Equazioni di Maxwell
Equazioni di Maxwell
dtd
isdBAdB
dtd
sdEq
AdE
Eooo
B
o
F+=×=×
F-=×=×
òò
òò
eµµ
e
0
Sintetizzano la fisica dei campi elettromagneticiInsieme alla forza di Lorentz sulle particelle cariche:
danno una descrizione completa dell’elettromagnetismo
F= q E+ v×B
( )
Legge di Gauss per il campo elettrico / magnetico
uN
uN
ΦE = E∫ ⋅dA
=qintεo
Non esistono in natura “monopoli” magneticiverificato anche a livello atomico
Espresso matematicamente mediante la legge di Gauss:
ΦB = B∫ ⋅dA
= 0
E
E
E
E
B
B
B
B
Campo B ortogonale al piano, uniforme crescente nel tempo:
Campo E ortogonale al piano, uniforme crescente nel tempo:
La variazione di un campoimplica la presenza dell’altro
E∫ ⋅ds
= −
dΦBdt
B∫ ⋅ds
= εoµo
dΦEdt
B∫ ⋅ds
= µo i+εo
dΦEdt
$
%&
'
()
i = corrente concatenata
Equazioni di Maxwell
dtd
isdBAdB
dtd
sdEq
AdE
Eooo
B
o
F+=×=×
F-=×=×
òò
òò
eµµ
e
0
In forma integrale non forniscono un legame locale(punto per punto) fra carica e campo elettrico e tra corrente e campo magnetico
2
1
divergenza
z
y
x
(x, y, z) dydx
dz
Applichiamo la legge di Gauss a un elemento infinitesimo di volume dV:
dΦ1 + dΦ2 =∂Ex∂x
dxdydz
analogamente:
dΦ3 + dΦ4 =∂Ey∂y
dxdydz
dΦ5 + dΦ6 =∂Ez∂z
dxdydz
dΦTOT =∂Ex∂x
+∂Ey∂y
+∂Ez∂z
#
$%
&
'(dV
dΦE = E∫ ⋅dA
= dΦnn∑
divE=∇⋅E
Legge di Gauss
=qεo=ρεodV
* si veda la slide seguente
d!" = $ %, ', ( ) *,⃗"= - $- %, ', ( *' *(d!. = $ % + *%, ', ( ) *,⃗.= $- % + *%, ', ( *' *(
d!"+ d!. = $- % + *%, ', ( − $- %, ', ( *' *(
1$-1% *%
d!"+ d!. =1$-1% *% *' *(
divergenza
divE=∇⋅E=∂Ex∂x
+∂Ey∂y
+∂Ez∂z
=ρεo
operatore nabla ∇=∂∂xi+∂∂y
j+∂∂zk
divergenza
Teorema della divergenza:
il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa è uguale all’integrale della divergenza del campo vettoriale esteso al volume racchiuso dalla superficie.
divE=∇⋅E=∂Ex∂x
+∂Ey∂y
+∂Ez∂z
=ρεo
divB=∇⋅B=∂Bx∂x
+∂By∂y
+∂Bz∂z
= 0
Equazioni di Maxwellin forma differenziale
∇⋅E=ρεo
∇⋅B= 0
Specificano il legame locale fra i campi elettrico e magnetico e le loro sorgenti
Sono equazioni differenziali che fissano le condizioni per le derivate spaziali dei campi
divergenza
La divergenza di un campo vettoriale è la descrizione matematica della tendenza del campo a “fuoriuscire” da un punto.
divE > 0
divE < 0
divB = 0
Le linee di forza del campo magnetico non divergono mai da qualche punto:nessuna “carica” magnetica è stata mai scoperta
divergenza: significato “fisico”
∇⋅B= 0 ∇
⋅E=ρεo
La divergenza di un campo vettoriale è la descrizione matematica della tendenza del campo a “fuoriuscire” da un punto.
Le linee di forza del campo magnetico non divergono mai da qualche punto:nessuna carica magnetica è stata mai scoperta
rotore• Calcolo della circuitazione di B
lungo il cammino chiuso infinitesimo giacente nel piano xy:
x
y
z
dxdyyB
xB
sdB xyò ÷÷ø
öççè
涶
-¶
¶=×
>1
L 2
(x,y) (x+dx,y)
(x+dx,y+dy)(x,y+dy)<3
V4P(x, y)
!" # $&⃗ = " )̅, +, , # $)-⃗ + " ) + $), /+, , # $+0⃗-" )̅, + + $+, , # $)-⃗ − " ), /+, , # $+0⃗
= −"2 )̅, + + $+, , + "2 )̅, +, , $) + "3 ) + $), /+, , − "3 ), /+, , $+
− 45643 dy7"37) dx
= 45842 −45643 $)$+
1
2
(x,y) (x+dx,y)
(x+dx,y+dy)(x,y+dy) 3
4P(x, y)
rotore• Per la legge di Ampère-Maxwell:
e analogamente orientando il rettangolo nel piano yz otterremmo:
∂By∂x
−∂Bx∂y
#
$%
&
'(dxdy
= µoi+µoεodΦEdt
= µo j⋅dA+εo
d E⋅dA
( )dt
#
$
%%
&
'
((= µo jz +εo
∂Ez∂t
#
$%
&
'(dxdy
∂Bz∂y
−∂By∂z
#
$%
&
'(dydz = µo jx +εo
∂Ex∂t
#
$%
&
'(dydz
∂Bx∂z
−∂Bz∂x
#
$%
&
'(dxdz = µo jy +εo
∂Ey∂t
#
$%
&
'(dxdz
Possiamo esprimere vettorialmente questa equazione mediante le componenti del vettore rot B :
nel piano xz :
rotore
rot B=∇×B=∂Bz∂y
−∂By∂z
%
&'
(
)*i+∂Bx∂z
−∂Bz∂x
%
&'
(
)* j+∂By∂x
−∂Bx∂y
%
&'
(
)*k
rot B= µo j+ε oµo
dE
dtEquazione di Ampère-Maxwell in forma differenziale
=#⃗ $⃗ %&&'
&&(
&&)
*+ *, *-
Teorema di Stokes
La circuitazione di un campo vettoriale lungouna linea chiusa è uguale al flusso del rotoredel campo attraverso una qualunquesuperficie avente per contorno la linea.
Considerando un generico percorso chiuso e immaginando di suddividerloin tanti percorsi chiusi infinitesimi, con circolazione via via più piccola, che possiamo considerare piana:
Rotore: significato fisicoIl rotore di un campo vettoriale misura la tendenza del campo a “circolare” attorno a un punto.
rotB > 0
rotB = 0
dE/dt
B
0¹Brot
corrente stazionaria
Ad esempio, nel caso di un fluido in movimento il rotore della velocità in un puntodà una misura della vorticosità del moto
analogamente per il campo elettrico• Campo elettrostatico:
dB/dt
E
0¹Erot
In presenza di campo B variabile:
rot E = 0
campo E indotto
Il campo elettrostatico è conservativo
rot E= −
dB
dt
Equazioni di Maxwellin forma differenziale
∇⋅E=ρεo
∇×E= −
∂B
∂t
∇⋅B= 0 ∇
×B= µo j+εoµo
∂E
∂t