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Modulo 1° Numeri

Statistiche Programmi Matcos

1. Problema n° 1

Il Sig. Rossi, titolare di un rinomato ristorante, ha trovato ottimamente appetitosa la seguente ricetta:

Penne a candela con salsiccia e fagioli borlotti, per quattro persone: A. Ingredienti: 350g di penne a candela; 300g di polpa di pomodoro; 200g di fagioli

borlotti; 60 g di salsiccia, uno spicchio di aglio, ½ scalogno tritato, sale, pepe, prezzemolo e olio extravergine d’oliva q.b.

B. Preparazione Pelare la salsiccia, tagliare a pezzetti, farla rosolare con l’aglio e lo

scalogno in un goccio d’olio; unire la polpa di pomodoro, aggiustare il tutto con sale e pepe e un pizzico di zucchero; unire i fagioli e fare cuocere per 15’; cuocere le penne a candela in abbondante acqua salata, scolare al dente e unire alla salsa facendo saltare in padella. Servire con una guarnizione di prezzemolo tritato.

Vuole realizzarla, ma il suo problema è che i clienti che si sono presentati sono 6 e non 4. Come fare?

Soluzione Per la parte A è chiaro che bisogna aumentare le dosi di ogni singolo

ingrediente, ma di quanto? Il nostro bravo Sig. Rossi ricorda che questo è un problema di

matematica e che, in fondo, lui a scuola se la cavava assai bene in questa disciplina. Prende, allora, carta e penna e ragiona: se per 4 persone occorrono 350g di Penne, per una sola persona occorrono (350:4)g e quindi se x è il risultato, moltiplicando x per 6 cioè 6x, trovo i grammi di penne che mi occorrono. Allora le stesse operazioni le devo ripetere per ogni singolo ingrediente.

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Con santa pazienza alla fine trova la quantità degli ingredienti necessari:

525g di penne, 450g di polpa di pomodoro, 90g di salsiccia, 1 e 12

spicchio di aglio tritato, 43

scalogno tritato, sale, pepe, prezzemolo, olio

extravergine q.b. Prima di affrontare la parte B del problema, facciamo qualche

osservazione sulla matematica che ha fatto il Sig. Rossi.

2. Numeri naturali e razionali assoluti

Abbiamo incontrato numeri quali 4, 6, 300, 200 ecc. 12

, 34

, ecc. come si

chiamano questi numeri? Anzitutto appartengono a due categorie: quelli, detti interi perché rappresentano quantità intere, come 4, 6, 300 ecc, e quelli

detti frazionari perché rappresentano una parte di unità intere come 12

, 34

,

ecc.

Il Sig. Rossi ha usato numeri interi per esprimere quantità: 350 grammi, 4 persone ecc.

Con i numeri interi si possono, però, rappresentare anche altre situazioni.

Ad esempio il Sig. Rossi dispone i tavoli in fila e per indicarli usa la numerazione prima (1°), seconda (2°) e così via. Per distinguere, allora, questi due usi, diremo cardinale un numero che

risponde alla domanda quanto?, quanti?. Diremo, invece, ordinale un numero che risponde alla domanda: quanto distante in una fila? Prima o dopo?

Vi sono, infine, numeri che, come i nomi della gente, vengono usati solo

per identificare oggetti diversi: ad esempio l’autobus 44, la trentesima strada, etc. In tale circostanza si parla di numeri etichetta.

Sorge, subito una domanda: Quanti sono i numeri interi?

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Cominciando a contare, ovvero a recitare la filastrocca 0, 1, 2, 3,…... non finiremmo mai, perché ogni volta aggiungiamo un’unità (1) al precedente ottenendo un nuovo numero intero.

Diremo allora che i numeri interi sono infiniti. Siccome, come abbiamo constatato, questi numeri sono importanti e sono

utilizzati da tutto il genere umano, per esigenze primarie, è opportuno creare simboli, nomi e significati che siano universali (ovvero validi per il cinese come per l’americano).

Allora i matematici hanno convenuto nel dire che la totalità dei numeri interi, di cui abbiamo parlato, si chiama insieme dei numeri naturali e si indica con la lettera maiuscolaN .

Per indicare un qualsiasi numero naturale, in maniera universale, scriviamo

a ∈ N (1)

ove " "a è la lettera dell’alfabeto, ma potevamo scrivere una qualsiasi altra lettera; il simbolo ”∈“ (inventato dai matematici e non creato da Dio!) si legge ”elemento”, ”appartiene” o loro sinonimi.

Per esprimere la quantità di aglio e scalogno abbiamo dovuto usare altri

tipi di numeri, quelli che abbiamo chiamato frazionari: 12

, 3 ,4

1 e 12

ecc.

Questi numeri, dunque, non rappresentano quantità intere, ma parti di esse, sia più piccole dell’unità che più grandi. Ad esempio: 12

è più piccolo di 1, infatti rappresenta la metà di una parte intera;

32

è più grande di uno e sappiamo che vale una parte intera più una sua

metà. Ciascun numero frazionario, dunque, è individuato da due numeri interi,

uno che rappresenta in quante parti è stata divisa l’unità intera e l’altro il numero di queste che sono state considerate.

Per l’universalità si è, poi, convenuto di scrivere questi numeri staccati da un breve tratto di linea, uno sopra (il numero di parti prese) e l’altro sotto (il numero di parti di suddivisione):

12

, 32

,………. ab

ciascun simbolo di questi è anche chiamato frazione.

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E’ evidente che nella frazione occorre fare attenzione al numero che sta sopra e a quello che sta sotto la linea, perché come abbiamo visto, hanno diversi significati.

Possiamo, perciò, dire che: un numero frazionario, o frazione è una coppia (due) ordinata

(distinguere il primo che sta sopra, e si chiama numeratore, dal secondo che sta sotto la linea e si chiama denominatore) di numeri naturali, con il secondo diverso da zero (non si può certo dividere in zero parti).

Ne scaturisce che: i numeri frazionari sono infiniti, la totalità di essi si chiama insieme dei

numeri razionali assoluti e si designa, in modo universale, con +Q . Così se scrivo

+a∈Q (2)

voglio intendere che a è un numero frazionario, che può essere 12

, ma

anche 45

e quindi, in generale, la frazione cd

dove c e d sono numeri

naturali, con 0d ≠ . Osserviamo che ogni numero naturale si può scrivere come frazione:

221

=

551

=

1+aa a∈ = ∈N Q .

Si esprime ciò dicendo che l'insieme N è incluso in +Q e si scrive +⊂N Q .

2.1. Moltiplicazione e Divisione

Ritornando al Sig. Rossi dobbiamo riconoscere che egli, per poter risolvere il suo problema, ha dovuto eseguire delle”operazioni” sia con i numeri naturali che con numeri frazionari o razionali assoluti.

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In particolare egli ha dovuto eseguire l’operazione di divisione e di moltiplicazione.

La divisione per determinare la quantità di ogni singolo ingrediente per persona (divisione in matematica sotto intende parti uguali) e poi moltiplicare (ovvero addizionare ripetutamente la stessa quantità) per il numero di persone che in quel momento aveva come clienti. Dunque negli insiemi dei numeri naturali e razionali assoluti sono

possibili “operazioni”. Ma cosa vuol dire “operazione”? “Operazione” vuol rappresentare un procedimento che a partire da due

numeri assegnati fa scaturire un risultato in modo univoco, risultato che può essere costituito da uno ed un sol numero o più numeri, ma in questo caso ciascuno con preciso significato.

Infatti la moltiplicazione nei naturali partendo da due numeri, detti

universalmente fattori, basandosi sul meccanismo dell’addizione ripetuta, fa corrispondere in modo univoco ed inequivocabile il risultato, costituito da uno ed un solo numero, che, per l’appunto prende il nome di prodotto.

Il simbolo per indicare la moltiplicazione è " "× ; così

3 4× significa addizionare 3 per quattro volte:

3 3 3 3+ + + , oppure addizionare 4 tre volte

4 4 4+ + . Allo stesso modo se a∈N , b∈N

a b× vuol dire che il numero a è addizionato b volte o che il numero b è addizionato a volte.

Ne segue che l’ordine dei fattori non è importante cioè

a b b a× = × (3) Questa proprietà della moltiplicazione si esprime dicendo che cambiando

l’ordine dei fattori il prodotto non cambia e si chiama proprietà commutativa.

La moltiplicazione, perciò, la possiamo rappresentare con la struttura rappresentata in Figura 1

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Figura 1 - Schema dell’operazione moltiplicazione

L’operazione di divisione nei naturali è diversa dalla moltiplicazione, anzi, in qualche caso, in un certo senso, è l’operazione inversa.

Dati i due numeri naturali, il primo rappresenta la quantità da ripartire, perciò viene detto dividendo, il secondo il numero di parti, perciò viene detto divisore; si capisce subito che il loro ruolo non è interscambiabile, a differenza della moltiplicazione in cui, abbiamo visto l’ordine dei fattori non influisce sul risultato.

Il procedimento di ripartizione in parti uguali porta inequivocabilmente al risultato costituito da due numeri: uno rappresenta il numero di volte che il divisore è contenuto nel dividendo, ed è detto quoziente intero o quoto, il secondo, rappresenta il numero di unità del dividendo necessariamente inferiore al divisore, che sono eventualmente avanzate nella ripartizione, perciò detto resto; naturalmente il resto può essere zero; quando ciò accade si dice che il divisore è un fattore del dividendo o che questo è divisibile per il divisore.

Quando il resto è uguale a zero, la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, ovvero se

:a b c= allora

b c a× =

Prodotto

Fattore Fattore

Risultato

Operazione

Dato Dato

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Il simbolo con cui si indica la divisione nei naturali è “ : ”. Lo schema grafico è riportato in Figura 2

Figura 2 - Schema della divisione

Anche nell’insieme dei numeri razionali assoluti, +Q , si possono definire le operazioni di moltiplicazione e divisione. Infatti se

a c,b d

sono due frazioni, ossia due elementi di +Q , si definisce loro prodotto la

frazione ef

ottenuta ponendo e = a×c, f = b× d, ovvero

a c a×c×b d b×d

= .

Dunque la moltiplicazione in +Q ha la stessa struttura della

moltiplicazione in N , cioè per ogni due elementi di +Q esiste uno ed un solo elemento di +Q che è chiamato il loro prodotto. Ricordando, poi, la proprietà commutativa del prodotto in N si ha

a×c = c× a, b× d = d×b e quindi

Resto

Divisore Dividendo

Divisione :

Quoziente

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a c c a× ×b d d b

= (4)

cioè anche in +Q vale la proprietà commutativa del prodotto.

Per definire l’operazione di divisione in +Q introduciamo prima il concetto di reciproco di un numero naturale o razionale assoluto.

Se a ∈ N e 0a ≠ il numero frazionario 1a

chiamasi reciproco di a ,

analogamente se cd

+∈Q , con 0c ≠ ,

il numero dc

+∈Q chiamasi reciproco di cd

e risulta

1c dd c× = .

Date ora due frazioni a c,b d

con 0≠c

si definisce la divisione come:

:a c a d a×d×b d b c b×c

= = .

Possiamo, perciò, dire che la divisione di due frazioni di cui la seconda

diversa da zero (zero è anche una frazione del tipo 0b

con b 0≠ ) si ottiene

moltiplicando la prima per il reciproco (inversa) della seconda (ovvero invertendo numeratore e denominatore della seconda frazione).

Esempi

1 3 1 3 3 ;2 5 2 5 10

×× = =

×

4 7 4 7 28 ;3 8 3 8 24

×× = =

×

21

3 2 3 3 9: ;5 3 5 2 10

= × =

7 2 7 15 105: ;8 15 8 2 16

= × =

2.2. Il computer

Il Sig. Rossi, però, si accorge subito che qualcosa deve essere perfezionata, dal momento che in sala si presentano spesso comitive di clienti, costituite da un numero sempre diverso di persone, che chiedono le ormai famose”Penne”, per cui egli è costretto ogni volta a”fare”prima il matematico per aggiustare le dosi e poi il cuoco, con grande impegno di energia e tempo.

Gli viene suggerito di fare uso del computer e dell’ambiente di programmazione Matcos, dunque, con molto entusiasmo e curiosità egli incomincia a studiare. Installato il programma Matcos scopre che:

per introdurre un numero naturale nel calcolatore occorre cliccare su ”File”e quindi su ”Nuovo”e dare il comando

a=legginum;

ove a, ma al suo posto ci poteva essere una qualsiasi altra lettere o carattere alfanumerico come a1, alfa2, ecc. è il nome che individua la cella della memoria del calcolatore ove si vuole inserire il numero; legginum è la parola chiave del linguaggio e ”;” chiude il comando.

Cliccando, poi, su”esegui”compare sul video (Figura 3)

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Figura 3

e quindi si può digitare il numero desiderato e cliccare su OK per

proseguire. Per essere certi che, nella cella individuata con ”a” ci sia

effettivamente il numero che abbiamo introdotto, ritorniamo al programma cliccando sulla ”torretta” in alto a destra e aggiungiamo il comando

Stampa(a);

ed eseguiamo, si ha in sequenza (Figura 4 e Figura 5)

23

Figura 4

Figura 5

Abbiamo allora costruito il programma

24

a=legginum; stampa(a);

che consente di inserire un qualsiasi numero e di stamparlo. Se invece vuole inserire un numero frazionario, ovvero una frazione, egli deve cambiare solo la parola ”magica” legginum in leggifraz, cioè deve scrivere

a=leggifraz; Per la stampa deve scrivere :

stampafraz(a); e procedere come prima.

Per poter specificare di che numero si tratta, Matcos consente di completare i comandi precedenti come segue

a=legginum(“grammi di penne”);

stampa(“i grammi di Penne sono”, a);

ovvero tra “ ” poste in parentesi prima del; si può scrivere un qualsiasi commento.

Prima di proseguire nel linguaggio Matcos, il Sig. Rossi osserva ed apprezza che per introdurre un qualsiasi numero nel calcolatore, ha usato una lettera dell’alfabeto, ovvero ha indicato con una lettera un valore numerico da precisare all’occorrenza. Questo è un modo per schematizzare processi, ovvero per astrarre situazioni che possono essere diverse da momento a momento.

Occorre, ora, capire come si fanno le operazioni in Matcos; in proposito il Sig. Rossi ricorda che un’operazione ha bisogno di due dati, allora, egli pensa, bisogna ripetere due volte il comando legginum

a=legginum(“numero grammi di Penne”); b=legginum(“numero persone”);

Il risultato dell’operazione sarà uno o più numeri, ad esempio se ci serve moltiplicare a b× , ovvero il numero di grammi di penne, per il numero di persone, il risultato sarà un solo numero che individuiamo con un’altra lettera, ad esempio, c e scriveremo

c = a* b; ove abbiamo sostituito il segno del prodotto usuale × con ∗ , perché il nostro linguaggio Matcos così richiede. Per conoscere, poi, il valore di c basta aggiungere l’ulteriore comando

Stampa(“il prodotto a x b è”, c);

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Per effettuare la divisione tra due numeri naturali, ricordiamo che essa ha come risultato il quoto ed il resto; il quoto si ottiene con l’operatore DIV, ovvero si scrive

c=a DIV b;

ed il resto con l’operatore RDIV cioè si scrive r=a RDIV b;

per conoscere i valori si aggiunge:

stampa(“il quoto è”,c,” il resto è ”,r);

Se invece dobbiamo effettuare la moltiplicazione e la divisione nell’insieme +Q , ovvero tra due frazioni l’operatore per la moltiplicazione resta invariato:

* mentre per la divisione esso è

/ da notare che nella divisione tra due frazioni non abbiamo resto.

In definitiva per moltiplicare, dividere due numeri naturali e frazionari si può avere il seguente programma

a = legginum("numero naturale"); b = legginum("numero naturale"); c = a*b; q = a DIV b; r = a RDIV b; f = leggifraz; g = leggifraz; h = f*g; i = f/g; stampa("il prodotto di ",a, " e ",b, " è ",c," il quoto è ",q," il resto è ",r); stampafraz(h,"moltiplicazione di f per g"); stampafraz(i,"divisione di f per g");

Nella seguente Tabella 1 sono riportati gli operatori Matcos per la

moltiplicazione e la divisione in N , rispettivamente in +Q .

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Operazione Simbolo

in N

Operatore

Matcos

Simbolo

in +Q

Operatore

Matcos

Moltiplicazione × * × *

Divisione : DIV(quoto)

RDIV(resto) : /

Tabella 1

Il Sig. Rossi può, ora, risolvere il suo primo problema col computer e imposta il seguente programma

a = legginum(“numero clienti”); b =(350 DIV 4)*a; stampa(“numero grammi di Penne”, b); c =(300 DIV 4)*a; stampa(“grammi di polpa di pomodoro”, c); d =(200 DIV 4)*a; stampa(“grammi di borlotti”, d); s =(60 DIV 4)*a; stampa(“numero grammi di salsiccia”, s); f = frazione(1,4)*a; g = frazione(1,8)*a; stampafraz(f); stampafraz(g);

Eseguendo questo programma, dunque, il Sig. Rossi dispone delle

quantità degli ingredienti necessari, per qualunque numero di persone si presentino. Di certo, però, egli non può tenere il computer acceso con questo programma implementato, per tutta la giornata e per i giorni successivi; sente, perciò, il bisogno di salvarlo e richiamarlo quando necessita. Scopre che per questa operazione occorre cliccare su”File”e poi su”Salva con nome”. A questo punto comparirà la schermata (Figura 6)

27

Figura 6

che ci chiede di inserire il nome col quale salvare il programma e noi inseriamo

Ricpequan.mcs per intendere ricetta penne quantità ingredienti; naturalmente avremo potuto scrivere qualunque altro nome, mcs è l'estensione dei programmi Matcos.

Così quando occorre, basta cliccare su “File”, poi su”Apri”

ed inserire il nome Ricpequan.

2.3. Algoritmi

Passiamo, ora, alla parte B del problema ovvero alla realizzazione effettiva della ricetta, per la quale il Sig Rossi si trova davanti una sequenza ordinata di operazioni da compiere manualmente, che richiedono abilità specifica, buon gusto, ma anche un certo rigore. Infatti figurano parole come”pizzico”, ”goccio”, q.b. etc che richiedono evidentemente esperienza e capacità culinarie, ma esiste, anche, un ordine rigoroso tra le varie azioni da compiere; ad esempio non si possono unire alla salsa le penne, se queste non sono state cotte, così

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come la ricetta richiede di unire i fagioli dopo aver unito i pomodori ed aver aggiustato le spezie.

Tutto ciò, si direbbe, è lontano dal nostro ambiente, ovvero la matematica e il calcolatore; mica tanto se si osserva che l’ordine imposto dalla preparazione della ricetta è analogo all’ordine richiesto dalla costruzione di un algoritmo e dal relativo programma per il calcolatore.

Infatti, ad esempio, nel programma Ricepequan, non posso invertire il comando

a = legginum(“numero clienti”); con

c =(300 DIV a)*a; Quindi la ricetta ricorda il concetto di algoritmo in matematica e

informatica: un algoritmo è una sequenza ordinata e finita di istruzioni chiare e inequivocabili, che portano alla soluzione del problema con un numero finito di operazioni aritmetiche.

Un programma per il calcolatore elettronico è la traduzione in un linguaggio di programmazione, di un algoritmo.

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3. Problema n° 2 (Costo e guadagno)

Risolto il problema del calcolo della quantità degli ingredienti in dipendenza del numero dei clienti, Il Sig. Rossi vuole sapere il costo della ricetta ed il suo giusto guadagno.

Quindi tenendo conto che: 1 Kg di Penne costa 1,02 € 1 Kg di polpa di pomodoro costa 1,58 € 1 Kg di fagioli borlotti costa 2,49 € 1 Kg di salsiccia costa 5 € 1 spicchio d’aglio 0,05 €

21

scalogno 0,08 €

pepe, sale e olio 0,10 € e che la preparazione incide per il 10%, se egli vuole realizzare un

guadagno netto pari al 30% dei costi effettuati, quanto dovrà richiedere per ogni porzione della pietanza?

Soluzione Essendo il Sig. Rossi esperto in matematica comincia a ragionare:

poiché il costo degli ingredienti è dato per Kg bisognerà riportarlo al grammo e moltiplicare quest’ultimo per il numero di grammi previsti in ogni porzione, così come calcolato nel precedente problema.

Tale operazione si realizza dividendo per 1000 (perchè 1Kg = 1000g) il costo di ciascun ingrediente; ciò fatto è sufficiente moltiplicare per il numero dei grammi previsti per ottenere il costo di ogni ingrediente. Facendo la somma di tali costi si ottiene la spesa totale degli ingredienti. A tale cifra occorrerà aggiungere il 10% (ovvero 10 € per ogni 100 euro) previsto per la manodopera per ottenere il costo vivo di ogni singola porzione. Volendo egli guadagnare il 30% (ovvero 30 € per ogni 100) della spesa effettuata, a questa dovrà aggiungere tale importo, per ottenere il costo al pubblico di una porzione della sua prelibata pietanza.

Nella Tabella 2 sono riportati i calcoli

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Ingrediente Dosi per 4 persone Costo gr/Porz. Costo/Porz.

Penne 350 gr 1,02 € / Kg 87,5 gr 0,08925€

Polpa Di Pomodoro 300 gr 1,58 € / Kg 75 gr 0,1185 €

Fagioli 200 gr 2,49 € / Kg 50 gr 0,1245 €

Salsiccia 60 gr 5,00 € / Kg 15 gr 0,075 €

Aglio 1 0,05 € - 0,0125 €

Scalogno 1/2 0,08 € - 0,02 €

Pepe Sale Olio q.b. 0,10 € - 0,025 €

Spesa Totale

Ingredienti/Porz.

0,46475 €

Costo Vivo/Porz.

Spesa Tot. Ingred. +

Costo Manodop.

0,51 €

Costo /Porz.

Costo

vivo/Porz.+guadagno

0,66 €

Tabella 2

3.1. Addizione e Percentuale

In questo problema il Sig. Rossi ha dovuto di nuovo applicare il concetto di divisione, per riportare ad un grammo il costo di 1 Kg di ingrediente, e quello di moltiplicazione, dovendo conoscere il costo di un certo numero di grammi per ogni ingrediente.

Successivamente ha dovuto, però, anche applicare il concetto di addizione, per ottenere il costo di tutti gli ingredienti.

L’addizione è, dunque, l’operazione basata sulla legge del contare che ognuno di noi, quasi, impara da sé. Essa ha la stessa struttura della moltiplicazione, infatti assegnati due numeri, detti addendi, se ne trova un solo altro, detto somma (fig. 7);

31

Figura 7 - Struttura dell’addizione

E’ facile riconoscere che anche per l’addizione vale la proprietà

commutativa: cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia

a b b a+ = + .

Infatti addizionare il costo delle penne a quello dei fagioli è lo stesso che addizionare il costo dei fagioli a quello delle penne.

Il Sig. Rossi osserva anche che, sommando al costo delle penne e dei fagioli, il costo della polpa di pomodoro, trova lo stesso risultato, se somma al costo della polpa e dei fagioli il costo delle penne.

Egli ha, così, osservato la proprietà associativa dell’addizione:

( ) ( )a b c a b c+ + = + + (5) ove con , ,a b c abbiamo indicato tre numeri naturali.

Il Sig. Rossi, a dire il vero, qualche difficoltà l’ha incontrata nel calcolare la percentuale, ovvero”un tanto per cento”; ma, dopo attenta riflessione, si è accorto che il 10% (e successivamente il 30%) significando 10 per ogni 100, si ottiene dividendo per 100 il numero disponibile e poi moltiplicando il risultato per 10.

Somma

Addendo Addendo

+ addizione

Dato

operazione

Risultato

Dato

32

Quindi abbiamo la regola La percentuale di una quantità si ottiene dividendola per 100 e

moltiplicando il risultato per la”quota”percentuale.

In formule l’ 00x della quantità y è

100y x× .

% di 100 100

y yxx y x= × = (6)

■

Un bel giorno il Sig. Rossi, avendo bisogno di denaro, pensò di

offrire al pubblico la sua pietanza al costo doppio di quello effettivo; ovvero se il costo effettivo è x lui pose la vendita a 2x . Anzi pensò che se avesse raddoppiato il costo di ogni singolo ingrediente alla fine avrebbe guadagnato ancora di più. Così facendo, però, rimane sorpreso vedendo che il ricavo totale non era variato. Si mise allora a pensare per scoprire l’arcano e ragionò se a è il costo delle penne b è il costo di…………. c è il costo di ………… d è il costo di …………. a b c d x+ + + = è la spesa totale

Se la raddoppio trovo 2x . Raddoppiando invece il costo di ogni singolo ingrediente trovo

2a , 2b , 2c , 2d e quindi sommando trovo

2a+ 2b+ 2c+ 2d, ma poiché il totale non è variato deve essere

xdcba 22222 =+++ essendo

x a b c d= + + + , 2x è 2(a+b+c+ d) e allora deve essere

2 2 2 2 2( )a b c d a b c d+ + + = + + + . Egli ha così scoperto la proprietà, detta, distributiva del prodotto

rispetto alla somma, che in generale si può scrivere

a(b+c)= ab+ ac (7)

33

■

Il Sig. Rossi riflettendo si accorge di aver ricordato l’operazione di addizione nei numeri naturali e si chiede se e come sia possibile la stessa operazione per le frazioni ovvero nei numeri razionali assoluti.

Si accorge subito che se ha le frazioni ab

e cb

la loro somma non può che ottenersi sommando i numeratori (se aggiungo a parti con c parti di una stessa quantità ottengo a+c parti della stessa quantità) cioè

.a c a+cb b b+ =

Osservando, poi, che

a+c = c+ a possiamo subito scrivere

a c c ab b b b+ = +

cioè per l’addizione così definita vale la proprietà commutativa. E’ facile vedere che si ha anche la proprietà associativa

.a c d a c db b b b b b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Nel caso in cui, le due frazioni date non hanno lo stesso denominatore

non si può applicare direttamente la definizione precedente. Il problema è però risolvibile con un procedimento che, date due frazioni

con denominatore diverso ne determina due altre rispettivamente ad esse”equivalenti”ma con uguale denominatore.

34

E’ facile riconoscere che le due frazioni 23

e 46

rappresentano la stessa

quantità, (dividere in 3 e prenderne 2 è lo stesso che dividere in 6 e prenderne 4) quindi le diremo equivalenti1.

Osservando le due frazioni 23

e 46

che abbiamo detto equivalenti, si

trova che la seconda si ottiene dalla prima moltiplicando numeratore e denominatore per uno stesso numero, nella fattispecie 2. In generale possiamo enunciare la proprietà invariantiva delle frazioni: Moltiplicando/dividendo per uno stesso numero naturale diverso da zero, numeratore e denominatore di una stessa frazione, si ottiene una frazione ad essa equivalente. Frazioni equivalenti si identificano e si dice anche che sono eguali:

a a k a : h h,k N h,k 0b b k b : h

×= = ∈ ≠

×(8)

Importante è osservare che nelle frazioni equivalenti vale la regola del

prodotto in croce: numeratore della prima per il denominatore della seconda = numeratore della seconda per il denominatore della prima.

Quindi possiamo dire

seesolosea c a× d = b× cb d=

Esempio 1 Le seguenti frazioni sono equivalenti 1 2 3 9 27 10 100, , , , , ,2 4 6 18 54 20 200

.

La proprietà invariantiva ci consente di ridurre due frazioni allo stesso denominatore e quindi di sommarle.

Il procedimento è dato dal seguente algoritmo:

1 Frazioni equivalenti, spesso sono dette anche uguali e per esse si usa il segno di

uguaglianza cioè si scrive a cb d= anche per indicare che sono equivalenti

35

Date le frazioni

, ,a c vb d t

a) determinare il minimo comune multiplo dei denominatori m.c.m.(b,d,t) = s

b) calcolare i quozienti

1:s b r= , 2:s d r= 3:s t r=

quindi

c) 1 1

1

,a r a rab b r s

× ×= =

× 2 2

2

,c r c rcd d r s

× ×= =

× 3 3

3

,v r v rvt t r s

× ×= =

×

Per ottenere la somma

d) a c vb d t+ +

basta calcolare la somma 31 2 ,v ra r c r

s s s×× ×

+ +

che è uguale a 1 2 3a r c r c r

s× + × + × .

Esempio 2

Calcolare la somma 5 7 3, , .6 8 20

m.c.m.(6, 8, 20)=120

120 : 6 20 120 :8 15 120 : 20 6= = = 5 5 20 100 7 7 15 105 3 3 6 186 6 20 120 8 8 15 120 20 20 6 120

× × ×= = = = = =

× × ×

36

5 7 3 100 105 18 2236 8 20 120 120

+ ++ + = = .

■

Per ottenere la somma di due frazioni con Matcos, l’operatore si indica ancora con +, oppure si può seguire l’algoritmo sopra esposto, tenendo conto che il comando per ottenere il minimo comune multiplo di due o più numeri è

<identificatore> = mcm(<numero>,<numero>…….); Il seguente programma, date due frazioni ne calcola la somma con

l’operatore diretto

a = leggifraz; b = leggifraz; c = a+b; stampafraz(c);

Per eseguire la somma di due frazioni con l’algoritmo di riduzione allo

stesso denominatore, occorre introdurre le frazioni specificandone numeratore e denominatore; il comando necessario è

<identificatore> = frazione(<numero>, <numero>); ove <identificatore> è una lettera che indicherà la frazione,”frazione”è la parola chiave, <numero>, <numero> sono nell’ordine numeratore e denominatore.

Il programma può essere così impostato a = legginum("numeratore prima frazione"); b = legginum("denominatore prima frazione"); c = legginum("numeratore seconda frazione"); d = legginum("denominatore seconda frazione"); f = frazione(a,b); g = frazione(c,d); s = mcm(b,d); a1 = a*(s/b); c1 = c*(s/d); a2 = a1+c1; h = frazione(a2,s); stampafraz(h); stampa("la somma di ",a,"/",b," e di ",c,"/", d," è ",a2,"/",s);

37

Date due frazioni che non siano uguali possiamo stabilire quali di esse è maggiore o minore. Se le due frazioni da confrontare hanno lo stesso denominatore allora è facile stabilire il confronto: sarà maggiore quella che ha il numeratore maggiore.

Per indicare che la frazione ab

è maggiore della frazione cb

si scriverà

a cb b>

e per indicare che è minore si scriverà, invece

a cb b< .

Se le due frazioni non hanno lo stesso denominatore occorrerà riferirci a

due frazioni equivalenti, ma con lo stesso denominatore. Tuttavia per il confronto si può evitare l’esplicita riduzione allo stesso

denominatore ricorrendo alla regola del prodotto in croce: il numeratore della prima per il denominatore della seconda e viceversa il denominatore della prima per il numeratore della seconda e confrontare questi due numeri naturali.

Dunque

a c see solo se a d b cb d> × > × (9)

e

.a c see solo se a d b cb d< × < × (10)

Spesso si scrive anche a cb d≥ (oppure a c

b d≤ ) e si legge

ab

maggiore (minore) o uguale.

In Matcos l’operatore per il confronto si scrive allo stesso modo

<, >, <=, >= ■

38

Il Sig. Rossi credeva di aver risolto tutti i problemi matematici relativi al costo della sua ricetta, incluso il guadagno. Ben presto, però, si accorse che così non era, infatti recandosi al mercato per la compera degli ingredienti, trovava che i prezzi unitari cambiavano quasi giornalmente, così era costretto a rifare tutto il calcolo. Pensò, allora, di nuovo al computer ed ad un programma che riducesse al minimo il suo lavoro matematico giornaliero. Dopo attento studio egli scrisse il seguente programma:

stampa("costo con guadagno del 30% della ricetta Penne a candela con fagioli per n persone"); n = legginum("numero di persone"); a = legginum("costo di un Kg di penne"); b = legginum("costo di un Kg di polpa di pomodoro"); c = legginum("costo di un Kg di fagioli borlotti"); d = legginum("costo di un Kg di salsiccia"); e = legginum("costo di uno spicchio di aglio"); f = legginum("costo di scalogno"); a1 =(a/1000)*(350/4)*n; b1 =(b/1000)*(300/4)*n; c1 =(c/1000)*(200/4)*n; d1 =(d/1000)*(60/4)*n; e1 = e/4; f1 = f/8; costo = a1+b1+c1+d1+e1+f1; ser =(costo /100)*10; costo1 = costo + ser; gua =(costo1 /100)*30; costop = costo1 + gua; Stampa("il costo al pubblico della ricetta è", costop);

Salvato questo programma, ogni giorno il Sig. Rossi, deve solo

introdurre i costi unitari di ogni singolo ingrediente e il numero di clienti, dopo di che, in pochissimi secondi conosce il costo al pubblico della ricetta.

4. Espressione decimale dei numeri razionali Numeri periodici

Il sistema di numerazione decimale prevede, come è noto, oltre le unità

intere dei vari ordini anche unità decimali dei vari ordini.

39

Così la decima parte dell’unità,ovvero 110

, si indica con 0,1; la centesima

parte dell’unità, 1100

si indica con 0,01 e proseguendo avremo

0,001 = 11000

0,0001 = 110000

.

Naturalmente 0,7 rappresenta 7 unità decimali, ovvero

710

.

Per le unità decimali vale la stessa convenzione di posizione delle unità intere, ovvero: dieci unità decimali di un ordine qualunque formano un’unità decimale dell’ordine che precede quello considerato.

Esempio 3

Il numero 518,71 è pari a 7 1 71518 51810 100 100

+ + = +

La frazione 511000

è il numero decimale 0,051.

Così facendo abbiamo stabilito che ogni frazione avente come denominatore dieci, cento,mille......si può scrivere in forma decimale con un numero di cifre decimali finito.

La stessa cosa avviene per quelle frazioni che, mediante la proprietà invariantiva, sono equivalenti ad una frazione con denominatore 10, 100, 1000 etc.

Esempio 4

La frazione 25

è equivalente a 410

,

ovvero 2 2 2 4 0, 45 5 2 10

×= = =

×

40

Quindi la frazione 25

ha l’espressione decimale 0,4; allo stesso risultato

possiamo giungere se effettuiamo la divisione 2 : 5 e trasformiamo le unità intere del resto in unità decimali, quindi proseguendo la divisione, ottenendo cifre decimali del quoziente, fino a quando il resto si annulla (diventa zero ):

2 : 5

20 0,40

7 : 25

20 0, 28200

0

viceversa

0,4 = 4

10 = 25 0,28 = 28 7 4 7

100 25 4 25×

= =×

Ci sono, tuttavia, delle frazioni che non sono equivalenti a frazioni

decimali, ad esempio 2 1 1, , ..........

11 3 7

Anzi si può dimostrare che tutte quelle frazioni il cui denominatore contiene fattori diversi da 2 e 5, non sono equivalenti a frazioni decimali. Volendo l’espressione decimale di queste frazioni, proviamo a procedere come sopra, ovvero dividendo numeratore e denominatore, trasformando il resto in unità decimali dei vari ordini finchè non diventa zero:

2 :11

20 0,1818....90

209

→

→

1 : 3

10 0,33....10

1

→→

1 : 7

30 0,1428571....20

6040

5010

3

→

→

41

ci accorgiamo che le cifre del quoziente non hanno termine, perché il resto, dopo un certo numero di volte (quante?), si ripete e conseguentemente a partire da quella cifra anche le cifre del quoziente si ripetono e il processo può proseguire all’infinito.

I numeri decimali che hanno un numero di cifre decimali illimitato ma con una o un gruppo che si ripete si chiamano periodici e la cifra o il gruppo di cifre che si ripete si chiama periodo, esso viene indicato con una barra sopra:

0,3 , 0,18 , 0,142857 . Quindi abbiamo stabilito che:

le frazioni che non sono equivalenti ad una frazione decimale, ovvero col denominatore pari a 10, 100,.........., hanno espressione decimale illimitata e periodica, ossia sono numeri periodici.

Così come da un numero decimale finito siamo risaliti facilmente alla frazione decimale equivalente, anche da un numero periodico si può risalire alla frazione da cui proviene, detta perciò generatrice.

Per effettuare le operazioni aritmetiche con i numeri periodici, occorre approssimarli ai decimi, centesimi etc.... così 0,3 viene approssimato con 0,3, o 0.33 ecc.

In Matcos i numeri decimali si scrivono sostituendo la virgola con il punto.

5. Problema n° 3 (Ampliamento del locale)

Il Sig. Rossi, spinto dal buon andamento degli affari, decide di ampliare il locale con altre due sale quadrate, di cui una con il lato di m 3,5 e l’altra di superficie totale pari a 2 20,5m poiché dispone già della pavimentazione. Egli, dunque, deve conoscere la superficie della prima sala per acquistare il pavimento e il lato della seconda per poterla costruire.

Soluzione Il Sig. Rossi ha di nuovo a che fare con la Matematica e questa volta

non solo con l’aritmetica, ma anche con la geometria. Prova perciò a fare uno schizzo per capire bene quali sono i dati e quali le incognite del problema.

42

1a Sala

3,5 Quadrato di lato 3,5 m, si vuole la superficie

2a Sala

Quadrato di superficie 2 20,25m , si vuole conoscere il lato

Il Sig. Rossi, dunque, deve ricordare la figura geometrica denominata

quadrato e in particolare il calcolo della sua area. Con l’aiuto del suo vecchio libro di geometria trova che la superficie di un quadrato è data dalla formula

A = lato × lato = l × l ovvero si trova moltiplicando il lato per se stesso.

Allora il primo quesito è subito risolto, la prima sala deve avere la

superficie pari a 2m 3,5 x 3,5 = 12,25.

Il secondo quesito è, invece, l’inverso del precedente infatti egli dispone della superficie e vuole conoscere il lato. Ricorda in proposito che il lato del quadrato è pari alla radice quadrata dell’area:

l = A = 20, 25 = 4,5 m. A questo punto il Sig. Rossi vuole approfondire gli argomenti di

matematica che ha incontrato nella soluzione del problema.

6. Le potenze di numeri razionali assoluti Prima di tutto egli ha incontrato il prodotto

l l×

43

ovvero di un numero per se stesso. Un prodotto in cui i fattori sono uguali merita di essere segnalato con un

nome ed un simbolo appropriato: il prodotto con fattori tutti uguali si chiama potenza; il numero di volte che si ripete il fattore si chiama esponente. il fattore che si ripete si chiama base della potenza; il simbolo per rappresentare una potenza è

na ove a è il fattore che si ripete, ovvero la base; a deve essere, dunque, un numero diverso da zero (qualsiasi prodotto con fattore nullo è nullo), n è l’esponente che deve essere, perciò, un numero naturale maggiore di 1.

Osserviamo che il nuovo simbolo usato per indicare una potenza ha il vantaggio di essere più conciso (corto) rispetto alla scrittura del prodotto ripetuto.

Per le potenze valgono le seguenti proprietà

m n m na a a +⋅ = prodotto di potenze di uguale base

:m n m na a a −= se m > n quoziente di potenze di uguale base

( )nm m na a ×= potenza di potenza

( )n n na b a b× = × distributività delle potenze rispetto al prodotto

( ): :n n na b a b= distributività della potenza rispetto al quoziente

Inoltre si pone

0 1a =

in questo modo la seconda proprietà vale anche per n = m , infatti

1 = 0: 1;n n n na a a a−= = =

mentre non si attribuisce alcun significato alla scrittura 00 . Ricapitolando in simboli possiamo scrivere

44

... 1

11 0

nvolten

a a a n

a a nn

× × >⎧⎪⎪= =⎨⎪ =⎪⎩

00 non ha significato.

Particolare importanza assumono le potenze a base 10, esse, tra l’altro, consentono di scrivere ogni numero in forma decimale, anche con parte intera minore di 1:

1320 = 0,1320* 410 75,2 = 0,752* 210

56425 = 0,56425* 510

Inoltre le potenze del dieci sono importanti perché consentono di scrivere, in forma abbreviata, numeri molto grandi, ad alcuni dei quali sono associati nomi speciali, come risulta nella tabella seguente

110 10 dieci= = 210 100 cento= = 310 1000 mille= = 610 1.000.000 milione= = 910 1.000.000.000 miliardo= = o bilione 1210 1.000.000.000.000 trilione= = 1510 1.000.000.000.000.000 quadrilione= = 1810 1.000.000.000.000.000.000 quinquilione= =

Nota che dopo le prime tre, solo una potenza su tre, riceve un nome

particolare. Le potenze intermedie sono chiamate dieci o cento, seguito dal nome immediatamente inferiore nell’elenco speciale dei nomi.

7. Estrazione di radice

Nel secondo quesito il Sig. Rossi ha dovuto affrontare il problema inverso al precedente, ovvero dato un numero cercarne un altro una cui potenza (nel caso in questione era la seconda) desse il numero dato.

45

Questa operazione prende il nome di estrazione di radice, piu’ precisamente: dato un numero razionale assoluto a diverso da zero si dice sua radice quadrata (cubica, quartica.......) quel numero b che, elevato al quadrato (cubo, quarta potenza,...) dà per risultato a e si scrive

b = 2 a , b = 3 a , b = 4 a ……………

Quindi b = a equivale a dire 2a b= b = 3 a ″ 3a b= b = 4 a ″ 4a b= ″ ″ ″ ″ ″ ″ b = n a na b=

Esempio 5

25 5= ; 81 9= ; 3 27 3= ; 3 125 5= ; 4 625 5= .

Nell’ambiente di programmazione MatCos l’operatore per la potenza è ∧

così 32 si scriverà 2 ∧ 3

mentre per la radice quadrata il comando è

Radiceq(<numero>); Per le radici cubiche, quartiche, ..........., ennesime, occorre utilizzare

l’operatore potenza con l’esponente uguale al reciproco dell’indice della radice, cioè per ottenere la

3 a occorre scrivere (1/ 3)a ∧ n a ″ (1/ )a n∧

In sostanza, come in Matematica, si introduce il simbolo di potenza con

esponente razionale non intero, ponendo l’uguaglianza

46

1n na a=

quindi 1nb a= equivale a dire che nb a=

cioè n a b= .

8. Il quadrato e la sua superficie Il quadrato è la figura geometrica costituita da quattro lati uguali e

quattro angoli uguali (quindi retti). Il quadrato, dunque, appartiene all’insieme dei quadrilateri, è

caratterizzato dell’aver i lati e gli angoli uguali, inoltre i lati giacciono a due a due su rette parallele e gli angoli sono retti, le intersezioni dei lati si chiamano vertici e il segmento che unisce due vertici opposti si chiama diagonale (Figura 8).

Figura 8 – Quadrato.

Lati: , , , ;AB BC CD DA Vertici: A, B, C, D; Diagonali: , ;AC DB

Angoli interni: , , , .ABC BCD CDA DAB∧ ∧ ∧ ∧

I lati , ,AB DC giacciono rispettivamente sulle rette AB, DC parallele;

così come i lati ,AD BC sulle rette AD e BC. Le rette AB e DA così come AB e CB risultano perpendicolari tra loro.

47

Figura 9- Superficie del quadrato.

La superficie di un quadrato (Figura 9) si determina sperimentalmente:

essa è data dal numero di quadratini unitari che ricoprono l’intera area, tale numero è pari alla lunghezza del lato per se stesso.

2A l l l= × = . Un quadrato si può costruire col seguente algoritmo.

Assegnato il lato: segmento AB. Tracciare la perpendicolare in A alla retta AB e staccare su di essa

un segmento AD pari ad AB. Si punta il compasso in B e si traccia un arco di raggio AB,

analogamente si punta il compasso in D e con lo stesso raggio si traccia un arco che interseca il precedente nel punto C;

Il poligono ABCD è il quadrato richiesto. Tale algoritmo si può implementare nell’ambiente di programmazione

MatCos.

1. Assegnare il segmento AB:

occorre assegnare gli estremi del segmento, i comandi necessari sono

A=punto; B=punto;

Naturalmente si potevano usare altre lettere, per approfondire il

comando “punto”consulta la guida del software. Per ottenere il segmento AB, occorre aggiungere il comando

l=segmento(A, B);

2. Per tracciare la perpendicolare in A alla retta AB il comando necessario è

<identificatore>=perpendicolare(<retta>,<punto>);

48

quindi possiamo ottenere la perpendicolare aggiungendo il comando

p=perpendicolare(retta(A,B), A);

Occorre, ora, staccare su questa retta un segmento di estremo A e di misura pari a quella del segmento (A, B), che abbiamo chiamato l.

Per ottenere la distanza di due punti, cioè la misura di un segmento il comando è

<identificatore>=distanza(<punto>,<punto>);

nel nostro caso, dunque,

distanza(A,B);

o, se vogliamo denominarla con una lettera

m=distanza(A,B); Per ottenere sulla retta p, un segmento di primo estremo A e

misura pari alla distanza (A, B) il comando necessario è segmento(<punto>, <numero>, <direzione>);

ove <punto> sta per l’estremo fissato, <numero>, per la misura, <direzione> per la direzione del segmento che è data da una retta, una semiretta, un segmento : perciò dobbiamo aggiungere

s = segmento(A, m, p);

Di questi segmenti ce ne sono due in corrispondenza a ciascun semipiano determinato dalla retta AB, per fissarne uno, basta scegliere primo o secondo e cliccare su OK.

Occorre, ora, denominare il secondo estremo del segmento s, perché sarà un altro vertice del quadrato; per questo ci serve il comando

<identificatore> = <segmento>.estremo(<numero>);

49

ove <segmento> è il segmento di cui vogliamo individuare un estremo, <numero> sta per 1 o 2 a seconda se vogliamo il primo o il secondo estremo; dunque nel nostro caso dobbiamo scrivere

D = s.estremo(2);

3. Ci resta da individuare l’altro vertice che chiamiamo C, esso deve essere tale che i segmenti BC e CD devono essere uguali al segmento AB e a sua volta uguali ad AD. Per fare ciò dobbiamo determinare l’intersezione delle due circonferenze di centri in B e D e raggio pari ad m.

Questo si ottiene con i comandi

C1 = circ(D, m); C2 = circ(B, m);

C = intersezione(C1,C2);

Il significato di questi comandi è evidente

Circ(<punto>,<numero>);

individua la circonferenza di centro in <punto> e raggio pari a <numero>;

intersezione(<oggetto>,<oggetto>);

individua una (o la) intersezione dei due <oggetti>. Infine per ottenere il quadrato basta aggiungere il comando

poligono(A,B,C,D);

In definitiva abbiamo il seguente programma denominato Quadrato; A = punto; B = punto; l = segmento(A,B); m = distanza(A,B); p = perpendicolare(retta(A,B),A); s = segmento(A,m,p); D = s.estremo(2); c1 = circ(D,m); c2 = circ(B,m); c = intersezione(c1,c2); poligono(A,B,C,D);

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volendo cancellare le circonferenze e la retta p, basta aggiungere al programma: cancella(c1,c2,p);

51

9. Certi numeri strani!

Il Sig. Rossi un bel giorno decide di dividere una delle sale quadrate in due parti uguali, in modo da poter selezionare i clienti, pensa che i due nuovi locali debbano avere forma triangolare in modo da sistemare nell’angolo più grande la cassa.

Al fine di effettuare la suddivisione con precisione pensa di utilizzare la Matematica. Perciò traccia un modello con i disegni di Figura 10 e Figura 11

A B

C

D

Figura 10- Sala intera. Figura 11 – Sala suddivisa.

deve, quindi, unire due spigoli opposti e vuole utilizzare una parete in

legno. Non gli resta che rilevare le misure per ordinare la parete, nessun problema per l’altezza essendo pari a quella della stanza, ma la lunghezza presenta qualche difficoltà per via degli spigoli.

Allora il Sig. Rossi, pensa di ricorrere di nuovo alla matematica ed osserva che la lunghezza della parete è pari all’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele di lato AB, la cui misura egli conosce esattamente. Ricorda, pure, che tale problema è risolubile col teorema di Pitagora e scrive

22 2= × =AC AB AB .

Quindi per ottenere la misura richiesta, basta moltiplicare la lunghezza del lato per 2 . Felice di aver risolto il problema si mette ad eseguire i calcoli, cerca……

52

2 : 1,414100 24 4 96

96 281 1 281

400 2824 4 11296281 .11900 .11296 .

604...

=

× =× =

× =

cioè non riesce a calcolare esattamente la forma decimale di 2 , della quale ha assoluto bisogno, perché non può certo fornire al falegname un numero sotto forma di radice. Pensa di ricorrere alla calcolatrice tascabile e impostando i tasti: 2, , trova

1,414213562 resta, un po’ sconcertato per tutte queste cifre decimali (9!) e allora prova con il calcolatore e il software Matcos; a tal proposito il comando che fornisce la radice quadrata di un numero è

radiceq(<numero>); quindi scrive

a = radiceq(2); stampa(a);

Lo stupore aumenta quando trova

1,4142135623731 cioè tutte le cifre di prima, più altre 4.

Per prima cosa pensa di fare un controllo e ricorda che 2 = x

vuol dire che 2 2x = ,

quindi con la calcolatrice prova a fare 1,414213562 1, 414213562×

e trova 1,999999999

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che non è esattamente 2, infatti 2-1,999999999= 0,000000001

Con il computer trova 2-1,4142135623731×1,4142135623731=-0,0000000000000004

Allora, egli, conclude che nessuno dei due numeri trovati, benché l’uno contenesse 10 cifre di cui 9 decimali e l’altro 14 di cui 13 decimali, è esattamente 2 perché il quadrato di nessuno di essi è pari a 2. La cosa desta ancora più meraviglia per il fatto che nelle cifre decimali

non c’è periodo, ovvero nessuno dei due numeri è periodico.

Il Sig. Rossi, un po’ deluso, e riservandosi di approfondire l’argomento matematico, torna al suo problema pratico e urgente; dopo attenta riflessione, conclude che, in fondo, la parete può costruirla anche considerando solo due cifre decimali di 2 , ovvero considerando solo i centesimi, al più dovrà utilizzare un po’ di silicone per gli interstizi!

54

10. I numeri irrazionali Dobbiamo ammettere, dunque, che ci sono numeri, come 2 , che hanno

espressione decimale infinita non periodica, cioè non sono razionali e perciò li chiamiamo irrazionali. Ogni numero irrazionale, però, può essere approssimato con un numero razionale, ovvero con un numero finito di cifre decimali, più grande, quindi per eccesso, o più piccolo, quindi per difetto.

Le operazioni con i numeri irrazionali, nella pratica si effettuano con le loro approssimazioni.

Così possiamo dire che

2 1.4= approssimato ai decimi per difetto

“ 1.5= approssimato ai decimi per eccesso “ 1.41= approssimato ai centesimi per difetto “ 1.42= approssimato ai centesimi per eccesso

e così via……… L’insieme dei numeri razionali assoluti unito con l’insieme dei numeri

irrazionali assoluti prende il nome di insieme dei numeri reali e si indica con +R

Nell’insieme dei numeri reali assoluti, sono possibili tutte le operazioni, con le relative proprietà, che abbiamo visto nei numeri razionali.

■

11. Problema n° 4 (L’incasso e l’utile)

Il Sig. Rossi, ad un certo punto della sua vita, non è più interessato al guadagno giornaliero ma a quello, ad esempio, mensile; perciò giornalmente segna la spesa e il ricavo.

Quanto sarà il suo utile dopo 30 giorni?

Soluzione Questa volta il Sig. Rossi è contento perché capisce subito che

togliendo dalla somma degli incassi giornalieri, la somma delle spese giornaliere, ciò che gli rimane costituisce il suo utile mensile.

Togliere significa sottrarre, quindi il Sig. Rossi deve eseguire addizioni e una sottrazione.

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La sottrazione è, dunque, l’operazione che toglie da un numero naturale o frazionario, un altro più piccolo o al più uguale.

Nell’insieme dei numeri naturali o razionali assoluti, perciò, la sottrazione è un’operazione definita solo se il primo numero, detto minuendo, è maggiore o uguale al secondo, detto sottraendo; quando è definita essa ha la stessa struttura dell’addizione (Figura 12)

Figura 12 Schema della sottrazione in N e +Q .

E’ facile verificare, con la legge del contare che se

a b c− = allora c b a+ = , in questo senso alcune volte si dice che la sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione.

Nell’insieme dei razionali assoluti la sottrazione di due frazioni a cb b−

è possibile solo se a c≥ in tal caso

a c a cb b b

−− = .

Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, occorre

preventivamente sostituirle con due frazioni equivalenti aventi lo stesso denominatore.

Differenza

Sottraendo Minuendo

a -b

Se a ≥ b

Dato a Dato b

Sottrazione

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Esempio 6

3 54 7−

m.c.m.(4, 7) = 28

3 21 5 20 21 20 1, , .4 28 7 28 28 28 28= = − =

Ritornando al Sig. Rossi questa volta il suo compito è agevole se non

fosse stato per il numero elevato degli addendi (30, ma potrebbero essere anche di più!).

Per ovviare a quest’ultimo inconveniente, pensa di nuovo al computer e al linguaggio Matcos.

Scopre, così, che ci sono nuovi oggetti chiamati vettori, i quali possono contenere più di un numero, ad esempio, 30, 50, ……. n, che si chiamano elementi del vettore.

Per introdurre i vettori in Matcos (Figura 13) bisogna scrivere: n = legginum(“numero degli elementi del vettore”) a = vettore(n); leggivett(a);

57

Figura 13

Così nel vettore a, può introdurre le spese giornaliere e introducendo,

anche, un altro vettore b potrà introdurre i ricavi. Occorre, ora, sommare tutti gli elementi di a e tutti gli elementi di b. Quando dobbiamo eseguire sempre la stessa operazione, cambiando solo i dati, il calcolatore è particolarmente utile, perché con un semplice costrutto ci risolve il problema.

Tale costrutto è Per(i da 1 a n) esegui; operazione 1 operazione 2 . . Fine;

ove: i è una qualsiasi lettera che funge da contatore, n è il numero di volte che deve eseguire la stessa operazione, fine; è la chiusura del costrutto.

Nel nostro caso dobbiamo addizionare sia tutti gli elementi di a (spese) che quelli di b (ricavi) e poi fare la sottrazione delle due somme, ciò può essere fatto col seguente programma:

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n = legginum("numero di giorni"); a = vettore(n); b = vettore(n); leggivett(a); leggivett(b); s=0; s1=0; Per(i da 1 a n) esegui; s = s + a(i); s1= s1+b(i); fine; stampa("la somma dei ricavi è ",s," la somma delle spese è ",s1); c = s-s1; stampa("il guadagno in ",n," giorni è ",c);

12. Un’amara sorpresa: i numeri negativi

Un bel giorno il Sig. Rossi eseguendo il programma per calcolare il suo guadagno mensile si trova come risultato sul video il numero -500.

Pensa subito di aver sbagliato ad introdurre i dati e ripete le operazioni, ma il risultato non cambia.

Allora, dopo attenta riflessione, ricorda che a scuola aveva imparato certi numeri preceduti dal segno, “–“, detti negativi, contrapposti a quelli preceduti dal segno +, detti positivi, a proposito della rappresentazione di debiti e crediti. Subito, allora, gli viene un dubbio atroce e va a controllare la cassaforte e scopre l’amara verità: egli in quel mese aveva incassato 500 euro in meno di quanto aveva speso; dunque i matematici hanno inventato i numeri con segno per rappresentare situazioni dicotomiche: debiti e crediti; caldo e freddo; ecc.

Così +30 parlando di soldi vorrà intendere un guadagno di 30 unità; -20 parlando di temperatura, specificherà 20 gradi sotto lo zero, ovvero freddissimo.

In generale i numeri negativi sono definiti nel seguente modo: se n è un numero naturale si indica con n− quell’oggetto tale che

0)( =−+ nn e si chiamerà l’opposto di n .

Quindi per ogni numero naturale esiste il suo opposto; i numeri naturali vengono detti anche interi positivi in contrapposizione ai loro opposti detti

59

negativi. L’insieme (la totalità) dei numeri positivi e negativi con l’aggiunta dello zero che non ha segno, nel linguaggio universale della matematica, prende il nome di insieme dei numeri interi relativi e si indica con Z .

L’insieme Z testè definito è suscettibile di un’immagine geometrica molto significativa.

Consideriamo una retta r e fissiamo su di essa due punti che indichiamo con O e U (Figura 14)

Figura 14 – Retta orientata.

diciamo positivo, e lo indichiamo con una freccia, il verso secondo il quale O precede U; il verso opposto sarà chiamato negativo. Assumiamo il segmento OU come unità di misura per i segmenti, ciò fatto ad ogni numero relativo, ovvero ad ogni elemento di Z , facciamo corrispondere un punto sulla retta r così costruito: se il numero è positivo il punto corrispondente P si trova sulla semiretta di origine O che contiene il punto U, tale che il segmento OP contiene il segmento OU tante volte, quante sono le unità rappresentate dal numero considerato, privo del segno; se il numero è negativo si procede allo stesso modo con la differenza che, il punto corrispondente si troverà sulla semiretta di origine O, che non contiene U, detta semiretta opposta alla precedente. Nella Figura 15 sono rappresentati i punti P e Q corrispondenti rispettivamente ai numeri +3 e -5:

Figura 15 – Riferimento sulla retta.

Naturalmente al numero zero corrisponde il punto O ed al numero 1,

corrisponde il punto U. Una retta su cui sono stati fissati il punto O, il punto U ed il verso

positivo, si chiama retta numerica, o, si dice anche, che su di essa è stato fissato un riferimento cartesiano.

Esistono comandi Matcos che realizzano la retta numerica, essi sono:

60

r = rettanum;

che in esecuzione rappresenta una retta numerica denominata r (Figura 16).

Figura 16 – Videata Matcos.

r = rettanum(punto, numero);

ove <”punto”> rappresenta l’origine che dobbiamo definire precedentemente o fissare col mouse e <numero> rappresenta l’unità di misura (Figura 17).

61

Figura 17 – Videata Matcos.

Possiamo, ora, rappresentare sulla retta numerica il punto corrispondente a qualsiasi numero intero relativo, ovvero elemento di Z . Il comando successivo è

<identificatore> = Punto_su(<rettanum>, <numero>);

Ad esempio se vogliamo rappresentare i punti corrispondenti ai numeri

-5 e +5, occorre il seguente segmento di programma:

r = rettanum; P = Punto_su(r,+5); Q = Punto_su(r,-5);

62

Figura 18 – Videata Matcos.

Osservando i punti P e Q corrispondenti ai numeri +5 e -5 ci accorgiamo che essi pur essendo da parti opposte rispetto al punto O, hanno da esso uguale distanza, questa circostanza viene segnalata dicendo che i numeri relativi +5 e -5 hanno lo stesso valore assoluto o modulo. Allo stesso modo, allora, -3 e +3 hanno lo stesso valore assoluto, in generale per indicare il valore assoluto di un numero relativo si usa il simbolo ; così se a∈Z , il

valore assoluto o modulo di a , che si indica con a , è uguale alla distanza dall’origine dei punti della retta numerica che corrispondono rispettivamente ai punti a e - a . Così, in formule, possiamo scrivere che dato a∈Z , risulta

se è positivose è negativo.

a aa

-a a⎧

= ⎨⎩

In Matcos per individuare il valore assoluto di un numero si ha il comando

<identificatore> = valore_Ass(<numero>);

63

Il seguente segmento di programma, introduce un numero e ne stampa il suo valore assoluto.

a = legginum; x = valore_Ass(a); stampa(“il valore assoluto di”, a,”è”, x);

Nell’insieme Z sono definite le operazioni di addizione, sottrazione,

moltiplicazione e divisione dalle seguenti regole.

12.1. Addizione La somma di due numeri relativi concordi (dello stesso segno) è il

numero relativo che ha lo stesso segno e per valore assoluto la somma dei valori assoluti dei due addendi.

La somma di due numeri relativi discordi (di segno diverso) e non opposti è il numero relativo che ha lo stesso segno dell’addendo di valore assoluto maggiore e modulo uguale alla differenza fra il maggiore e il minore dei due moduli dei due addendi. La somma di due numeri opposti sappiamo già che è 0.

Il seguente segmento di programma esegue la somma di due numeri relativi arbitrari, e rappresenta su una retta numerica i punti corrispondenti rispettivamente agli addendi e alla somma; eseguendolo varie volte puoi dare un’interpretazione geometrica dell’addizione in Z .

r = rettanum; a = legginum; P = punto_su(r,a); b = legginum; Q = punto_su(r,b); c= a+b; stampa("la somma di ",a," e di ",b, " è ",c); T=punto_su(r,c);

64

Figura 19 – Videata Matcos.

Le regole precedenti possono essere espresse in formule come segue: se a e b sono due numeri positivi, ovvero due numeri naturali, a b+ è già definito dalla legge del contare; se

a > b allora

baba −=−+ )( se

a < b )()( abba −−=−+

)()()( baba +−=−+− naturalmente

0a a+ = qualunque sia a∈Z .

L’addizione così definita ha, ovviamente, la stessa struttura dell’addizione nei numeri naturali e le stesse proprietà di commutatività e associatività:

a b b a+ = + qualunque siano a,b∈Z

65

( ) ( )a b c a b c+ + = + + qualunque siano a,b,c∈Z .

Ribadiamo, però, che in Z l’addizione ha l’ulteriore proprietà rispetto a N :

( ) 0a a+ − = qualunque sia a∈Z nota col nome di”esistenza dell’opposto”.

Questa proprietà ci consente di risolvere il seguente problema in Z : assegnato un numero a∈Z , trovare quel numero x tale che

x+ a = 0 (11)

così se

a=3 x = -3 a = -5 x = +5

E’ appena il caso di osservare che questo problema non è risolvibile in

N . La formula (11) viene anche detta equazione di primo grado, di cui x è

l’incognita e a il termine noto.

12.2. Sottrazione Se a e b sono due numeri relativi arbitrari chiamiamo loro differenza o

sottrazione quel numero che si ottiene sommando ad a l’opposto di b . In formule si può scrivere

( )a b a b− = + − qualunque siano .a,b∈Z

Ne consegue che se a b c− = allora c b a+ = .

La sottrazione in Z , dunque, si può fare sempre, ovvero viene a cadere la

condizione del minuendo maggiore o uguale al sottraendo, necessaria, come abbiamo visto, in N . Allora la struttura della sottrazione in Z è la stessa di quella dell’addizione (Figura 20).

66

Figura 20 - Schema della differenza in Z

Esercizio 1 Scrivi un programma che esegua la sottrazione di due numeri

relativi e rappresenti i punti corrispondenti al minuendo, sottraendo e differenza su una retta numerica.

12.3. Moltiplicazione La Moltiplicazione in Z come operazione ha lo stesso schema

dell’addizione, ovvero (Figura 21)

67

Figura 21 - Schema della moltiplicazione in Z quindi è sempre definita o, come si suol dire, è un’operazione interna. Il risultato, chiamato prodotto dei due fattori, viene determinato dalle seguenti regole:

il prodotto (la moltiplicazione) di due numeri positivi è un numero positivo che ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti;

il prodotto di un numero positivo, per un numero negativo, è un numero negativo che ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti;

il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo che ha come modulo il modulo dei valori assoluti.

Esempi ( 2) 3 6 6;+ × = + = ( 5) ( 7) 35;+ × + = ( 2) 3 6;− × = − ( 5) ( 7) 35;+ × − = − ( 2) ( 3) 6 6;− × − = + = ( 5) ( 7) 35 35;− × − = + =

Se vuoi renderti conto delle motivazioni che hanno portato a queste regole vai nel secondo livello.

La moltiplicazione come precedentemente definita, soddisfa le proprietà: commutativa a×b = b× a;

2 3 3 2× = × ;

68

associativa ( ) ( )a× b×c = a×b ×c;

( ) ( )2 3 5 2 3 5× × = × × ;

distributiva rispetto all’addizione ( ) ( ) ( )a× b+c = a×b + a×c ;

( ) ( ) ( )2 3 5 2 3 2 5 ;× + = × + × esistenza dell’elemento neutro a×1= a;

5 1 5,× = legge dell’annullamento del prodotto:

se a×b = 0,

allora a o b (o entrambi) sono nulli. Puoi verificare queste proprietà col seguente programma Matcos:

a = legginum; b = legginum; c = legginum; a1=a*b; a2=b*a; stampa("il prodotto di a e b è”,a1,”il prodotto di b e a è”,a2); a3=a*b; a4=a3*c; a5=b*c; a6=a*a5; stampa("il prodotto di(a*b)* c è”,a4,”il prodotto a *(b*c) è”,a6); a7=a*b; a8=a*c; a9=a*(b+c); stampa("il prodotto di a*b+a*c è”,a7+a8,”il prodotto a*(b+c) è”,a9); stampa("la somma di”,a,”e di”,b,”è”,c);

Eseguendo questo programma più volte puoi dedurre che, nei casi

esaminati, valgono le proprietà commutativa, associativa e distributiva (basta osservare il risultato delle diverse operazioni e constatare che vale la proprietà che stai esaminando). Il calcolatore è anche in grado di comunicarti direttamente, se, nel caso in questione, vale o no la proprietà che stai esaminando.

Per ottenere tutto ciò abbiamo bisogno del costrutto Matcos se(condizione) allora

69

istruzione; altrimenti istruzione;

che chiamasi costrutto di controllo.

Con questo costrutto il programma precedente può essere così

migliorato: a=legginum; b=legginum; a1=a*b; a2=b*a; se(a1=a2) allora stampa("vale la proprietà commutativa"); altrimenti stampa("non vale la proprietà commutativa)";

12.4. Divisione e confronto Le operazioni di moltiplicazione e addizione consentono di definire

anche in Z , la divisione: Dati due numeri relativi a e b con b 0≠ esistono e sono unici due altri

numeri relativi q e r tali che 0a = b× q + r r < b≤

Da questo enunciato segue la nota regola sul segno del quoziente:

:+ + = + :+ − = − :− − = + :− + = − Dati due numeri relativi siamo in grado di stabilire se sono uguali o quali

dei due sia il maggiore. Per ottenere ciò è sufficiente osservare la posizione dei punti sulla retta numerica cui corrispondono i numeri in considerazione (Figura 22): è maggiore il numero cui corrisponde il punto più a destra nel verso positivo della retta.

3 1− < − 5 4> −

70

Figura 22 – Confronto di numeri relativi.

13. I numeri razionali

Abbiamo già incontrato numeri come 12

, 34

, etc, ovvero i numeri

frazionari; essi hanno un preciso significato nell’interpretazione della realtà. Possiamo anche dire, in maniera più astratta, che essi risolvono il

seguente problema: dati due numeri positivi a e b determinare quel numero x tale che

a x b× = ;

tale numero x è la frazione ba

.

Dal punto di vista formale, ovvero prescindendo dall’interpretazione diretta nel reale, possiamo considerare i numeri

ab con ,a b∈Z e 0b ≠ .

Tale insieme prende il nome di insieme dei numeri razionali e si indica con Q , per cui possiamo scrivere

a a, b , b 0b

⎧ ⎫= ∈ ≠⎨ ⎬⎩ ⎭

Q Z .

Osserviamo esplicitamente che un elemento di Q è una frazione preceduta dal segno + o -, infatti:

se a e b sono tutti e due positivi allora ab

è lo stesso di ab

+

se a è negativo e b è positivo a cb b= − se c è l’opposto di a (quindi c è

positivo)

se a è positivo e b è negativo a ab d= − se d è l’opposto di b (quindi d

è positivo)

71

se a è negativo e b è negativo a cb d= + se c e d sono rispettivamente

gli opposti di a e b . Inoltre in Q c’è lo zero cioè

00b

= qualunque sia 0b ≠

ma anche l’unità cioè

1 aa

= qualunque sia 0a ≠

Infine ogni elemento di Z ( e quindi anche diN ) è elemento di Q , infatti

: , :1 1a ba a b b∈ = ∈ =Z N

Questa circostanza si esprime dicendo che N e Z sono sottoinsiemi di Q (Figura 23) e si scrive in simboli(universale)

, , ,⊂ ⊂ ⊂ ⊂N Q Z Q N Z Q

Figura 23 – Diagramma di Venn.

Per approfondire questo argomento vai nel 2° livello.

NZ

Q

72

I numeri razionali si possono rappresentare sulla retta numerica (

Figura 24)

Figura 24 – Rappresentazione di numeri razionali.

12

P→

32

Q− →

Da questa rappresentazione si ricava l’ordine con la convenzione già vista per i relativi:

dati due numeri razionali se non sono uguali (nel segno e nel valore assoluto) è maggiore quello cui corrisponde sulla retta il punto più a destra nel verso positivo fissato.

Nell’insieme dei numeri razionali si possono definire le operazioni di addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione, le quali conservano tutte le proprietà già viste nell’insieme dei numeri relativi.

Ricordiamo brevemente come sono definite queste operazioni.

13.1. Addizione e Sottrazione

,a c a c a cb b b b b

+∈ ⇒ + =Q

,a c a c a cb b b b b

−∈ ⇒ − =Q

Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore occorre preliminarmente

ricondurle allo stesso denominatore con l’algoritmo già noto.

13.2. Moltiplicazione Il prodotto di due o più frazioni si ottiene moltiplicando, tenendo conto

delle regole dei segni, i numeratori e, rispettivamente, i denominatori

73

.a c f a b fb d g c d g

× ×× × =

× ×

13.3. L’inverso o reciproco Dato il numero razionale 0a ≠ , dicesi suo inverso o reciproco quel

numero razionale tale che moltiplicato per a dia l’unità. Il reciproco di a è 1a

, infatti

1 1aa

× =

Il reciproco di ab

con a e 0b ≠ è ba

, infatti 1a bb a× = .

13.4. Divisione La divisione di due razionali si ottiene moltiplicando, tenendo conto delle

regole dei segni, il primo per il reciproco del secondo:

:a c a d a db d b c b c

×= × =

×.

13.5. Quanti clienti mediamente ho?......

Il Sig. Rossi al fine di razionalizzare il suo lavoro, si pone la domanda: quanti clienti ho settimanalmente e come si distribuiscono nei diversi giorni?

Sarebbe interessante avere informazioni di questo tipo, perché potrebbe organizzare meglio la sala, effettuare la spesa giornaliera in modo più oculato e così via. Come risolvere il problema? Dopo attenta riflessione, osserva che spesso nei vari telegiornali sente parlare di statistiche, vede tabelle ecc. Ma cosa è una statistica e come si ottiene una tabella?

74

Dopo essersi documentato sui libri di scuola precisa meglio il suo problema: quanti clienti ho settimanalmente e come si dispongono nei vari giorni?

Fissato l’obiettivo, comincia a raccogliere i dati per 4 settimane consecutive e trova i risultati riportati nella tabella 3, in cui nella prima riga orizzontale sono riportati i giorni della settimana e nella prima riga verticale le settimane.

L M M G V S D T.

1° 10 12 9 7 10 18 20 86

2° 8 9 5 10 12 15 18 77

3° 9 10 6 8 10 12 19 74

4° 10 12 5 10 9 13 16 85

Tabella 3

I dati così disposti sono poco visivi e pensa di ordinarli in grafici. Costruisce allora i diagrammi a strisce riportati nelle figure seguenti

che si leggono più facilmente

Figura 25 a Figura 25 b

Figura 25 c Figura 25 d

75

Si accorge allora che la domenica è il giorno in cui ha più clienti ed il mercoledì è il giorno con meno clienti.

Certamente il Sig. Rossi ha acquisito una maggiore informazione, ma non è ancora sufficiente dal punto di vista quantitativo. Egli, infatti, ha bisogno di un numero che rappresenti il più vicino possibile il numero dei clienti settimanali e nei singoli giorni della settimana. Gli viene suggerito di calcolare la ”media aritmetica” dei clienti settimanali o giornalieri.

La media aritmetica si calcola sommando i valori rilevati e dividendo per il numero delle rilevazioni.

Cosi la media dei clienti settimanali è

8086 85 74 77 80.54 81

+ + += ≈

La media dei singoli giorni è

L 10 8 9 10 9,25 94

+ + += ≈

M 12 9 10 12 10,75 114

+ + += ≈

M 9 5 6 5 6,25 64

+ + += ≈

G 7 10 8 10 8,75 94

+ + += ≈

V 10 12 10 9 10,25 104

+ + += ≈

S 1418 15 12 13 14.5

4 15

+ + += ≈

D 20 18 19 16 18.25 184

+ + += ≈

Il Sig. Rossi in questo modo ha un’informazione su base scientifica sull’andamento dei suoi clienti, che può sfruttare per ottimizzare il suo lavoro.

Osserva, però, che i calcoli e i grafici che ha dovuto fare benché facili gli hanno richiesto tempo e fatica, in qualche momento anche noiosa. Pensa, allora, di sfruttare il computer e scopre che in Matcos per ottenere il grafico che lui ha elaborato, chiamato diagramma a strisce, c’è un comando specifico:

76

diagstr(<lista>);

ovvero basta digitare la parola chiave diagstr e aggiungere tra parentesi l’elenco dei valori rilevati, chiudendo il comando col solito”;”.

Allo stesso modo per ottenere la media aritmetica il comando è

<identificatore> = media(<lista>);

cioè al primo membro un simbolo che identifica il numero che rappresenta la media, e il secondo membro la parola chiave media seguita dalla lista dei valori rilevati tra parentesi.

Concludendo egli compila il seguente semplice programma per ottenere il diagramma a strisce e la media aritmetica di un insieme di valori:

diagstr(86,85,74,77); m = media(86,85,74,77); stampa("la media settimanale è ", m);

Figura 26

Il Sig. Rossi non è ancora soddisfatto dei risultati precedenti per

almeno due ragioni:

77

− vorrebbe avere qualche informazione in più sui suoi singoli clienti, ad esempio le fasce di età (perché esse influenzano la scelta del cibo) e si accorge che il diagramma a strisce non è molto conveniente, perché sarebbe difficoltoso suddividere in fasce di uguale ampiezza le età;

− la media aritmetica non sempre è molto vicina ai clienti che effettivamente arrivano.

Il primo problema viene risolto da due altri tipi di diagramma: l’istogramma e il diagramma circolare o a settori.

L’istogramma è più indicato quando sull’asse orizzontale si riportano non ”oggetti”, come i ”giorni della settimana”, ma singoli numeri o intervalli numerici. Ad esempio se il Sig. Rossi vuole indicazioni sull’età dei clienti abituali considera ad esempio le seguenti fasce di età: 10-15, 15-20, 20-25, 25-30, 30-35, 40-45 e rileva in un mese il numero di clienti per ogni singola fascia:

12, 20, 25, 18, 30, 15 Quindi costruisce l’istogramma

1220

2518

30

15

010203040

10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 40-45

Figura 27 – Istogramma.

Il diagramma circolare, invece, è utile quando si vuole

un’informazione sul rapporto o percentuale, ad esempio, dei clienti del lunedì rispetto al numero dei clienti settimanali. Così il Sig. Rossi nella prima settimana trova che:

il lunedì il rapporto è 10 0.1286

≈

martedì “ 12 0.1486

≈

78

mercoledì “ 9 0.1086

≈

giovedì “ 7 0.0886

≈

venerdì “ 10 0.1286

≈

sabato “ 18 0.2186

≈

domenica “ 20 0.2386

≈

Questi rapporti o percentuali diventano più espressivi se sono descritti graficamente come settori circolari.

Il diagramma circolare o a settori si costruisce così: si divide un cerchio in 100 parti uguali (settori), ciascuno di essi avrà

l’ampiezza di 360 (3.6)100

°= ° come in Figura 28

Figura 28 – Settore circolare.

Una percentuale dell’1% sarà allora rappresentata da un angolo di

3.6°, una del 2% da un angolo doppio e così via. I settori (angoli) relativi alle percentuali precedenti sono allora

79

0.12 360 43.20.14 360 50.40.10 360 360.08 360 28.80.12 360 43.20.21 360 75.60.23 360 82.8

× =× =× =× =× =× =× =

Anche questi due diagrammi si possono ottenere con comandi

MatCos, essi sono istogramma(<lista>);

e diagcirc(<lista>);

L’altro problema del Sig. Rossi è un po’ più complicato, egli vuole un

numero che riassuma ”meglio” certe sue esigenze. Ad esempio se egli volesse sapere qual è il numero di clienti che più frequentemente si presenta nel corso della settimana, dall’osservazione della tabella 3 ci si accorge che è 10, mentre la media giornaliera della settimana è 12.

Questo nuovo indice si chiama moda. Dunque la moda è il numero che individua la frequenza massima.

Un’altra caratteristica di un insieme di dati risulta dalle seguenti considerazioni: si scrive in ordine crescente il numero di clienti per ogni giorno della settimana:

7 9 10 10 12 18 20 si nota che in metà settimana il numero dei clienti è ≤ 10 e nell’altra metà è > di 10.

Questo numero che divide a metà i dati numerici si chiama mediana. Nel nostro caso è 10, che coincide con la moda.

Dunque, media, moda e mediana, detti indici di centralità, sono tre numeri che riassumono con criteri diversi il comportamento di un gruppo di persone o di un qualunque insieme di dati numerici.

Nell’esempio del Sig. Rossi questi tre numeri, sono abbastanza vicini tra di loro, e si può, quindi, scegliere indifferentemente uno o l’altro senza gravi conseguenze per le decisioni conseguenti del Sig. Rossi. Non è sempre così. Infatti consideriamo il seguente insieme di dati che rappresentano il numero di ore settimanali che un gruppo di 30 ragazzi trascorre singolarmente davanti la televisione:

80

10, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 28, 28, 32, 38, 38, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 48, 48, 50

Si trova, con programma Matcos, che la mediana è 26, la moda è 42, la media è 31.

In questo caso, media, moda e mediana hanno valori assai diversi e, quindi, valutano in modo differente il comportamento complessivo del gruppo di ragazzi. I comandi Matcos per ottenere la moda e la mediana sono

rispettivamente: <identificatore>=moda(<lista>);

<identificatore>=mediana(<lista>);

In definitiva disponendo di una tabella di frequenze rilevate, il seguente

programma Matcos restituisce i diagrammi e gli indici di centralità.

a=legginum; b=legginum; …………………………… n=legginum; diagstr(a,b,……n); istogramma(a,b,……n); diagcirc(a,b,……n); m=media(a,b,……n); m1=moda(a,b,……n); m2=mediana(a,b,……n); stampa(“la media è”, m, “la moda è”, m1, “la mediana è”, m2);

81

14. Secondo livello La sezione secondo livello approfondimenti si trova sul sito cird.unical.it,

come esempio si riporta il primo argomento.

14.1. Insieme La parola insieme è per noi sinonimo di raggruppamento, classe ecc. Importante è stabilire che: Un insieme è definito(assegnato) se e solo se disponiamo di un

criterio in base al quale possiamo stabilire in modo inequivocabile, se un qualsiasi oggetto appartiene o no a quell’insieme. Ad esempio: l’insieme dei numeri naturali è definito, ma l’insieme dei ragazzi simpatici non è definito, perché il criterio in base al quale possiamo affermare che un oggetto appartiene o no all’insieme non è universale; infatti, nel caso in questione, l’attributo simpatico non è oggettivo.

Possiamo considerare insiemi di elementi qualsiasi come ad esempio:

− l’insieme delle sedie dell’aula; − l’insieme dei bambini nati nel 2006; − l’insieme formato dal numero due, da cinque e da tutti i

triangoli rettangoli. In generale gli insiemi si indicano con le lettere latine maiuscole: A, B, C

….. mentre gli elementi(gli oggetti) dell’insieme con lettere latine minuscole: a, b, c,…

Per indicare che a è un elemento dell’insieme A useremo il simbolo " "∈ come abbreviazione delle parole”elemento di”o”appartenente a”e scriveremo

a ∈ A Naturalmente il simbolo " "∉ indicherà che a non appartiene ad A . Spesso per mettere in evidenza gli elementi di un insieme, si racchiudono

questi in parentesi graffe e si separano con una virgola. { } { }, , , ,A zero due cinque B Giove Saturno= =

E per gli insiemi assegnati mediante una proprietà(caratteristica) si usa la notazione seguente

82

{ } proprietà che definisce l'appartenenza all'insiemeA x=

Esempi 1. { }alunni alunno frequentante la < prima > AA =

2. { }calciatori calciatore tesserato in una squadra di serie BB =

In realtà bisognerebbe considerare un passaggio preliminare in cui sia specificato l’insieme universale, cioè l’insieme cui appartengono tutti gli oggetti dei quali si sta parlando.

Così, per l’esempio 1, se con U indichiamo l’insieme universale(cioè l’insieme degli alunni dell’istituto) si dovrebbe scrivere

{ }alunno U alunno frequentante la < prima > AA = ∈ Tuttavia nel seguito, ove non strettamente necessario tralasceremo

l’indicazione dell’insieme universale.

15. Esercizi e complementi

Ulteriori esercizi di approfondimento si trovano sul sito cird.unical.it.

1. Petti di pollo saporiti.

1) Ingredienti (per 4 persone):

8 fettine di petto di pollo;

8 fette di pancarrè;

8 fettine di pancetta affumicata;

200 g di farina;

2 cucchiai di Marsala;

4 cucchiai di olio d’oliva;

sale e pepe q.b.

83

2) Preparazione

a. In un tegame antiaderente cuocere le fette di pancetta e

scolarle dorate e croccanti;

b. tostare le fette di pancarrè e versarvi sopra l’unto della

pancetta;

c. a parte rosolare nell’olio le fettine di carne infarinate;

d. salare, pepare ed ultimare la cottura spruzzando con il

Marsala.

e. disporre le fette di pane su un piatto da portata, appoggiare su

ognuna un filetto di pollo e una fetta di pancetta e servire subito.

Aggiustare le dosi per 6 persone.

2. Baccalà con pomodoro e patate

1) Ingredienti (per 4 persone):

600 g di baccalà già ammollato;

400 g di passata di pomodoro;

500 g di patate;

1 cipolla;

2 spicchi di aglio;

35 olive nere snocciolate;

1 bicchiere di olio extravergine d’oliva;

1 mazzetto di odori: alloro, timo, finocchio, basilico,

rosmarino;

sale e pepe q.b.

2) Preparazione

a. Pulire il pesce e tagliarlo a pezzi;

84

b. soffriggere con l’olio la cipolla tritata, l’aglio schiacciato e

gli odori, aggiungere baccalà e pomodoro, sale e pepe;

c. dopo un’ora di cottura unire le patate a dadini e le olive

intere;

d. cuocere ancora 30 minuti, aggiungendo se necessario, un po’

di acqua;

e. servire caldo.

Aggiustare le dosi per 7 persone.

3. Rispondere alle seguenti domande per iscritto:

a. Quali tipi di numeri figurano nella ricetta n° 1 e nella ricetta

n° 2?

b. Quanti sono i numeri naturali?

c. Scrivere in simboli l’insieme dei numeri naturali e razionali

assoluti.

4. Definire l’operazione di prodotto nei numeri naturali ed enunciare

la proprietà commutativa per iscritto.

5. Ripetere l’esercizio 4 per l’insieme dei numeri razionali assoluti.

6. Scrivere ed eseguire un programma che introduce due numeri

naturali e ne calcola il prodotto, il quoziente intero e il resto.

7. Scrivere un programma che introduce due numeri razionali

assoluti (frazioni) e ne calcoli prodotto e quoziente.

85

8. Scrivere un programma che calcoli la quantità degli ingredienti

della ricetta n° 1 per un numero arbitrario di persone.

9. Ripetere l’esercizio 8 per la ricetta n° 2.

10. Salvare i programmi dell’esercizio 8 e 9 con i nomi Ricetta 1 e

Ricetta 2.

11. Scrivere ed eseguire per 10 volte, appuntando i risultati, un

programma che verifichi la proprietà associativa della

moltiplicazione in N .

12. Ripetere l’esercizio 11 in +Q .

13. Indicare 5 multipli del numero 11.

14. Indicare 3 divisori del numero 48.

15. Definizione 1. Un numero naturale maggiore di 1, si chiama primo

se non ammette divisori diversi da 1 e da se stesso.

Indicare 5 numeri primi.

16. Teorema 1. Ogni numero naturale ammette un’unica

fattorizzazione in fattori primi.

Calcolare i fattori primi di

a) 58, 112, 315;

b) 121, 7381, 8964;

86

c) 92, 731, 5641;

d) 77, 821, 6810.

17. Definizione 2. Un numero naturale si chiama pari se è divisibile

per 2.

Indicare un numero pari, scrivere un arbitrario numero pari.

18. Definizione 3. Un numero naturale si chiama dispari se non è

divisibile per 2.

Indicare un numero dispari, scrivere un arbitrario numero dispari.

19. Il seguente segmento di programma Matcos stabilisce se un

qualsiasi numero è primo o no: n=legginum(“introdurre il numero intero”); se (Primo(n)=vero) allora stampa (n, “è primo”); altrimenti stampa(n, “non è primo”);

20. Esegui il seguente programma e scopri cosa fa’: n=legginum(“introdurre un numero intero”); m=n-1; per (i da 2 a m) esegui; r=n RDIV i; j=0; esegui finquando (r=0); se (Primo(i)=vero) allora esegui; n=n DIV i; r=n RDIV i; j=j+1; fine; stampa(i,”^”,j); fine; fine;

21. Rispondi per iscritto: che cosa è un algoritmo?

87

22. Descrivi un algoritmo di un’attività quotidiana.

23. Il seguente algoritmo stabilisce la data della Pasqua:

a. Sia y l’anno di riferimento successivo al 1900;

b. calcola la differenza tra y e 1900 e chiamala n ;

c. indica con a il resto della divisione di n per 19;

d. dividi ( 7 1a + ) per 19 e chiama b il suo quoziente;

e. dividi (11 4a b+ − ) per 29 e chiama m il suo resto;

f. dividi n per 4, chiama q il quoziente;

g. dividi ( 31n q m+ + − ) per 7 chiama w il resto;

h. calcola ( 25 m w− − ) chiama g il risultato;

i. se 0g > la Pasqua cadrà ad Aprile nel giorno g ;

j. altrimenti la Pasqua cadrà nel mese di Marzo al giorno

(31 g+ ).

Applicando il precedente algoritmo calcola la data in cui cade la

Pasqua cristiana nei seguenti anni:

1941 – 1945 – 1980 – 1999 – 2001 – 2010 – 2011 – 2020.

24. Rispondi per iscritto: che cosa è un programma per il calcolatore?

25. Scrivi un programma che stabilisce la data del giorno di Pasqua,

basato sull’algoritmo dell’esercizio 23.

26. Scrivi un algoritmo che riproduce solo numeri pari/dispari;

27. Scrivi un algoritmo che calcoli tutti i divisori di 51;

28. Scrivi un algoritmo che calcoli tutti i divisori di un numero

assegnato;

29. Scrivi l’algoritmo su cui si basa il programma dell’esercizio 19;

30. Scrivi l’algoritmo su cui si basa il programma dell’esercizio 20.

88

31. Calcola il costo della ricetta dell’esercizio 1 del cap. 1,

considerando i costi di mercato per gli ingredienti e aggiungendo il

10% per le spese e il 30% per il guadagno.

32. Ripetere l’esercizio 1 per la ricetta dell’esercizio 2 del capitolo 1.

33. Poiché il costo degli ingredienti è variabile scrivere un programma

che calcoli il costo della ricetta dell’esercizio 1 dando in lettura i

costi unitari degli ingredienti.

34. Ripetere l’esercizio 3 per la ricetta dell’esercizio 2.

35. Definire per iscritto l’operazione di addizione in N .

36. Enunciare e scrivere le proprietà dell’addizione.

37. Scrivere un programma che verifichi le proprietà dell’addizione.

38. Definire la percentuale di una quantità ed enunciare la regola di

calcolo.

39. Calcolare il 31% di 1000.

40. Calcolare la percentuale degli alunni promossi l’anno precedente

sapendo che la classe era costituita da 25 alunni e che i bocciati

furono 7.

89

41. Scrivere un algoritmo che calcoli la percentuale di una quantità

assegnata.

42. Sapendo che lo scorso anno sono stati complessivamente bocciati

nell’istituto 200 ragazzi, pari alla percentuale del 30%, quanti

erano gli alunni frequentanti?

43. Enunciare per iscritto la proprietà distributiva del prodotto rispetto

alla somma e verificarla con un programma.

44. Definire l’addizione nell’insieme delle frazioni.

45. Enunciare le proprietà dell’addizione nell’insieme dei numeri

razionali assoluti.

46. Enunciare la proprietà invariantiva delle frazioni.

47. Cosa ci consente di fare la proprietà invariantiva delle frazioni.

48. Scrivere un programma che calcoli un certo numero di frazioni

equivalenti ad una data.

49. Definire la relazione d’ordine nell’insieme delle frazioni.

50. Ordinare in senso crescente le seguenti frazioni:

a. 1310,

1215,

87,

32,

43,

21 ;

90

b. 8 7 11 9 5, , , , .5 3 4 10 11

51. Ordinare in senso crescente le seguenti frazioni:

a. 1617,

9281,

1325,

1813,

57,

3021 ;

b. 151 171 415 791, , , .81 91 1915 895

52. Modificare il programma dell’esercizio 1, inserendo anche il

calcolo del guadagno, dato in lettura.

53. Ripetere l’esercizio precedente per il programma dell’esercizio 2.

54. Calcolare le seguenti somme:

a. 3 10 7(1 ) ;4 11 4+ + +

b. 134

75

31

21

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ ;

c. ]1 135 78 14

⎡⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎣.

55. Calcolare l’espressione decimale dei seguenti numeri razionali:

9007,

6481,

203,

81,

21,

51,

101

91

56. Calcolare la frazione decimale equivalente ai seguenti numeri

decimali:

;001,0 ;745,1 ;841,0 ;47951,1 71,8

57. Dire quale delle seguenti frazioni genera un numero periodico,

indicando il massimo numero di cifre del periodo:

1 1 4 7 11 1 3 5 3 8 9, , , , , , , , , , .3 20 5 50 45 60 11 21 20 71 50

58. Spiega cosa fa il seguente programma n=legginum(“denominatore della frazione”); a=0; r=n RDIV 10; Esegui finquando(r=0); n=n DIV 10; r=n RDIV 10; a=a+1; fine; r=n RDIV 2; esegui finquando(r=0); n=n DIV 2; r=n RDIV 2; n=a+1; fine; n=n DIV 5; r=n RDIV 5; Esegui finquando(r=0); n=n DIV 5; r=n RDIV 5; a=a+1; fine; stampa(“il numero di cifre dell’antiperiodo è ”,a);

59. Definire il quadrato.

60. Enunciare tutte le proprietà del quadrato.

92

61. Scrivere un algoritmo che disegni un quadrato, utilizzando solo

rette parallele e perpendicolari.

62. Spiegare il seguente programma istruzione per istruzione, dopo

averlo eseguito. A=punto; B=punto; r=retta(A,B); p=perpendicolare(r,A); p1=perpendicolare(r,B); C=punto_su(p); p2=parallela(r,c); D=intersezione(p2,p1); poligono(A,B,D,C); Cancella(r,p,p1,p2);

63. Aggiungere al programma dell’esercizio precedente il calcolo

dell’area, del perimetro e delle diagonali della figura ottenuta.

64. Definire la potenza di un numero naturale ed enunciare le

proprietà.

65. Definire la potenza di un numero razionale assoluto.

66. Calcolare le seguenti espressioni:

a. 21 3 7 1 41

2 4 8 2 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ × + ÷ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

b. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

21

21

54

3112

33 ;

93

c. 33

21

532

41

41

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛÷×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ;

d. 2 32 1 1 3 1 7 1 .

3 3 2 4 2 8 3⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ÷ + + ÷⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

67. Definire la radice aritmetica di un numero razionale assoluto.

68. Esplicitare le seguenti uguaglianze eliminando il simbolo di radice

1) 3 23 6 54, , , , ;a b a c a d a e a f= = = = =

2) 53 2 2 34 , , , .a h a l a m a n= = = =

69. Calcolare

1) 3 536 , 49 , 216 , 32 ;

2) 3 481, 124 , 125 , 64 .

70. Calcolare con il procedimento convenzionale le seguenti radici

quadrate:

1) 5, 26 , 131, 7 , 1960, 7981;

2) 7, 35 , 51, 15 , 2310, 5964.

71. Ripetere l’esercizio precedente con il software MatCos.

72. Calcolare con il software MatCos:

94

5433

5343

481,

215,

27,

31

698341,10961,21,15

e verificare l’esattezza del calcolo.

73. Definire i numeri irrazionali assoluti.

74. Facendo uso, eventualmente di una calcolatrice calcolare la

sequenza approssimata per difetto e per eccesso di

3 , 5 , 7 .

75. Definire l’operazione di sottrazione nei numeri naturali e nei

razionali assoluti.

76. Fai lo schema grafico della sottrazione in N e deduci la differenza

con quello della moltiplicazione e dell’addizione .

77. Esegui le seguenti sottrazioni nel caso siano definite:

a. 8 3 7 1 7 17 15 3, , ,3 5 4 4 9 18 21 49− − − − ;

b. 7 11 5 4 8 7 5 8, , ,4 24 9 7 3 4 11 3− − − − ;

c. 11 6 8 1 15 4 4 1, , ,5 4 5 15 150 75 5 3− − − − .

95

78. Semplifica la seguente espressione

a. 21

31

21

51

431

37 2

÷⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ;

b. 21 1 1 1 4

2 3 4 3 5⎡ ⎤⎛ ⎞+ + ÷ −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦.

e verifica il risultato con il software MatCos.

79. Per ottenere la condizione di controllo MatCos mette a

disposizione la struttura detta condizionale: se (condizione) allora esegui; <istruzione 1> ……… ……… <istruzione n> fine; altrimenti esegui; <istruzione 1> ……… ……… <istruzione n> fine;

Quindi, se vogliamo fare automaticamente la sottrazione di due

numeri naturali, il segmento di programma è

a=legginum(“minuendo”); b=legginum(“sottraendo”); se (a>=b) allora esegui; C=a-b; stampa(“la differenza è ”,c); fine; altrimenti esegui; stampa(“la sottrazione non è definita”); fine;

96

Nel caso l’istruzione da eseguire dopo la condizione sia solo una, il

costrutto condizionale si può semplificare eliminando le parole:

“esegui” e “fine” .

80. Scrivi un programma che calcoli in maniera automatica la

sottrazione di due frazioni.

81. Scrivi un programma che calcoli i sottomultipli di un numero

naturale assegnato.

82. Modifica il programma precedente facendo stampare solo i fattori

primi di un numero naturale assegnato.

83. Per verificare se un numero è primo, MatCos mette a disposizione

il comando S=Primo(n);

se la variabile S assume il valore vero (si) allora il numero n è

primo, se invece S assume il valore falso (no) allora il numero n

non è primo. Il segmento di programma è dunque n=legginum("numero naturale assegnato"); S=Primo(n); se(S=vero) allora stampa("il numero ",n," è primo"); altrimenti stampa("il numero ",n," non è primo");

84. Con l’aiuto del software MatCos calcola i fattori primi e quindi

m.c.m. e M.C.D. delle seguenti coppie di numeri

(18991, 341); (8972, 741); (778002, 458754)

97

85. Modifica il programma di pag. 45, in modo da calcolare la somma

dei primi n numeri naturali. Prova il programma per n= 10, 20, 40, 50

e verifica se la seguente proposizione è vera:

la somma dei primi n numeri naturali è ( )2

1+nn .

86. Spiegare perché sono necessari i numeri con segno e fare qualche

esempio di situazioni dicotomiche.

87. Esaminare gli opposti di

5, 7 , 0, 511, 741, 5, 10, 15− − −

88. Definire l’opposto di un numero naturale n.

89. Che cosa è la retta numerica?

90. Definisci la retta numerica.

91. Rappresenta sulla retta numerica i seguenti numeri:

5, 8, 2, 0, 3, 4, 8, 5, 2, 3, 4− − − − −

92. Ripeti l’esercizio precedente con il software MatCos

93. Definisci il valore assoluto di un numero relativo.

94. Calcola il valore assoluto dei seguenti numeri relativi

36,16,150,20,15,5,5 −−−−

98

95. Ripeti l’esercizio precedente con il software MatCos.

96. Definisci l’addizione di due numeri relativi e verifica col software

MatCos il risultato.

97. Enuncia per iscritto le proprietà dell’addizione in Z e trova le

differenze con le proprietà dell’addizione in N .

98. Definisci la sottrazione in Z e costruisci il grafico.

99. Qual è la differenza tra la sottrazione in N e quella in Z .

100. Scrivi un programma in MatCos che calcoli la sottrazione in Z .

101. Definisci la moltiplicazione di due numeri relativi.

102. Enuncia le proprietà della moltiplicazione in Z .

103. Scrivi un programma MatCos che calcoli il prodotto di due numeri

relativi ed eseguilo per varie coppie di numeri.

104. Confronta lo schema grafico dell’addizione, moltiplicazione e

sottrazione in Z .

105. Definisci l’operazione di divisione nei numeri relativi.

99

106. Costruisci lo schema grafico dell’operazione di divisione in Z .

107. Definisci l’insieme dei numeri razionali.

108. Esprimi la relazione di inclusione tra gli insiemi

N , Z , +Q , Q

109. Rappresenta sulla retta numerica i seguenti numeri razionali

43,3,0,1,

37,

58,

43,

21

−−−

110. Ripeti l’esercizio precedente con MatCos.

111. Ordina in senso crescente i seguenti numeri razionali

4875,

3215,

118,

54,

31,

21,

67,

41,

53

−−−

112. Enuncia le proprietà delle operazioni in Q .

113. Ricerca il significato della parola “Statistica”.

114. Costruisci una tabella che raccolga il colore degli occhi degli

alunni della classe, distinguendo i colori azzurro, castano, verde.

115. Rappresenta in un diagramma a strisce i dati della tabella 2.

116. Rivela l’altezza dei compagni di classe distinguendo le classi

100

170,170161,160151,150140,140 >−>−−< .

117. Costruisci il diagramma a strisce dei dati della tabella

dell’esercizio precedente.

118. Definisci la media aritmetica.

119. Calcola la media aritmetica dei voti del primo quadrimestre di ogni

alunno della classe.

120. Costruisci il diagramma a strisce dei dati dell’esercizio precedente

distinguendo le seguenti fasce

109,87,65,42 −−−−

121. Semplifica le seguenti espressioni e verificane il risultato in

MatCos:

1) 31

35

511

67

41

53

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

2) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅+−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

21

56

51

31

52

151

94

57

21

3) 41

121

37

34

53

121

212 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⋅

4) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

53:

151

52

35:

31

42

23

5) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−⋅−

1512:

35

57

32

51

214

6) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

32:

43:

65

31

211

21

32

67

101

7) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

143

91

23

342

73

752

21

51

8) 23

521

521:

521

23

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

9)

43

51

43

51 22

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

10) 32

2

2

411:

83

21

43:

41

71

632

43

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

11) 53

221016

444

21

43

⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−−

12) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

262

32

41

75

41

21

13) 32

22

2

32:

53

32

45

41

52

57

51

432

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−

14) ( ) ( ) 224

22

3:45

2322 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

15) ( )[ ]{ } [ ]2/13/122/1 16:82 −

16) ( ) 22/14/1 )2(:1616 −

102

17) 233

222

165

23

25

41

232

−

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−