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Modelli d’illuminazione locale radiometrici

Daniele Marini

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Limiti dei modelli di illuminazione localeLimiti dei modelli di illuminazione locale

• I modelli Flat, Gourad, Phong sono stati formulati empiricamente

• Una soluzione corretta del problema della interazione tra luce e materia, richiederebbe la soluzione delle equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico

• Tale approccio non è praticabile in forma analitica o numerica a causa della elevata complessità

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Equazioni di Maxwell

Dove c è la velocità della luce, da cui la 4° eq:

E è il campo elettrico, B il campo magnetico

ρ la densità di carica e il vettore densità di corrente. Le costanti ε0 e μ0 sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione:

Vedi: http://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_di_Maxwell

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Indice di rifrazioneA partire dalle equazioni di Maxwell, sfruttando il fatto che il campo elettrostatico è conservativo, è possibile dimostrare che passando da un mezzo ad un altro la componente del campo elettrico tangente all'interfaccia è continua. Se i due mezzi hanno un diverso indice di rifrazione (che chiameremo n1 e n2) la velocità della radiazione deve cambiare da c/ n1 a c/ n2 . La condizione di continuità implica: ovvero Questa relazione è nota come legge di Snell.

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Indice di rifrazione n

• È funzione della lunghezza d’onda n()

• Nei conduttori è una funzione complessa:n() = n() + i k()k() è il coefficiente di estinzione

• Nei dielettrici è una funzione reale:n() = n()k() è nullo

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RiflettometriaRiflettometria

• La riflettometria descrive la riflessione delle onde e.m. su materiali reali in termini di grandezze radiometriche

• Le funzioni di Fresnel forniscono una soluzione al problema della riflessione delle onde e.m. in alcuni casi semplificati (riflessione speculare su un materiale liscio ideale)

• Anche l’utilizzo diretto delle funzioni di Fresnel complete non è praticabile a causa della loro elevata complessità

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Funzioni di Fresnel per dielettrico

• Indica il rapporto tra l'intensità della radiazione incidente e quella della radiazione trasmessa all'interno del materiale

• È funzione della lunghezza d’onda (cromaticità)• Radiazione polarizzata trasmessa da un dielettrico, dipende

dall’angolo di incidenza e di trasmissione:

F(λ) =12sin2(θi −θt)sin2(θi +θt)

1+cos2(θi +θt)cos2(θi −θt)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

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Funzione di Fresnel per dielettrico

• L’intensità della radiazione trasmessa dipende sia dalla direzione della radiazione incidente sia dalla direzione della radiazione trasmessa;

• Le due direzioni sono complanari con la normale alla superficie

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Funzione di Fresnel per conduttore

• n2 è l'indice di rifrazione del mezzo conduttore (quello dell'aria è pari a 1) e k2 è il coefficiente di estinzione del conduttore

• L’intensità della luce trasmessa nel conduttore dipende solo dalla direzione della luce incidente:

F(λ) =12

(n2 cosθi −1)2 +(k2 cosθi)2

(n2 cosθi +1)2 +(k2 cosθi)2 +

(n2 −cosθi)2 +k2

2

(n2 +cosθi)2 +k2

2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

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Funzioni di Fresnel

Le funzioni di Fresnel in un conduttore

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Interazione luce materia• Modello superficiale a microfacce

• Conduttori vs dielettrici

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Riflessione: Riflessione: BRDFBRDF

• La funzione di distribuzione della Riflettanza Bidirezionale (Bidirectional Reflectance Distribution Function) descrive la riflessione delle onde e.m.:

1. Su una superficie reale caratterizzata da una qualsiasi microrugosità superficiale

2. Rispetto a qualsiasi direzione (ovvero speculare e/o diffusa)

3. In funzione della radianza riflessa Lr e della irradianza incidente Ei

4. In funzione della lunghezza d’onda

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BRDFBRDF

ωθφθφθφθ

φθφθφθφθφθρ

dL

L

E

L

iiii

iirrr

iii

iirrriirr cos),,(

),,,,(

),,(

),,,,(),,,,( ==

ωθφθφθφθ

φθφθφθφθφθρ

dL

L

E

L

iiii

iirrr

iii

iirrriirr cos),,(

),,,,(

),,(

),,,,(),,,,( ==

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BRDF Anisotropa

• Non c’è simmetria rispetto alla normale

• La superficie presenta una geometria fortemente orientata

• Esempio: velluto, pelliccia, capelli

Isotropic and Anisotropic Aluminum, Westin, Arvo, Torrance

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Esempi

Un tessuto avvolto su un cilindro. sinistra: satin, destra: velluto.

destra: lo stesso tessuto dopo una rotazione di 90°. La luce viene dall’alto e di fronte (notare l’assenza di ombra sul tavolo). Le condizioni di illminazione sono identiche in tutte le immagini

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BRDFBRDF• Purtroppo:

1. La BRDF non è nota analiticamente2. È definita sperimentalmente e può essere misurata con

estrema difficoltà dato che dipende da cinque variabili3. In caso di superfici non omogenee (texture) la sua

misurazione dovrebbe essere ripetuta su ogni punto campione della superficie

• I modelli di illuminazione locali Gourad e Phong sono stati formulati empiricamente per cercare di approssimare la BRDF

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Dimensionalità della BRDF

• Funzione di– Posizione (3)– Direzioni di incidenza e riflessione (4)– Lunghezza d’onda (1)

• Semplificazioni: • A volte non si considera la lunghezza d’onda• Si assume il matriale uniforme• Si assume il materiale isotropo

),,,,,( φθφθ rriir pf

),( rirf θθ

θiθr

d

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Come otteniamo le BRDF?

• Sperimentalmente– goniospettrofotometro

• Con modelli analitici– Basati sulla fisica– Modelli empirici

• Strategia più utilizzata

Greg Ward

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Misurare la BRDF

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Test rendering:

rendering di un tessuto di seta, di cotone e di lana

Confronto tra una fotografia dell’agente Smith (sinistra) e di una immagine di sintesi completa (destra)

BRDF: applicazione

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Modelli di BRDF

• Fisici– Cook-Torrance[81]

– He et al.[91]

• Empirici– Phong[75]

• Phong-Blinn[77]

– ....

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Modello di Cook-Torrance

• Si suppone che la superficie sia composta da piccoli elementi planari detti microfacce

• Solo le microfacce che hanno la normale in direzione H contribuiscono alla riflessione tra V e V’

n

l

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Modello di Cook-Torrance • La BDRF dipende da 5 differenti angoli ed è espressa come

combinazione lineare di un riflettore diffusivo e uno speculare

€

ρ(α ,β ,θ,θ ',ϕ ) =d

π+

s

4πvv'Fλ (β )G(θ,θ ')D(α ,ϕ )

• d è la componente diffusiva, s quella speculare, d + s =1

• D() ≥ 0 definisce la frazione delle microfacce che sono orientate in direzione H

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Modello di Cook-Torrance

• F() [0,1] è la funzione di Fresnel, definisce il colore della componente speculare

• G [0,1] è il fattore geometrico che definisce la percentuale di luce che non è mascherata dalla superficie

€

ρ(α ,β ,θ,θ ',ϕ ) =d

π+

s

4πvv'Fλ (β )G(θ,θ ')D(α ,ϕ )

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• D si può anche considerare come funzione di rugosità, indica sempre la percentuale di microfacce orientate come H.

• Un possibile modello per D:

Modello di Cook-Torrance

€

D(m,c,α ) = ce− α / m( )2

•con angolo tra V e H, c costante arbitraria, m indice di rugosità normalizzato, quando è prossimo a 0 la superficie è liscia, se è prossimo a 1 allora è molto scabra

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• G parametro geometrico tiene conto dell'orientamento delle microfacce superficiali, che possono proiettare un'ombra su facce vicine (shadowing) o produrre una riflessione speculare verso la direzione di osservazione o infine la luce riflessa può essere parzialmente bloccata da altre faccette (masking).

[ ]

HV

HN

LNVNLVN

⋅⋅

=

⋅⋅=

)(2

)(),(,1min),,(

γ

γγG

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28

Modello di Cook-Torrance

• Limiti:– Arbitrarietà dei parametri d, s e m che devono

essere determinati dall’operatore in base all’esperienza sull’aspetto dei materiali

– Ignorata la diffusione della luce sotto la superficie del materiale (sub-surface scattering)

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Modello di Cook-Torrance, riassumendoModello di Cook-Torrance, riassumendo

• La BRDF è quindi approssimata con:• d coefficiente di riflessione diffusa 0 d 1• s coefficiente di riflessione speculare 0 s 1• Ovviamente d + s 1

• se il materiale è un dielettrico puro d=1 e s=0 • se il materiale è un conduttore puro d=0 e s=1

ρd riflessione diffusa (lambertiana) ρs riflessione speculare non ideale, ovvero perturbata dalle

microrugosità superficiali della materia, dipende da:– Angoli di incidenza e riflessione della luce– Fattore di microrugosità m che descrive statisticamente la superficie

(maggiore m … maggiore la microrugosità)– Indice di rifrazione n() che è funzione della lunghezza d’onda e quindi

determina lo spettro della radiazione riflessa, ovvero il colore del materiale

ssdd kk ρρρ +≅ ssdd kk ρρρ +≅

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Modello locale di He-Torrance 1991Modello locale di He-Torrance 1991

• Questo modello (1991) cerca di eliminare i limiti del modello di Cook-Torrance scomponendo la BRDF in tre componenti senza coefficienti arbitrari:

1. Speculare: dovuta ai raggi che riflettono una sola volta sulla superficie

2. Diffusa direzionale: dovuta ai raggi che riflettono una sola volta sulla superficie ma sono deviati dalla direzione speculare ideale a causa delle microrugosità

3. Diffusa uniforme: dovuta ai raggi che riflettono più volte sopra (conduttori e dielettrici) e sotto (solo nei dielettrici) la superficie del materiale

udddsp ρρρρ ++≅ udddsp ρρρρ ++≅

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Limiti dei modelli di illuminazione localeLimiti dei modelli di illuminazione locale

• Limiti dei modelli descritti. Questi ignorano:

1. Fluorescenza dei materiali

2. Fosforescenza dei materiali

3. Anisotropia dei materiali

4. Polarizzazione della luce

5. Sub-surface scattering di alcuni materiali dielettrici (marmo, pelle umana,……)

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Modelli di illuminazione localeModelli di illuminazione locale

• Regole generali per la scelta dei parametri

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BSSRDF

• La BRDF non considera il cammino della luce negli strati sotto-superficiali dei materiali (sub-surface scattering)

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BSSRDF• La BSSRDF dipende dalle

direzioni di incidenza (xi,yi) e riflessione (xr,yr) della radiazione

i è il flusso radiante incidente in (xi,yi)

iiiiiii

iiiii

rrrrrrrrriiii

dAdEdAdLd

yxd

yxdLyxyxS

⋅=⋅⋅⋅=

=

ωθφθφθφθφθ

cos

),,,(),,,(

),,,,,,,(

iiiiiii

iiiii

rrrrrrrrriiii

dAdEdAdLd

yxd

yxdLyxyxS

⋅=⋅⋅⋅=

=

ωθφθφθφθφθ

cos

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),,,,,,,(

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Modelli locali che simulano la BSSRDF

• Hanrahan (1993): materiali a strati con BDRF e BTRF

• Wolff (1994): modellato in 3 passi: rifrazione

entrante, diffusione interna, rifrazione uscente

• Pharr (2000): BSSRDF ottenuta tramite funzioniintegrali

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BSSRDF

• Modello di Jensen (2001)– La BSSDRF viene approssimata con una BDRF

(supponendo illuminazione uniforme)– Somma di due termini: riflettanza diffusa,

scalata con Fresnel + termine di scattering (1)

),,,,(),,,,( )1(rriir

drriir xf

RFxf φθφθ

πφθφθ +=

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BRDF BSSRDF