1

IL QUESTIONARIO

e le considerazioni dei commissari di Matematica

a cura della

Prof.ssa Serenella IacinoProf.ssa Serenella Iacino

Roma, 13 Novembre 2013Roma, 13 Novembre 2013

2

sui risultati della prova scritta di Matematica nei licei

scientifici ordinamento e sperimentali ha interessato

L’ Indagine Nazionale del 2013

assegnati a 2˙916 Commissioni su un totale di 3˙360.

72˙436 studenti

119˙822 candidati

su un totale di

3

La partecipazione delle Commissioni alla

QUESTIONARIO

ha riscosso quest’anno una elevata adesione che, in

alcune regioni, ha sfiorato il

Indagine Nazionale

attraverso la compilazione di un

90%.

4

che si sono svolte in tutte le regioni nell’anno

scolastico 2012 – 2013 organizzate dai rispettivi

Questo risultato è stato ottenuto grazie all’impegno dei

REFERENTI REGIONALI

oltre che al successo delle

GIORNATE MATEMATICHE

UFFICI SCOLASTICI REGIONALI

5

compilati dai Commissari nel 2013 sono stati

I Questionari

3˙438

e ogni questionario ha riguardato 1 o 2 classi.

6

Numero dei questionari delle Commissioni per regione

Abruzzo

Basilicata

Calabria

Campania

Friuli

Lazio

Liguria

Lombardia

Marche

Molise

Piemonte

Puglia

Sardegna

Sicilia

Toscana

Trentino

Umbria

Val d’Aosta

Veneto

Emilia Romagna

90

48

180

543

212

56

280

68

447

90

32

229

355

115

244

147

22

57

5

218

7

Le percentuali per regione

8

Nel Questionario sono stati coinvolti più di

1) modalità di articolazione della prova scritta in

che hanno espresso un parere sulle seguenti tematiche

600 docenti

2) contenuti della traccia, in particolare sulla

3) difficoltà palesate dai candidati;

4) valutazioni attribuite agli elaborati d’esame;

5) modifiche ed integrazioni al Syllabus 2009.

problemi e quesiti;

insegnamento effettivamente svolti;

rispondenza della stessa ai programmi di

9

IL SYLLABUS

formulazione delle tracce di esame proposte

realizzato nell’anno 2009, ha rappresentato

• un elenco preciso e dettagliato di quanto

deve essere accertato in sede di prova

scritta;

• il riferimento per la definizione e la

in questi anni.

10

un Nuovo Syllabus

delle conoscenze, delle abilità e delle competenze da

accertare nel

Nuovo Esame di Stato

che sarà, nel 2015, in linea con le

Indicazioni Nazionali

Si vuole ora preparare

11

sono stati inoltre invitati ad adottare criteri comuni per

I docenti delle Commissioni

la valutazione della prova scritta di matematica

utilizzando

una griglia di valutazione

con dei

ciascuna parte della traccia

pesi prefissati, a livello nazionale, per

12

Una griglia così articolata

• consente una maggiore uniformità di giudizio

• rende comparabili i risultati di apprendimento.

13

che è suddiviso in

questionario 2013.doc

Tutto questo è presente nel

5 tabelle

14

Le 5 tabelle nel dettaglio

15

riguarda la scelta, da parte dei candidati, del

La tabella A

problema e dei 5 quesiti tra quelli proposti,

nonché il punteggio relativo ottenuto

16

Griglia Nazionale di valutazione

La tabella B

parte dei Commissari di Matematica della

riguarda la scelta o meno dell’ utilizzo da

del problema e dei quesiti

17

rileva se i commissari di matematica ritengano di

La tabella C

problemi e quesiti.

mantenere o meno l’articolazione della traccia in

18

1) rispondenza della traccia proposta con i

La tabella D

si occupa degli aspetti didattici

2) livello di complessità dei calcoli da utilizzare

ovvero:

programmi effettivamente svolti;

per svolgere la prova;

19

4) complessità nella risoluzione della traccia;

5) difficoltà incontrate dai candidati:

3) chiarezza del testo della traccia proposta;

5.1 - se dipendenti da argomenti non trattati in classe.

5.2 - se dipendenti dalla novità della formulazione

20

e infine

coerenti con

La tabella E

e se, in caso contrario, quali siano gli

il Syllabus 2009 e con le Indicazioni Nazionali

in cui si chiede se i problemi ed i quesiti siano

argomenti da non riproporre e quali da

introdurre a partire dalla

sessione 2015

21

LA TRACCIA ORDINAMENTO 2013

22

23

facilmente calcolabile mediante semplice integrazione:

Il soggetto principale del problema è la funzione

integrale:

f(x) = ∫0

x

t2

[cos( ) + ] dt12

2sen( ) + x f(x) = x2

12

24

La prima domanda chiede di determinare f’(x)

mediante l’applicazione del Teorema fondamentale

del calcolo:

e di determinare il grafico di f’(x) mediante una

x2

f’(x) = cos( ) + 12

12

di vettore v (0, );

procedura sintetica e cioè partendo dal grafico di x2

y = cos( ) e applicando a questo una traslazione

25

La seconda domanda chiede di determinare il

grafico di f(x) deducendolo da quello di f’(x).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2 0

-1

1

2

3

4

5

f’(x)

f(x)

26

La terza domanda chiede il valor medio di f’(x)

sull’ intervallo [0,2Π] mediante l’applicazione del

teorema del valor medio:

Valor medio = ∫0

2Π1

2Πx2

[cos( ) + ] dx =12

12

27

La quarta domanda chiede il volume di un solido

a fettine:

Volume = ∫0

4

Πx 4

3sen( ) dx = 24 Π

Area(x) dx = ∫0

4

28

Il problema è interamente basato sui concetti

dell’Analisi del 5° anno e cioè:

1) Il Teorema fondamentale del Calcolo

2) Il valor medio di una funzione su un intervallo

3) Il calcolo dei volumi

4) Lo studio del grafico di una funzione

29

30

Il soggetto principale del 2° problema è la funzione

chiamata

“ Versiera di Agnesi “

8f(x)=

4 + x 2

31

Nella prima domanda si chiede di studiare la

funzione e determinarne il grafico:

0

-0,5

0,5

1

1,5

2

5

-1 -0,5 0,5 1 1,5 2-2 2,5-1,5-2,5

f(x)

32

Inoltre si chiede di determinare:

-0,5

0,5

1

1,5

2

-1 -0,5 0,5 1 1,5 2-2 2,5-1,5-2,5

P Q

M

O

e di considerare il rombo individuato dalle due tangenti

con le rette OP e OQ e di calcolare i suoi angoli:

le equazioni delle rette tangenti alla curva in due

suoi punti P e Q

33

Nella seconda domandasi chiede di riconoscere in f(x) l’equazione del luogo

geometrico di un punto,

costruito con un procedimento che considera una

circonferenza di raggio unitario e centro C (0,1) e due

rette di cui una per l’origine e l’altra y = 2 parallela

all’asse x.

-0,5

0,5

1

1,5

2

-1 -0,5 0,5 1 1,5 2-2 2,5-1,5-2,5

B

A

O

C

y = 2

y = m

x

34

-0,5

0,5

1

1,5

2

-1 -0,5 0,5 1 1,5 2-2 2,5-1,5-2,5 O

Nella terza domanda

si chiede di calcolare l’area della zona R compresa tra

il grafico di f(x) e l’asse x nell’intervallo [0,2]

R

∫8

4 + x 2

2

0

dx = Π

35

-0,5

0,5

1

1,5

2

-1 -0,5 0,5 1 1,5 2-2 2,5-1,5-2,5 O

e l’area della zona

compresa tra f(x) e

tutto l’asse x :

∫8

4 + x 2-∞

dx = 4Π

+∞

36

Nella quarta domanda

si chiede di calcolare il volume del solido ottenuto

ruotando la regione R intorno all’asse y:

-0,5

0,5

1

1,5

2

-1 -0,5 0,5 1 1,5 2-2 2,5-1,5-2,5 O

R

= 8Π∙ln2

2 - y

yVol = 4∙Π∙1 + Π∫

1

2

2g (y) dy = 4∙Π∙1 + 4 Π

∫1

2

dy =

37

Il problema è basato sui seguenti concetti

dell’Analisi, della Geometria e Trigonometria:

1) Studio del grafico di una funzione

3) Angolo tra due rette

2) Equazione di un retta tangente ad una curva

4) Equazione di un luogo geometrico

5) Calcolo di un’area mediante un integrale

6) Calcolo del volume di un solido di rotazione

definito e un integrale improprio di 1° specie

38

Il questionario è basato sui seguenti concetti

dell’Analisi, della Geometria e

Trigonometria:

1) Area di un triangolo in funzione di due lati e

3) Distanza punto - retta

2) Dominio di una funzione

4) Similitudine fra triangoli e volume di un tronco

dell’angolo compreso

di cono

39

7) Rapporto di similitudine tra aree e lati di figure

9) Calcolo di un limite

8) La funzione integrale

10) Crescenza e decrescenza di una funzione

6) Calcolo combinatorio

5) Percentuale

piane simili

40

Quindi, dall’esame della Traccia dell’ordinamento,

in quanto propone quasi tutti gli argomenti presenti

nell’area denominata

le Indicazioni Nazionali

“ Relazioni e funzioni “

si può stabilire che la stessa è in sintonia con

41

1) Concetto di limite

5) Il calcolo combinatorio

3) Calcolo di aree e volumi

2) Continuità, derivabilità, integrabilità

4) La geometria solida

6) Il calcolo approssimato

impartita al 5° anno , ed esattamente:

nonché al 2° biennio, e cioè:

42

Come pure

Il compito richiede anche allo studente di aver fatto

propri alcuni concetti fondamentali dell’analisi, come

ad esempio dedurre il grafico di f(x) dal grafico di f’(x)

concetto che è presente sia nel 1° problema che nel

quesito n°10.

43

LA TRACCIA PNI 2013

44

45

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

-2

f(x)

f’(x)

f’’(x)

La prima parte del problema chiede di determinare

il grafico di f’(x) a partire da quello di f(x) e f’’(x)

F

46

La seconda parte del problema chiede di

considerare la x come variabile tempo ed f(x) come la

numerosità di una popolazione al tempo x

• la numerosità è crescente dal valore 1 raggiunto al

tempo 0 al valore 8 al tendere del tempo all’infinito

• Il flesso al tempo x=2 ci dice che il tasso di crescita

della popolazione è crescente nel periodo 0 ≤ x ≤ 2 e

decrescente nel periodo successivo

si vuol sapere quali sono le informazioni che ne

possiamo dedurre dal suo grafico

47

La terza parte del problema chiede di determinare a

e b sapendo che la funzione è la seguente:

poiché f(x) passa per il flesso (2,4) si ha: a

= 41 + eb - 2

= 8lim x ∞

a

1 + eb - x

Inoltre se la retta y=8 è un asintoto orizzontale:

da qui ne segue che a=8 e b=2

af(x)=

1 + eb - x

48

La quarta parte del problema chiede di calcolare

l’area della parte di piano compresa tra il grafico di f’’(x)

e l’asse x nell’ intervallo [0,2]:

Area = ∫ f’’(x) dx = f’(2) – f’(0) = 2 - 0

2

1 + e2 (

8 ∙e 2

)2

-2 0 2 4 6 8 10

f’’(x)

8f(x)=

1 + e2 - xf’(x)=

1 + e2 - x(

8 ∙e 2 - x

)2

49

50

Il soggetto principale del 2° problema è la funzione

f(x) = x ∙ ln(x)3

Lo stile standard di questo problema lo ha reso

più accessibile ad ogni studente mediamente

preparato, per cui è stato il più scelto tra i due

proposti

51

0 0,5 1 1,5 2-0,5-1-1,5-2

0,5

-0,5

f(x)P

La prima domanda chiede di disegnare f(x) e di

calcolare i valori approssimati delle ascisse del punto di

minimo e di flesso

52

La seconda domanda chiede di determinare la

parabola con asse verticale, passante per l’origine e

tangente a f(x) in P(1,0)

Si tratta di una parabola del tipo y = a∙x + b∙x + c2

passante per O (0,0): c = 0

passante per P (1,0): a + b = 0

avente la stessa tangente di f(x) in P: y = x - 1

y = x - x2

53

La terza domanda chiede di calcolare l’area della

parte di piano compresa tra l’asse x, f(x) nell’intervallo

(0,1];

in pratica si chiede di risolvere l’integrale improprio di

2° specie:

1,5-0,5-1-1,5

0,5

-0,5

f(x)

0 1

P

∫ dxx ∙ ln(x)31

0

=1

16

54

La quarta domanda chiede di scrivere l’equazione

della curva simmetrica di f(x) rispetto all’asse y:

e rispetto alla retta di equazione y=-1:

y = - x ∙ ln(- x )3

y = - x ∙ ln( x )3

- 2

55

Il secondo problema è basato sui concetti

dell’Analisi del 5° anno e della geometria

del 2° biennio cioè:

1) Studio del grafico di una funzione

2) Equazione di una parabola date 3 condizioni

3) Il calcolo dell’area mediante un integrale

4) Le simmetrie

improprio di seconda specie

56

Per quanto riguarda il questionario, i quesiti

n. 1-3-4-6 sono in comune con la traccia ordinamento;

quelli non in comune – i numeri 2-5-7-8-9-10 - sono

basati sui concetti dell’Analisi, della Probabilità e

dell’Algebra del biennio:

2) Derivata di una funzione

7) Calcolo delle probabilità

5) Percentuale

8) Calcolo di un limite

10) Calcolo delle radici di una equazione

57

Deve, inoltre, rilevarsi che sono stati scelti anche argomenti attinenti

alla realtà (quesito 5 e quesito 7) sia

ordinamento che PNI

58

I commenti dei Commissari

59

Nella tabella E il Questionario ha proposto ai

Commissari la domanda

“ Dalla sessione 2015, quando saranno pienamente operative le Indicazioni Nazionali, quali argomenti, presenti nelle tracce di questi anni, non saranno più da proporre, quali invece quelli da introdurre ? “ (max. 400 caratteri)

60

Le risposte sono state 584

ripartite secondo gli indirizzi di provenienza.

I commenti dell’ordinamento sono stati 359

Tuttavia ne sono stati elaborati 278

in quanto 81 commissari, anziché rispondere alla

domanda, hanno preferito utilizzare lo spazio a

disposizione per esprimere un giudizio sulla traccia

assegnata

61

1) Alcuni studenti hanno confuso il Teorema di

2) I contenuti presenti nelle tracce risultano

3) Il testo è ben formulato e chiaro e di media

Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi:

Lagrange con il Teorema del valor medio.

coerenti con i programmi svolti.

difficoltà.

62

5) E’ importante che i docenti svolgano davvero il

di esercizi che si riferiscono agli anni precedenti

per poter valutare meglio la preparazione degli

studenti.

programma che fanno firmare agli alunni.

4) Apprezzo la griglia di valutazione e la presenza

63

6) Sarebbe necessario ridurre il tempo di

passano il restante tempo nel tentativo di

svolgimento della prova e portarlo da 6 ore a 3

ore, in quanto gli studenti dopo 3 ore hanno già

terminato la parte principale del compito e

collaborare.

64

Altri Commissari hanno dato risposte del tipo:

queste risposte sono state considerate come:

“Nessuna” “No comment”o

“Va bene, nulla da segnalare o da modificare”

65

Altri Commissari hanno scritto un elenco di argomenti

senza alcuna indicazione del tipo

questi argomenti sono stati considerati tutti

“da introdurre”

“da non proporre”

“da introdurre”

66

Invece le risposte del tipo:

• Vedi quanto già indicato per la sezione B

• Si veda quanto già scritto per la classe 5° sez.E

non sono state elaborate

• Vedi giudizio espresso per la classe 5°C

della stessa Commissione

67

63 Commissari (circa il 23%) affermano

• non vanno aggiunti altri argomenti in quanto è

• che la traccia assegnata va bene così;

Molti Commissari auspicano di poter dedicare l’ora

in più settimanale per un approfondimento di

quanto viene attualmente insegnato.

• è da mantenere l’attuale struttura degli argomenti

proposti;

difficile completare i programmi con solo 3 ore

settimanali di lezione.

68

Per altri

• gli argomenti proposti vanno bene ma occorrerebbe

viene dato eccessivo peso al calcolo integrale e al

modificare l’impostazione della prova in quanto

programma svolto negli anni precedenti al 5°.

69

• E’ necessaria una prova che richieda meno calcoli e

Per altri ancora

che sia più chiara nel testo.

70

• propongono l’introduzione nella traccia d’esame del

47 Commissari (circa il 17%)

calcolo delle probabilità e di elementi di statistica

71

Emerge anche che

Tali argomenti dovrebbero essere svolti durante il 1°

biennio mentre sono di fatto oggetto di studio nel 2°

poichè i docenti delle classi inferiori incontrano

difficoltà nello svolgere tutti gli argomenti presenti

nelle Indicazioni Nazionali.

• non si vorrebbero presenti nella traccia argomenti

di trigonometria e goniometria

72

• eliminerebbero il calcolo combinatorio, la

Taluni commissari

spazio alla geometria analitica e all’analisi.

probabilità e statistica, le equazioni differenziali

e la geometria solida e piana per lasciar maggior

73

• sono da proporre argomenti relativi al 5° anno come

Per altri

differenziali collegate a fenomeni fisici e le

le successioni numeriche, le equazioni

coordinate cartesiane nello spazio.

74

Inoltre é proposto da diversi esaminatori

• L’inserimento di argomenti relativi al 2° biennio

• l’ introduzione di argomenti come l’analisi

logaritmiche, l’algebra vettoriale

come: i numeri complessi, le sezioni coniche,

i luoghi geometrici, le funzioni esponenziali e

così come

geometria analitica nello spazio.

numerica, le trasformazioni geometriche e la

75

L’esame delle risposte fornite ha evidenziato

anche che è auspicato

proposizione di quesiti sulla storia della matematica.

• il potenziamento dello studio di una funzione e

della sua continuità e derivabilità nonché della

geometria solida e piana.

• Mentre una qualche contrarietà emerge riguardo alla

76

I commenti del PNI

sono stati suddivisi in cinque gruppi di tipologia

• Tipo A

• Tipo B

• Tipo C

• Tipo D

• Tipo E

omogenea:

77

• Gli argomenti formulati nel Syllabus 2009 vanno

Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi

di tipo A i quali hanno in comune l’assenza di rilievi di

novità:

bene.

• Nessun argomento nuovo da introdurre, vista la

riduzione del monte ore.

• Vanno riproposti tutti gli argomenti presenti

nelle tracce del 2013.

78

Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi

di tipo B i quali si sono caratterizzati per la stringatezza

delle risposte:

• Nessuna

• Quesiti 5,6,9

• Probabilità

• Calcolo integrale e approssimazione radici

Queste sembrano risposte ad una domanda del tipo:“Quali quesiti e quali argomenti proposti non hanno

rispondenza con ciò che è specificato nel Syllabus

2009 ?”

79

Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi

di tipo C i quali sono contraddistinti da assenza di

proposta:

• Non ho rilievi

• Non lo so

• Nulla da segnalare

• Nulla da obiettare

• Nessun commento

80

Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi

di tipo D che si potrebbero definire risposte singolari:

• Si sceglie di non dare risposta alla domanda

di stato 2013-14.

ritenendo più qualificante farlo nel futuro esame

• Nel questionario erano assenti gli integrali.

•Consiglierei di trattare la geometria solida come

problema di massimo e di minimo.

81

• Ho notato che, nonostante le ore in più di

quasi uguali a quelli dell’indirizzo tradizionale.

insegnamento che ci sono rispetto al liceo

ordinamento, i programmi svolti nel PNI sono

• In questo momento non riesco a dare il mio

a questa domanda.

contributo e non mi sento preparata a rispondere

• Non possediamo adeguati elementi di giudizio.

82

• Bisogna fare un Syllabus più specifico e che sia

matematica sono diminuite ed il programma è

aumentato.

perché, in riferimento al corso PNI, le ore di

pienamente condiviso altrimenti temo il peggio

Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi

di tipo E che hanno mostrato una qualche positività:

83

• Bisognerebbe rivoluzionare i libri di testo per

procedure.

meccanici che ripropongono stessi schemi e

eliminare esercizi e problemi ripetitivi e

di problemi tipo olimpiadi o giochi matematici.

• E’ stata rilevata, negativamente, la proposizione

• Si è proposta la riduzione del tempo della prova:

si ritengono sufficienti 3 quesiti nel problema e

3 nel questionario.

84

• La riduzione delle ore di matematica imporrà

il taglio di alcuni argomenti quali, ad esempio,

probabilità e statistica.

• Le tracce dovranno essere orientate verso una

matematica più applicata, ma molti insegnanti

non si adeguano alle innovazioni dei programmi

curricolari ed è questo uno dei motivi delle

difficoltà che i ragazzi incontrano nella seconda

prova.

85

• Sono da introdurre le equazioni differenziali, la

Statistica, i problemi di applicazione della

matematica al mondo reale e la probabilità.

• E’ preferibile non inserire geometria solida in

quanto difficilmente si riesce a trattare in modo

esaustivo.

86

GRAZIE per l’attenzione

Prof.ssa Serenella Iacino

87

Si tratta di calcolare l’area di un

triangolo in funzione delle misure di

due lati e del seno dell’angolo

compreso:=

2

2 ∙ 3 ∙ sen α 3

= sen α 1 = α 90° BC = 13

C

B

AAC=3

AB=2

α

88

Si tratta di calcolare il dominio attraverso un semplice

sistema di disequazioni.

3 – x ≥ 0

≤ 23 – x

≥ 13 – x

-1 ≤ x ≤ 2

89

In questo quesito è presente il concetto di geometria

analitica della distanza di un punto da una retta; inoltre

si chiede la distanza massima attraverso il calcolo della

derivata della funzione distanza.

90

E

P

Si calcola il volume del tronco

attraverso la differenza dei

volumi tra la piramide grande e

quella piccola.

1

1

Notiamo anche la similitudine tra

i triangoli VHE e VH P per

determinare VH

91

Dato un parallelepipedo di dimensioni a, b, c, se si

aumentano ad es. del 10% il volume V = a∙b∙c diventa

V’ = (a+10%a)(b+10%b)(c+10%c)=V∙(1+10%)³.

Quindi l’aumento è V’-V = V[(1+10%)³-1]=33%V

92

Il 6° quesito riguarda il calcolo combinatorio e in

particolare le permutazioni

93

AB = b

BC = a

BF = a

2

A

B C

D

F

E Esiste un rapporto di similitudine tra le aree e i quadrati dei lati dei rettangoli simili:

A : A’ = a² : b² A’ = a²

1∙b²

A = 1m²

= 2

a ∙ ba²

1∙b²

4

a = 2 b = 4

2

1

94

g(x) è una funzione integrale:

g’(x) = f(x)

g’(x) > 0 per 0<x<2 e x>4 , g(x)

è crescente

g’(x) < 0 per 2<x<4 g(x) è decresc.

g(x) ha un minimo per x = 4

43210

1

2

-1

95

= lim 4x²

sen x (cos x – 1)

x 0

lim 4x²

x [ - (1 - cos x)]

x 0= lim 4

x²

x ∙

x 0=

- x²

2 0

Per il calcolo di questo limite si può applicare il 1° limite

notevole o gli infinitesimi equivalenti

96

43210-1-2-3-4

y

x

f(x)

97

43210-1-2-3-4

y

x

f’(x)

43210-1-2-3-4

y

x

f’(x)

43210-1-2-3-4

y

x

f’(x)

43210-1-2-3-4

y

x

f’(x)

Il grafico di f’(x) è il quarto.

98

f’(1) – 2 f’(2) = 5

f’(2) – 2 f’(4) = 7f’(1) – 4 f’(4) = 19

99

Questo quesito è molto simile al quesito 5

dell’ordinamento e riguarda la percentuale

100

Su 10 persone 6 hanno gli occhi azzurri e 4 no; la

probabilità che due persone estratte non abbiano gli

occhi azzurri è:42

102

2

15=

101

Si pone x – Π = y con y 0

= limy

sen (y + Π)

y 0

-esen Π

e

= limy

- sen y

y 0

-esen Π

e

= - 1limy y 0

- sen y= lim

y

- sen y

y 0

e - 1

102

103

104

105

106