Date post: | 02-May-2015 |
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Corso di Fisica I
vettori in FisicaProf. Massimo Masera
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia FarmaceuticheAnno Accademico 2011-2012
dalle lezioni del prof. Roberto CirioCorso di Laurea in Medicina e Chirurgia
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La lezione di oggi Scalari
Vettori
Operazioni tra vettori
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Scalari
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Scalari Ci sono delle grandezze fisiche che possono essere
rappresentate con un numero, espresso in un’opportuna unità di misura. Si tratta di grandezze scalari.
Uno scalare può avere segno positivo o negativo
Esempi: Il volume di un oggetto.
Volume di un dado: 3.7 cm3
Volume del liquido in una siringa: 10 ml La temperatura in una stanza: T=20 oC La potenza di una lampadina: P=20 W
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Scusi, sa
dov’èla
biblioteca ?
Sì
Sì, a 0.5 km
Sì, a 0.5 km in direzione nord-ovest
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Vettori
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Vettori Un vettore è una grandezza matematica
definita da modulo, direzione e verso
Come lo scalare, rappresenta una grandezza fisica con la sua unità di misura
Esempi di grandezze vettoriali: Velocità Accelerazione
Si indica con v o
Il modulo si indica con v o
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Modulo: 0.5 km
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Direzione:
verticale
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Verso:
Nord
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EsercizioIndicare modulo, direzione e verso del
vettore indicato in figura.
La velocità del vento è pari a
v = 25 km/h
Soluzionemodulo: 25 km/hdirezione: orizzontaleverso: OVEST
N
E
S
W
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Un vettore
Origine
(o punto di
applicazione)
Vertice
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I versori
Modulo: unitario (ad esempio, 1 m)
Direzione: orizzontale
Verso: da sinistra a destra
Modulo: unitario (ad esempio, 1 m)
Direzione: verticale
Verso: dal basso verso l’alto
Versori coordinati
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x
y
zTerna destrorsa
x
y
zTerna sinistrorsa
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Operazioni con i vettori
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Prodotto di un vettore per uno scalare
Vettore × Scalare=
Vettore con: uguale direzione verso: uguale o
opposto (dipende dal segno dello scalare)
modulo pari al prodotto dei moduli
3A = A+A+A = 3 x A
-3A = (-3) x A
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Componenti
rx PROIEZIONE di r sull’asse xry PROIEZIONE di r sull’asse y
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Le componenti di un vettore
x
y
r
r θ tg
2y
2x r r r
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Vettore posizione nello spazioVettore posizione:
kzjyixr ˆˆˆ
Indica la posizione di un oggetto (fermo o in movimento) rispetto all’origine di un sistema di riferimento..
Vedremo che velocità e accelerazione possono essere espresse a partire dal vettore posizione
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Esempio 1Determinare le componenti di un vettore
con modulo 3.5 m e direzione 66°
Dunque il vettore si può esprimere come:
m 1.4 66 cos m) (3.5 θ cosA A ox
m 3.2 66sen m) (3.5 θsen A A oy
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Esempio 2Determinare modulo e direzione di un
vettore con componenti AX=1.4 m e Ay=3.2 m
Il modulo del vettore sarà:
L’angolo q si ottiene da:
m 3.5 m) (3.2 m) 4.1(A A A A 222y
2x
o
x
y 66 2.25atan m 1.4
m 3.2atan
A
Aatan θ
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Uno stormo di anatre si è spostato di 30 km,
come mostrato in figura ( a = 30°).
Determinare lo spostamento verso Nord e verso Est.
Esercizio
O
A
S
Sest
Snor
d N
E
S
Wa
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Soluzione
= spostamento dello stormo = 30 kmO = origine del vettore, da cui partono le due semirette dirette verso nord e verso estSi costruisce il parallelogrammo (rettangolo) avente una diagonaleindividuata dal vettore ed i lati diretti secondo le due semirette.
O
A
S
Sest
Snor
d N
E
S
W
Esercizio
|S| S = Sest + Snord
Snord = S sin a = 26 kmSest = S cos a = 15 kma
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n. 38, pag. M88 WalkerSi immagini di spingere una scatola su una rampa di carico lunga 10.0 m. In cima alla rampa la scatola ha raggiunto l’altezza di 3.00 m. Quanto misura l’angolo formato dalla rampa con il piano ?
SoluzioneS’imposta il sistema:
da cui si ricava
e infine
m 10 s
senθs y
ys
q
Esercizio
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Nota sul piano inclinato…Gli Egizi e le piramidi
Piramide = piano inclinato
Il piano inclinato rende più agevole lo spostamento dei carichi (blocchi di pietra).
Chi spinge il carico sul piano, infatti, deve vincere solo la componente parallela al piano, ottenuta proiettando P lungo la direzione del piano inclinato.
qP
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Convenzioni
1o quadrante
2o quadrante
3o quadrante
4o quadrante
Verso antiorario
partendo dall’asse x
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Convenzioni
Ax>0 , Ay >0
I quadrante
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Convenzioni
Ax<0 , Ay >0
II quadrante
29
Convenzioni
Ax<0 , Ay <0
III quadrante
30
Convenzioni
Ax>0 , Ay <0
IV quadrante
31
Somma di vettori
32
Somma di vettori
33
Somma di vettori
Un vettore è definito da
MODULO, DIREZIONE, VERSO
indipendentemente dalla sua posizione
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Somma di vettori
35
La somma tra vettori è indipendente dall’ordine con il quale i
vettori vengono sommati
A B B A C
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Esempio di somma di vettori
Un aereo vola da Bari a Roma AB = 388 kmquindi l’aereo vola da Roma a Milano BC = 472 kmLo spostamento risultante rispetto all’aeroporto di
Bari èdato dalla posizione iniziale e da quella finale, ossia
dalvettore che congiunge Bari con Milano AC = 740 km MILANO
ROMABARI
C
BA
vettore risultante uguale somma vettori
ma
Modulo vettore risultante diverso somma dei moduli
delle componenti*
(*) AB+BC=(388+472)km=860 km
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EsercizioUna barca viene trainata per mezzo di una fune da due persone
che camminano parallelamente, lungo le rive opposte di un canale.
Sapendo che:
a = 60° e che la forza esercitata da ciascun uomo = 577 N
Determinare la forza necessaria per trainare la barca.
a/2
a/2
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Esempio di somma di vettori:
Soluzione:
a = 60° forza esercitata da ciascun uomo = 577 N = OA = OB
OH = OA cos ( /2) = a OB cos ( /2) = a 500 N
forza per trainare la barca = 2 OH = 1000 N = OO’
O
B
A
H
O’
a/2
a/2
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L’opposto di un vettore è un vettore con uguale modulo e direzione, ma verso opposto
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Differenza di vettori
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Una importante convenzione
Useremo sempre
la convenzione
Primo indice (a): origine del vettore
Secondo indice (b): vertice del vettore
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Prodotto scalare
q
A
BIl risultato è uno scalareAB BA
Vale la proprietà commutativa
Si chiama anche prodotto internoCorollari:
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Prodotto scalare Se, in coordinate cartesiane, due vettori hanno
componenti:
Il prodotto scalare vale:
Quindi:
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Prodotto vettoriale
q
A
B
Il risultato è un vettore con: Modulo = A B senq Direzione perpendicolare al piano identificato da A
e B Verso dato dalla regola della mano destra (vedi
dopo)AB - BA
Vale la proprietà anticommutativa Si chiama anche prodotto esterno
Oppure, con altra notazione
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Regola della mano destra
Prendo la mano destra e metto pollice, indice, medio a 90o l’uno rispetto all’altro L’indice indica il verso del vettore A Il medio indica il verso del vettore B Il pollice indica il verso del vettore C
Nota: devo usare la mano destra (non la sinistra) e non devo scambiare l’ordine dei vettori
Nota: vale anche per tutte le permutazioni cicliche, ovvero vale anche: Il pollice indica il verso del vettore A L’indice indica il verso del vettore B Il medio indica il verso del vettore C
Prodotto vettoriale / 2
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In coordinate cartesiane, il prodotto vettoriale si ottiene valutando il seguente determinante simbolico:
Versori coordinati
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x
y
zTerna destrorsa
x
y
zTerna sinistrorsa
In una terna destrorsa si ha sempre: