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Progetto ArAl 1 U1. Progetto Brioshi Progetto SeT

1. L’Unità Brioshi è un personaggio nato nel 1998 in una prima media inserita nel progetto ArAl. È un alunno giapponese ‘virtuale’ di età variabile a seconda dell’età dei suoi interlocutori. Non conosce la lingua italiana ma sa esprimersi in un corretto linguaggio matematico. La classe di Brioshi ama trovare classi di coetanei non giapponesi con le quali scambiare problemi matematici. I messaggi, soprattutto quando coinvolgono gli alunni più piccoli, possono anche contenere frasi scritte in Italiano (o addirittura in Giapponese, cosa che lascia la classe sbalordita); essi però assolvono ad una importante funzione affettiva del tipo “Caro Brioshi, vogliamo vedere se siete capaci di …”; il cuore dei messaggi è comunque rappresentato dalla parte matematica del messaggio. Ad esempio, una terza o una quarta elementare scrivono:

“Caro Brioshi, vediamo se sai risolvere questo problema: 33 = a - 26” Brioshi ha più possibilità; può rispondere:

33 = 59 – 26 ma può anche fornire una risposta più complessa, del tipo:

a = 59 oppure: a = 33 + 26 È evidente che ogni volta è la risposta stessa di Brioshi a diventare un problema di interpretazione per la classe che ha inviato il messaggio e ad aprire nuovi spazi per l’esplorazione. Se Brioshi risponde con una frase errata del tipo

a = 60 la classe può elaborare a sua volta una risposta come:

a ? 60.

2. Aspetti didattici Brioshi viene introdotto in tutte le classi del progetto in quanto rappresenta un mediatore molto potente per veicolare un concetto importante ma difficile da far comprendere ad alunni fra gli 8 e i 14 anni: la necessità del rispetto delle regole nell’uso di un linguaggio, necessità ancora più forte nell’uso di un linguaggio formalizzato, in ragione dell’estrema sinteticità dei simboli usati. In questo senso Brioshi rappresenta una metafora molto potente per l’enfatizzazione del processo e per la riflessione sugli aspetti semantici e sintattici del linguaggio. 3. Aspetti generali L’introduzione di Brioshi può avvenire in due modi: (i) in modo ‘naturale’, non appena se ne presenti l’occasione; questo avviene in genere se l’insegnante, come strategia abituale di lavoro, cura gli aspetti linguistici della matematica, e quindi pone la classe di fronte alle questioni della rappresentazione e della traduzione; (ii) in modo programmato, in un particolare (e opportuno) momento dell’attività didattica, quando l’insegnante comincia ad affrontare la matematica nei suoi aspetti linguistici. In ogni caso, bisogna porre in evidenza che Brioshi:

• è un alunno giapponese; • non conosce l’italiano; • può comunicare con noi solo in linguaggio matematico; • sa interpretare il linguaggio matematico; • si diverte a proporre e a risolvere problemi;

Brioshi, a seconda delle condizioni ambientali (età degli alunni, stile di lavoro dell’insegnante, ecc.), potrà essere introdotto spiegando che:

• c’è l’opportunità di scambiare con un alunno giapponese dei messaggi contenenti problemi matematici da risolvere;

• con l’insegnante di Brioshi si è deciso di cominciare con delle traduzioni molto semplici; • si comincerà con una prima frase in lingua italiana che ogni alunno cercherà di tradurre in linguaggio

matematico; • le traduzioni differenti verranno copiate alla lavagna e poi commentate collettivamente in modo da

scegliere quella da mandare a Brioshi che – da ricordare! - non capisce una sola parola di italiano;


• una volta mandata la traduzione si attende la risposta di Brioshi e la si interpreta; • anche la classe di Brioshi invierà dei problemi ai quali, una volta interpretati, si dovrà rispondere.

Le modalità di attuazione dell’attività sono più d’una (ancora una volta in relazione alle condizioni ambientali). (i) Lo scambio può essere simulato all’interno della stessa classe; all’inizio sarà l’insegnante a proporre i ‘messaggi di ritorno’ di Brioshi, oppure potrebbe invitare qualche alunno ad ipotizzarli. Questo ‘gioco di ruolo’ funziona sempre, indipendentemente dall’età degli alunni; (ii) Lo scambio acquista in interesse ed efficacia se avviene con una classe reale della stessa scuola o di un’altra attraverso uno scambio di messaggi scritti. (iii) Sono molto efficaci anche i messaggi che l’insegnante stesso può portare in classe come se li avesse ricevuti personalmente (in modo tradizionale o attraverso la posta elettronica) che comunque stimolano la curiosità della classe e rappresentano una sfida alle sue competenze logico-matematiche. (iii) La modalità per molti aspetti più interessante riguarda uno scambio di messaggi fra due classi-Brioshi impegnate in una ‘comunicazione matematica’ in tempo reale attraverso una sorta di apposita chat-line. Questo tipo di scambi è attualmente (2001/2002) in fase di sperimentazione attraverso l’utilizzo del software MSN Messenger. 4. Nota Non tragga in inganno il fatto che la maggior parte dei Diari presentati nell’unità riguardano classi comprese fra la terza e la quinta elementare (a parte l’allegato in cui compare una seconda media); con questa scelta si è inteso sottolineare la fattibilità – e l’opportunità – di attivare in ambiente aritmetico un approccio al pensiero pre-algebrico e all’algebra come linguaggio sin dagli inizi della scuola primaria. Di fatto il Progetto Brioshi si configura non tanto come Unità a se stante (ne possiede comunque le caratteristiche) quanto come attività trasversale rispetto (i) alle altre Unità del Progetto ArAl, nelle quali compaiono continui riferimenti ad esso; (ii) ai linguaggi della matematica; (iii) agli argomenti di studio; (iv) alle età degli alunni. Non appena l’insegnante decida di accostarsi ai temi connessi con quello che abbiamo chiamato balbettio algebrico, Brioshi può fare la sua comparsa, ed essere ‘presentato’ a bambini di seconda elementare come a studenti di scuola media, mantenendo la sua potenza di mediatore didattico anche con i ‘grandi’ della terza («Non sapete come scrivere la formula? Provate a pensare a come tradurreste il problema per Brioshi)». In conclusione: il progetto Brioshi intende configurarsi, oltre che come strumento per una metodologia didattica innovativa attraverso indicazioni di situazioni opportunamente articolate, come stimolo per l’insegnante per una riflessione sulle sue conoscenze matematiche e per una rilettura, in particolare, di quelle che sono le sue concezioni (si potrebbe dire: la sua epistemologia personale) in merito ai legami e alle opposizioni fra l’aritmetica e l’algebra elementare e le loro didattiche. 5. Pubblicazioni del GREM sul tema (Navarra 2001a): Navarra G., Percorsi esplorativi di avvio al pensiero algebrico attraverso problemi;

osservazione e rilevazione di difficoltà in insegnanti e allievi, Atti del terzo Convegno Nazionale Intenuclei Scuola dell’obbligo: Valutazione dei processi di apprendimento con particolare riferimento alle difficoltà , Vico Equense, 2001, 53-60.

(Navarra 2001b): Navarra G., Una questione di stuzzicadenti, riflessioni sul linguaggio naturale e sul linguaggio algebrico, Italiano & oltre, 2001, 90-96.

(Malara, Navarra 2001c): ‘Brioshi’ e altri strumenti di mediazione per un insegnamento relazionale dell’aritmetica nell’ottica di un avvio all’algebra come linguaggio, Atti del quarto Convegno Nazionale Intenuclei Scuola dell’obbligo: Il problema dell'emergenza dell'oggetto matematico. Aspetti epistemologici e questioni di osservazione e interpretazione dei processi di apprendimento , Monticelli Terme, 2001, in stampa.

(Navarra 2001d): Navarra G., Progetto speciale ArAl: percorsi nell’aritmetica per favorire il pensiero pre-algebrico, Atti del Convegno Internazionale Educazione matematica e sviluppo sociale, Reggio Calabria, 2001, in stampa.


6. Terminologia e simbologie

Fase Successione di situazioni di difficoltà crescente facenti riferimento allo stesso tema.

Situazione Problema attorno al quale si sviluppano attività di tipo individuale, di gruppo, di classe.

Espansione Ipotesi di lavoro su un possibile ampliamento dell’attività verso una direzione algebrica. La sua realizzazione dipende dalle condizioni ambientali e dagli obiettivi dell’insegnante.

Nota Suggerimento per l’insegnante di carattere metodologico o operativo.

Riquadro colorato contenente la descrizione di una situazione problematica. Il testo è indicativo; può essere anche presentato così com’è ma in genere la sua formulazione rappresenta il frutto di una mediazione sociale fra l’insegnante e la classe Riquadro contenente la traccia di una discussione tipo; possono comparire i seguenti simboli P Intervento dell’insegnante ] Intervento di un alunno ^ Compendio di alcuni interventi _ Risultato di una discussione collettiva (un principio, una regola, una conclusione,

un’osservazione, e così via) Rappresentazione Una parola in blu sottolineata evidenzia un collegamento attivo con un tema illustrato nella parte generale (all’occorrenza nel Glossario). Se l’unità viene visionata in rete, è sufficiente cliccare sopra la parola per attivare il collegamento; se viene stampata, il lettore sa che essa rimanda a delle spiegazioni che andranno cercate nella parte generale. 7. Fasi (F), situazioni (S) e argomenti (Tutte le fasi sono ampiamente corredate di estratti significativi di Diari di attività nelle classi) FASI SITUAZIONI ARGOMENTI

Prima 1 - 3 Attività di traduzione dal linguaggio naturale a quello aritmetico di frasi del tipo “A 4 togli 2” (individuazione di scritture equivalenti e non, confronto tra parafrasi).

Griglia di interpretazione delle traduzioni proposte dagli alunni

Seconda 4 - 9 Traduzioni connesse con il ‘gioco del numero nascosto (“Penso a un numero, gli tolgo 3 e rimane 8. Qual è il numero?”). Incontro con Brioshi.

Terza 10 - 11 Attività sul processo inverso: interpretazione e traduzione di frasi scritte in linguaggio matematico.

Quarta 12 - 14 Gioco delle traduzioni incrociate (due versioni). Diari di attività nelle classi. Quinta 15 Problemi più complessi con un dato mancante da tradurre con una lettera.

Allegati Diari completi di attività nelle classi. Diario del dialogo fra due classi-Brioshi attraverso l’utilizzo del software MSN Messenger.


8. Distribuzione delle situazioni in relazione all’età degli alunni La distribuzione rappresenta una proposta indicativa basata sull’esperienza nelle classi del progetto. Si ribadisce che il Progetto Brioshi assume una reale significatività quando viene inserito trasversalmente rispetto alle normali attività didattiche e vengono esaltati, come prassi costante, gli aspetti linguistici della matematica.

FASI E SITUAZIONI I II III IV V

scuola classe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 12 ore 3 15 ore 4 15 ore

element.

5 15 ore media 1 15 ore


Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti

Prima fase1

1. Si introduce Brioshi con modalità ispirate a quelle descritte. Nota Si propongono alla classe delle consegne concernenti le quattro operazioni; in un primo momento gli alunni interpretano a voce il loro significato ed eseguono mentalmente, se lo desiderano, i relativi calcoli. Quanto prima, si passa alla traduzione scritta delle consegne interpretate come problemi da tradurre per Brioshi. Gli elenchi contengono delle parafrasi2; lo scopo che ci si prefigge è di far riflettere su un aspetto molto delicato legato alle scritture matematiche: il rapporto fra senso e denotazione. Chiariamo questo concetto. Un oggetto matematico può essere denotato in più modi, ognuno dei quali è dotato di un senso anche profondamente differente. Se consideriamo due denotazioni equivalenti come ‘14 : 7 + 2’ e ‘4’, la seconda (che in relazione alla prima potrebbe essere vista come il ‘risultato’) è più opaca perché si perde l’aspetto del processo mentre si privilegia quello del prodotto. Quello che si propone quindi alla classe è il confronto fra diverse codifiche di uno stesso processo; ogni consegna è quindi disponibile ad una lettura a livelli differenti, anche a seconda del modo nel quale è organizzata la sua formulazione nel linguaggio naturale. Per esempio: (i) ‘Aggiungi 12 a 2’ favorisce la trasparenza del processo e conduce una traduzione del tipo: ‘2 + 12’; (ii) ‘Aggiungi 12 a 2 e indica il risultato’ favorisce sia la trasparenza del processo che l’individuazione del prodotto e conduce ad una traduzione del tipo: ‘2 + 12 = 14’; (iii) ‘Trova la somma di 2 con 12’ induce ad eseguire un calcolo, e quindi a trovare un risultato, naturalmente dopo aver individuato di quale processo si tratti (un alunno potrebbe per esempio non riconoscere il significato di ‘somma’). Sono traduzioni accettabili sia ‘2 + 12 = 14’ che ‘14’; sarà la discussione a far emergere le differenze fra le due rappresentazioni e a condurre a delle conclusioni significative in merito all’opportunità dell’una piuttosto che dell’altra in relazione ad un determinato obiettivo. L’unità contiene numerosi esempi di questo tipo di discussione. L’attività proposta in questa prima fase è quindi propedeutica al vero e proprio scambio di messaggi con Brioshi, e avvia gli alunni alla riflessione sul linguaggio matematico e al suo uso consapevole 3. Vengono presentate ora esempi di consegne, riconducibili a quanto è stato detto in (i), (ii) e (iii), fra le quali l’insegnante può scegliere, o alle quali può ispirarsi per altre consegne analoghe. Per praticità le consegne sono divise in base all’operazione alla quale si riferiscono; la ‘dimensione’ dei numeri in gioco è puramente indicativa. Nei commenti compaiono i relativi esempi di traduzioni corrette4.

1.

1 Lo scopo è quello di favorire, attraverso l’incontro con una grande varietà di parafrasi, il controllo sul significato matematico di frasi espresse nel linguaggio naturale. I numeri in gioco dipendono dall’età degli alunni, ma è comunque importante che non siano troppo grandi perché l’obiettivo principale non è il calcolo mentale ma stimolare la comprensione del significato della scrittura e il controllo della sua traduzione in linguaggio matematico. Numeri troppo grandi possono spostare in modo inopportuno l’attenzione (e la preoccupazione) sul calcolo più che sull’interpretazione.

2 Non si ritiene che sia necessario seguire un ordine particolare nel proporre le consegne. Alcune possono sembrare semplici da tradurre, ma le sperimentazioni nelle classi mostrano che non sempre è così.

3 Le attività descritte vanno integrate nel normale lavoro didattico, in modo da favorire una effettiva competenza nel passaggio dal linguaggio naturale a quello matematico e viceversa

4 In consegne del tipo “Somma 8 e 3” va considerato implicito l’assunto che valga la proprietà commutativa. È opportuno però far riflettere gli alunni che, per esempio, in “Aggiungi 11 a 6”, la traduzione “11 + 6” non esprime il senso ‘letterale’ del processo, ma lo trasforma in uno equivalente, indotto dal testo. Questi aspetti verranno esaminati più avanti, nella ‘Griglia di interpretazione delle traduzioni’.



2. (i) “Traduci in linguaggio matematico le seguenti consegne” (si favorisce l’esplicitazione del processo).

1) A 7 aggiungi 5 7) A 15 togli 8 2) Somma 8 e 3 8) Togli 13 a 17 3) Aggiungi 11 a 6 9) A 19 sottrai 3 4) Addiziona 4 a 9 10) Sottrai 2 a 11 5) Aumenta di 7 il 24 6) Raddoppia 4 11) Moltiplica 5 per 9 12) Moltiplica per 7 il 4 13) Raddoppia il 6 14) Dividi 24 per 3 15) Dividi per 6 il 42 16) Dimezza 14

2. (i) 1) 7 + 5 2) 8 + 3 3) 6 + 11 4) 9 + 4 5) 24 + 7 6) 4 + 4 (naturalmente anche 4 x 2) 7) 15 – 8 8) 17 – 13 9) 19 – 3 10) 11 – 2 11) 5 x 9 12) 4 x 7 31) 6 + 6; 6 x 2 14) 24 : 3 15) 42 : 6 16) 14 : 2

(ii) “Traduci in linguaggio matematico le seguenti consegne” (si possono porre in evidenza sia il processo che il prodotto)

17) A 14 aggiungi 9 e indica il risultato 18) Addiziona 10 a 8 e indica la somma 19) Triplica 5 e trova il risultato 20) A 12 togli 7 e mostra la differenza 21) Togli 5 a 11 e indica il risultato 22) Sottrai 8 a 19 e trova la differenza 23) Moltiplica 5 per 9 e indica il prodotto 24) Moltiplica per 7 il 4 e trova il risultato 25) Dividi 24 per 3 e mostra il quoziente 26) Dividi per 8 il 56 e indica il risultato 27) Dimezza 10 e scrivi il risultato

(ii) 17) 14 + 9 = 23 18) 8 + 10 = 18 19) 5 + 5 + 5 = 15 (5 x 3 = 15) 20) 12 – 7 = 5 21) 11 – 5 = 6 22) 19 – 8 =11 23) 5 x 9 = 45 24) 4 x 7 = 28 25) 24 : 3 = 8 26) 56 : 8 =7 27) 10 : 2 = 5



(iii) “Traduci in linguaggio matematico le seguenti consegne” (la consegna induce ad evidenziare il prodotto ma contiene un ‘invito implicito’ a rappresentare anche il processo).

28) Qual è il risultato dell’addizione fra 2 e 12? 29) Trova la somma fra 14 e 5 30) Quanto fa 13 più 9? 31) Trova il risultato della sottrazione fra 15 e 9. 32) Trova la differenza fra 11 e 7. 33) Quanto fa 24 meno 16? 34) Quant’è 18 diminuito di 8? 35) Di quanto 7 è più piccolo di 13? 36) Trova il prodotto fra 8 e 6. 37) Qual è il risultato della moltiplicazione fra 9 e 3? 38) Trova il doppio di 11. 39) Quanto fa 5 per 8? 40) Quanto fa 6 moltiplicato per 5? 41) Trova il quoziente fra 32 e 4. 42) Qual è il risultato della divisione fra 72 e 8? 43) Trova la metà di 30. 44) Trova quante volte il 10 sta nel 40. 45) Quanto fa 63 diviso 7?

(iii) 28) 14 2 + 12 = 14 29) 19 14 + 5 = 19 30) 22 13 + 9 = 22 31) 6 15 – 9 = 6 32) 4 11 – 7 = 4 33) 8 24 – 16 = 8 34) 10 18 – 8 = 10 35) 6 13 – 7 = 6 7 + 6 = 13

36) 48 8 x 6 = 48 37) 27 9 x 3 = 27 38) 22 11 x 2 = 22 39) 40 5 x 8 = 40 40) 30 6 x 5 = 30 41) 8 32 : 4 = 8 42) 9 72 : 8 = 9 43) 15 30 : 2 = 15 44) 4 40 : 10 = 4 45) 9 63 : 7 = 9



L’unità – come è stato anticipato nella presentazione – è organizzata attraverso una successione di frammenti significativi di diari delle attività svolte nelle classi, attraverso i quali vengono esemplificati (i) il metodo e (ii) la strategia. (i) Dal punto di vista del metodo, risulterà evidente il ruolo svolto dalla discussione collettiva sulle traduzioni proposte dagli alunni, con l’obiettivo di favor ire una riflessione approfondita sul loro significato; in altre parole stimolare, attraverso un’intensa attività metalinguistica, lo sviluppo di atteggiamenti metacognitivi. (ii) Dal punto di vista della strategia , si intende evidenziare come Brioshi possa rappresentare una metafora potente per educare sia all’uso di un linguaggio coerentemente strutturato che alla capacità di interpretare (e quindi manipolare) frasi espresse attraverso simboli matematici. L’attività proposta in questa Unità è potenzialmente di grande ricchezza, ma inizialmente di non facile gestione perché è necessario un progressivo affinamento della capacità di (i) impostare un’analisi fine dei protocolli degli alunni, (ii) di riconoscere analogie e differenze fra scritture quasi sempre tutt’altro che banali e quindi (iii) di condurre in modo produttivo la discussione. Questo comporta, più in generale, un’estensione della sensibilità dell’insegnante per gli aspetti linguistici della matematica in modo che anche il ricorso alla metafora Brioshi diventi un’abitudine diffusa e consolidata. Allo scopo di aiutare in questo processo, viene proposta (v. pagina successiva) una Griglia di interpretazione delle scritture degli alunni viste come traduzioni, in analogia con quanto avviene in linguistica fra due differenti linguaggi naturali. Conseguentemente, sia i criteri di organizzazione della griglia che la terminologia usata concorrono a consolidare una concezione della matematica in una prospettiva linguistica. Prima di proseguire con le Situazioni si presenta un esempio di sunto significativo di un diario di attività in classe (terza elementare, dicembre).

Traducete per Brioshi la frase: A 15 togli 8: Traduzioni trascritte alla lavagna e poste in discussione L5: (a) 15 – 8; LN: (b) 15 – 8 = 7; LO: (c) 15 – 8 = _ I primi interventi evidenziano la difficoltà di confrontare e interpretare le scritture; non vengono colte analogie fra le scritture. ^ La maggior parte dei bambini valuta positivamente l’inserimento del simbolo ‘=’. La (a) è considerata ‘monca’. ] Lucia osserva che la frase più corretta secondo lei è proprio la (a) (la sua) perché non si chiedeva di trovare il risultato ma di tradurre la frase in modo che Brioshi la capisca 6,7. _ L’osservazione non è compresa da molti compagni. La classe non sa bene quale scrittura scegliere. P Chiediamo di scrivere in altri modi il numero 4. ^ Proposte: 1 + 3, 2 + 2, 5 – 1, 20 – 16, 2 x 2, 4 x 1, 100 – 96. P Chiediamo perché non hanno mai proposto di scrivere l’’=’. ] «Perché ci hai chiesto qualcosa che faceva 48». ] «Ci hai chiesto altri modi per farlo, non un’altra operazione9».

5 I simboli in grassetto vengono descritti nella Griglia della pagina successiva. 6 La discussione sembra, sino a questo momento, poco fruttuosa; sono però interessanti due aspetti. • L’uguale compare in tutte le scritture tranne una; è visto dagli alunni come indicatore di conclusione ed esprime la convinzione che essa, prima o poi, debba essere raggiunta. Denota il prevalere di un atteggiamento operativo di fondo. L’assenza del segno è invece vissuta come ‘mancanza di chiusura’ dell’operazione (la classe infatti considera la frase (a) ‘monca’). • L’osservazione di Lucia spiega ‘in nuce’ perché l’uguale non è necessario e apre la strada verso l’ individuazione della differenza fra risolvere e rappresentare un problema. 7 Spesso gli alunni chiedono “se si deve scrivere il risultato”. Diamo un esempio di come si sia cercato in una terza e una quarta di chiarire il nodo “tradurre” - “risolvere” facendo ricorso alla lingua inglese. Chiediamo come si traduce la frase “Hai una matita?” La classe risponde «Have you got a pencil?». Il bambino al quale ci rivolgiamo ha davvero una matita in mano e risponde «Yes». La classe comprende che nel primo caso è stata tradotta la domanda, nel secondo è stata data una risposta. 8 L’uso del verbo “fare” induce a pensare che le scritture proposte siano viste, più che come “equivalenti a 4”, come modi diversi di scrivere il risultato 4 (come si dice in gergo, “qualcosa che fa 4). 9 Questa conclusione è la conferma di quanto si affermava precedentemente a proposito dello stereotipo che l’uguale ‘prepari’ l’individuazione del risultato (potremmo dire: la conclusione di una storia che si evolve nel tempo).


Griglia di interpretazione delle traduzioni proposte dagli alunni

N.B. (a) tutte le voci della griglia sono corredate da esempi di protocolli; (b) le lettere L, F, S, ecc. compariranno nei diari accanto ad ogni traduzione; (c) una traduzione può possedere più di una caratteristica. I LA TRADUZIONE MOSTRA UNA BUONA COMPRENSIONE DELLA SITUAZIONE: L Letterale: uso della lettera (se necessaria); traduzione aderente al testo. L’alunno comprende sia il problema che la consegna. Esprime un buon controllo sia sul piano cognitivo che su quello metacognitivo. L’uso della lettera viene spiegato con frasi del tipo “p significa il posto del numero che non conosco” (terza elementare), “n rappresenta il numero mancante” (terza elementare). La traduzione in questi casi è sempre relazionale; talvolta la scrittura è corretta ma ‘in eccesso’ rispetto al testo (Le). Può presentare l’inversione degli addendi o dei fattori (v. esempi)). In molti casi la traduzione può essere ‘libera’ (Ll): l’alunno intravvede una relazione corretta fra i numeri; la traduzione testimonia una elaborazione della consegna verbale (v. esempi).

“Quanto manca a 6 per arrivare a 9” Trad. L: 6 + a = 9 Ll: 9 – n = 6 “A 15 togli 8” Trad. Le: 15 – 8 = p

F Fedele: uso di simboli alternativi alla lettera , traduzione aderente al testo. L’alunno comprende la struttura logica del problema ma esercita un controllo metacognitivo parziale sul significato dei simboli usati; talvolta la scrittura è corretta ma ‘in eccesso’ rispetto al testo (Fe, secondo esempio); spesso è scritta ‘in colonna’ denotando un atteggiamento di fondo operativo (O, v. l’ultima voce).

“Penso a un numero, gli aggiungo 4 e ottengo 10” Trad. F: + 4 = 10 + 4 = 10 ? + 4 = 10 c + 4 = 10 í + 4

= 10 “A 15 togli 8” Trad. Fe: 15 – 8 = í

S A senso: traspare un atteggiamento di fondo operativo, traduzione aderente al testo. L’alunno esprime una sostanziale comprensione della struttura logica del problema ma esercita un controllo metacognitivo parziale; la traduzione ‘prepara al risultato’ e predispone ad una lettura direzionale più che relazionale.

“Penso a un numero, gli aggiungo 4 e ottengo 10” Trad. S: 10 – 4

II LA TRADUZIONE MOSTRA UNA COMPRENSIONE PARZIALE DELLA SITUAZIONE: C Confusa: aderenza parziale della traduzione al testo. L’alunno usa, collega o elabora in modo improprio i dati di partenza; il linguaggio spesso è misto (naturale/simbolico).

“Quanto manca a 6 per arrivare a 9” Trad. C: 6 ? 9 III LA TRADUZIONE MOSTRA UNA COMPRENSIONE INSUFFICIENTE DELLA SIT UAZIONE: I Infedele: mancata aderenza della traduzione al testo. L’alunno collega in modo sbagliato i dati di partenza (spesso con un’operazione sbagliata).

“Penso a un numero, gli aggiungo 4 e ottengo 10” Trad. I: 10 : 4 “Quanto manca a 6 per arrivare a 9” Trad. I: 6 + 9 “Penso a un numero, gli aggiungo 4 e ottengo 10” Trad. I: 4 E 10+ 4 = + 4 – 10 … 10 - 4 =… 14 – 4 = 10

A Adulterata: totale mancata aderenza della traduzione al testo. L’alunno evidenzia una incomprensione a tutti i livelli (può essere frutto momentaneo di un fraintendimento, lettura sbagliata del testo, mancata comprensione del contratto didattico). Nel caso di problemi più articolati può essere costituita da una rappresentazione iconica della situazione problematica, talvolta anche fedele, ma ‘bloccata’.

“Penso a un numero, gli aggiungo 4 e ottengo 10” Trad. A: 1 + 13 7 – 10 10 x 10 9 + … = 19

CARATTERISTICHE TRASVERSALI N Numerica risolutiva:, inserimento del valore dell’incognita , scarsa aderenza della traduzione al testo. L’alunno comprende parzialmente la situazione ed esercita un controllo metacognitivo povero; esegue l’operazione senza rendersi conto che la scrittura non rappresenta un ‘problema’ (cortocircuitamento del problema). “Penso a un numero, gli aggiungo 4 e ottengo 10” Trad. N: 6 + 4 = 10 … = 6 – 10 6 + … =

10 6 + 10 O Operativa: inserimento dell’’=’, aderenza della traduzione al testo, può comparire in quals iasi tipo di scrittura L’alunno esprime un atteggiamento rivolto prevalentemente al ‘calcolare’ più che al ‘rappresentare’. L’assenza dell’”=” viene vista come una ‘mancanza di chiusura’. La scrittura può essere sia ‘in linea’ che ‘in colonna’

“Penso a un numero, gli aggiungo 4 e ottengo 10” Trad. O : 6 + 4 = “A 15 togli 8” Trad. O: 15 – 8 = FO: 15 – 8 = í


Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti 3. È opportuno introdurre anche situazioni inverse rispetto a quelle proposte sinora, e far interpretare e tradurre frasi matematiche stimolando la produzione di parafrasi e il loro confronto. Il diario che segue, nell’ illustrare un’attività in questo senso, contiene anche un approccio spontaneo all’uso della lettera in ambiente matematico, anticipando quello che sarà il tema centrale attorno al quale si svilupperanno le successive situazioni dell’Unità.

DIARIO 1 (terza elementare, dicembre)

Traducete in lingua italiana la frase: 7 – 3

_ Numerose incertezze10 ^ «4». ] «Sette meno tre». P Chiediamo ‘più coraggio’. Vengono proposte queste traduzioni: ] «A 7 sottraggo 3» ] «A 7 tolgo 3» ] «Tolgo 3 a 7» ] «7 diminuisce a 3» P Correggiamo linguisticamente l’ultima frase con l’esempio della temperatura (diminuisce di …). ] Un alunno propone inaspettatamente una traduzione in forma problematica: «Se a 3 aggiungo un numero e ottengo 7, qual è quel numero?» P Gli chiediamo di tradurre la sua frase in linguaggio matematico. ] Scrive: 3 + a = 7. P Chiediamo alla classe che risposta potrebbe dare Brioshi. ^ «a = 4».

10 Anche quando, come in questo caso, la consegna è precisa, possono comparire incertezze nell’ interpretazione del problema. La scrittura ‘7 – 3’ suggerisce l’operazione, e quindi la ricerca del risultato (non a caso il primo intervento è «4»). All’inizio pochi alunni intuiscono l’esistenza di due punti di vista diversi: operativo e rappresentativo. Nel primo prevale l’aspetto computazionale, nel secondo prevalgono gli aspetti relazionale e linguistico. Brioshi aiuta a distinguere i due ambiti.



11 Le frasi contengono anche operazioni inverse, più difficili da tradurre. Suggeriamo di cominciare dalle addizioni e di passare alle sottrazioni in un secondo momento. 12 Come si vedrà nei prossimi diari, gli alunni propongono una grande varietà di traduzioni e non è detto che, nelle fasi iniziali, compaia una lettera. Il suo uso deve costituire il risultato di una lenta ‘conquista sociale’ da parte della classe. Sarà compito dell’insegnante favorire l’introduzione della lettera in modo naturale, limitando le pressioni esterne. La nostra esperienza insegna che, come nell’apprendimento del linguaggio naturale, ogni classe si comporta secondo ritmi di apprendimento anche molto differenti. Un altro aspetto importante riguarda l’uso di lettere particolari. Se è vero che in algebra si sono delle convenzioni, a questo livello scolare qualunque lettera va bene. Negli esempi seguenti (traduzioni ‘standard’) l’uso delle lettere è pertanto del tutto indicativo; l’ insegnante si aspetti pure un’ampia serie di varianti, più o meno corrette. Per ulteriori dettagli si vedano i prossimi Diari.

Seconda fase 4. Gli alunni devono confrontarsi ora con consegne più complesse sul piano logico e più articolate su quello linguistico.11 Nei casi precedenti le traduzioni venivano effettuate partendo da una coppia di numeri (dati anche in forma implicita, come in ‘duplica il 6’). Ora invece le frasi pongono gli alunni di fronte ad un numero ‘misterioso’ o ‘mancante’ e li conducono a scoprire un modo per rappresentarlo. Sono in sostanza parafrasi in lingua italiana di frasi matematiche aperte 12. La consegna è del tipo:

Traduci questa frase in modo che Brioshi capisca che deve trovare il numero misterioso”.

1) Aggiungo 8 a un numero e ottengo 18. 2) Aggiungo 8 a un numero e ottengo 18. Qual è il numero? 13

3) Che numero devo togliere a 20 per ottenere 3? 4) Quanto ha 11 più di 3? 5) 4, di quanto è più piccolo di 6? 6) Quanto manca a 13 per arrivare a 30? 7) Penso a un numero. Gli tolgo 3. Rimane 7. Qual è il numero? 8) Moltiplico 6 per un numero e ottengo 42. Qual è il numero? 9) Che numero devo moltiplicare per 6 per ottenere 24? 10) Quante volte sta 5 nel 35? 11) Quante volte 8 è contenuto in 48? 12) Un numero è contenuto 7 volte in 56. Trova il numero. 13) Per quanto devo moltiplicare 9 per arrivare a 72? 14) Per quanto devo dividere 63 per ottenere 9? 15) Se divido 54 per un numero ottengo 6. Qual è il numero? 16) La differenza fra due numeri è 4. Quali possono essere due numeri? Trova alcune coppie. 17) Il prodotto fra due numeri è 12. Quali possono essere due numeri? Trova alcune coppie. 18) Il quoziente fra due numeri è 4. Quali possono essere due numeri? Trova alcune coppie.14

Seguono tre Diari che illustrano i possibili sviluppi di questa attività nelle classi; le traduzioni proposte dagli alunni sono classificate in base alle voci della Griglia di pagina 8.

Codifiche formali: 1) n + 8 = 18 2) n + 8 = 18 opp. n = 18 – 8 n = 10 13 È interessante far riflettere gli alunni sulla diversità fra questa consegna e la precedente 3) 20 – n = 3 n = 20 - 3 4) 3 + n = 11 n = 11 - 3 5) 4 + n = 6 o 6 – n = 4; n = 2 6) 13 + n = 30 n = 30 – 13 = 17 7) n – 3 = 7 n = 7 + 3 8) 6 x n = 42 n = 42 : 6 = 7 9) n x 6 = 24 n = 24 : 6 = 4 10) 35 : 5 = n n = 7 11) 48 : 8 = n n = 6 12) 56 : 7 = n oppure n x 7 = 56 13) 9 x n = 72 n = 72 : 9 14) 63 : n = 9 n = 63 : 9 = 7 15) 54 : n = 6 n = 9 16) m – n = 4 17) a x b = 12 18) a : b = 4 14 Le tre ultime consegne sono più complesse; sono adatte ad alunni più grandi ed esperti perché le rappresentazioni richiedono l’uso di due lettere e la scelta ad arbitrio di uno dei due numeri. Si apre la strada alle


equazioni a due incognite.

Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti 5. DIARIO 2 (terza elementare, inizio anno scolastico)

Traducete per Brioshi la frase: Ad un numero misterioso aggiungi quattro e ottieni dieci Traduzioni degli allievi trascritte alla lavagna e poste in discussione: F: (a) + 4 = 10; (b) 4 + = 1015 S: ( c ) 10 – 4 FO: (d) + 4 = 10 = I: (e) 4 E 10 (f) 4 = 10 IN: (g) 6 + 10 N: (h) 6 + 4 = 10; (i) 6 + 10 A: (i) 1 + 13; (j) 3 + 10; (k) 3 + 7; (l) 10 x 10

_La classe sceglie in modo quasi unanime la (a) «perché lo spazio vuoto fa capire a Brioshi che bisogna scoprire il numero che manca». P Facciamo notare che il computer non sa come fare lo spazio vuoto e chiediamo come si potrebbe fare. ^ proposte: (m) p + 4 = 10 16 (n) ? + 4 = 10; (o) @ + 4 = 10. L’autrice di (m) spiega che p significa «il posto del numero». La classe decide di inviare (m) 17.

6. DIARIO 3 18 (terza elementare, novembre)

Rappresenta questo messaggio in linguaggio matematico per Brioshi:

Penso a un numero misterioso, gli tolgo 26 e ottengo59 Traduzioni trascritte alla lavagna e poste in discussione: L: (a) p – 26 = 59; (b) x – 26 = 59; (c) p? – 26 = 59 19 F: (d) - 26 = 59; (e) * - 26 = 59 (alla riga successiva) * = 20 _La classe esprime indecisione sulla scelta perché le traduzioni sono tutte sostanzialmente corrette. La ‘p’ per ‘posto’ non è chiara; alcuni ritengono che un simbolo valga l’altro ma pochi intuiscono che si tratta di un numero. ^ «il simbolo * sembra stare al posto di qualsiasi cosa e non aiuta a capire che sta al posto di un numero». ] «(a) è giusta perché l’altra volta abbiamo immaginato che Brioshi ci desse come risposta la p al posto del numero misterioso». ] «( c ) va bene perché fa capire che là ci va un numero». La classe decide di inviare la (e) 21.

15 Le scritture (a) e (b) rappresentano l’occasione per approfondimenti interessanti. Sono equivalenti sul piano matematico (è opportuno porre in evidenza la proprietà commutativa), ma (a) rispetta più dell’altra l’aspetto sequenziale implicito nella consegna. Discorsi analoghi si possono fare per “Moltiplica 3 per 8” e “Moltiplica 8 per 3”. 16 È interessante che compaia la lettera ‘p’, pur in seconda battuta. Facciamo notare però che è molto raro che una lettera venga proposta spontaneamente, come in questo caso, da un alunno. Talvolta si tratta di bambini che hanno osservato fratelli maggiori usare le lettere. 17 È opportuno lasciare che le discussioni contribuiscano lentamente ad evidenziare differenze e analogie fra le scritture. La scelta su quale debba essere inviata a Brioshi dipenderà dalle condizioni ambientali; per esempio all’inizio lo spazio vuoto in genere è il più ‘gettonato’ perché sembra far capire meglio «che bisogna che Brioshi scopra il numero». Sarà l’affinamento graduale delle valutazioni a portare all’ individuazione delle scritture più significative. 18 Gli alunni sono abituati ad operare sui numeri più che ad analizzare le relazioni che li collegano. Attività come questa dovrebbero favorire proprio l’individuazione in ambito aritmetico degli aspetti relazionali fra le informazioni del problema. 19 ( c ) non solo traduce il messaggio, ma invita alla sua elaborazione per trovare il numero nascosto 20 Anche (e) presenta qualcosa in più rispetto alla semplice traduzione perché contiene in nuce la risposta di Brioshi. 21 La scelta del simbolo deve essere molto libera; in particolare l’uso della lettera deve essere il frutto di una negoziazione collettiva. Per esempio, in questo caso, la decisione finale della classe premia la scrittura con l’asterisco rispetto alle due con la lettera (più evoluta). Questi aspetti sono molto importanti per costruire delle basi semanticamente significative alla costruzione del linguaggio algebrico.



7. DIARIO 4 (terza elementare, dicembre) La classe ha già avuto modo di affrontare la rappresentazione dell’incognita mediante una lettera 22.

Traducete per Brioshi la frase: Quanto manca a 2 per arrivare a 7

Traduzioni trascritte alla lavagna e poste in discussione: L: (a) 2 + p = 7 F: (b) 2 + ? = 7 (e poi) ? =; (c) 2 + ? = 7; (d) 2 + = 7 N: (e) 2 + 5 AO: (f) 2 ? = 5 + 7 = ?

^ I compagni chiedono all’autore di (f) il perché della sua scrittura che viene qualificata come priva di senso. ] Il ragazzo non sa spiegarla. ^ La (e) viene definita sbagliata perché contiene la risposta; (a) (b), (c), (d) sono riconosciute come corrette ed equivalenti. ] «Per me la (a) non va bene perché sarebbe “togli 2 a 7”». La classe decide di inviare a Brioshi la (a).

22 Quando la lettera comincia ad apparire nelle traduzioni accanto ad altri simboli, è consigliabile spiegare alla classe che, fra i vari modi per rappresentare il numero sconosciuto (puntini, punto interrogativo, quadrato, spazio vuoto, ecc.), quello con la lettera è il preferito dai matematici e si è modificato profondamente nel corso del tempo. Si è osservato comunque che, anche quando molti alunni non la usano ancora spontaneamente, la lettera è ‘accettata’ dalla classe. In ogni caso è importante che l’ avvicinamento al linguaggio simbolico sia molto lento, e passi attraverso conquiste graduali, frutto di una mediazione sociale (interventi corretti e sbagliati, tentativi, correzioni, intuizioni, confronti, verbalizzazioni, eccetera). L’attività è mirata a coordinare il passaggio fra rappresentazioni diverse (quella algebrica, che privilegia l’aspetto relazionale e quella sagittale, che evidenzia l’aspetto procedurale) e a rileggere in termini relazionali i processi operativi rappresentati dai grafi .

8. DIARIO 5 (terza elementare, gennaio) 23

Traducete per Brioshi la frase: Che numero devo togliere a 14 per ottenere 10.

_ «14 – n = 10». P Chiediamo di rappresentare la frase in un grafo e di descriverlo. - n ^ 14 10 «14 meno n uguale 10». P Li invitiamo a riflettere su definizioni date in precedenza. ^ «Da 14 tolgo n uguale 10». P Li facciamo riflettere sul nome dell’operazione. ^ «Da 14 sottraggo n e arrivo a 10». P Chiediamo di evitare un linguaggio ‘ferroviario’ del tipo ‘arrivi’ e ‘partenze’. ^ «Da 14 sottraggo n e ottengo10». P Facciamo completare il grafo e chiediamo di descriverlo. - n ^ 14 10 + n Giungono nell’ordine le seguenti traduzioni. (a) «10 più n arrivo a 14» (b) «10 più n ottengo 14» (c) «A 10 aggiungo n e ottengo 14» (d) «A 10 addiziono n e ottengo 14» 24 P Chiediamo di riflettere sul nome del risultato dell’operazione. ] (e) «La somma fra 10 e n è 14»

23 Sono favorite le classi che abbiano avuto negli anni precedenti esperienze significative con l’uso delle lettere in aritmetica. Nelle altre classi può accadere che gli alunni incontrino delle difficoltà iniziali nel capire la consegna e nell’impostare la traduzione. In ogni caso, anche se con maggiore lentezza, l’attività comunque prende corpo e il linguaggio si affina. Gli alunni acquisiscono la capacità di individuare parafrasi sempre più corrette sul piano logico-linguistico, man mano che migliora la loro capacità di riflettere sugli aspetti relazionali delle scritture matematiche.

24 Le definizioni da (a) a (b) sono di tipo procedurale, diacronico (descrivono l’operazione e il suo svolgersi nel tempo). (e)invece è di tipo relazionale; è più evoluta perché presuppone un distacco da parte dell’osservatore rispetto agli aspetti puramente operativi. L’attenzione dell’alunno non è più ountata su ‘ciò che faccio’, ma sulla relazione che collega tre numeri, uno dei quali è sconosciuto.



Terza fase 25

Si favorisce nuovamente il processo inverso facendo interpretare una frase scritta in linguaggio matematico 26.

25Si mostra qui il diario relativo ad una situazione di partenza contenente una sottrazione (più complessa di una contenente un’addizione) per porre in evidenza alcune fra le probabili difficoltà che sorgono nella classe e le strategie attuate in questa occasione per superarle. L’ostacolo maggiore è rappresentato dal fatto che la risposta per Brioshi si trova ricorrendo all’operazione inversa 59 + 26.

9. Continuazione di DIARIO 3 (terza elementare, dicembre)

26 Tutte le attività che, come questa, obbligano a cambiare il punto di vista e a ‘spostarsi’ fra rappresentazioni differenti, favoriscono la formazione di un abito mentale pre-algebrico aperto alla comprensione del significato delle scritture espresse in un linguaggio formalizzato.

La classe decide di inviare questo messaggio: * - 26 = 59 (seguito da) * =

P Chiediamo quale potrebbe essere la risposta di Brioshi. ^ Fra evidenti difficoltà 4 alunni (su 14) scrivono: * = 85. Molti compagni intuiscono la correttezza di questa scrittura. P Per favorire la comprensione proponiamo un grafo con numeri differenti da quelli del problema e chiediamo di completarlo:

14 36 27 _ Gli alunni aggiungono al grafo: + 22 e – 22.

+22 14 36

-22 P Forziamo la mano, cancelliamo + 22 e – 22 e scriviamo: + a e – a:

+a 14 36

-a poi chiediamo di interpretare il nuovo grafo. ] «a è il numero 22» ] «a è un numero» P Chiediamo di tradurre l’ultimo grafo in un messaggio per Brioshi. _ Gli alunni propongono: (a) 14 + a = 36 (b) 36 – a = 14 P Proponiamo di tradurre i due messaggi in altrettanti problemi per Brioshi. ^ Proposte: (a) «Quale numero bisogna aggiungere a 14 per arrivare a 36?» (b) «Quale numero bisogna togliere a 36 per arrivare a 14?» Si conclude parafrasando collettivamente il problema di partenza: «A quale numero bisogna togliere 26 per arrivare a 59?»

27 Le rappresentazioni cosiddette ‘sagittali’ favoriscono, com’è noto, la comprensione del rapporto operazione diretta – operazione inversa. Come diventerà più chiaro in seguito, questa rappresentazione si rivela molto potente anche nel passaggio al campo algebrico. Si consideri ad esempio la consegna: “Brioshi ha inviato questo problema: n - 17 = 32 trova il valore di n”. L’eventuale ricorso alla rappresentazione sagittale favorisce l’individuazione della formula con la quale si può risolvere il problema posto da Brioshi:

-17

n 32 +17

32 + 17 = n.



28 Questa attività conferma l’efficacia di Brioshi come strumento di mediazione per introdurre la lettera al posto del numero che non si conosce. Pur sapendo perfettamente che in questo momento Brioshi è l’insegnante stesso, la situazione è molto verosimile e coinvolge gli alunni in una specie di stimolante ‘gioco di ruolo’. 29 È importante che nel corso dell’ attività si alternino gli spunti iniziali e che si parta da un problema proposto di volta in volta • dall’insegnante per la classe in linguaggio naturale o in linguaggio matematico; • dagli alunni per Brioshi in linguaggio naturale o in linguaggio matematico; • dalla classe di Brioshi per gli alunni. Nelle prossime Situazioni verranno proposte attività in questo senso. 30 La scrittura di partenza di questa classe è più ‘arretrata’ rispetto a quella della classe precedente. Ciò ha rallentato la conquista della lettera, ma alla fine i risultati sono del tutto soddisfacenti.

10. Ci si mette nei panni di Brioshi e si risponde ai messaggi. 28,29 L’attività viene illustrata attraverso il confronto tra i diari di due terze

elementari (A e B) alle prese con il problema Brioshi deve scoprire a quale numero si aggiunge 4 per ottenere 10. La terza A ha appena incontrato l’uso della lettera al posto del numero mancante e propone l’invio di questo messaggio (L): p + 4 = 10 P Chiediamo quale potrebbe essere la risposta di Brioshi. ^ La classe scrive: 6 + 4 = 10. P Proviamo a forzare la situazione e chiediamo come interpreterebbero questa risposta: p = 6 ^ «Brioshi dice quale numero scriverebbe al posto di quello che deve trovare». P Come verifica proponiamo un messaggio di Brioshi e chiediamo che lo traducano in linguaggio naturale e che formulino la risposta: p - 13 = 4 ^ «Penso a un numero, tolgo 13 e ottengo 4. Qual è il numero?». p = 17 La terza B non ha ancora incontrato la lettera e sceglie di inviare questo messaggio: + 4 = 10 30 P Chiediamo quale potrebbe essere la risposta di Brioshi. ^ La classe individua tre soluzioni ((a), (b) di tipo N, (c) di tipo F): (a) 6 + 4 = 10 (b) (6) + 4 = 10 (c) + 4 = 10 6 decide per (a) e invia: 6 + 4 = 10 P Forziamo la situazione e immaginiamo che Brioshi invii questo problema: n – 2 = 14 ]Un alunno elabora questa risposta: 16 - 2 = 14 P Chiediamo se questa sia l’unica risposta possibile. Non riceviamo risposte significative. Chiediamo cosa intenda Brioshi con n. ] «n rappresenta il numero mancante». ^ Gli alunni non sanno elaborare l’affermazione del compagno. P Chiediamo di inventare un problema e di inviarlo a Brioshi usando il suo stesso linguaggio. ]«Penso un numero, tolgo 4 e viene 19». Il messaggio viene tradotto: n – 4 = 19 Immaginiamo che arrivi la risposta e scriviamo: n = 23 ^ Gli alunni la giudicano sbagliata e propongono: 23 – 4 = 19 Poi ci ripensano e concludono che «n, cioè il numero mancante, è 23». P Passiamo ad una verifica e immaginiamo di ricevere questo messaggio al quale bisogna rispondere: 36 – n = 28 ^ Gli alunni propongono quattro risposte: (d) numero 8 (e) n8 (f) n = 8 (g) 36 – 8 = 28 Scelgono di inviare la (f): n = 8



Quarta fase 11. GIOCO DELLE TRADUZIONI INCROCIATE (prima versione) Si formano delle coppie; in ogni coppia un alunno scrive una frase in linguaggio matematico (ad es: “9 Ï n = 27”) e l’altro una in lingua italiana (ad es: “A 3 aggiungo un numero e ottengo 17; qual è quel numero?”). Poi i componenti di ogni coppia si scambiano i testi, li traducono e ne verificano la correttezza31. Successivamente si scambiano i ruoli. Le questioni più interessanti o controverse possono diventare oggetto di discussione collettiva. Gli alunni sono invitati ad usare tutte le operazioni conosciute. Alcuni esempi (terza elementare); a sinistra compaiono i testi originali e a destra le rispettive traduzioni.

31 È opportuno inserire la regola che ogni alunno esegua la traduzione prima di scambiare il suo testo e poi la confronti con quella del compagno 32 (C) e (D) mostrano di intuire l’esistenza dei numeri negativi. Bisogna verificare però che non si tratti di uno scarso controllo sul significato della frase ed evitare che l’unica preoccupazione degli alunni sia di scrivere una frase (spesso ‘difficile’) per il compagno.

Corretti (A) “Da cinque sottraggo d e mi rimane 1” Ò (B) “5 – d = 1” (B) “19 Ï n =81”Ò(A) “Moltiplico 19 per un numero ne ottengo 81”

33 (C) traduce in modo corretto ma poco significativo; occorre accertarsi che gli alunni sappiano formulare anche una parafrasi meno ‘letterale’.

Corretti, interessanti oggetti di discussione : (C) “A 4 tolgo 7” Ò (D) “4 – 7 = A” 32 (D) “U + 3 = 8” Ò (C) “U più tre uguale otto”33

Scorretti: (E) “A 7 tolgo 4” Ò (F) “7 + 4 = N” (F) “N + 1 = 10” Ò (E) “Da 1 sottraggo 10”

Incomprensione: (G) “nove ottengo un numero sconosciuto = 4” Ò (H) “?”



12. Data un’equazione, la classe inventa un problema da inviare a Brioshi 34 DIARIO 6 (terza elementare, febbraio)

34 La traduzione dal linguaggio matematico alla lingua italiana comporta maggiori difficoltà che non il contrario. Conviene favorire, anche con gli alunni più giovani, la riflessione e la verbalizzazione sulle scritture matematiche.

Inventate un problema che si possa tradurre per Brioshi con la frase: 30 – n = 6. Traduzioni proposte dagli alunni: (a) «Ho 30 caramelle. Tolgo n caramelle e ottengo 6» P Si chiede di migliorare linguisticamente il testo. (b) «Ho 30 caramelle. Tolgo il numero mancante e ottengo 6» P Si invita a non usare parole del ‘matematichese’ (sorridono). (c) «Ho 30 caramelle. Ne mangio un po’ e ottengo 6 caramelle 35» (d) «Ho 30 caramelle. Ne mangio un po’ e rimangono 6 caramelle» P Si chiede quali altre parole possono sostituire ‘un po’’. (e) «Ho 30 caramelle. Ne mangio qualcuna e rimangono 6 caramelle» (f) «Ho 30 caramelle. Ne mangio alcune e rimangono 6 caramelle» Proponiamo un’altra situazione problemica:

Inventate un problema che si possa tradurre per Brioshi con la frase: 24 : n = 4 Non dovete parlare più di caramelle, ma di criceti 36.

Traduzioni proposte dagli alunni: (g) «Ho 24 criceti. Li divido… » (h) «Ho 24 criceti e ho alcuni bambini. Do 4 criceti… » (i) «Ho 24 criceti. Li spartisco un po’ e ho 4 criceti» (j) «Ho 24 criceti e alcuni bambini e ne do 4 » (k) «Ho 24 criceti. Li spartisco in parti uguali per 4» Dopo tante incertezze una bambina si illumina: (l) «Ho 24 criceti e li metto in gabbie e in ognuna ce ne stanno 4. Quante gabbie mi servono?» 37

35 L’introduzione di aggettivi indefiniti può condurre ad una riflessione molto proficua di tipo linguistico, ponendo in evidenza l’equivalenza fra termini come ‘‘un po’’ ‘qualcuno’, ‘alcuni’, ‘qualche’, ‘dei’, riferibili tutti al significato di ‘una parte di …’. 36 È opportuno che l’insegnante vari spesso il contesto (geometrico, familiare, compravendita, ecc.). 37 La seconda situazione è più difficile perché la divisione in questo momento dell’anno scolastico è un’ operazione molto ‘fresca’ nella classe. (i) e (j) introducono una divisione di partizione, (h) una di contenenza; il numero mancante è difficile da gestire e blocca una visione complessiva della situazione. Gli alunni cercano di aggirare l’ostacolo inserendo parole generiche come “alcuni” e “li spartisco un po’”. (k) introduce la ‘partizione in parti uguali’ ma la collega in modo oscuro al numero 4. (l) risolve brillantemente la situazione introducendo le gabbie e proponendo, di fatto, una divisione di partizione.

È interessante il confronto fra il diario precedente e quello che segue, che ispirerà la successiva variante al Gioco delle traduzioni incrociate.

DIARIO 7 (quarta elementare, febbraio)

Inventate un problema che si possa tradurre per Brioshi con la frase: 26 – a = 11

^ I bambini, invece di tradurre ‘semplicemente’ la frase, la trasformano in un problema: «Ho 26 caramelle, ne mangio 11; quante rimangono?» ] Altri tentativi conducono ad una traduzione più fedele dell’equazione di partenza: (a) «Ho 26 caramelle, ne distribuisco certe, ne restano 11» P Chiediamo cosa si potrebbe mettere al posto di quel ‘certe’. ^ (b) «Un numero». P Chiediamo di tradurre la frase senza trasformarla in un problema. ^ Proposte: (c) «26 meno un numero uguale a 11» (d) «A 26 sottraggo un numero misterioso e ottengo 11» (e) «A 26 tolgo un numero e ottengo 11»



13. GIOCO DELLE TRADUZIONI INCROCIATE (seconda versione) La versione precedente è incentrata sulla traduzione dal linguaggio matematico a quello naturale e viceversa; questa sul passaggio da un contesto ‘reale’ a quello formale e viceversa. Si formano delle coppie. Ogni bambino della coppia inventa un problema (deve mancare un dato ) e scrive su un foglietto la sua rappresentazione matematica. Poi i due bambini si scambiano i problemi e ognuno rappresenta quello del compagno. Infine le soluzioni vengono confrontate. I casi più interessanti si discutono collettivamente.

Esempi (quarta elementare): 38

Manuel: Ci sono 50 automobili, 20 sono Fiat. Quante sono le automobili di marca Peugeot?

Rappresentazione di Manuel: 50 – g = 30 Rappresentazione di Blondino: 50 – 20 = 30; “prova” 30 + 20 = 50 Davide: Ci sono 20 tartarughe in 4 vasche. In quanti gruppi si dividono? Rappresentazione di Davide : 20 : s = 4 Rappresentazione di Andrea: 20 : x = 4; 20 : 5 = 4

Andrea: Ci sono 21 poliziotti che vanno in una città. Si dividono in 3 squadre. Di quanti poliziotti è formata una squadra?

Rappresentazione di Andrea: 21 : 3 = p Rappresentazione di Davide : 21 : 3 = 7 39

Chiara: Mario raccoglie 13 conchiglie. Mario ne dà 2 a Marco. Quante conchiglie rimangono a Marco?

Rappresentazione di Chiara: 13 – 2 = n 13 – 2 = 11 Rappresentazione di Debora: 13 – 2 = 11

Debora: La mamma compra 5 pacchetti di caramelle, in tutto ci sono 15 caramelle. Quante caramelle contiene ogni pacchetto?

Rappresentazione di Debora: 5 Í y = 15 Rappresentazione di Chiara: 5 Í m = 15; 5 Í 3 = 15 40

Michael: Al supermercato ci sono 7 scatole di petardi. In tutto sono 28. Quante scatole di petardi ci sono in ogni scatola?

Rappresentazioni di Michael: 7 Í w = 28 e w Í 7 = 28 Rappresentazione di Nicole : 28 : 7 = 4

Nicole: Sono andata ad un negozio di animali e ho comprato 6 criceti. Arrivata a casa ho messo nella gabbia 17 criceti. Quanti criceti ho comperato all’altro negozio?

Rappresentazione di Nicole : 6 + n = 17 Rappresentazione di Michael: 6 + 11 = 17

38 Si trascurano in questa sede le osservazioni sul modo in cui i testi sono formulati (per esempio: nel problema di Manuel si dà per scontato che le automobili che non sono Fiat siano tutte Peugeot, in quello di Davide il riferimento ai ‘gruppi’ è ambiguo, in quello di Andrea non si dice se le squadre sono tutte uguali, e così via. Naturalmente questi aspetti – legati alla correttezza e alla coerenza del testo - sono di grande importanza e dovrebbero impegnare la classe in un lavoro di valutazione collettiva. 39 È probabile che l’insegnante rilevi anche nella sua classe una differenza di atteggiamento: quando gli alunni sono autori, tendono a tradurre il loro testo in linguaggio aritmetico-algebrico introducendo nelle loro scritture delle lettere; quando invece gli stessi alunni diventano solutori spesso costruiscono risposte solo aritmetiche e risolvono il problema anziché tradurlo per Brioshi (alcuni fanno anche la verifica del risultato). Probabilmente l’alunno-autore si sente libero da preoccupazioni e/o da stereotipi (il testo lo ha inventato lui, quindi non lo sente come un vero problema), e allora rispetta la consegna e ‘traduce’. Nella seconda fase invece rinnova lo stereotipo del dover ‘risolvere il problema’ e quindi di ‘cercare l’ operazione’. Sono importanti le attività che favoriscono la comprensione della differenza fra i due atteggiamenti e la riflessione su di essi, in modo che ‘l’ansia da operazione’ lasci spazio alla trasposizione del problema dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico. 40 Contrariamente all’atteggiamento descritto nel commento precedente, Debora e Chiara mostrano di aver riflettuto correttamente sul compito assegnato. Infatti, sia come autrici che come solutrici, usano un corretto linguaggio algebrico.



Quinta fase 14. Al momento opportuno si possono proporre problemi più complessi, che offrono spunti di notevole interesse didattico. Si riportano di seguito alcuni esempi, documentandoli nelle prossime pagine con i relativi Diari (classi quarte) che illustrano alcuni fra i possibili sviluppi di questa attività nelle classi.

Alvaro e le automobili (Diari pagg 18 - 20)

Alvaro si diverte a contare le automobili di colore rosso e quelle di colore bianco. Conta 15 macchine bianche, perde il conto di quelle rosse, ma è sicuro che in tutto ha contato 56 automobili.

Rappresenta la situazione in linguaggio matematico in modo che diventi un problema per Brioshi

La biblioteca di Alice (Diari pagg. 21 - 22)

Alice sta mettendo in ordine la sua biblioteca. Su uno scaffale conta 16 libri di Asterix, 22 libri della collana Storie e Rime Einaudi e 11 della Collana del Battello a vapore. È molto soddisfatta ed esclama «Caspita! Ho 49 libri!»

Rappresenta la situazione in linguaggio matematico.

Caterina e la fattoria (Diari pagg. 23 - 24)

Caterina assieme alla sua classe sta visitando una fattoria. Riesce a contare 18 galline ma non riesce a contare le tortore perché entrano ed escono dalla loro voliera. Il fattore racconta che in tutto, fra galline e tortore, ha 43 uccelli.

Rappresenta la situazione in linguaggio matematico in modo che diventi un problema per Brioshi

Nota Nel leggere i diari delle prossime pagine occorre tenere presente che ognuno si riferisce a particolari situazioni di classe e che anche i commenti sono fatti ‘a caldo’; lo scopo dei diari è quello di fornire in itinere materiali significativi agli insegnanti sperimentatori con diverse finalità: (i) informare periodicamente di quello che avviene nelle classi durante le compresenze insegnante/ricercatore; (ii) fornire indicazioni di metodo (la discussione, il confronto in classe dei protocolli, l’analisi fine a tavolino che consente letture più approfondite e così via); (iii) suggerire nella colonna dei commenti spunti per la riflessione e ipotesi di attività, ecc. (iv) controllo delle ipotesi di lavoro programmate all’inizio dell’anno sotto forma di “Schede di Esplorazione”.

Man mano che l’orizzonte dell’attività si allarga e gli alunni diventano più consapevoli in relazione a questi temi, è importante approfittare della loro naturale curiosità per illustrare codici, convenzioni, l inguaggi formalizzati, simboli, ecc. Buone occasioni in tal senso vengono offerte dai protocolli che mescolano in modo confuso o improprio linguaggio simbolico, naturale, iconico, inventato dagli autori, e così via. In altre parole, tutte quelle rappresentazioni che Brioshi non potrebbe capire. Si può quindi introdurre (in termini adeguati all’età) il concetto di “linguaggio universale” (come qualcuno lo ha chiamato, di ‘esperanto matematico’). Si può spiegare che spesso gli alunni, inesperti del linguaggio matematico, lo usano in modo fantasioso, anche ‘bello’, ma non comprensibile (si può far rilevare che i compagni magari credono di capire, o intuiscono, le intenzioni degli autori dei protocolli, perché conoscono i ‘dialetti matematici’ in uso nella loro classe, ma che Brioshi, del tutto estraneo a questi ‘dialetti’, non saprebbe come interpretarli). Capita anche l’occasione per far notare come gli stessi autori siano stati così poco chiari nel linguaggio usato, da essere i primi che, a distanza di tempo, non riescono più a capire cosa avessero voluto dire con quella determinata rappresentazione. Sono utili i riferimenti a codici familiari alla classe come l’alfabeto morse: era stato inventato per salvare le vite dei naufraghi e i messaggi dovevano essere capiti da chiunque, indipedentemente dalla sua lingua. Se l’operatore avesse trasmesso segnali non riconoscibili, i naufraghi non sarebbero stati salvati perché nessuno avrebbe capito l’informazione. Lo scopo finale è quello di far cogliere agli alunni le ragioni storiche per le quali sono stati elaborati un po’ alla volta anche i linguaggi matematici: sono in fondo poveri rispetto a quello naturale, ma molto potenti nella loro sinteticità, a condizione però che siano usati correttamente.


Ed 1650a I problemi per Brioshi 4 Borgo Piave, quarta, 24 alunni, 23 novembre 1999, incontro 1 Commenti Introduciamo Brioshi. Proponiamo il problema di Alvaro.

Alvaro, mentre guida, si diverte a contare le automobili in base al loro colore. Conta 15 macchine bianche, perde il conto di quelle rosse, ma è sicuro che in tutto ha contato 56 automobili. (a) Rappresenta la situazione in linguaggio matematico in modo che diventi un problema per Brioshi

All'inizio i bambini traducono il problema in linguaggio esclusivamente iconico, con rappresentazioni colorate, dettagliate e fantasiose. P Si chiede che la traduzione sia in un linguaggio che possa essere spedito via E-mail. Dopo una serie di titubanze gli alunni danno le seguenti risposte: (a) 56 - 15 = (b) 15 + …. = 56 (c) 56 - 15 = 41 15 + 41 = 56 41 + 15 = 56 56 - 41 = 15 (d) 15 + ? = 56 (e) 15 + ? = 56 (f) 56 - 15 = ? (g) 56 = 15 +…..41

(h) 56 - 15 = ….. (i) 15 + = 56 Le risposte vengono scritte alla lavagna.

41 La (b) e la (g) (che di fatto sono uguali a meno di simmetria) vengono sentite dagli alunni come diverse. Si ritiene che questo accada perché - come viene d’altro canto esplicitato nel prosieguo della discussione – il segno di uguaglianza è visto come operatore direzionale e non come indicatore di relazione di equivalenza

P «Secondo voi, qual è la più adatta ad essere spedita a Brioshi?» ^ Vengono subito scartate la (e) «… perché il quadretto ci fa confusione» e la (i) («Come si fa a spedire un messaggio così? Al computer ci potrebbero essere dei problemi» - alludono allo spazio vuoto, ndt). _ Segue questa discussione: ] «Secondo me va bene la (c), perché è più completa» ] «Ma no, nella (c) non c'è il problema, sono solo numeri con il risultato» ] «La (f) o la (g): col punto di domanda e con i puntini si capisce che quel numero non si sa, e quindi è un problema» ] «La (g) è il 56 che si divide: e vengono le operazioni che devo fare per raggiungere il 56, nella (f) c'è una sottrazione. La (f) è un'operazione, la (g) è un problema» ] «La (f) può essere la domanda di un problema, la (g) è solo la prova» ] «La (f) si capisce meglio, la (c) è già completata» ] «La (f) e la (h) sono operazioni più semplici della (g), ma sono anche uguali» ] «Sulla (g) devi trovare»

Gli alunni sono intervenuti quasi tutti, tutti hanno comunque ascoltato. Decidiamo di classificare le proposte degli alunni in tre categorie in base al punto di vista del solutore: 1) il problema viene risolto: (c) 2) il problema è ancora da risolvere: (b), (d), (e), (i) 3) si esaltano le operazioni: (f), (a), (h).

42 Si ipotizza che la (g) sia vista come ‘più problematica’ perché il risultato dell’operazione si trova a sinistra del simbolo di uguaglianza

Si decide che ad essere spedito deve essere un ‘problema’. ] Un alunno fa un'osservazione molto interessante «La soluzione (g) è più problematica della (b)» 42.


Ed 1650b Scrivere in colonna e scrivere in riga 4

Borgo Piave, quarta, 24 alunni, 23 novembre 1999, incontro 1 Commenti C'è molta incertezza su quale debba essere la formulazione da spedire, fra quelle del secondo gruppo. Emergono altre due formulazioni: (j) 15 + x = 56 (k) 56 = 15 + ? P Si chiede di spiegare perché viene inserita quella x. Non viene data risposta, ma c'è comunque disapprovazione da parte degli altri, perché dicono che la x si confonde con l'operazione di moltiplicazione. A questo punto viene deciso di spedire la formulazione (k) 43.

43 Lo schema ‘testo - soluzione - risposta’ si adatta alla consegna.

P «Secondo voi cosa risponderà Brioshi?» _ Dalla discussione escono molte proposte: (a) 56 = 15 + ? 56 - 56 = 15 + 41

15 41

(b) 56 = 15 + 41 (c) 56 = 15 + ? 56 - 41 = 56 – 15

15 41

(d) 56 - 15 = 41 (e) 41 + 15 = 56 P Si chiede di formulare la risposta al problema in lingua italiana, e di tradurre poi questa risposta in linguaggio matematico. ^ La proposta degli alunni giunge senza apparenti difficoltà:

“Alvaro ha contato 41 macchinine rosse” e la traduzione:

? = 41 Gli alunni, dopo aver dato quest’ultima risposta, non la tengono minimamente in considerazione, quasi fosse avulsa dalla discussione, o addirittura un fattore di disturbo. Riprendono a discutere su quale formulazione scegliere per la risposta, fra quelle scaturite da loro. Ci lasciamo senza aver scelto una risposta più probabile delle altre.


Ed 1651 Scrivere in colonna e scrivere in riga 4 Borgo Piave, quarta, 24 alunni, 11 gennaio 2000, incontro 2 Commenti Viene presentato il problema di Alice:

Alice sta mettendo in ordine la sua biblioteca. Su uno scaffale conta 16 libri di Asterix, 22 libri della collana Storie e Rime Einaudi e 11 della Collana del Battello a vapore. È molto soddisfatta ed esclama «Caspita! Ho 49 libri!» Rappresenta la situazione in linguaggio matematico Per Brioshi.

_ Le risposte che i ragazzi danno sono le seguenti: (a) 22 + 11 + 16 = 49 (b) 16 + 22 + 11 = 49 ( c ) 49 - 11 - 22 - 16 = 0 (d) 16 + 11 + 22 = 49 (e) 16 + 11 = 27 27 + 22 = 49 44 (f) 22 + 11 + 8 + 8 = 49 (g) (10 + 6) + (20 + 2) + (10 + 1) = 49 (h) 11 + 11 + 11 + 8 + 8 (i) 49 = 11 + 16 + 22 (j) 49 - 11 - 22 = 16 (k) 22 + 16 + 11 - 49 = 0 (l) ? + 11 + 22 = 49 (m) 16 ? + 11 = 49 45

44 Si potrebbe approfittare di una situazione come questa (la e) per affrontare il concetto di operazione binaria, in quanto, qualsiasi sia il numero di addendi, vengono comunque abbinati a coppie 45 Da notare nella (m) la mancanza del segno di operazione fra il numero e l'incognita.

Ci sono inoltre due operazioni in colonna, (n) 16 + (o) 16 +

22 + 11 + 11 = 22 = 49 49

Le rappresentazioni sono molte, si tratta ora di vedere qual è la più adatta a rappresentare la storia di Alice. _ Vengono subito eliminate le scritture (l) ed (m) perché «Nel testo non ci sono domande, mentre queste frasi rappresentano problemi». Viene scartata velocemente anche la (e) perché nel testo del problema non ci sono soluzioni intermedie. Rapidamente si eliminano anche (f), (g) e (h) in quanto «I numeri sono scomposti, e non raccontano la storia. Inoltre nella h manca il risultato». Le prossime proposte che vengono a cadere sono quelle rappresentate dalle scritture (c), (j), (k), perché «Nel problema Alice non toglie niente, perciò queste frasi matematiche non descrivono il racconto». Si decide quindi di conservare solo le scritture in forma additiva, indifferentemente in riga od in colonna. A questo proposito, vengono appaiate la (b) e la (n), e la (d) e la (o), che rappresentano la stessa operazione scritta una volta in riga, l'altra in colonna 46. Le frasi rimaste sono: (a), (b), (d), (i), (n) e (o). Risulta evidente che (i) è strutturalmente diversa rispetto alle altre. I ragazzi non si sentono di scartarla, ma sono molto perplessi. In realtà, avere il risultato dell'operazione a sinistra dell'uguale è inusuale, in genere il risultato sta a destra. Alice però prima ci dice quanti libri possiede collana per collana, e poi ci dice il totale. Pertanto, concludiamo che le scritture in riga che sono rimaste, e cioè (a), (b), (d) ed (i) sono matematicamente equivalenti, ma quella che rispetta di più l'ordine della storia è la (b).

46 Può essere un'occasione per parlare delle operazioni che godono della proprietà commutativa.


Ed 1650a Scrivere in colonna e scrivere in riga 4

S.Giustina, quarta, 24 alunni, 8 febbraio 2000, incontro 5 Commenti Proponiamo questo problema:

Alice sta mettendo in ordine la sua biblioteca. Su uno scaffale conta 16 libri di Asterix, 22 libri della collana Storie e Rime Einaudi e 11 della Collana del Battello a vapore. È molto soddisfatta ed esclama «Caspita! Ho 49 libri!» Rappresenta la situazione in linguaggio matematico per Brioshi.

Riceviamo i seguenti protocolli, molto vari:

a) 16 Asterix 22 Storie 11 Battello (b) 16 + (5 alunni)

22 + 11 49

(c) 47 16 Asterix 22 Storie 11 Battello

= 49

47 Non riusciamo ad individuare le ragioni delle rappresentazioni (a) (che probabilmente ha copiato da (c)) e di (c); sono “invenzioni” degli alunni che gli autori stessi non sanno giustificare a posteriori.

(d) 16 + 16 + 22 + 11 =

22 + 11 49

49 (e) 16 + 16 + 22 + 11 = 22 + 11 49

(f) 16 + 22 + 11 = 49 (3 alunni)

(g) 16 + 22 + 11 = 49 16 + 22 + 11 49

(h) 22 + 16 + 11 49

(i) 48

48 Anche l’autrice di (i) sembra essersi “inventata” la sua rappresentazione.


Ed 1605b Scrivere in colonna e scrivere in riga 4

S.Giustina, quarta, 24 alunni, 8 febbraio 2000, incontro 5 Commenti (j) 49 22 + 16 + 11 = 49

49 L’insegnante della classe rileva che l’autore di (j) è solito produrre testi ridondanti nei quali rappresenta tutte le strategie senza attribuire alcuna gerarchia al loro interno.

22 + 11 + 16 49

49 – 22 – 16 - 11

(k) 16 + 22 + 11 49

Prova: 16 + 22 + 11 49

(l)

22 + 16 + 11 = 49 22 + 16 + 11 49

(m) 16 + 22 + 11 = 49 22 + 11 + 16 = 49

11 + 16 + 22 = 49 16 + 11 + 22 = 49

(n) 22 + 11 + 16 = 49

16 22 49

Nel corso della discussione vengono progressivamente esclusi ^ (a) e (c) perché non sono scritte in linguaggio matematico. Inoltre in

(a) «manca l’operatore». ^ (d) perché non risponde alla consegna in quanto «non ci sono numeri

misteriosi». ^ (e) perché il riquadro attorno a 49 non è necessario. _ si apre una discussione su (l); gli insegnanti chiedono all’alunno di spiegare il suo schema, ma risulta evidente che i dati iniziali sono stati scelti arbitrariamente. L’incontro si conclude. Nota L’attività in compresenza nella classe continua nell’incontro successivo (v. Ed 1606, pagg. 23 - 24).

Osservazioni conclusive Compaiono tre tipi di rappresentazioni, spesso compresenti nello stesso protocollo: in colonna, in riga, iconiche (spesso grafi) In genere gli alunni non sembrano adottare una scelta della rappresentazione funzionale ad un obiettivo; di fronte ad una consegna non consueta “esibiscono” le rappresentazioni che conoscono, sino all’uso stereotipato della ‘prova’ (k) (e forse (j)) o dell’applicazione incongrua della proprietà commutativa (m). Quando gli strumenti conosciuti sono poveri, si ricorre all’invenzione: (a), (c) e (i). In ogni caso prevale il principio della ridondanza, in taluni casi esasperata (j). In alcuni casi (l) compare la perdita totale di controllo del significato; l’alunno avverte la ‘mancanza di qualcosa’ e inventa dei dati inesistenti che non sa giustificare a posteriori. Solo tre alunni (f) rispettano la consegna e rappresentano la situazione con una scrittura in riga. Cinque alunni (b) presentano dei protocolli ‘puliti’ che paiono però vincolati più alla sequenza ‘calcolo -risultato – soluzione’ che al concetto di ‘traduzione – rappresentazione’ delle relazioni. Questi parziali risultati somigliano molto a quelli ottenuti nella quarta di Borgo Piave (v. Ed 1651, pagg.18 – 20).


Ed 1606a Scrivere in colonna e scrivere in riga 4 S.Giustina, quarta, 24 alunni, 22 febbraio 2000, incontro 6 Commenti Continuiamo la correzione collettiva dei protocolli della scheda precedente relativi al problema di Alice (Ed 1605), pagg. 21 – 22). _ (a), (c), (d), (e) sono già state escluse; ora vengono eliminate: (g) perché ripete scritture di altri alunni; (h) perché è simile alla (b) con i dati invertiti; (i) il suo significato non è chiaro; (l) perché i dati iniziali posti dello schema sono arbitrari; (m) perché è inutile riscrivere la stessa espressione applicando per tre

volte di fila la proprietà commutativa; (n) perché non ha molto senso (sembrano ‘parole crociate’). Su (k) e (j) si apre una lunga discussione perché per molti alunni la presenza di più rappresentazioni diverse «permette di capire meglio». Si discute su quest’ultima affermazione ma non si ottengono risposte convincenti. Alla fine la classe concorda sul fatto che le scritture chiare vengono capite comunque anche se non ce ne sono altre, ma è evidente che l’accordo è fatto fondamentalmente per compiacere l’insegnante. Un solo alunno (Manuel) sembra convinto che più scritture in questo caso siano superflue 50. Rimangono alla lavagna due sole rappresentazioni: (b) e (f): (b) 16 +

22 + 11 49

(f) 16 + 22 + 11 = 49

50 Come abbiamo sottolineato in Ed 1605b, per molti alunni la scelta della rappresentazione non è una scelta realmente consapevole (si è parlato di scelta funzionale, prevalentemente, alle presunte aspettative dell’insegnante, di ‘esibizione’ di rappresentazioni). Sarebbe opportuno riflettere su questa difficoltà: la scelta della rappresentazione deve essere funzionale a cosa? Probabilmente, nell’indecisione, gli alunni fanno ricorso a tutte le rappresentazioni che in qualche modo conoscono (in riga, in colonna, grafiche) più o meno chiare, spesso estrapolate da ricordi confusi. Gli alunni insomma fanno ricorso a tecniche note, delegando l’insegnante a scegliere la più adatta. Si ritiene che anche l’osservazione fatta da qualcuno «permette di capire meglio» non esprima una particolare convinzione, tant’è vero che la classe in quattro e quattr’otto capovolge le sue precedenti conclusioni (senza peraltro che questo esprima una nuova reale consapevolezza).

P Chiediamo agli alunni se considerino queste due rappresentazioni meno chiare perché, come ha detto qualcuno, ‘sono da sole’. Alvise (autore della m) spiega che lui aveva voluto «rappresentare la

situazione in altri modi»; riconosce comunque che (f) è chiara. Manuel ribadisce che è superfluo dire la stessa cosa in modi diversi. P Chiediamo quale delle due si presta di più ad essere inviata a Brioshi. _ In un primo momento gli alunni sembrano molto indecisi sul da farsi. P Si chiede di alzare la mano a favore dell’una o dell’altra. In favore di (b) si esprimono inizialmente solo tre o quattro alunni. Poi se ne uniscono altri e infine contiamo 16 mani alzate. In favore di (f) si esprimono 7 alunni. _ Nel corso della discussione (f) viene definita «più bella», «più difficile», «è più un problema per Brioshi» 51.

51 (f) è descritta come ‘più difficile’ perché le cifre non sono incolonnate; ‘più bella’ forse nel senso di più matura, ‘più da grandi’.

Altri interventi aiutano finalmente ad inquadrare la ‘cornice’ all’interno della quale gli alunni collocano la rappresentazione ‘in riga’ e quella ‘in colonna’ quando risolvono un problema. Il protocollo, dal loro punto di vista, è il seguente: 1) si scrive l’operazione in riga sino all’uguale; 2) ci si sposta in un’altra parte del foglio; 3) si scrivono i numeri in colonna e si calcola il risultato; 4) si ritorna all’operazione in riga e la si completa aggiungendo il risultato a destra dell’uguale 52.

52 Le due rappresentazioni appaiono in definitiva come fatti squisitamente tecnici, poveri di significato. Bisognerebbe riflettere con gli insegnanti sulla scrittura in riga come ‘embrione di espressione’ e vedere come questo punto di vista possa influenzare positivamente anche quello degli alunni.


Ed 1606b Scrivere in colonna e scrivere in riga 4 S.Giustina, quarta, 24 alunni, 22 febbraio 2000, incontro 6 Commenti Osserviamo assieme all’insegnante che questo protocollo riflette una pratica sociale consolidata all’interno della classe che condiziona le concezioni degli alunni. In appendice alla discussione Manuel osserva che non è detto che l’operazione in riga sia più difficile di quella in colonna. Proponiamo un nuovo problema ma poniamo un nuovo contratto didattico: • ogni alunno scriverà una sola rappresentazione; in caso di dubbio, dovrà essere lui a scegliere quella più adatta; • non bisogna applicare proprietà; • non bisogna usare schemi grafici. Proponiamo il problema di Caterina:

Caterina assieme alla sua classe sta visitando una fattoria. Riesce a contare 18 galline ma non riesce a contare le tortore perché entrano ed escono dalla loro voliera. Il fattore racconta che in tutto ha 43 uccelli. Traduci la situazione in linguaggio matematico per Brioshi.

Distribuzione delle risposte: (a) 11 alunni risolvono i calcoli e trovano il numero mancante. (a1)

43 –

(4 alunni)

18 25 (a2) 43 – 18 = 25

(5 alunni)

(a3) 18 + 25 = 43

(2 alunni)

(b) 7 alunni traducono il problema per Brioshi:

(b1) 18 +

= 43

(3 alunni)

53 La cosa che colpisce è come solo una risposta (b3) contenga la lettera, inserita peraltro in una scrittura molto ‘sporca’. Compaiono ancora gli spazi vuoti e i quadrati. Il quarto incontro con la classe - nel quale gli alunni avevano fatto largo uso delle lettere - sembra non aver lasciato tracce importanti. Ipotesi: l’uso della lettera come numero misterioso va introdotto molto presto (primo ciclo); con l’andare del tempo si formano negli alunni abitudini e convinzioni molto forti, difficili da modificare

(b2) 18 +

= 43

(3 alunni)

(b3) 43 - a 53 43- 18

= 18=

> a

.

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1 U1. Progetto Brioshi Progetto SeTxoomer.virgilio.it/ipsaagr/aral_2/Download/Unita_1.pdfProgetto...

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