1 TEMI ESAME Esercizio 1 ‐ Tema d’esame del 21/09/1998 Si consideri la struttura illustrata in figura, con EJ costante. Figura 1.1 Il valore dell’azione concentrata F è pari a: pl F 4 21 = La struttura illustrata in figura risulta essere, dall’analisi cinematica, una struttura due volte iperstatica a nodi spostabili. Il metodo degli spostamenti può essere applicato assumendo come incognite la rotazione ϕB del nodo B e lo spostamento orizzontale ηA del nodo A ed irrigidendo la struttura attraverso un blocchetto, rappresentato da un quadratino, e da una biella fittizia posti rispettivamente in corrispondenza del nodo B e del nodo A. L’asta CD risulta essere un’appendice isostatica, per cui viene studiata separatamente e sulla struttura restante vengono riportate le reazioni date dalla forza F concentra in D
Transcript
1
TEMI ESAME
Esercizio 1 ‐ Tema d’esame del 21/09/1998 Si consideri la struttura illustrata in figura, con EJ costante.
Figura 1.1
Il valore dell’azione concentrata F è pari a:
plF421
=
La struttura illustrata in figura risulta essere, dall’analisi cinematica, una struttura due volte iperstatica a nodi spostabili. Il metodo degli spostamenti può essere applicato assumendo come incognite la rotazione ϕB del nodo B e lo spostamento orizzontale ηA del nodo A ed irrigidendo la struttura attraverso un blocchetto, rappresentato da un quadratino, e da una biella fittizia posti rispettivamente in corrispondenza del nodo B e del nodo A. L’asta CD risulta essere un’appendice isostatica, per cui viene studiata separatamente e sulla struttura restante vengono riportate le reazioni date dalla forza F concentra in D
TEMI D’ESAME
2
Figura 1.2
Il sistema risolvente è costituito dalle equazioni di equilibrio alla rotazione del nodo B ed alla traslazione orizzontale del nodo A:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++=
=++=
∑∑
0
0
0
0
AAABAbiella
BABBBB
hhhH
mmmM
ηϕ
ηϕ
ηϕ
ηϕ
I coefficienti di influenza possono essere determinati, secondo il principio di sovrapposizione degli effetti, considerando separatamente le azioni indotte sulla struttura dalla rotazione unitaria ϕB, dallo spostamento orizzontale unitario ηA e dai carichi esterni. Ponendo ϕB = 1, ηA = 0, p = 0 e F=0 si ha:
Figura 1.3
Figura 1.4
TEMI D’ESAME
3
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=++=
2
6
10433
lEJh
lEJ
lEJ
lEJ
lEJm
A
B
ϕ
ϕ
Ponendo ϕB =0, ηA =1, p = 0 e F=0 si ha:
Figura 1.5
Figura 1.6
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++=
−=
3333
2
183123
6
lEJ
lEJ
lEJ
lEJh
lEJm
A
B
η
η
Ponendo ϕB =0, ηA =0, p≠0 e F=0 si ha:
TEMI D’ESAME
4
Figura 1.7
Figura 1.8
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
08
,0
2
,0
pA
pB
h
plm
Ponendo ϕB =0, ηA =0, p=0 e F≠0 si ha:
Figura 1.9
Figura 1.10
TEMI D’ESAME
5
Figura 1.11
Figura 1.12
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=
Fh
Flm
FA
FB
,0
,0 2
Noti i coefficienti di influenza possono essere determinati i valori delle incognite ϕB e ηA attraverso la risoluzione del sistema.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+−
=++−
0186
028
610
32
2
2
FlEJ
lEJ
FlpllEJ
lEJ
AB
AB
ηϕ
ηϕ
La rotazione ϕB e lo spostamento orizzontale ηA risultano:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
−=
EJplEJpl
A
B
4
3
4181
η
ϕ
Noti i valori delle incognite è possibile valutare le azioni interne agenti sulla struttura per effetto della rotazione ϕB, dello spostamento orizzontale ηA e dei carichi esterni ed, attraverso il principio di sovrapposizione degli effetti, determinarne la risultante.
TEMI D’ESAME
6
Figura 1.13
Nella seguente figura sono indicati il diagramma dell’azione assiale N, dell’azione di taglio V, del momento flettente M e la deformata della struttura.
Figura 1.14
Figura 1.15
TEMI D’ESAME
7
Figura 1.16
Figura 1.17
Osservazione 1 La posizione del momento massimo positivo sull’asta AB si determina calcolando il punto in cui si annulla il taglio:
lx
lx
⋅=
=
3.0
:2
15:8
18
Nota la posizione in cui si annulla il taglio, si può determinare il valore del momento massimo positivo sull’asta AB:
22
329
286 plxpplxM =−=
Osservazione 2 Visto che l’andamento del momento risulta lineare sia sull’asta BC che sull’asta BF, la posizione dei punti di flesso si ricava con una proporzione tra triangoli:
‐ Asta BC:
lx
lx
⋅=
=
3.0
:2
15:8
18
TEMI D’ESAME
8
‐ Asta BF:
lx
lx
⋅=
=
47.0
:4
15:8
14
Esercizio 2 ‐ Tema d’esame del 09/1998 Si consideri la struttura illustrata in figura, con EJ costante.
Figura 2.2
I valori dell’azione concentrata F e della molla assiale kη sono pari a:
310
4
lEJk
plF
=
=
η
La struttura illustrata in figura risulta essere, dall’analisi cinematica, una struttura due volte iperstatica a nodi spostabili. Il metodo degli spostamenti può essere applicato assumendo come incognite la rotazione ϕB del nodo B e lo spostamento verticale ηD del nodo D ed irrigidendo la struttura attraverso un blocchetto, rappresentato da un quadratino, e da una biella fittizia posti rispettivamente in corrispondenza del nodo B e del nodo D.
Figura 2.2
TEMI D’ESAME
9
Il sistema risolvente è costituito dalle equazioni di equilibrio alla rotazione del nodo B ed alla traslazione verticale del nodo D:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++=
=++=
∑∑
0
0
0
0
DDDBDbiella
BDBBBB
hhhH
mmmM
ηϕ
ηϕ
ηϕ
ηϕ
I coefficienti di influenza possono essere determinati, secondo il principio di sovrapposizione degli effetti, considerando separatamente le azioni indotte sulla struttura dalla rotazione unitaria ϕB, dallo spostamento orizzontale unitario ηD e dai carichi esterni. Ponendo ϕB = 1, ηD = 0, p = 0 e F=0 si ha:
Figura 2.3
Figura 2.4
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=
=++=
033
10433
22 lEJ
lEJh
lEJ
lEJ
lEJ
lEJm
D
B
ϕ
ϕ
TEMI D’ESAME
10
Ponendo ϕB =0, ηD =1, p = 0 e F=0 si ha:
Figura 2.5
Figura 2.6
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−−−=
=−=
3333
22
161033
033
lEJ
lEJ
lEJ
lEJh
lEJ
lEJm
D
B
η
η
Ponendo ϕB =0, ηA =0, p≠0 e F=0 si ha:
Figura 2.7
TEMI D’ESAME
11
Figura 2.8
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=
=−=
plplplh
plplm
pD
pB
810
85
85
088
,0
22
,0
Ponendo ϕB =0, ηA =0, p=0 e F≠0 si ha:
Figura 2.9
Figura 2.10
TEMI D’ESAME
12
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
plFh
plFlm
FD
FB
411
1611
43
163
,0
2,0
Noti i coefficienti di influenza possono essere determinati i valori delle incognite ϕB e ηD attraverso la risoluzione del sistema.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++−
=++
0411
45160
043010
3
2
plpllEJ
pllEJ
DB
DB
ηϕ
ηϕ
La rotazione ϕB e lo spostamento orizzontale ηD risultano:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
−=
EJplEJpl
D
B
4
3
41403
η
ϕ
Noti i valori delle incognite è possibile valutare le azioni interne agenti sulla struttura per effetto della rotazione ϕB, dello spostamento verticale ηD e dei carichi esterni ed, attraverso il principio di sovrapposizione degli effetti, determinarne la risultante.
Figura 2.11
Nella seguente figura sono indicati il diagramma dell’azione assiale N, dell’azione di taglio V, del momento flettente M e la deformata della struttura.
TEMI D’ESAME
13
Figura 2.12
Figura 2.13
Figura 2.14
TEMI D’ESAME
14
Figura 2.15
Osservazione 1 Lungo l’asta AB il taglio si annulla in mezzeria, per cui il momento massimo positivo sarà:
22
4047
21026)
2( plxpplxlxM AB =−==
La posizione del momento massimo positivo sull’asta BC si determina calcolando il punto in cui si annulla il taglio:
lx
lx
⋅=
=
9.0
:1:109
Nota la posizione in cui si annulla il taglio, si può determinare il valore del momento massimo positivo sull’asta BC:
22
20081
2109)9.0( plxpplxlxM BC =−==
Osservazione 2 L’andamento del momento sull’asta BD è lineare di conseguenza la posizione del punto di flesso si ricava con una proporzione tra triangoli:
3
:209:
203
lx
lx
=
=
TEMI D’ESAME
15
Esercizio 3 ‐ Tema d’esame del 15/04/1998 Si consideri la struttura illustrata in figura, con EJ costante.
Figura 3.3
I valori dell’azione concentrata Q e della molla rotazionale kθ sono pari a:
lEJk
plF
6
49
=
=
ϑ
La struttura illustrata in figura risulta essere, dall’analisi cinematica, una struttura due volte iperstatica a nodi spostabili. Il metodo degli spostamenti può essere applicato assumendo come incognite la rotazione ϕB e lo spostamento orizzontale ηB del nodo B ed irrigidendo la struttura attraverso un blocchetto, rappresentato da un quadratino, e da una biella fittizia posti in corrispondenza del nodo B.
Figura 3.2
Il sistema risolvente è costituito dalle equazioni di equilibrio alla rotazione ed alla traslazione verticale del nodo B:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++=
=++=
∑∑
0
0
0
0
BBBBBbiella
BBBBBB
hhhH
mmmM
ηϕ
ηϕ
ηϕ
ηϕ
TEMI D’ESAME
16
I coefficienti di influenza possono essere determinati, secondo il principio di sovrapposizione degli effetti, considerando separatamente le azioni indotte sulla struttura dalla rotazione unitaria ϕB, dallo spostamento orizzontale unitario ηB e dai carichi esterni. Ponendo ϕB = 1, ηB = 0, p = 0 e Q=0 si ha:
Figura 3.3
Figura 3.4
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=++=
2
6
1343
lEJh
lEJk
lEJ
lEJm
B
B
ϕ
ϑϕ
Ponendo ϕB = 0, ηB = 1, p = 0 e Q=0 si ha:
Figura 3.5
TEMI D’ESAME
17
Figura 3.6
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
3
2
12
6
lEJh
lEJm
B
B
η
η
Ponendo ϕB = 0, ηB = 0, p ≠ 0 e Q=0 si ha:
Figura 3.7
Figura 3.8
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
016
,0
2
,0
pB
pB
h
plm
TEMI D’ESAME
18
Ponendo ϕB = 0, ηB = 0, p = 0 e Q ≠ 0 si ha:
Figura 3.9
Figura 3.10
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
plh
m
QB
QB
890
,0
,0
Noti i coefficienti di influenza possono essere determinati i valori delle incognite ϕB e ηB attraverso la risoluzione del sistema.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−
=−−
089126
0161613
32
22
pllEJ
lEJ
pllEJ
lEJ
BB
BB
ηϕ
ηϕ
La rotazione ϕB e lo spostamento orizzontale ηB risultano:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
EJplEJpl
B
B
4
3
81
161
η
ϕ
TEMI D’ESAME
19
Noti i valori delle incognite è possibile valutare le azioni interne agenti sulla struttura per effetto della rotazione ϕB, dello spostamento orizzontale ηB e dei carichi esterni ed, attraverso il principio di sovrapposizione degli effetti, determinarne la risultante.
Figura 3.11
Nella seguente figura sono indicati il diagramma dell’azione assiale N, dell’azione di taglio V, del momento flettente M e la deformata della struttura.
Figura 3.12
Figura 3.13
TEMI D’ESAME
20
Figura 3.14
Figura 3.15
Osservazione 1 La posizione del momento massimo positivo sull’asta BC si determina calcolando il punto in cui si annulla il taglio:
4
:1:82
lx
lx
=
=
Nota la posizione in cui si annulla il taglio, si può determinare il valore del momento massimo positivo sull’asta BC:
22
2
325
282
81)
4( plxpplxpllxM BC =−+==
Osservazione 2 L’andamento del momento sull’asta AB è lineare di conseguenza la posizione del punto di flesso si ricava con una proporzione tra triangoli:
TEMI D’ESAME
21
lx
lx
1810
:1618:
1610
=
=
Per determinare il punto di flesso dell’asta BC bisogna calcolare il punto in cui si annulla il momento ponendo come incognita la distanza x a partire da uno dei due estremi; in questo caso il calcolo viene eseguito considerando x a partire dal punto B:
lx
xpplxplxM BC
⋅=
=−+=
809.0
028
281)(
22
Esercizio 4 ‐ Tema d’esame del 23/09/1997 Si consideri la struttura illustrata in figura, con EJ costante.
Figura 4.4
I valori della molla rotazionale k e della variazione termica impressa sono pari a:
EJpl
tT
EJpl
lT
lEJk
3
60
2
=Δ
=Δ
=
α
α
La struttura illustrata in figura risulta essere, dall’analisi cinematica, una struttura due volte iperstatica a nodi spostabili. Il metodo degli spostamenti può essere applicato assumendo come incognite la rotazione ϕB del nodo B e lo spostamento orizzontale ηC del nodo C ed irrigidendo la struttura attraverso un blocchetto, rappresentato da un quadratino, e da una biella fittizia posti rispettivamente in corrispondenza del nodo B del nodo C.
TEMI D’ESAME
22
Figura 4.2
Il sistema risolvente è costituito dalle equazioni di equilibrio alla rotazione del nodo B ed alla traslazione orizzontale del nodo C:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++=
=++=
∑∑
0
0
0
0
CCCBCbiella
BCBBBB
hhhH
mmmM
ηϕ
ηϕ
ηϕ
ηϕ
I coefficienti di influenza possono essere determinati, secondo il principio di sovrapposizione degli effetti, considerando separatamente le azioni indotte sulla struttura dalla rotazione unitaria ϕB, dallo spostamento orizzontale unitario ηC, dai carichi esterni e dalla variazione termica impressa. Ponendo ϕB = 1, ηC = 0, P = 0 e DT=0 si ha:
Figura 4.3
Figura 4.4
TEMI D’ESAME
23
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=++=
2
6
943
lEJh
lEJk
lEJ
lEJm
C
B
ϕ
ϕ
Ponendo ϕB = 0, ηC = 1, P = 0 e DT=0 si ha:
Figura 4.5
Figura 4.6
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
3
2
12
6
lEJh
lEJm
C
B
η
η
Ponendo ϕB = 0, ηC = 0, P = 0 e DT ≠ 0 si ha:
TEMI D’ESAME
24
Figura 4.7
Figura 4.8
La variazione termica si può vedere come somma di una variazione termica costante pari a DT e una variazione lineare da –DT/2 e DT/2; attraverso il principio di sovrapposizione degli
effetti si valutano gli effetti dei singoli contributi.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⋅⋅Δ=
Δ
Δ
020
3
,0
2,0
TC
TB
h
PllEJlTm α
Ponendo ϕB = 0, ηC = 0, P ≠ 0 e DT = 0 si ha:
Figura 4.9
TEMI D’ESAME
25
Figura 3.10
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
08
,0
,0
PC
PB
h
Plm
Noti i coefficienti di influenza possono essere determinati i valori delle incognite ϕB e ηB attraverso la risoluzione del sistema.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−
=+−
00126
040769
32
2
CB
CB
lEJ
lEJ
PllEJ
lEJ
ηϕ
ηϕ
La rotazione ϕB e lo spostamento orizzontale ηC risultano:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
EJplEJpl
B
B
3
2
4807
2407
η
ϕ
Noti i valori delle incognite è possibile valutare le azioni interne agenti sulla struttura per effetto della rotazione ϕB, dello spostamento orizzontale ηC, dei carichi esterni e della variazione termica impressa ed, attraverso il principio di sovrapposizione degli effetti, determinarne la risultante.
Figura 4.11
TEMI D’ESAME
26
Nella seguente figura sono indicati il diagramma dell’azione assiale N, dell’azione di taglio V, del momento flettente M e la deformata della struttura.
Figura 4.12
Figura 4.13
Figura 4.14
TEMI D’ESAME
27
Figura 3.15
Osservazione 1 Sia lungo l’asta AB che lungo l’asta CD il taglio si annulla in mezzeria, per cui il momento massimo positivo sarà:
PlPPxlxM AB 24037
24023
8040)
2( =−==
4)
2( PllxM CD ==
Osservazione 2 Per determinare i punti di flesso dell’asta AB bisogna calcolare il punto in cui si annulla il momento ponendo come incognita la distanza x a partire prima dall’estremo A e poi dall’estremo B:
‐ dall’estremo A:
lx
xPPlxM AB
⋅=
=+−=
192.0
02240
23)(
1
11
‐ dall’estremo B:
lx
xPPlxM AB
⋅=
=+−=
192.0
02240
23)(
2
22
Di seguito si verifica l’influenza della variazione termica impressa sulla deformata dell’asta CD:
