di ingresso (e quindi di uscita) della spira. Inmaniera del tutto analoga a (29) possiamo scrivere

V0 = VA − VB = −∫ A

B

E · it dℓ

dove l’integrale e fatto sulla curva tratteggiata nella parte destra di Fig. 2. Poiche l’integrale dilinea di E lungo il C.E.P. della spira e nullo, possiamo estendere l’integrale a tutto il contorno(circolare, nel caso di Fig. 2) della spira, ottenendo

V0 = −∫ A

B

E · it dℓ = −∮

E · it dℓ (89)

L’ultimo integrale di (89) puo essere calcolato ricorrendo alla Legge di Faraday e si haquindi

V0 = jω

∫

S

B · in dS (90)

dove l’integrale e esteso alla superficie della spira. Su tale superfie si puo ancora approssimareil campo totale con quello incidente, B ≃ Bi = µHi. Poiche anche Hi puo essere consideratocostante sulla spira (e in e costante essendo la spira piana) segue infine

V0 ≃ jωµ

∫

S

Hi · in dS ≃ jωµHi ·∫

S

indS = jωµHi · in∫

S

dS = jωµHi · in S (91)

La relazione (91) ci dice che una spira elementare piana3 e un sensore di campo ma-gnetico, ovvero e in grado di misurare il campo magnetico (o meglio, una componente del campomagnetico) presente in un punto.

Tuttavia una spira con un unico anello non e un sensore particolarmente efficiente. Pervederlo, possiamo confrontare la risposta, ad una fissata onda piana, di una spira di raggio Rcon quella di un dipolo elementare lungo 2R 4 (ortogonale alla spira) soggetto alla stessa ondapiana. Sia H0 la ampiezza del campo magnetico dell’onda piana; di conseguenza quella delcampo eletrico vale ζH0.

Risulta, da (91) e (88)

|V0S | = ωµ0 πR2 |H0| |V0D | = 2R |ζH0|

per cui

|V0S ||V0D | =

ωµ0 πR2 |H0|

2R |ζH0|=

ωµ0

ζ

πD

4= β

πR

2=

π

2βR ≪ 1

essendo, per l’ipotesi di dipolo e spira elementare, R molto piu piccolo di λ.

3 Se la spira non e piana, si puo ancora portare Hi fuori dall’integrale, ma non piu la normale,che va invece integrata. Ne risulta che una tale spira misura ancora una componente del campomagnetico incidente, ma questa non sara piu una componente cartesiana.

4 Il confronto deve essere eseguito non solo a parita di causa, ovvero di campo incidente, ma anchea parita di dimensioni, in quanto l’ingombro e uno dei parametri importanti di un sensore

40

Questa notevole differenza (a parita di campo da misurare) rende le misure di campomagnetico molto meno precise5.

Per aumentare, a parita di campo, la tensione a vuoto e quindi migliorare la misura, lespire elementari vengono normalmente realizzate con un avvolgimento di N anelli, in modo peroche lo spessore complessivo sia trascurabile rispetto al raggio. In tal caso la tensione a vuotodiventa 6

V0 = jωµHi · in NS (92)

ed e N volte quella di una singola spira, in modo da compensare la piccolezza della tensione avuoto di quest’ultima.

Dipolo corto

La tensione a vuoto ricevuta da un dipolo corto puo essere ottenuta a partire da quelladi un dipolo elementare.

iD

A

B

Fig 3: Dipolo corto

Infatti abbiamo visto che il campo prodottoda un dipolo elementare o quello di un dipolo corto(con lo stesso momento di dipolo) sono uguali (almenoal di fuori della zona delle sorgenti, che nel nostro casoe molto piccola). Pertanto queste due antenne (comevisto nel paragrafo 11) riceveranno la stessa tensionea vuoto (a parita di Ei), purche la sorgente del campoincidente sia al di fuori della zona delle sorgenti.

Per un dipolo elementare di lunghezza L e undipolo corto di lunghezza 2L, la zona delle sorgenti termina a 10L, ovvero comprende sostanzial-mente solo una sfera di raggio paragonabile a λ 7.

Pertanto anche un dipolo corto di lunghezza 2ℓ puo essere usato come sensore di campoelettrico con

V0 = −Ei · iD ℓ (93)

5 La tensione a vuoto che verra poi misurata e affetta da rumore, che e indipendente dal valoredella tensione. Pertanto l’effetto del rumore aumenta al ridursi della tensione da misurare.

6 Per dimostrare questa relazione occorre considerare che l’ultimo integrale della (89) va oraesteso a tutto il filo che costituisce il sensore, e quindi sugli N anelli. Possiamo scrivere questointegrale come somma di integrali, ciascuno su di un anello, e per ognuno di questi applicarela legge di Faraday come in (90)

V0 = −∮

filo

E · it dℓ = −∑

n

∮

Sn

E · it dℓ = jωN

∫

S

B · in dS

in quanto, essendo lo spessore del sensore trascurabile, tutti gli integrali di flusso sono uguali.7 Ricordiamo che deve risultare L ≪ λ; nella pratica un dipolo e considerabile corto se 2L <λ/8e quindi il raggio della zona delle sorgenti e

5(2L) <5

8λ

.

41

essendo iD il versore parallelo ed equiverso col dipolo.

16 RISPOSTA AD UNA ONDA PIANA

Se il campo incidente e una onda piana, o almeno localmente piana (ovvero con tutte lecaratteristiche di una onda piana nella zona della antenna ricevente1) l’espressione della tensionea vuoto ricevuta assume una espressione particolarmente semplice.

θ

iD

Ei

k

θiD

iθik

Fig. 1: Dipolo elementare in ricezione. Fig. 2: Versori per il caso di Fig. 1.

Cominciamo a considerare un dipolo elementare, su cui incide una onda piana (vedi Fig.1) da un angolo θ. Indichiamo con ik il versore del vettore di propagazione k. Risulta (vedi Fig.2)

iD = −ik cos θ − iθ sin θ

Dalla (88) segue

V0 = −Ei · iD ∆z = −Ei · (−ik cos θ − iθ sin θ) ∆z (94)

ed essendo Ei · ik = 0 per le proprieta delle onde piane, segue, riordinando i termini,

V0 = (∆z sin θ iθ) · Ei (95)

La grandezza fra parentesi nella (95) e la altezza efficace in trasmissione del dipoloelementare h. Si ha quindi, per onda piana incidente

1 Per una antenna molto piccola rispetto alla lunghezza d’onda, l’unica caratteristica da verificaree che E e H siano ortogonali, e con ampiezze nel rapporto ζ. In tal caso la direzione di arrivodell’onda (ovvero la sua direzione di propagazione) e quella del vettore di Poynting. Infatti,essendo la zona della antenna piccola rispetto a λ, i campi di una onda piana sono costanticome tutti gli altri, e non e quindi possibile controllarne la variazione spaziale per determinarese il campo e localmente piano, o la sua direzione di arrivo.

42

V0 = h ·Ei (96)

coerentemente con (73).

θ

in

Hi

Ei

k

Fig 3: Spira in ricezione

La relazione (96) puo essere usata anche indirezione opposta, ovvero per determinare le proprietadi irradiazione di una antenna a partire da quelle inricezione.

Se consideriamo una spira elementare, piana,la tensione a vuoto, per un qualunque campo inci-dente, e data dalla (91) che qui riportiamo

V0 = jωµHi · in NS

essendo N ≥ 1 il numero di avvolgimenti della spira.

Se il campo incidente e una onda piana (vediFig. 3), allora

Hi =1

ζik ×Ei

e sostituendo nella espressione della tensione a vuoto V0 segue

V0 = jωµ

ζik ×Ei · in NS = j

ωµ

ζNS in × ik · Ei (97)

avendo permutato circolarmente i tre termini del prodotto misto.

θin

iθik

iφ

Fig 4: Versori coinvolti

Dal confronto con la (96) segue allora, per unaspira elementare

h = jωµ

ζNS in × ik = jNβS in × ik

e ricordando (vedi Fig. 4) che

in = −ik cos θ − iθ sin θ

segue

in × ik = (−ik cos θ − iθ sin θ)× ik = − sin θ iθ × ik

= − sin θ iφ

e in definitiva

h = −jNβS sin θ iφ (98)

Riguardo ai segni, va ricordato che la corrente deve entrare nella spira dal terminalepositivo della tensione a vuoto. In altri termini, la (98) vale se la corrente IA gira nello stessoverso di iφ.

43

17 DIPOLO MAGNETICO E SPIRA

Dalla fisica generale e noto che una spira percorsa da corrente continua e equivalentea un dipolo magnetico (equivalenza di Ampere).

In realta questa equivalenza vale anche per correnti sinusoidali, purche le dimensionidella spira siano piccole rispetto a λ. In particolare una spira elementare piana di area S, con Navvolgimenti, percorsa da una corrente IA equivale a un dipolo magnetico di momento Q pari a

Q = NS IA in (99)

essendo in la normale alla spira (vedi Fig. 5 del paragrafo precedente).Per determinare il campo di un tale dipolo magnetico, cominciamo col notare che, uti-

lizzando come sorgente solo un dipolo elettrico di momento P, le equazioni di Maxwell diventano

∇×E = −jωB = −jωµH

∇×H = jωD = jωε0E+ jωP

Queste equazioni presentano una elevatissima simmetria tra le grandezze elettriche equelle magnetiche, che e ulteriormente incrementata se includiamo nelle equazioni anche il dipolomagnetico:

∇×E = −jωµH− jωµQ

∇×H = jωε0E+ jωP

Ne segue che, a parte un eventuale segno, scambiare in una affermazione i terminielettrico e magnetico conduce in genere ad una affermazione anch’essa vera. Proprieta di questotipo sono dette proprieta di dualita.

Consideriamo allora il campo Ee, He prodotto da un dipolo elettrico di momento P edato dalle (46). Per dualita, si dimostra che il campo di un dipolo magnetico Q, parallelo ad P,vale:

E = ζ[

He]

P = −µQ

ζ

H = − 1

ζ

[

Ee]

P = −µQ

ζ

(100)

La presenza dei fattori ζ occorre solo per motivi dimensionali, e il segno meno in unadelle due equazioni e legato alla differenza di segno tra le due equazioni di Maxwell.

Sostituendo le (46) nelle (100) e sviluppando si ottiene il campo 2 di Q, espresso in unsistema sferico con l’asse z allineato con Q:

Eφ =ωµ0Q

2λr

[

1 +1

jβr

]

e−jβr sin θ

Hr = −1

ζ

ωµ0Q

2λr

[

1

jβr+

1

(jβr)2

]

e−jβr 2 cos θ

Hθ = −1

ζ

ωµ0Q

2λr

[

1 +1

jβr+

1

(jβr)2

]

e−jβr sin θ

(101)

2 Le espressioni ottenute valgono pero solo se la distanza r tra il centro della spira e il puntocampo e molto piu grande del raggio della spira stessa. Non e invece richiesto che r sia granderispetto a λ.

44

In zona di Fraunhofer il campo del dipolo magnetico vale

E =ωµ0Q

2λre−jβr sin θ iφ

H =1

ζir ×E

(102)

e sostituendo la (99) si ottiene il campo lontano di una spira

E∞ =ωµ0NS IA

2λre−jβr sin θ iφ

e, usando la definizione (20), la sua altezza efficace

h =E∞

jζIA2λr

e−jβr

=

ωµ0 NS IA2λr

e−jβr sin θ iφ

jζIA2λr

e−jβr

= −jωµ0

ζNS sin θ iφ

identica, ovviamente, alla (98) se si ricorda che ωµ0/ζ= β.La potenza irradiata da un dipolo magnetico, o da una spira, puo essere calcolata

analogamente a quella di un dipolo elettrico.Si trova, per un dipolo magnetico

Pirr =1

2

1

6πc2ζω4 µ2

0|Q|2 (103)

e per una spira

Pirr =1

2

2πζ

3|IA|2

(

NβS

λ

)2

=1

2

2πζ

3|IA|2 4π2 N2 S2

λ4(104)

Dalla (34) possiamo ricavare la resistenza di irradiazione di una spira

Rirr =2πζ

34π2 N2 S2

λ4=

2πζ

3

(

NβS

λ

)2

(105)

in cui il primo fattore vale 800Ω.Per quanto riguarda la reattanza di ingresso di una spira elementare, questa puo essere

calcolata dalla sua induttanza statica L come

XIN = ωL (106)

dove L puo, per una spira circolare di raggio RS e diametro del filo pari a 2R, essere calcolatada

L = µ0 RS

[

log

(

8RS

R

)

− 7

4

]

N2 (107)

Per spire di altra forma, la (107) puo ancora essere usata assumendo che spire di ugualesuperficie abbiano uguale indittanza. In particolare, per una spira quadrata (o rettangolare conrapporto d’aspetto piccolo) e area SQ la (107) richiede

45

RS =

√

SQ

π

Notiamo infine che, anche in trasmissione, occorre usare spire con piu avvolgimenti(nonostante la relativa induttanza sia N volte piu grande), in quanto altrimenti la resistenza diingresso risulta troppo piccola (rispetto a quella di un dipolo corto di pari ingombro).

18 ANTENNE IN TRASMISSIONE SU PIANO DI MASSA

Per una serie di applicazioni legate allo studio delle antenne interessa valutare come simodifica il comportamento di una antenna in presenza del suolo.

Per frequenze non troppo alte, il suolo puo essere considerato con ottima approssi-mazione un piano di massa e cioe un conduttore elettrico perfetto. Questo consente sia dicalcolare, utilizzando il teorema delle immagini, il campo prodotto dalla antenna in questanuova situazione, sia di determinare se, e come, si modifica la distribuzione di corrente sulla an-tenna. Limitandoci ancora alle antenne filiformi, si puo dimostrare che, per antenne non troppolunghe (ma anche per antenne lontane dal suolo, indipendentemente dalla loro lunghezza), ladistribuzione di corrente non varia rispetto al caso della stessa antenna in spazio libero1.

IA

2L

IA

2L

d

C.E.P.

Fig. 1a Fig. 1bAntenna filiforme in assenza del suolo. Antenna filiforme in presenza del suolo.

Per calcolare il campo di una antenna lunga 2ℓ, posta a distanza d da un piano perfet-tamente conduttore, come in Fig. 1b, occorre quindi determinare la distribuzione di correntedella antenna in spazio libero, sostituire alla antenna la distribuzione di corrente indotta (Fig.2 a sinista) e poi applicare, alle correnti, il teorema delle immagini (Fig. 2 a destra).

1 La corrente su di una antenna potrebbe variare a causa della interazione della antenna col pianoconduttore, che modifica il campo diffuso dalla antenna, ovvero il campo prodotto dalla correnteindotta sulla antenna, in conseguenza del teorema delle immagini. L’eventuale variazione dellacorrente e quindi un effetto della interazione della antenna col suolo. Per antenne non troppolunghe, abbiamo visto che la distribuzione di corrente e indipendente dalla presenza di altreantenne vicine. Ne segue che, analogamente, la distribuzione di corrente sara indipendentedalla presenza del suolo.

46

Jind

2L

d

C.E.P.

Jind

Jimm

2L

2L

d

d

Fig. 2a: Distribuzione di corrente indotta sulla antenna in presenza del suolo (sinistra).Fig. 2b: Correnti ottenute dal teorema delle immagini (destra).

La distribuzione di corrente immagine e posta in posizione speculare rispetto al C.E.P.e poiche si tratta di una corrente elettrica verticale avra la stessa ampiezza e la stessa fase dellacorrente indotta sulla antenna reale.

Consideriamo ora un sistema di due antenne allineate, lunghe entrambe 2ℓ, e poste adistanza 2d, come in Fig. 3. Alimentiamo le due antenne con la stessa corrente (in modulo efase) IA usata per l’antenna di Fig. 1.

Se la lunghezza di ciascuna antenna e tale da garantire distribuzione di corrente in-dipendente dalla presenza dell’altra antenna, allora la distribuzione di corrente indotta comples-sivamente sulle due antenne e identica a quella di Fig. 2b (salvo che ora entrambe le correntisono correnti indotte reali).

Ne segue che il campo delle correnti di Fig. 2b e lo stesso di quello prodotto dalle dueantenne di Fig. 3.

Passiamo ora al calcolo del campo lontano della situazione di Fig. 3 (campo che coincidecon quello di Fig. 2b e quindi, per il teorema delle immagini, con quello di Fig. 1, almeno al disopra del C.E.P.).

La prima cosa da notare e che ora il diametro della antenna non e piu pari a 2ℓ, comeper l’antenna di Fig. 1 in spazio libero, ma diventa ℓ+2d+ ℓ = 2(d+ ℓ), e pertanto la distanzaa cui inizia il campo lontano e maggiore (eventualmente molto maggiore) di quella a cui iniziail campo lontano per la antenna di Fig. 1a.

Per calcolare il campo, ovvero il fattore di interferenza, per il sistema di Fig. 3, inziamoa calcolare le differenze di cammino. Dalla Fig. 4, in cui sono rappresentati solo i centri di fasedelle antenne, a scegliendo il centro della antenna completa nel punto medio, ovvero sul pianodi massa esattamente sotto le antenne, si trova

47

IA

IA

2L

2L

2d

θ

r1

r2

r

2d

d cos θ

d cos θ

Fig. 3 Fig. 4Due antenne in spazio libero. Differenze di cammino per il sistema

di Fig. 3 (e di Fig. 2b).

r1 = r − d cos θ

r2 = r + d cos θ(108)

Il campo vale allora (vedi (53))

E(r) = jζ

2λre−jβr

[

IAh0(θ) ejβd cos θ + IA h0(θ) e

−jβd cos θ]

= jζ

2λre−jβr IA

[

h0(θ) 2 cos(

βd cos θ)

]

(109)

essendo h0(θ) la altezza efficace della antenna singola2 (quella di Fig. 1a).

Nel caso di Fig. 1b, IA e la corrente di alimentazione della antenna ”dipolo piu pianodi massa”, e quindi il termine in parentesi quadra al secondo rigo della (109) e (per θ ≤π/2) laaltezza efficace hS(θ) della antenna in presenza del piano di massa (ovvero della antenna di Fig.1b). Si ha cioe

hS(θ) =

2h0(θ) cos(

βd cos θ)

0 ≤ θ ≤ π2

0 π2 ≤ θ ≤ π

(110)

2 A rigori, la antenna ”immagine” (piu precisamente la distribuizione di corrente immagine) eribaltata rispetto al piano di massa, e non semplicemente traslata. Quindi il secondo terminedella (109) dovrebbe contenere h0(π−θ). Poiche pero la distribuzione di corrente della antennadi Fig. 1a e simmetrica rispetto alla mezzeria, anche la altezza efficace e simmetrica, ovveroh0(π − θ) = h0(θ).

48

Consideriamo come esempio il caso di una antenna a λ/2, la cui altezza efficace h0(θ)e data dalla (46). Se d =λ/2, allora il diametro della antenna diventa pari a D = 1.5λ, e lacondizione di campo lontano risulta verificata se vale la seconda delle (24), ovvero per r > 3λ.Il fattore della (110) dovuto alla interazione col suolo, ovvero

2 cos(

βd cos θ)

= 2cos(

π cos θ)

ha nulli quando l’argomento del coseno vale π/2+nπ, ovvero per θ = 60o, e massimi quandol’argomento vale 0 oppure π, che corrispondono a θ = 90o e θ = 0 rispettivamente. In Fig. 5sono riportati gli andamenti (normalizzati al massimo) di h0 e del fattore precedente. In Fig. 6e invece riportato il modulo della altezza efficace complessiva (110).

0 0.5 1 0 0.5 1

Fig. 5: Andamenti (normalizzati al massimo) di h0 e di 2 cos(π cos θ).(E rappresentato, ovviamente, solo il semispazio per z ≥ 0, e in particolare

il campo in tutto un piano verticale).

0 0.5 1

Fig. 6: Andamento (normalizzati al massimo) di hS(θ) per d =λ/2.

Se d aumenta, il fattore cos(βd cos θ) varia piu rapidamente. Se consideriamo, comeesempio, la stessa antenna a λ/2, ma posta a d = 5λ, allora la altezza afficace complessiva (110)varia molto piu rapidamente, come si vede dalla Fig. 7. Ovviamente, usare l’altezza efficace perottenere il campo e corretto solo in campo lontano, che ora inizia a r = 220λ.

L’aggiunta di un piano di massa ad una antenna verticale non modifica la simmetria, emquesto rende la trattazione precedente abbastanza semplice. La simmetria si perde nel caso diantenne filiformi orizzontali (o, addirittura, oblique), e quindi verranno solo considerati alcunicasi particolari.

Cominciamo a considerare una antenna filiforme parallela al piano di massa (Fig. 8a).

49

0 0.5 1

Fig. 7: Andamento (normalizzati al massimo) di hS(θ) per d = 5λ.

IA

2L

d

C.E.P.

IA

-IA

2L

2d

Fig. 8a: Antenna orizzontale in presenza del suolo (sinistra).Fig. 8b: Coppia di antenne che forniscono lo stesso campo della Fig. 8a (destra).

Assumendo che la distribuzione di corrente sulla antenna non varia per la presenzadel piano di massa, possiamo (analogamente a quanto fatto per antenne verticali) sostituire allaantenna la distribuzione di corrente indotta, che irradia in presenza del piano di massa. Il campoche questa produce si ottiene dal teorema delle immagini, sostituendo il piano conduttore conuna distribuzione di correnti immagini. Possiamo poi notare che la distribuzione di correnti,indotta piu immagine, e la stessa che si ottiene considerando due antenne uguali in spazio libero(come in Fig. 8b). Va pero notato che, essendo la antenna reale posta orizzontalmente, allorala corrente sulla ”antenna immagine” deve essere opposta.

Le differenze di cammino sono ancora date dalle (108), e tenendo conto delle corentiopposte, si trova, come campo

50

E(r) = jζ

2λre−jβr

[

IAh0 ejβd cos θ − IA h0 e

−jβd cos θ]

= jζ

2λre−jβr IA

[

h0 2j sin(

βd cos θ)

]

(111)

dove θ e quello di Fig. 4 e h0 e la altezza efficace della antenna orizzontale isolata. Questaaltezza efficace e funzione dell’angolo tra la antenna e la direzione del punto campo, angoloche ora non coincide con θ. Pertanto, non e possibile ricavare una espressione semplice dellaaltezza efficace hS = [h0 2j sin(βd cos θ)] della antenna in presenza del suolo che sia anche validaovunque (come invece e la (110)). Considereremo allora solo due casi particolari. Nel piano dellaFig. 8, e per φ = 0 (ovvero nella sola parte destra della figura), l’angolo da cui dipende h0 risultail complementare di θ. Pertanto, per una antenna a λ/2, l’uso della (46) fornisce

hS(θ, φ = 0) = 2j

[

λ

π

cos(

π2 sin θ

)

cos θ

]

sin(

βd cos θ)

e la direzione e nel piano della figura. Se invece consideriamo un piano ortogonale alla antenna(e quindi ortogonale al precedente) la altezza efficace h0 vale sempre λ/π, e quindi

hS

(

θ, φ = ±π

2

)

= 2jλ

πsin

(

βd cos θ)

In Fig. 9 sono riportati i campi nel piano che contiene l’antenna, e nel piano ortogonale(ovvero gli andamenti delle due espressioni precedenti) per d = 0.75λ.

0 0.5 1 0 0.5 1

Fig. 9: Andamenti (normalizzati) del campo di una antenna orizzontale su piano di massa.A sinistra il campo nel piano delle antenne e a destra quello nel piano ortogonale.

Resta da calcolare l’impedenza di ingresso, e da questa gli altri parametri della antennain presenza del piano di massa. Se possiamo ancora assumere che il piano di massa non modificala distribuzione di corrente, allora l’impedenza di ingresso della antenna di Fig. 1b (rispettiva-mente 8a), e l’impedenza attiva della antenna superiore nella Fig. 3 (rispettivamente 8b). Inaltri termini, per una antenna in presenza del piano di massa, l’impedenza di ingresso si ottienesempre usando l’impedenza mutua tra la antenna e una ”antenna immagine”.

Ad esempio, per una antenna a λ/2 orizzontale, assumendo di poter calcolare la mutuaimpedenza Zm in campo lontano, e ricordando che le correnti sono opposte, si ha

Zin,S = Z0 − Zm = Z0 − jζ

4λde−j2βd

(

λ

π

)2

(112)

51

che e una buona approssimazione per d >λ/4 (ed e facilmente generalizzabile a lunghezze diverse,modificando l’ultimo fattore). Z0 e l’impedenza della antenna isolata (e dipende eventualmenteanch’essa dalla lunghezza).

Il discorso e piu complesso per una antenna verticale, in quanto calcolare la mutuaimpedenza in campo lontano conduce a Zm = 0, che e accettabile solo le la antenna reale e la”antenna immagine” sono effettivamente in campo lontano. Il che richede (si vedano i paragrafi2 e 14) che d > 1.25λ per una antenna a λ/23 Ne segue che, per distanze tra antenna e suolouguali o superiori a 1.25λ, l’impedenza di ingresso della antenna in presenza del suolo risultauguale a quella in assenza del suolo. Per distanze inferiori, esiste una mutua impedenza dovutaalla componente ir del campo prodotto, che modifica significativamente l’impedenza di ingresso.

19 MONOPOLO IN TRASMISSIONE SU PIANO DI MASSA

Consideriamo una antenna filiforme di lunghezza 2ℓ, alimentata al centro (Fig. 1). Seprendiamo un sistema di riferimento con asse z lungo l’antenna e origine al centro, la densita dicorrente indotta e simmetrica rispetto a z

J(z) = J(−z)

e questo produce un campo anch’esso simmetrico. In particolare il campo prodotto ha, perz = 0, la sola componente verticale. Pertanto. se inseriamo in z = 0 un piano di conduttoreelettrico perfetto (linea tratteggiata in Fig. 1), le condizioni la contorno non cambiano, e inparticolare i campi e le correnti restano identici.

IA

2L

IA

L

C.E.P.

Fig. 1: Antenna filiforme completa Fig. 2: Monopolo equivalente su C.E.P.

3 Questo valore limite aumenta o diminuisce linearmente con la lunghezza della antenna, anchese deve sempre essere superiore a (5/2π)λ per essere in campo lontano.

52

In questo modo si ottiene un nuovo tipo di antenna, ovvero un monopolo, lungo ℓ, postosu di un C.E.P., ed alimentato rispetto al conduttore (Fig. 2).

La corrente che si induce su tale monopolo e esattamente la stessa che si induce sullaparte superiore di un dipolo lungo 2ℓ, a parita di corrente di alimentazione IA. Il campocorrispondente coincide, nel semispazio z > 0, con quello del dipolo lungo 2ℓ, ed e ovviamentenullo per z < 0, come si si ottiene anche dal teorema delle immagini.

Per valutare i parametri di un monopolo lungo ℓ, conviene prendere come riferimentoun dipolo lungo 2ℓ, e collegare i parametri del monopolo, che indicheremo col pedice M , a quellidel dipolo, che indicheremo col pedice D. Si ha, per l’altezza efficace (che non dipende da ϕ)

hM (ϑ) =

hD(ϑ) per ϑ ≤ π

2

0 per ϑ >π

2

(113)

A partire dalla altezza efficace si possono calcolare gli altri parametri. La potenzairradiata, con una corrente di alimentazione IA, vale (vedi (26))

Pirr,M =1

2|IA|2

ζ

(2λ)22π

∫ π/2

0

|hM (ϑ)|2 sinϑ dϑ =1

2|IA|2

ζ

(2λ)22π

∫ π/2

0

|hD(ϑ)|2 sinϑ dϑ

mentre quella irradiata dal dipolo corrispondente vale

Pirr,D =1

2|IA|2

ζ

(2λ)22π

∫ π

0

|hD(ϑ)|2 sinϑ dϑ

Ma |hD(ϑ)| e simmetrica attorno a π/2 (vedi(42)) e quindi la espressione precedentediventa

Pirr,D =1

2|IA|2

ζ

(2λ)22π

[

2

∫ π/2

0

|hD(ϑ)|2 sinϑ dϑ

]

= 2 Pirr,M (114)

Dalla (33) segue allora

DM (ϑ,ϕ) =

2DD(ϑ,ϕ) per ϑ ≤ π

2

0 per ϑ >π

2

(115)

e in prima approssimazione le efficienze sono uguali1, per cui la relazione precedente vale anchetra i guadagni.

La relazione (114) tra le potenze irradiate (a parita di corrente di alimentazione) conducea relazioni identiche tra le resistenze di ingresso e di irradiazione

Rirr,M =1

2Rirr,D Rin,M =

1

2Rin,D (116)

1 Se assumiamo il piano conduttore effettivamente di conduttore perfetto, le efficienze sono eatta-mente uguali, visto che su mezzo dipolo, e quindi sul monopolo, si dissipa esattamente la metadella potenza che si dissipa su tutto il dipolo. Se invece ci sono perdite sul piano ocnduttore,ovvero la sua conducibilita non e infinita, allora ηM < ηD.

53

Per quanto rigurada la reattanza di ingresso, va ricordato che questa reattanza servea compensare la differenza tra le energie elettriche e magnetiche attorno all’antenna (poichesubito oltre la zona delle sorgenti il vettore di Poynting diventa reale). Nel caso del monopolo,le energie immagazinate sono separatamente la meta di quelle immagazinate attorno al dipolocorrispondente, e quindi dimezza anche la reattanza di ingresso. Si ha quindi

Zin,M =1

2Zin,D (117)

20 ANTENNE IN RICEZIONE SU PIANO DI MASSA

Esaminiamo il problema di una antenna in ricezione in presenza di un C.E.P. piano.Supponiamo di avere un’antenna filiforme verticale investita da un campo elettromagnetico cheincide sul C.E.P. (e sull’antenna) tramite un’onda piana con un angolo θ rispetto alla verticale.Consideriamo un’incidenza TM, come in Fig. 1, con campo incidente sul piano di C.E.P. pariad Ed.

Fig. 1: Antenna in ricezione su C.E.P. e campo incidente.

54

Il comportamento della antenna e ancora quello descritto nel caso generale. Sulla an-tenna filiforme (ma, ovviamente, anche sul piano conduttore) si inducono delle correnti, sorgentidel campo diffuso dalla antenna. Il campo totale, somma del campo incidente e di quello diffuso,produrra, nel circuito collegato alla antenna, una corrente e quindi trasferira a questo circuitouna potenza. L’effetto sul carico puo quindi essere calcolato se si conosce il circuito equivalentedi Thevenin ai morsetti della antenna.

Occorre quindi determinare i parametri del circuito equivalente dellantenna in ricezione.Per quanto riguarda la impedenza del circuito equivalente di Thevenin, questa impe-

denza e (analogamente al caso di antenna ricevente in spazio libero) quella di ingresso, ovveroquella calcolata in trasmissione. Naturalmente, questa impedenza va calcolata (o misurata) intrasmissione in presenza del piano conduttore.

Il discorso della tensione a vuoto e invece differente, e piu complesso. Se lantenna fosseun dipolo elementare (o una spira elementare), il problema sarebbe facilmente risolvibile cal-colando il campo elettrico (o magnetico) in corrispondenza del sensore e in assenza dello stesso,ma ovviamente in presenza del C.E.P.. Questo campo sara l campo incidente sul sensore, e sipossono utilizzare le relazioni del par. 15 per calcolare la tensione a vuoto. Il tutto indipen-dentemente dalla presenza di particolari proprieta del campo incidente (come quella di essereun’onda piana o almeno localmente piana).

Il discorso diventa completamente diverso nel caso di una antenna generica. Ricapito-liamo quello che e possibile fare (si veda il par. 10). Per calcolare la tensione a vuoto su diuna antenna, occorre partire dal campo incidente, ovvero il capo in assenza della antenna. Sequesto campo incidente Ei e un’onda piana o almeno localmente piana, allora possiamo calcolarela altezza efficace h della antenna, nella direzione da cui proviene l’onda incidente, e si ottienela tensione a vuoto dalla (62), che qui riportiamo:

V0 = h ·Ei (62)

Se poi il campo incidente e la somma di piu onde piane1, si puo applicare la sovrappo-sizione degli effetti, come alla fine del par. 10.

Nel riepilogo precedente abbiamo evidenziato il termine “antenna”, in quanto e il puntochiave del calcolo della tensione a vuoto. Nei problemi in spazio libero visti finora, la scelta dellaantenna ricevente e del tutto ovvia. Invece ora la scelta puo essere fatta in modi alternativi.Per semplicita facciamo riferimento al caso di Fig. 1, ma il discorso non e limitato a riceventicostituite da aste metalliche verticali, ma vale qualunque sia la struttura ricevente.

Per il solo calcolo della tensione a vuoto, l’antenna ricevente puo essere costituita da:

A) le sole aste metalliche verticali;B) le aste metalliche verticalie il piano di massa.

In altri termini, nel caso B), ai fini del calcolo di V0, la antenna ricevente include ilpiano di masa.

Una volta calcolata la tensione a vuoto, procedendo coerentemente con la scelta fatta,quasta tensione a vuoto e la tensione equivalente di Thevenin ai morsetti di uscita della ricevente,e quindi diventa possibile risolvere il circuito a valle. Naturalmente, le alternative A) e B)forniranno esattamente la stessa tensione a vuoto. Altrettanto naturalmente, la complessita dicalcolo potrebbe essere anche molto diversa in un caso rispetto all’altro.

1 In questo corso considereremo, per antenne generiche, solo questi due casi, in quanto, in tuttigli altri casi, il problema del calcolo della V0 non e risolvibile in modo semplice.

55

Vediamo allora in dettaglio come si procede nei due casi A) e B).

Antenna ricevente costituita dalle sole aste metalliche verticali

In questo caso l’altezza efficace da considerare nella (63) e quella delle aste metallicheisolate (ovvero in spazio libero). Pertanto, nel caso di Fig. 1, sara data dalla espressione (44),per tutte le direzioni di arrivo dell’onda piana. Indichiamo questa altezza efficace con hFS(k),mettendo in evidenza il vettore della onda piana per cui andra moltiplicata.

Invece il campo incidente si ottiene togliendo l’antenna il che, in questo caso, significatogliere le sole aste vericali. Il campo incidente sulla antenna risulta pertanto la somma delcampo incidente sul piano conduttore Ed e di quello riflesso dal piano conduttore medesimo, Er

in Fig. 1.

Poiche la somma Ed(r) +Er(r) non e una onda piana, occorrera utilizzare la sovrappo-sizione degli effetti, e si ha

V0 = hFS(kd) ·Ed + hFS(k

r) · Er (118)

essendo kd il vettore di propagazione del campo incidente sul piano conduttore e kr quello delcampo riflesso dal piano conduttore medesimo

Antenna ricevente costituita dalle aste metalliche verticali e dal piano conduttore

In questo caso la altezza efficace da considerare nella (63) e quella delle aste metallichein presenza del piano conduttore, in quanto l’antenna di cui occorre l’altezza efficace comprendesia le aste metalliche, sia il piano conduttore. Tenendo conto di quanto detto a proposito deleantenne in trasmissione in presenza del piano condutttore, nel caso di Fig. 1 questa altezzaefficace, che indicheremo con hS(k), vale

hS(k) = 2hFS(k) cos (β0H cos θ) (119)

Il campo incidente si ottiene togliendo l’antenna. In questo cso questo significa rimuo-vere sia le aste metalliche, sia il piano conduttore. Pertanto il campo incidente, se si fa la sceltaB), risulta essere il solo campo incidente sul piano conduttore Ed. La tensione a vuoto e quindidata da

V0 = hS(kd) ·Ed (120)

In appendice si dimostra che le due espressioni di V0, ovvero la (118) e la (120), sonoidentiche.

L’alternativa B) (ma non la A)) richiede qualche accorgimento quando il campo (inassenza delle aste verticali) e una onda piana che viaggia parallelamente al suolo (Fig. 2).

56

Figura 2

0E

H

... PEC

Fig. 2: Caso dell’onda piana che viaggia parallelamente al suolo.

In questo caso, infatti, e nota l’ampiezza del campo totale E0 che viaggia parallelamenteal suolo. Per scegliere l’alternativa B)2, dunque, occorre separare, in E0, il contributo dovutoal suolo da quello che ci sarebbe in assenza del suolo, e considerare solo quest’ultimo.

A questo scopo possiamo ricordare che campi uguali nella zona della ricevente, anchese diversi in altre parti dello spazio, producono esattamente la stessa tensione a vuoto. Uncampo uguale a E0 in tutta la zona della ricevente puo essere generato da un dipolo elementare(o corto) verticale, posto vicino al piano di massa ma molto lontano in direzione −∞, e diampiezza opportuna (Fig. 3). Il campo di questo dipolo puo ovviamente essere calcolato colteorema delle immagini, e quindi considerando il campo somma dei campi di due dipoli, comein Fig. 4. Il teorema delle immagini ci garantisce infatti che, nella zona della ricevente, il campodella Fig. 4 e identico a quello della Fig. 3 e quindi, per costruzione, ad E0.

0E

H

... PEC

0E

H

Fig. 3 Fig. 4Dipolo trasmittente. Uso del teorema delle immagini.

Analizzando il caso di Fig. 4, si vede facilmente che ciascuno dei due dipoli (che,ricordiamo, sono posti molto vicino al piano di massa) produce un campo pari alla meta di E0.Poiche togliere il piano di massa in Fig. 3 equivale a togliere il dipolo immagine, ne segue che ilsolo dipolo, senza piano di massa, produce E0/2.

Di conseguenza, nella situazione di Fig. 2, il campo EFS che ci sarebbe in assenza dipiano di massa risulta pari a

2 E evidente che per il caso di Fig. 2, l’alternativa A) risulta largamente preferibile, nonrichiedendo la ripartizione di E0. Tuttavia, vedremo nel prossimo paragrafo che nel casodi un monopolo ricevente e necessario usare l’alternativa B). Conviene quindi discuterla neldettaglio.

57

EFS =1

2E0 (121)

(che ovviamente va moltiplicata per la (119)).

21 MONOPOLI IN RICEZIONE SU PIANO DI MASSA

Consideriamo ora un monopolo ricevente di lunghezza ℓ, come in Fig. 1. Analogamenteal caso della Fig. 1 del paragrafo precedente, assumiamo una onda piana di ampiezza Ed cheviaggia verso il piano conduttore1 con un angolo θ rispetto alla verticale. Anche in questo caso,il comportamento del monopolo ricevente puo essere ottenuto utilizzando un circuito equivalentedi Thevenin.

V0

θ

C.E.P.

Fig. 1: Monopolo in ricezione (i campi sono quelli della Fig. 1 del paragrafo precedente).

L’impedenza equivalente di Thevenin e quella di ingresso del monopolo in trasmissione,e quindi si puo calcolare facilmente.

Per uanto riguarda il calcolo della tensione a vuoto (e quindi del generatore equivalentedi Thevenin), va scelta una delle alternative A) e B), che naturalmente conducono allo stessorisultato. Tuttavia, poiche il monopolo e alimentato rispetto al piano di massa, l’unica alterna-tiva praticabile e la B). Non e infatti affatto facile determinare il comportamento del monopoloin assenza del piano di massa, anche perche la stessa distribuzione di corrente sarebbe diversa.

Pertanto la tensione a vuoto la calcoleremo sempre dalla dalla (120), che qui riportiamo

V0 = hS(kd) ·Ed (120)

Tenendo poi conto della (6) del paragrafo sul monopolo, si ha

V0 = hD(kd) ·Ed (122)

dove hD e l’altezza efficace di un dipolo verticale lungo 2ℓ.

1 Quindi Ed e il campo presente nella Fig. 1 se il monopolo viene tolto.

58

0E

0V

... PEC

Fig. 2: Monopolo in ricezione con onda incidente lungo il piano di massa.

La (122) va usata anche se il campo incidente e una onda piana che viaggia lungo il pianoC.E.P., come in Fig. 5. Naturalmente, in questo caso (si veda anche il paragrafo precedente)quello che e nota e la ampiezza totale del campo elettrico in assenza del monopolo, E0, e quindiper applicare la (122), va prima calcolato il campo Ed in assenza del piano di massa. Procedendoanalogamente a quanto fatto nel paragrafo precedente, si ottiene, per il caso di Fig. 2, Ed =E0/2e quindi

V0 = hD(k0) ·[

1

2E0

]

(123)

essendo k0 il vettore di propagazione (orizzontale) dell’onda incidente, indicato in rosso nellaFig. 2.

22 COLLEGAMENTI SU PIANO DI MASSA

Per valutare un collegamento su piano di massa, il punto critico e il calcolo della tensionea vuoto. Se si vuole usare l’altezza efficace, occorre preliminarmente, (e solo per calcolare V0),definire l’antenna ricevente. Le due possibili scelte sono

a) antenna Rx originaria;b) antenna Rx originaria e piano conduttore.

Nel primo caso il campo incidente e da calcolarsi in presenza del piano conduttore, nelsecondo caso va calcolato in assenza del suolo.

Inoltre va verificata la condizione

r > 2(DT +DR)

2

λ(124)

in cui i due diametri DT e DR vanno calcolati opportunamente. Nel caso a) DT e il diametrodella distribuzione di corrente totale, originaria e immagine, mentre DR e quello della antennaoriginaria. Nel caso b), per reciprocita, DT e il diametro della antenna originaria, mentre DR

e il diametro della distribuzione di corrente totale, originaria e immagine. Infatti, ora occorrela altezza efficace della ricevente, che si calcola come campo lontano della della distribuzione dicorrente totale, originaria e immagine, della ricevente stessa usata in trasmissione.

Poiche le antenne complete (ma non i monopoli) possono essere lontane o vicine al pianoconduttore, la (124) puo essere verificata o meno a seconda dei casi. La tabella che segue fornisce

59

un riepilogo della strategia normalmente piu efficiente nei vari casi che si possono presentare. Perognuno di questi e riportato se conviene considerare la ricevente costituita da antenna originariae piano conduttore (Rx), o solo dalla antenna originaria (Tx). In questo secondo caso sara ilcampo della trasmittente ad essere calcolato tenendo conto del piano conduttore.

antenna Rx completa lontana completa vicina monopolo

Antenna Tx

completa lontana Tx Rx Rx

completa vicina Tx Tx o Rx Rx

monopolo Tx Tx ?

La presenza di un punto interrogativo nel caso di collegamento tra monopoli indica chein questo caso entrambe le antenne andrebbero considerate insieme al piano conduttore. Nonessendo possibile, il piano conduttore va incluso nella ricevente (quindi la casella potrebbe ancheessere un ”Rx, ma...”). Dopodiche, la tensione a vuoto vale

V0 = (hRS) ·Ei =1

2(hRS) · (2Ei)

essendo hRS la altezza efficace del monopolo Rx (ovvero del dipolo corrispondente in spaziolibero). Il campo 2Ei e esattamente il campo che e prodotto dal monopolo Tx in presenza delpiano conduttore (ovvero e il campo del dipolo corrispondente in spazio libero).

60

23 CALCOLO DELLA MUTUA IMPEDENZA

Dalla definizione (56) di impedenza mutua, appare chiaro che questo concetto e sostan-zialmente equivalente a quello di collegamento tra due antenne. Se consideriamo un collegamentocome un sistema dinamico, in cui la corrente di alimentazione di una antenna e l’ingresso, ela tensione a vuoto sull’altra l’uscita, allora Zm e la funzione di trasferimento (nel dominiotrasformato) di questo sistema.

Quindi, da una parte e possibile scegliere se descrivere l’interazione tra due antenne intermini di collegamento, o di mutua impedenza. Dall’altra, e possibile usare concetti (e risultati)di un approccio per ottenere grandezze dell’altro. Vediamo allora quando possiamo calcolarel’accoppiamento tra due antenne note.

Il primo caso e quando le due antenne sono in campo lontano l’una dell’altra (ovverovalgono le (24)), e inoltre la loro distanza soddisfa a

r > 2(D1 +D2)

2

λ(124)

essendo D1 e D2 i diametri delle due antenne ed r la loro distanza. In tal caso il collegamento sipuo calcolare in campo lontano. Se h1 e h2 sono le altezze efficaci di ciascuna delle due antennenella direzione dell’altra, allora

V02 = h2 ·Ei1 con Ei

1 = jζI12λr

e−jβr h1

Ne segue

Z12 =V02

I1= j

ζ

2λre−jβr h1 · h2 (125)

Dalla (125) segue che, all’aumentare della distanza r tra le antenne, il valore della mutuaimpedenza Z12 decresce rispetto allimpedenza di ingresso delle due antenne. Per antenne lontanepossiamo pertanto trascurare il valore di Z12 purche entrambe le antenne siano alimentate concorrenti di ampiezze paragonabile. Ovviamente se una delle due correnti fosse nulla o moltopiu piccola dell’altra, non e piu possibile trascurare il valore di Z12. Quest’ultimo caso e quellotipico di un collegamento, in cui r e grande ma la antenna ricevente non e alimentata.

Un’altro caso in cui Z12 e facilmente calcolabile e quando una delle due antenne e undipolo elementare, oppure corto. Ricordiamo infatti che la tensione ricevuta dall’altra antenna(nel seguito, antenna 2) e data dalla (5) della sezione IVb

V02 = −(I1 ∆z1)E2(rD)

I2· iD

essendo E2 il campo della antenna 2, alimentata con una corrente I2, e (I1 ∆z1), e iD, ampiezzae direzione del dipolo1, posto in rD rispetto alla antenna 2. Dalla relazione precedente segueimmediatamente

1 Se il dipolo e corto, la sua ampiezza sara evidentemente (I1 ℓ1), essendo 2 ℓ1 la lunghezza totaledel dipolo corto.

61

Z12 = −(∆z1)E2(rD)

I2· iD (126)

che si puo ottenere anche ricordando la (88) relativa alla tensione a vuoto su di un dipoloelementare.

Se anche l’antenna 2 e un dipolo elementare (o corto), allora

Z12 = −(∆z1∆z2) jζ

2λ rDe−jβrD

sin θ iθ · iD +

[

1

jβrD+

1

(jβrD)2

]

(sin θ iθ + 2cos θ ir) · iD

(127)

dove ir, iθ e θ sono tutti relativi alla antenna 2.

Ovviamente, una equazione analoga alla (126) vale anche se una delle due antenneaccoppiate e una spira elementare. In tal caso, dalla (91) relativa alla tensione a vuoto su diuna spira elementare con N1 avvolgimenti, di area S1 e normale in (considerata come antenna1) segue

Z12 = jωµN1S1H2(rS)

I2· in (128)

essendo rS la posizione della spira nel riferimento centrato sulla antenna 1.

In tutti gli altri casi la mutua impedenza e calcolabile solo tramite un integrale doppio.Puo essere allora utile valutare quando e possibile estrapolare una delle espressioni precedenti acasi in cui le ipotesi di partenza non sono valide. In particolare considereremo l’estrapolazionedella (125) quando le ipotesi su cui e basata (collegamento in campo lontano tra le due antennedi cui si vuole l’accoppiamento) non sono valide. E valuteremo il risultato nel solo caso didue antenne a λ/2 parallele (assumendo precisioni simili anche per antenne filiformi disposte inmaniere diversa nello spazio).

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 0.5 1 1.5 2

Impe

denz

a [Ω

]

d/λ

Confronto mutua impedenza in campo lontano

Vera - ReF.F. - ReVera - ImF.F. - Im

Fig. 1: Confronto tra la mutua impedenza verae quella calcolata in approssimazione di campo lontano.

62

L’utilizzo dalla (125) e equivalente a calcolare la mutua impedenza come se le antennefossero in campo lontano, indipendentemente dal valore della loro distanza. Questa approssi-mazione e molto semplice, ma non e particolarmente precisa, se la distanza non e abbastanzagrande. In Fig. 1 e riportato il valore della mutua impedenza vera e di quella calcolata inapprossimazione di campo lontano, per due antenne a λ/2 parallele, a distanza d.

Si vede dalla Fig. 1 che la (125) e una buona approssimazione della vera mutua impe-denza solo per distanze paragonabili (o superiori) a 2λ, benche possa essere usata per distanzesuperiori a λ con un errore che e essenzialmente un errore di fase (le due curve sembrano, inquesto intervallo, traslate orizzontalmente una rispetto all’altra).

Invece,per valori molto piccoli di d il suo uso e problematico, in quanto si dimostra che|Z12| deve essere inferiore alla impedenza della antenna isolata (nel caso della Fig. 1, inferiore a75Ω), cosa che non avviane per la mutua impedenza calcolata in campo lontano.

24 CAMPO DIFFUSO DA UNA ANTENNA

Come abbiamo visto, su di una antenna in ricezione si inducono delle correnti, dipendentilinearmente dal campo incidente, che sono la causa della potenza (e del segnale) fornito dallaantenna all’utilizzatore. Tuttavia tali correnti indotte sulla antenna sono anche la sorgenti delcampo diffuso dalla antenna, che puo essere a sua volta ricevuto da un’altra antenna, come adesempio la stessa che ha prodotto il campo incidente. Questo campo diffuso dipende ovviamentedalle caratteristiche della antenna, ma anche dal carico connesso alla antenna.

V =0 h E i.

+ Z A

Z L

I S

Fig. 1: Circuito equivalente di una antenna in ricezione.

Consideriamo infatti il circuito equivalente di una antenna che riceve una onda pianaincidente dalla direzione1 Ωi, connessa ad un carico ZL qualunque, riportato in Fig. 1. ZA el’impedenza di ingresso della antenna, vista dai suoi morsetti, ed

IS = − V0

ZA + ZL= − h ·Ei

ZA + ZL(129)

in cui Ei e il campo incidente e h e la altezza efficace della antenna, nella direzione Ωi

La corrente −IS e la corrente che l’antenna fornisce al carico. Ma, come si vede dallafigura, IS e anche la corrente che entra nella antenna. Poiche esiste una continuita tra la

1 In questo paragrafo indicheremo, per semplicita, con Ωi una direzione dello spazio, che possiamopensare individuata dagli angoli (θi, φi).

63

distribuzione di corrente sulla antenna e la corrente ai morsetti2, questa IS produce un campodiffuso dalla antenna esattamente uguale a quello che sarebbe prodotto se la antenna fossealimentata da un generatore di corrente pari a IS . Il campo lontano reirradiato dalla antennain direzione Ωs e dovuto a IS e quindi dato da

jζ IS2λ r

e−jβr h(Ωs) (130)

Il campo diffuso dato dalla (130) si annulla se l’antenna e a vuoto. Tuttavia e facileconvincersi che per molte antenne il campo diffuso esiste anche se l’antenna e a vuoto. Perun riflettore, ad esempio, il campo diffuso e presente anche se i morsetti di ingresso, che sononell’illuminatore, sono aperti (e persino se l’illuminatore viene completamente rimosso). Per-tanto il campo diffuso in direzione Ωs da una antenna vale, in generale

ES(ZL) = ES0(Ωs) + jζ IS(ZL)

2λ re−jβr h(Ωs) (131)

in cui e stata esplicitata la dipendenza dalla impedenza di carico ZL. Il primo termine della(131) e il campo diffuso quando l’antenna e a circuito aperto.

La presenza di questo termine complica abbastanza l’analisi del campo diffuso dallaantenna. Per tale motivo le antenna vengono divise in due insiemi, quello per cui ES0 = 0,dette antenne a minima diffusione, e tutte le altre. In particolare, come detto quando abbiamoconsiderato l’accoppiamento tra le antenne, le antenne filiformi non troppo lunghe sono antennemonomodali, ovvero la distribuzione di corrente (andamento della corrente normalizzato al suomassimo) e fissa, indipendentemente dalle condizioni di carico e dalla presenza di altre correnti(o antenne) nelle vicinanze. Per tale motivo, la corrente indotta su di una tale antenna filiformea vuoto, in ricezione, puo essere considerata nulla, e quindi queste sono antenne a minimadiffusione, in cui il campo diffuso e dato dalla (130).

Per giustificare questa ultima affermazione, e valutare fino a che lunghezza una antennafiliforme e considerabile monomodale, in Fig. 2 e riportato il valore massimo della correnteindotta su di una antenna filiforme a vuoto, per lunghezze totali fino a 2λ, a parita di campoincidente. L’asse verticale e in dB (con un riferimento arbitrario). Si vede che per lunghezzeprossime a λ l’antenna e risonante, con un nullo al centro, e la corrente risulta molto grande. Maper tutte le lunghezze superiori a 0.6–0.7λ la corrente e comunque sensibile, mentre al di sotto siriduce molto rapidamente. Pertanto, possiamo considerare una antenna filiforme monomodalefino a lunghezze di poco superiori a λ/2.

Inserendo la (129), il campo diffuso da una antenna a minima diffusione diventa

ES(ZL) = −jζ

2λ re−jβr h(Ωi) · Ei

ZA + ZLh(Ωs) (132)

a cui corrisponde un vettore di Poynting diffuso pari a

SS =1

2ζ|ES|2 =

ζ

8λ2r2|h(Ωs)|2

|h(Ωi) ·Ei|2|ZA + ZL|2

(133)

Noi siamo interessati alle applicazioni di questi concetti ai sistemi RFId (vedi paragrafosuccessivo), nei quali il campo diffuso e richiesto in genere nella stessa direzione da cui arriva

2 Si veda ad esempio la (43), in cui IA e sia la corrente di alimentazione, sia la corrente sullaantenna per z = 0.

64

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

corr

ente

mas

sim

a [

dB]

lunghezza della antenna (norm. a λ)

Fig. 2: Corrente massima indotta su di una antenna filiforme a vuoto.La corrente e calcolata a parita di campo incidente, ed e riportata in unita arbitrarie.

il campo incidente. Se facciamo anche l’ipotesi di adattamento in polarizzazione tra campoincidente e antenna: |h · Ei| = |h| |Ei|, allora si ha

SS =ζ

8λ2r2|h|4

|ZA + ZL|2|Ei|2 (134)

dove h indica l’altezza effcace nella direzione di interesse, quella da cui arriva il campo incidente.

Introducendo il guadagno GA della antenna tramite la (38) si ottiene, dopo aver molti-plicato e diviso per 4,

SS =ζ

8λ2r21

|ZA + ZL|2λ4G2

AR2A

π2ζ2|Ei|2 =

(

λ

4π r

)2

G2A

(

2RA

|ZA + ZL|

)2 |Ei|22ζ

(135)

in cui l’ultimo termine e il vettore di Poynting dell’onda incidente Si. L’espressione precedentepuo essere espressa nella forma

SS =1

4π r2σA Si (136)

dove la quantita

σA =λ2

4πG2

A

(

2RA

|ZA + ZL|

)2

(137)

e detta sezione radar della antenna (e dipende dalle condizioni di carico della antenna stessa).Dalla (134) segue che per ZL = ∞ (antenna a circuito aperto), il campo diffuso e

nullo, per ZL = Z∗A (antenna adattata) il penultimo fattore della (134) e unitario e il vettore di

Poynting diffuso diventa

SSm =

(

λ

4π r

)2

G2A Si (138)

Infine, per antenna in corto circuito ZL = 0, il penultimo fattore vale 4R2A/|ZA|2≤ 4, e

assume il valore massimo se l’antenna ha impedenza di ingresso reale.

65

25 SISTEMI RFID

I sistemi RFID (Radio Frequency IDentification) sono sistemi di comunicazione bi–di-rezionale (asimmetrici) in cui una postazione fissa (Reader) interroga, emettendo un campoelettromagnetico, uno o piu ricetrasmettitori mobili (Tag) posti nelle adiacenze del reader, iquali rispondono mandando una stringa di bit al reader.

I sistemi RFID possono essere divisi a seconda della frequenza utilizzata, e a secondadel tipo di tag.

Le bande di frequenza usabili sono

LF 125 → 134 kHz

HF 13.56 MHz

UHF 860 → 960 MHz

MW 2.4 GHz

L’interazione tag–reader avviene per accoppiamento induttivo nelle bande LF ed HF,e per comunicazione radio nelle bande UHF e MW. Noi nel seguito considereremo solo questeultime. In particolare tutti gli esempi verranno svolti nella banda UHF.

Relativamente al tipo di tag, si distinguono sistemi RFID :

• Attivi se il tag contiene un ricetrasmettitore che decodifica il segnale mandato dalreader, e trasmette poi la sua informazione.

• Passivi se il tag contiene solo un IC che viene alimentato rettificando il segnale ricevuto,e che modula la sezione radar della antenna del tag. La trasmissione tag–reader avvienecioe usando il campo diffuso dalla antenna del tag.

• Semi–attivi se il tag contiene un ricevitore (alimentato da una batteria interna al tag)che decodifica il segnale mandato dal Reader, ma utilizza il campo diffuso dalla antennaper la comunicazione inversa.

I sistemi RFID attivi sono normali sistemi di comunicazione radio, per i quali valgonole leggi usuali dei collegamenti. Ci interessiamo qui quindi solo dei sistemi passivi e semi–attivi,che possono essere analizzati in parallelo dal punto di vista della trasmissione radio, in quantola sola differenza e nella potenza richiesta dal tag (decine di µW per quelli passivi, vari ordinidi grandezza piu bassa per quelli semi–attivi).

Un ciclo di interrogazione–risposta avviene in due fasi. In una prima fase (forward–link)il reader manda un segnale binario che il tag riceve e decodifica. Nella seconda fase (reverse–link)il reader manda un segnale continuo, e il tag modula (agendo sulla impedenza di carico) la sezioneradar della sua antenna con la sequenza binaria che deve trasmettere. Durante entrambe le fasiil tag deve anche trasformare parte dal segnale ricevuto in corrente continua di alimentazione delsuo IC (sia per la decodifica e l’elaborazione dei dati, sia per modulare il carico della antenna).

Nel seguito valuteremo quantitativamente le due fasi del colloquio.

In Fig. 1 e riportato lo schema di principio di un tag passivo. Nella fase di forward–link il modulatore non viene utilizzato, e il segnale proveniente dalla antenna viene fornito allasezione di decodifica, e alla sezione di alimentazione. I parametri di interesse sono la potenzaassorbita dall’IC, e la tensione a RF Vin all’uscita della antenna e quindi all’ingresso dell’IC.

66

AntennaRete

AdattamentoAlimentatore

DC

Modulatore

"Ricevitore"

R.L.

Fig. 1: Circuito equivalente di un tag(Le frecce indicano scambio di informazioni, o energia, con la rete sequenziale R.L.).

Cominciamo a considerare la trasmissione da parte del reader. Alla distanza r, la densitadi potenza e il campo prodotto dal reader valgono, ponendo1 ζ = 120π Ω

Si =GPT

4π r2=⇒ Ei =

√

2ζ Si =

√

2(120π)GPT

4π r2=

√60GPT

r

In Europa vi sono delle limitazioni sul valore di ERP del reader, dipendente dalle sotto-bande della banda UHF. In particolare il valore massimo possibile di ERP e GPT = 3W . A unadistanza r = 5m il campo elettrico vale 2.7 V/m, corrispondente a una densita di potenza di10 mW/m2. L’antenna del tag ha una altezza efficace di 5–10 cm, e quindi la tensione a vuotoricevuta V0 puo essere anche di solo 200mV . Questa tensione viene usata come ingresso dellostadio di alimentazione, che deve rettificarla e trasformarla in continua, per alimentare il IC. Latensione continua richiesta e pero di 1–3V , e quindi occorre incrementare considerevomente latesione del generatore di Thevenin.

C i

CF RDC V0

+ Z A

Z L

I S

V in

Fig. 2: Stadio di alimentazione in continua Fig. 3: Circuito equivalente di ingresso

1 Porre ζ = 120πΩ equivale a porre c = 3 · 108 m/sec (al posto del valore piu preciso 2.9979 ·108 m/sec). Infatti, in tal caso, risulta

ε0 =1

4π · 10−7 c2=

1

4π · 10−7 9 · 1016 =(

36π · 109)

−1

per cui

ζ =

√

4π · 10−7

ε0=√

4π · 10−7 · (36π · 109) =√144π2 · 102 = 120π

67

La sezione di alimentazione, nella forma piu semplice, e costituito da due diodi e uncondensatore di filtro, come riportato in Fig. 2, dove RDC e l’impedenza di ingresso in continuadell’IC, tipicamente di decine o centinaia di kΩ. Questo circuito, se realizzato con diodi ideali,produce una tensione continua pari a 2|Vin|. Rispetto al segnale il condensatore di filtro sicomporta come un corto circuito, e quindi tale stadio presenta in ingresso essenzialmente lareattanza capacitiva dovuta alle capacita parassite dei diodi. Tale reattanza va in parallelo conl’impedenza di ingresso del demodulatore, fornendo una ZIC fortemente capacitiva. Un tipicoIC per RFID UHF ha, ad esempio, una impedenza ZIC = 36− j117Ω. Questo consente di avere|Vin| > |V0|. Infatti, con riferimento alla Fig. 3

|Vin| = |V0||ZIC |

|ZIC + ZA|essendo ZA l’impedenza della antenna. In caso di adattamento del carico si trova

|Vin| = |V0||ZIC |2RIC

=1

2|V0|

√

R2IC +X2

IC

R2IC

=1

2|V0|

√

1 +X2

IC

R2IC

≃ 1

2|V0|

XIC

RIC

Nel caso sopra riportato, questo equivale a un incremento di circa 2 volte rispetto alvalore di un partitore resistivo. Accettando una riduzione di banda, e possibile un incrementodi tensione anche maggiore, ma normalmente non tale da garantire la tensione continua richi-esta. Pertanto e spesso necessario usare piu coppie di diodi, che realizzano un moltiplicatore ditensione.

Nel caso di esempio, la tensione continua prodotta da una coppia di diodi ideali diventaquindi di circa 750mV , con una potenza pari a quella disponibile a RF (circa 60µW ). Usandodue coppie, si arriva a 1.5 V , tensione normalmente sufficiente. In realta i diodi non sono ideali,ma cominciano a condurre quando la tensione supera un valore di soglia VON di varie centinaiadi mV . Oltre a ridurre la tensione di uscita, questo produce una riduzione della potenza fornitaal carico, in quanto una parte significativa della potenza in continua si dissipa sui diodi. Laperdita di efficienza aumenta la crescere dell’ordine di moltiplicazione della tensione, per cui eabbastanza normale avere efficienze del 20–30 %, e quindi 10–15 µW di potenza alimentazionein continua. Poiche questo e il limite di funzionamento del IC, la portata di un RFID passivo enormalmente limitata dal forward–link.

Concludiamo notando che il condensatore di filtro deve essere dimensionato in modo dagarantire la continuita della tensione durante le fasi in cui il segnale a RF e piu basso di quellodi uscita. Se il reader trasmettesse continuamente, basterebbe avere CFRDC > 10TRF , essendoTRF il periodo del segnale UHF. In realta CF deve essere notevolmente piu grande.

Infatti, finora abbiamo considerato solo la trasmissione di potenza. In realta un readerdeve trasmettere anche informazioni, tramite un segnale binario. Poiche la rete di decodifica(come tutto il tag) deve avere un costo molto basso, ma d’altra parte ha una potenza RFconsiderevole a disposizione (fino a frazioni di µW ), l’unica soluzione praticabile e di trasmetterele informazioni codificandole mediante trasmettitore acceso e spento. Infatti, in tal modo, unsemplice rivelatore di inviluppo trasforma il segnale in un segnale binario che puo essere elaboratoda una semplice rete sequenziale.

La scelta piu intuitiva e quella di associare trasmettitore acceso a ”1” e il trasmettitorespento a ”0”, codifica detta OOK (On–Off Keying) . In tal modo, pero, con una velocita ditrasmissione tipica di 100 kbps, il trasmettitore e spento per 10µsec per la trasmissione di unozero. Poiche pero gli zeri consecutivi possono essere molti, per mantenere la tensione costante

68

su un intervallo che puo essere superiore ai 100µsec occorre una capacita di alcuni nF . Questivalori richiedono una area enorme, quindi fanno lievitare il costo del IC.

Fig. 4: Trasmissione di una sequenza 1010 con codifica OOK (a sinistra)e PIE (a destra). In basso la sequenza di bit trasmessi.

Si usano allora altri tipi di codifica, varianti della codifica PIE (Pulse Interval Encoding),in cui un bit 0 e trasmesso come sequenza acceso–spento di uguale lunghezza, mentre un bit 1e ancora una sequenza acceso–spento, con la parte accesa lunga 2–3 volte quella spenta (e conla parte di ”spento” uguale nei due bit 0 e 1).

Indicando con T0 il tempo di spento, la lunghezza media di un simbolo e 2.5–3 T0. Allavelocita di 85 kbps, questo equivale a un valore di T0 dell’ordine di grandezza di alcuni µsec, e icondensatori di filtro necessari sono di qualche decina di pF .

Si noti anche che la codifica PIE ha un valor medio di ”acceso” intorno al 65 % deltempo totale, e quindi la potenza in continua trasferita alla rete logica e ridotta dello stessofattore rispetto a quella relativa a una trasmisisone continua (per la codifica OOK tale valorearriva al 50 %).

Passiamo ora al reverse–link. Il reader trasmette un segale continuo, e il modulatoreagisce sulla potenza diffusa dalla antenna per trasmettere le proprie informazioni. La antennadel tag ha un guadagno di circa 1–2, e produce, a 5m di distanza tag–reader, una densita dipotenza al reader data dalla (138) che qui si ripete

SSm =

(

λ

4π r

)2

G2A Si = 0.3 µW/m2 (138)

L’antenna del reader ha un guadagno di circa 10, cui corrisponde una area eficace di0.1 m2, e quindi una potenza disponibile al reader PD di circa 30nW . Poiche il segnale ricevutoe ottenuto modulando quello in trasmissione, il reader puo eseguire una rivelazione coerente delsegnale, moltiplicando il segnale ricevuto e quello trasmesso. In tal modo e possibile rivelare ilsegnale anche con livelli di potenza molto piu bassi2. Pertanto il reverse–link e normalmentepoco critico.

2 E per questo motivo (oltre che per il minor costo rispetto a un trasmettitore effettivo) chei sistemi semi–attivi usano comunque la modulazione della sezione radar nel reverse–link. Ilivelli di potenza al reader necessari per la rivelazione di un segnale non coerente con quellotrasmesso sono molto piu alti.

69

Modulando opportunamente il carico connesso alla antenna, si producono cosı due stati,corrispondenti ai due livelli logici da trasmettere, caratterizzati da due correnti diverse IS1 eIS0.

Per valutare come il reader riceve, e poi discrimina, questi due livelli logici, partiamodalla (130) che esprime il campo reirradiato dal tag, se la sua corrente e IS , e che qui riscriviamo

jζ IS2λ r

e−jβr hT (130)

dove la altezza efficace hT del tag e calcolata nella direzione del reader. Il segnale (tensione avuoto) prelevato dal reader e allora

V0 = jζ IS2λ r

e−jβr hT · hR

dove la altezza efficace hR del reader e calcolata nella direzione del tag. Assumendo adattamentoin polarizzazione, la potenza ricevuta risulta

1

8ZR

ζ2 |IS |24λ2 r2

|hT |2 |hR|2 = KTR|IS |2 (139)

dove KTR e una costante.La capacita di discriminazione del reader dipende dalla potenza associata al segnale

differenza tra i due stati da discriminare3. Segnale differenza che e dato dalla (130) con correnteIS1 − IS0

La potenza P∆ associata al segnale differenza vale, da (139)

P∆ = KTR |IS1 − IS0|2

Conviene normalizzare questa potenza a quella PD ricevuta se l’antenna del tag e adat-tata

PD = KTR |ISM |2

essendo ISM la corrente con antenna adattata. Si ottiene

P∆

PD=

∣

∣

∣

∣

IS1 − IS0

ISM

∣

∣

∣

∣

2

(140)

Poiche le correnti sono ottenute cambiando l’impedenza del IC, ma con lo stesso campoincidente, le correnti sono inversamente proporzionali alla somma della impedenza della antennadel tag, ZA e della impedenza associata allo stato. Se indichiamo con ZA1 e ZA0 le impedenzedi carico del tag nei due stati scelti, e ricordiamo che l’impedenza del tag adattato e Z∗

A si trova

P∆ = PD

∣

∣

∣

∣

IS1 − IS0

ISM

∣

∣

∣

∣

2

= PD

∣

∣

∣

∣

∣

∣

[

1ZA+ZL1

− 1ZA+ZL0

]

12RA

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

= PD 4R2A

∣

∣

∣

∣

ZL0 − ZL1

(ZA + ZL1)(ZA + ZL0)

∣

∣

∣

∣

2

(141)

3 Si veda ad esempio A.B. Carlson et al., Communication Systems, 4th Ed., McGraw–Hill, NewYork, N.Y., Sect. 12.4.

70

La scelta piu semplice e di commutare tra carico adattato e corto circuito: ZL0 = 0,ZL1 = Z∗

A, modulando quindi la ampiezza della corrente indotta sulla antenna. In tal caso, da(141)

P∆ = PD 4R2A

∣

∣

∣

∣

−Z∗A

(2RA)(ZA)

∣

∣

∣

∣

2

= PD

che assumiamo come livello di potenza di riferimento. Analogo risultato si ottiene commutandotra carico adattato e circuito aperto: ZL0 = ∞, ZL1 = Z∗

A, mentre commutando tra aperto ecorto: ZL0 = ∞, ZL1 = 0, si ottiene una P∆ normalmente piu grande:

P∆ = PD 4R2A

1

|ZA|2Tuttavia questa scelta non e utilizzabile. Infatti il IC ha bisogno della tensione continua

anche durante il reverse–link. Indicando con PDC la potenza in continua assorbita in presenzadi carico adattato, la potenza media nei primi due casi vale PDC/2, in quanto durante le fasi incui il carico della antenna e un corto (o un aperto) la potenza assorbita e nulla. Nel terzo caso,invece, la potenza assorbita e nulla, e quindi il IC non puo funzionare.

Queste considerazioni suggeriscono di usare una modulazione della sola parte reattivadel carico. Usando ad esempio ZL0 = RA − j(1 + α)XA, ZL1 = RA − j(1 − α)XA, con αdell’ordine di 0.1–0.2, segue

P∆ = PD 4R2A

∣

∣

∣

∣

−2jαXA

(2RA + jαXA)(2RA − jαXA)

∣

∣

∣

∣

2

(142)

Una stima della (142) si puo ottenere trascurando le piccole parti reattive a denomina-tore. Si ha allora

P∆ ≃ PD

∣

∣

∣

∣

−2jαXA

2RA

∣

∣

∣

∣

2

= PD

(

αXA

RA

)2

(143)

Considerando ZA = 36 − j117Ω, la riduzione e di 7 dB (per α = 0.2) rispetto allapotenza di riferimento. Se pero esaminiamo la potenza in continua assorbita, vediamo che lapotenza in continua fornita al IC (uguale nei due stati) rispetto al caso di carico adattato e

M = 4RL1RA

|ZL1 + ZA|2= 4

R2A

|2RA + jαXA|2=

1

|1 + jα XA

2RA|2

=1

1 + α2 X2

A

4R2

A

che, per la stessa ZA, e intorno al 90 %. Poiche tale potenza viene fornita in maniera continua(essendo indipendente dallo stato del modulatore), la potenza media di alimentazione e nonsolo piu alta dei casi di commutazione di ampiezza, ma e anche costante. Questi vantaggicompensano abbondantemente la riduzione di P∆, anche perche il fattore limitante la portata eil forward–link, ovvero la alimentazione del tag.

La modulazione della parte reattiva del carico, che e una modulazione della fase dellacorrente indotta sulla antenna, e quindi di gran lunga la scelta piu diffusa.

71

APPENDICE 1: DISUGUAGLIANZA DI SCHWARTZ

Il prodotto scalare definito tra vettori reali si presta ad essere generalizzato a spazivettoriali differenti, in particolare complessi.

Un prodotto scalare (generalizzato) tra due elementi A e B di uno spazio vettoriale euna operazione, indicata con (A,B), che gode delle seguenti proprieta

a) (A,A) e reale e risulta (A,A) ≥ 0. In particolare

(A,A) = 0 ⇐⇒ A = 0

b) (cA,B) = c (A,B)

c) (A,B) = (B,A)∗

d) (A+B,C) = (A,C) + (B,C)

Se lo spazio vettoriale e quello dei vettori complessi, allora si verifica facilmente che

(A,B) = A ·B∗

e un prodotto scalare.

In uno spazio dotato di prodotto scalare e sempre possibile definire una norma1, datada

‖A‖ =√

(A,A)

e che soddisfa a ‖A+B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖Vale inoltre la seguente relazione, detta disuguaglianza di Schwartz:

|(A,B)|2 ≤ ‖A‖2 ‖B‖2 (144)

Inoltre si dimostra anche che se

|(A,B)|2 = ‖A‖2 ‖B‖2 ⇐⇒ A = αB

con α numero complesso. In altri termini, si ha uguaglianza nella (144) se e solo se i due vettoriA e B sono proporzionali.

1 La norma di un elemento dello spazio vettorial misura la intensita dell’elemento. In particolare,per i vettori complessi dello spazio tridimensionale, la norma cioincide col modulo del vettore.

72

APPENDICE 2: SVILUPPO DI FOURIER DELLA ALTEZZA EFFICACE

La altezza efficace (44) e una funzione periodica1 di θ, e puo quindi essere sviluppatain serie di Taylor. In particolare possiamo utilizzare uno sviluppo in soli seni2 della sola partescalare di h(θ), ovvero di

h(θ) =λ

π


sinβℓ sin θ

ponendo cioe

h(θ) =λ

π

∞∑

n=1

bn(ℓ) sinnθ (145)

Risulta

bn(ℓ) =2

π

∫ π

0


sin βℓ sin θsinnθ dθ

Per antenne filiformi non troppo lunghe basta in realta il solo primo termine della (145),ottenibile da

b1(ℓ) =2

π sin βℓ

∫ π

0

[cos(βℓ cos θ)− cos βℓ ] dθ =2

π sin βℓ

∫ π

0

cos(βℓ cos θ) dθ− 2 cos βℓ (146)

L’integrale puo essere espresso in termini di funzioni speciali1, ma e piu semplice inte-grarlo numericamente, ottenendo, per antenne a λ/2, b1 = 0.944.

Usando la (145), limitata al primo termine, nella (45) segue3

Rirr(ℓ) ≃ζ

(2λ)22π

∫ π

0

∣

∣

∣

∣

λ

πb1(ℓ) sin θ

∣

∣

∣

∣

2

sin θdθ = 800

[

b1(ℓ)

π

]2

[Ω] (147)

1 Ovviamente questo vale da un punto di vista puramente matematico. Per una antenna infatti,l’angolo θ ∈ (0, π).

2 Questo sviluppo equivale a considerare la funzione estesa a (−π, 0) come funzione dispari.1 Le funzioni necessaria sono le funzione di Bessel di prima specie, in particolare quella che siindica con J0(x) ed puo essere definita2 da

Jo(x) =1

2π

∫ π

−π

cos(x cos θ) dθ =1

π

∫ π

0

cos(x cos θ) dθ

e sono disponibili in tutti i software matematici (MATLAB, MathCad, ...). Usando questadefinizione, la (146) fornisce allora

b1(ℓ) =2

sin βℓ

[

J0(βℓ)− cos βℓ]

3 Per una antenna a λ/2 si ottiene 72.3Ω, Confrontandolo col valore esatto dell’integrale (45),ovvero 73.1Ω si vede che l’errore e del 1%.

73

L’espansione (146), specialmente limitata la primo termine, puo essere molto utile percalcolare la resistenza di irradiazione di antenne poste su di un piano di massa.

Se consideriamo, ad esempio, una antenna filiforme posta verticalmente a una distanzaD da un piano C.E.P., la sua resistenza di irradiazione vale

Rirr =ζ

(2λ)22π

∫ π

0

∣

∣

∣

∣

2λ

π


sin βℓ sin θ

∣

∣

∣

∣

2

cos2(βD cos θ) sin θ dθ

Questo integrale non e calcolabile, ma lo diventa se approssimiamo il primo fattoretramite la (145)

2λ

π


sin βℓ sin θ≃ 2

λ

πb1 sin θ

Sostituendo si ha

Rirr =ζ

(2λ)22π 4

λ2

π2

∫ π

0

b21 sin2 θ cos2(βD cos θ) sin θ dθ

che puo essere calcolato ponendo x = βD cos θ. Si ottiene

Rirr =2ζ

πb21

∫ βD

−βD

[

1−(

x

βD

)2]

cos2 xdx

βD≃ 2ζ

πb21 [1 + sinc2βD]

dove l’ultima espressione vale per βD grande.

APPENDICE 3: ALTERNATIVE PER LA SCELTA DELLA ANTENNA

RICEVENTE

Vogliamo verificare che le alternative del par. 20 conducono alla stessa tensione a vuoto.Faremo riferimento alla Fig. 1 (identica alla Fig. 1 di quel paragrafo)

Fig. 1: Antenna in ricezione su C.E.P. e campo incidente.

74

La prima alternativa prevede di usare la (118). Indicando con hD(θ) l’altezza efficacedel dipolo con onda incidente proveniente dalla direzione θ, la (118) fornisce

V A0 = hD(θ) ·Ed(B) + hD(π − θ) ·Er(B)

I due prodotti scalari sono pari rispettivamente a −1 e +1, come si vede dalla Fig. 1.Poiche poi, per simmetria, risulta1 hD(θ) = hD(π − θ), segue

V A0 = hD(θ)Ed(B)−hD(π− θ)Er(B) = hD(θ)Ed(B)−hD(θ)Er(B) = hD(θ)

(

Ed(B)−Er(B))

Per calcolare quest’ultima espressione, occorre tenere conto sia della riflessione sul pianoconduttore, sia dello sfasamento dovuto al diverso cammino dei campi diretto e riflesso.

Per quanto riguarda la riflessione, Il coefficiente di riflessione vale Γ = −1. Tuttavia,va ricordato che Γ collega i componenti tangenti di Er e Ed. Dalla uguaglianza degli angolisegue comunque che anche i componenti normali di campo riflesso e incidente sono legati da Γ.Pertanto la riflessione non fa altro che aggiungere un fattore (−1) al campo riflesso.

Resta da calcolare la differenza di cammino. L’onda diretta nel punto A e nel punto Channo la stessa fase (A e C sono sul fronte d’onda dell’onda diretta), e quindi Ed(A) = Ed(C).Segue allora

Ed(B) = Ed(A) e−jβ|AB|

Er(B) = Er(C) e−jβ|CB| = ΓEd(C) e−jβ|CB| = −Ed(A) e−jβ|CB|

e sostituendo

V A0 = hD(θ)Ed(A)

(

e−jβ|AB| + e−jβ|CB|)

Dalla Fig. 1 si ha poi, usando teoremi sui triangoli rettangoli,

|CB| = H

cos θ

|AB| = |CB| cos(π − 2θ) =

[

H

cos θ

]

[

− cos(2θ)]

da cui

e−jβ|AB| + e−jβ|CB| = exp

[

jβH

cos θcos(2θ)

]

+ exp

[

−jβH

cos θ

]

Ma

exp

[

jβH

cos θcos(2θ)

]

= exp

[

jβH

cos θ

(

cos2 θ − sin2 θ)

]

= ejβH cos θ exp

[

−jβH

cos θsin2 θ

]

exp

[

−jβH

cos θ

]

= exp

[

−jβH

cos θ

(

cos2 θ + sin2 θ)

]

= e−jβH cos θ exp

[

−jβH

cos θsin2 θ

]

e sostituendo

1 Si noti che le due direzioni di queste altezze efficaci sono comunque diverse, come apparenteanche dalla Fig. 1. Pertanto, nonostante la simmetria, hD(θ) 6= hD(π − θ).

75

e−jβ|AB| + e−jβ|CB| = exp

[

−jβH

cos θsin2 θ

]

[

ejβH cos θ + e−jβH cos θ]

= exp

[

−jβH

cos θsin2 θ

]

2 cos[

βH cos θ]

A meno di un fattore di fase (inessenziale2) risulta quindi

V A0 = hD(θ)Ed(A) 2 cos

[

βH cos θ]

Passiamo ora alla alternativa B). La tensione a vuoto e data dalla (120)

V B0 = hS(θ) · Ed(B) = hS(θ)E

d(B)

e usando la (119)

V B0 = 2hD(θ) 2 cos

[

βH cos θ]

Ed(B)

che, sempre a meno di un fattore di fase, coincide con V A0 .

APPENDICE 4: COLLEGAMENTI SU TERRA PIATTA

Il calcolo del campo di una antenna in presenza del suolo e stato risolto supponendoil suolo costituito da un conduttore elettrico perfetto. Vogliamo considerare ora le variazioniintrodotte dal considerare il suolo un dielettrico con perdite (sempre pero illimitato), limitata-mente al calcolo del campo lontano. Per fare questo, conviene riprendere, in termini differenti,quanto gia noto per un piano conduttore perfetto.

Cominciamo quindi a considerare una antenna posta in A, a distanza H1 dal pianoconduttore (Fig. 1). Il campo nel punto B, a distanza (orizzontale) r e quota H2 puo essereottenuto dal teorema delle immagini, come campo di due sorgenti poste in A e Ai, entrambe inspazio libero (Fig. 2).

Il campo dovuto alla sorgente in A vale, se B e in campo lontano di A

ED = jζI

2λ|AB| h e−jβ|AB| (148)

essendo I la corrente di alimentazione della antenna in A e h la sua altezza efficace nella direzionedi B.

2 Il fattore di fase trascurato serve a riconciliare la fase di Ed(A) con quella di Ed(B).

76

A

B

r

γ γH1

H2

A

A i

B

Qγ

γ

H1

H2

Fig. 1: Collegamento su terra piatta Fig. 2: Risultato del teorema delle immagini.

Analogamente, se B e in campo lontano di Ai, il campo misurato in B e dovuto ad Ai

vale

ERc = jζI

2λ|Ai B| h′ e−jβ|Ai B|

essendo h′ la altezza efficace della antenna nella direzione del punto Q.Poiche |Ai B| = |AQ|+ |QB|, allora lo stesso campo ER puo essere espresso come

ERc = jζI

2λ ( |AQ|+ |QB| ) h′ e−jβ|AQ| e−jβ|QB| (149)

Il fattore di propagazione della (149) corrisponde a una propagazione da A al punto diriflessione Q e poi da Q a B. E anche l’ampiezza complessiva in B e coerente con la attenuazionesu una propagazione lunga |AQ|+ |QB|.

Ne segue che il campo lontano della corrente immagine puo essere anche calcolato con-siderando una onda piana che da A punti verso il punto di riflessione geometrico Q, con unaampiezza data dalla espressione del campo lontano. A questa onda viene normalmente associatoun raggio, che e la curva ortogonale alle superfici equifase dell’onda, e che nello spazio liberoe una retta1. Questo raggio si riflette sul piano conduttore, con coefficiente di riflessione paria quello di una onda piana con le stesse caratteristiche e poi si propaga fino al punto B. Laampiezza invece va calcolata considerando una attenuazione di onda sferica sulla distanza totaledella propagazione.

Questo approccio puo essere facilemente generalizzato al caso di semispazio infinitodielettrico (o buon conduttore). Basta infatti solo utilizzare il coefficiente di riflessione relativoal materiale ed alla interfaccia, e tener conto della corretta orientazione dei campi.

Siamo in particolare interessati ai due casi di polarizzazione orizzontale, corrispondentead una incidenza TE, e verticale, corrispondente ad una incidenza TM 2.

Iniziamo dalla polarizzazione orizzontale. In Fig. 3 sono riportate i versori dei campiED, Ei, campo incidente sulla interfaccia, ed ER, campo riflesso dalla interfaccia. OvviamenteED ed Ei hanno la stessa direzione, essendo dati entrambi dalla espressione (148), naturalmente

1 Possiamo pensare al raggio come la traiettoria della energia associata alla propagazione delcampo.

2 I nomi di queste polarizzazioni si riferiscono alla orientazione del campo elettrico rispettoalla terra. Si noti pero che mentre in polarizzazione orizzontale il campo E e effettivamenteorizzontale, in quella verticale E e solo approssimativamente verticale se θi ≃ 90o, mentrediventa obliquo negli altri casi

77

valutata in punti e direzioni diverse. Invece i versi relativi di Ei ed ER vanno scelti facendoriferimento alle formule di Fresnel. Ricordiamo infatti che il coefficiente di riflessione di Fresnele il rapporto tra la stessa componente tangente di ER ed Ei. Nel caso TE questi vettori sonotutti tangenti, e quindi devono essere paralleli, come appunto in Fig. 3. Ne segue che nel calcoloposiamo sottintendere i versori del campo, e sommare solo la componente orizzontale (scalare)del campo.

A

B

QE i ER

EDA

B

QE i ER

ED

Fig. 3: Incidenza TE. Fig. 4: Incidenza TM .

Nel caso di polarizzazione verticale, ovvero TM , Fig. 4, le differenze col caso TE sono,oltre che nel coefficiente di riflessione, anche nelle direzioni dei versori del campo, costruitisecondo le stesse prescrizioni che hanno portato alla Fig. 3a.

Si nota in particolare che i versori del campo Ei e del campo ER hanno la stessacomponente tangente all’interfaccia (orizzontale nel disegno) e, di conseguenza, componente zopposta. Il risultato e che i versori dei campi ED e d ER (che indicheremo con iD e d iR) sonoquasi opposti. In prima approssimazione si potra quindi considerare iR = −iD.

APPENDICE 5: ANTENNE AD ELEVATE PRESTAZIONI – ANTENNE

A RIFLETTORE

Antenne di prestazioni elevate debbono necessariamente essere grandi rispetto a λ. Pertali antenne, quindi, l’ingombro diventa un parametro fondamentale. Il modello ideale di antennadi prestazioni elevate e quella che produce una distribuzione di correnti (vere o equivalenti)distribuita su di una superficie piana di area (fisica) AF , costante su tale superficie, e che irradisolo da uno dei lati. Si dimostra che la direttivita di una tale distribuzione vale

DF =4π

λ2AF (150)

Ne segue che per una tale antenna, area efficace e area fisica coincidono. Il valore di DF

e la massima direttivita ottenibile con una antenna di area AF . Per ogni altra antenna, quindi,la direttivita D risulta inferiore a DF .

Le antenne effettivamente usate, a microonde, per ottenere direttivita elevate sono didue categorie: antenne a riflettore e allineamenti (o array) di antenne. Queste ultime sono deisistemi di antenne (si veda il paragrafo 6, a cui si rimanda per ulteriori dettagli), in genere

78

uguali e ugualmente orientate, costituiti spesso da centinaia o migliaia di antenne di dimensioniparagonabili alla lunghezza d’onda. In questo paragrafo descriveremo invece brevemente lleantenne a riflettore1 e daremo qualche dettaglio comune relativo all’utilizzo delle antenne dielevate prestazioni

Il diagramma di radiazione di una antenna di prestazioni elevate presenta un lobocentrale2, di larghezza molto picola, e dei lobi laterali con ampiezza massima inferiore di 20–30dB al massimo del lobo centrale. Un esempio di diagramma di radiazione e riportato in Fig. 1.

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Dia

gram

ma

di ir

radi

azio

ne

[dB

]

angolo (dal broadside) [deg]

Fig. 1: Diagramma di un riflettore con diametro 2R = 10λ.

Le antenne di prestazioni elevate hanno una polarizzazione nominale, ma il campoprodotto non e mai esattamente in quella polarizzazione. Pertanto la definizione di guadagnodi una tale antenna va modificata rispetto alla (34) come


S(c)(r, θ, φ)1

4πr2Pin

(151)

in cui S(c) e il vettore di Poynting della sola parte del campo nella polarizzazione nominale(componente co–polare del campo). Detta S(x) l’altra parte del vettore di Poynting (componentecross–polare), il vettore di Poynting complessivamente prodotto vale S = S(c)+S(x). Definiamo

efficienza di cross–polarizzazione il rapporto ηx =S(c)/S, per cui G risulta pari al prodotto del

guadagno definito dalla (34) e di ηx.

1 Per una descrizione delle antenne a riflettore si rimanda a qualunque testo di antenne, oppurealle pagine di Wikipedia

http://it.wikipedia.org/wiki/Antenna parabolica

http://en.wikipedia.org/wiki/Parabolic antenna

2 In realta, oltre a queste antenne, dette pencil–beam antennas, vengono impiegate antenne incui la zona di campo elevato e piu grande ed opportunamente sagomata, dette shaped–beam

anetnnas.

79

DISSIPATA

IRRADIATA

feed

ηLF

spill-over

riflettore

ηS

ηLR

bloccaggio rugosita’

ηp

cross-polare

ηx

campo utile

Fig. 2: Flussi di potenza ed efficienze di un riflettore.

La differenza principale nelle prestazioni tra allineamenti di antenne e antenne a riflet-tore e nella efficienza. Di quella degli allineamenti abbiamo gia parlato, e quindi consideriamoqui quella di un riflettore. Possiamo esprimere il guadagno G di un riflettore di diametro 2Rmediante la efficenza totale del riflettore ηT come

G = ηT DF con ηT = ηL ηap ηS ηp ηx (152)

essendoηL efficenza dovuta alla dissipazione nei conduttori non perfetti, normalmente prossima

al 100% nei riflettori metallici ma notevolmente piu piccola nei riflettori in plasticaconduttiva usati per la televisione da satellite (DVB–S ) (e ovviamente presente anchenegli allineamenti);

ηap efficenza di apertura, rapporto tra la direttivita effettiva delle correnti equivalenti pre-senti sulla bocca del riflettore, di area AF = π R2, e la direttivita massima DF ottenibilecon tale apertura;

ηS efficienza di spill–over, legata alla potenza PS che il feed irradia ma non viene intercettatadal riflettore; Se PF e la potenza complessivamente irradiata dal feed, si ha ηS =PS/PF ;

ηp efficenza dovuta alla perdita di potenza per altre cause: potenza che viene riflessa mabloccata dal feed e dalle strutture di supporto e alla rugosita superficiale del riflettore;

ηx efficenza dovuta alla potenza irradiata nella polarizzazione ortogonale a quella nominale.

In particolare l’efficienza di spill–over e quella di apertura hanno un comportamentoopposto: al crescere della direttivita del feed, la prima aumenta e la seconda si riduce. Esistequindi una configurazione ottimale, in cui efficienza di apertura ed efficienza di spill–over sonopraticamente uguali, con un valore intorno al 90% ciascuna. L’efficienza ηp dipende invecemolto dalla configurazione del riflettore, e dalla precisione realizzativa, e varia dal 65% fino aoltre il 90%. L’efficienza totale tipica di un riflettore e quindi variabile tra il 50% e il 65%,ma puo raggiungere il 75% per riflettori realizzati con particolare cura (ad esempio, quelli perapplicazioni spaziali). I riflettori per DVB–S hanno invece efficenze intorno al 40–45%.

Tornando a considerare antenne generiche ad alte prestazioni, notiamo che anche ladirettivita si calcola in termini della polarizzazione nominale, ovvero utilizzando S(c). Poiche aldenominatore della direttivita c’e tutta la potenza irradiata, allora

D(θ, φ) =1

ηLηxG(θ, φ) (153)

In genere, pero, ha interesse un altro parametro, legato alla direttivita ma che tieneconto del solo campo irradiato dalla apertura. Noi lo indicheremo con D, ma va notato che equest’ultimo che, nei testi tecnici, viene chiamato direttivita. Risulta allora

D = ηap DF

80

Poiche la zona di interesse e tipicamente quella del lobo centrale, possiamo poi ap-prossimare il diagramma di radiazione di una antenna di pestazioni elevte con una espressionesemplice. Per un diagramma a simmetria di rotazione (caso tipico), assumendo un riferimentopolare con asse z ortogonale alla apertura (ovvero alla bocca del riflettore), che e anche ladirezione di massimo, possiamo approssimare il diagramma di irradiazione F (θ) assumendo

|h(θ, φ)| = hM cosp θ =⇒ F (θ) =

[ |h(θ, φ)|hM

]2

= cos2p θ (154)

per θ ∈ (0, π2), e nulla per θ > π

2.

L’esponente p puo essere trovato a partire dalla semilarghezza di fascio a 3 dB, cheindichiamo con θ3. La relazione tra p e θ3 si trova infatti risolvendo:

cos2p θ3 =1

2=⇒ 2p =

log 0.5

log cos θ3= − 0.693

log cos θ3(155)

Per θ3 piccolo, si ha anzi

cos θ3 ≃ (1− 1

2θ23) =⇒ log cos θ3 ≃ log(1− 1

2θ23) ≃ −1

2θ23

e quindi

2p ≃ 1.386

θ23=

4550(

θ3[deg])2 (156)

Per quanto riguarda la direttivita, e la D che puo essere espressa tramite il diagrammadi irradiazione approssimato (154) come

D(θ, φ) = DM cos2p θ (157)

La direttivita massima DM , puo essere ottenuta dalla definizione (37) come3

DM =4π

∫

cos2p θ dΩ=

4π

2π∫ 1

0x2p, dx

= 2(2p + 1) ≃ 4p (158)

e sostituendo il valore di p si arriva a una relazione tra direttivita e larghezza di fascio, che e dilargo uso per antenne direttive:

DM = 2

(

1− 0.693

log cos θ3

)

≃ 2

(

1 +1.386

θ23

)

≃ 2.772

θ23=

9100(

θ3[deg])2 (159)

La (159) puo essere espressa in funzione del raggio R del riflettore. Si ha infatti, da(53):

DM = ηap DF = ηap4π

λ2πR2 =

9100(

θ3[deg])2 =⇒ θ3[deg] =

15√ηap

λ

R

3 La espressione (157) vale sia per antenne con direttivita elevata, sia per antenne con direttivitapiccola, come i feed per riflettore, o le antenne stampate. In tal caso DM = 2(2p + 1), senzaapprossimazione, ne vale la approssimazione (156) (oocorre usare la (155) ) e le sue conseguenze.

81

Per valutare la precisione della approssimazione (157), in Fig. 2 sono riportati sovrap-posti il diagramma vero di Fig. 1 e la sua approssimazione, e la differenza tra i due diagrammi.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 2 4 6 8 10 12 14

Dia

gram

ma

di ir

radi

azio

ne

[dB

]


esattoapprox.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Err

ore

di a

ppro

ssim

azio

ne

[dB

]


Fig. 2: confronto tra diagramma vero e approssimazione (157)(a sinistra) ed errore di approssimazione (a destra).

Per l’esempio scelto si ha DM = 900 e θ3 = 3.2o. L’errore e molto piccolo fino a circa5o = 1.5 θ3 ed accettabile, inferiore a 1 dB, fino a 2θ3, e questi limiti della approssimazione (157)sono indipendenti dal diametro del riflettore o allineamento.

Puo essere utile anche esprimere DM in funzione della ampiezza dell’ angolo solido Ωp

corrispondente al lobo principale della antenna. Poiche Ωp = π θ23 risulta

DM =8.72

Ωp

Per antenne a riflettore o allineamenti di forma rettangolare (o ellittica), la zona illu-minata e sostanzialmente ellittica. Non e quindi usabile la (154), ma (se l’area e grande rispettoalla lunghezza d’onda) possiamo usare come approssimazione

D(θ, φ) = DM

[

cos2p θ cos2 φ+ cos2q θ sin2 φ]

purche p e q non siano troppo diversi tra loro (ovvero siano all’ interno dello stesso ordine digrandezza).

I valori di 2p e 2q si possono determinare a partire dai due angoli a 3 dB, θH3 e θE3 ,esattamente come nel caso di fascio a simmetria di rotazione, e quindi utilizzando la (155) o la(156). Il valore di DM risulta invece, calcolando gli integrali

DM =1

1

4π

[∫

cos2p θ cos2 φdΩ +

∫

cos2q θ sin2 φdΩ

]

=1

1

4

[

1

2p+ 1+

1

2q + 1

] =2(2p + 1)(2q + 1)

p+ q + 1≃ 8pq

p+ q

Essendo l’antenne molto direttiva, si puo utilizzare la approssimazione (156) ottenendo

DM =4

(θH3 )2

1.386+

(θE3 )2

1.386

=5.544

(θH3 )2 + (θE3 )2

82

INDICE

1. CAMPO LONTANO DI UNA DISTRIBUZIONE DI CORRENTI . . . . . . . . . 12. ANTENNE – ALTEZZA EFFICACE – CAMPO LONTANO . . . . . . . . . . . . 53. PARAMETRI DELLE ANTENNE IN TRASMISSIONE . . . . . . . . . . . . . 84. ANTENNE FILIFORMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125. ALIMENTAZIONE DI ANTENNE FILIFORMI . . . . . . . . . . . . . . . . 156. SISTEMI DI ANTENNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187. MUTUA IMPEDENZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208. GUADAGNO ED EFFICIENZA NEI SISTEMI DI ANTENNE . . . . . . . . . 229. DIAGRAMMA DI RADIAZIONE E MASSIMI DI IRRADIAZIONE . . . . . . . 23

10. ANTENNE IN RICEZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711. RECIPROCITA TRASMISSIONE–RICEZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . 2912. UGUAGLIANZA DELLE ALTEZZE EFFICACI . . . . . . . . . . . . . . . . 3213. POTENZA RICEVUTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314. COLLEGAMENTI TRA ANTENNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3515. SENSORI DI CAMPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3816. RISPOSTA AD UNA ONDA PIANA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4217. DIPOLO MAGNETICO E SPIRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4318. ANTENNE IN TRASMISSIONE SU PIANO DI MASSA . . . . . . . . . . . . 4619. MONOPOLO IN TRASMISSIONE SU PIANO DI MASSA . . . . . . . . . . . 5220. ANTENNE IN RICEZIONE SU PIANO DI MASSA . . . . . . . . . . . . . . 5421. MONOPOLI IN RICEZIONE SU PIANO DI MASSA . . . . . . . . . . . . . . 5822. COLLEGAMENTI SU PIANO DI MASSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5923. CALCOLO DELLA MUTUA IMPEDENZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6124. CAMPO DIFFUSO DA UNA ANTENNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6325. SISTEMI RFID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

App. 1. DISUGUAGLIANZA DI SCHWARTZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72App. 2. SVILUPPO DI FOURIER DELLA ALTEZZA EFFICACE . . . . . . . . . . . 72App. 3. ALTERNATIVE PER LA SCELTA DELLA ANTENNA RICEVENTE . . . . . . 74App. 4. COLLEGAMENTI SU TERRA PIATTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76App. 5. ANTENNE AD ELEVATE PRESTAZIONI – ANTENNE A RIFLETTORE . . . . 78

83

Date post:	16-Feb-2019
Category:	Documents
Upload:	doandung
View:	213 times
Download:	0 times

1 CAMPO LONTANO DI UNA DISTRIBUZIONE DI CORRENTI · Se r′ ≪ r, allora X `e piccolo, e possiamo...

Documents