13-trasformatore

7/23/2019 13-trasformatore

1/22

Trasformatore

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm

(versione del 3-12-2010)

2

Schema di principio

Il trasformatore una macchina elettrica statica

(priva di parti in movimento)

E costituito da due avvolgimenti (detti primario e secondario) aventi

rispettivamente N1 e N2 spire avvolti su un nucleo di materiale

ferromagnetico E un componente a due porte che consente di trasferire potenza

elettrica tra due circuiti elettrici non collegati tra loro, ma accoppiati per

mezzo di un circuito magnetico


2/22

3

Ipotesi sul campo magnetico

Se gli avvolgimenti sono percorsi da corrente viene generato un campo

magnetico

Si assume che le linee di flusso abbiano andamenti qualitativi

corrispondenti ai tre tipi indicati in figura linee che si sviluppano interamente nel nucleo e si concatenano con

entrambi gli avvolgimenti

linee che si sviluppano in parte in aria e si concatenano con un solo

avvolgimento

4

Flussi di induzione magnetica (1)

Il flusso di induzione magnetica dovuto a linee di campo che siconcatenano con entrambi gli avvolgimenti detto flusso principale

I flussi concatenati con il solo avvolgimento primario o il solo

avvolgimento secondario sono detti flussi di dispersione

La riluttanza dei tubi di flusso di dispersione determinata

prevalentemente dai tratti in aria

sempre lecito trascurare gli effetti di non linearit del nucleo e

assumere che i flussi di dispersione siano proporzionali alle correnti

Ld1 e Ld2 sono correlate ai soli flussi dispersi, quindi nonrappresentano le induttanze dei due avvolgimenti

222

111

iL

iL

dd

dd

Ld1, Ld2 induttanze di dispersione


3/22

5

Flussi di induzione magnetica (2)

Flussi totali concatenati con gli avvolgimenti

222222

111111

iLNNiLNN

ddc

ddc

6

Equazioni interne

Circuito primario

R1 resistenza dellavvolgimento primario Circuito secondario

R2 resistenza dellavvolgimento secondario

Circuito magnetico

R riluttanza del nucleo

dt

dN

dt

dLtR

dt

dtRt d

c

11

1111

111

i)(i)(i)(v

R2211 ii NN

dt

dN

dt

dLtR

dt

dtRt d

c

22

2222

222

i)(i)(i)(v


4/22

7

Equazioni in condizioni di regime sinusoidale

Ipotesi

Il primario alimentato da una tensione v1(t) sinusoidale

Il secondario collegato a un carico lineare

E possibile trascurare gli effetti non lineari nel nucleo

In condizioni di regime tutte le grandezze dipendenti dal tempo

variano con legge sinusoidale

E possibile applicare la trasformata di Steinmetz alle equazioni

interne

II

IV

IV

R

2211

22222

11111

)()(

NN

NjLjRNjLjR

d

d

8

Effetti dissipativi in un trasformatore

Nel modello sviluppato fino a a questo punto si tenuto conto solo degli

effetti dissipativi dovuti alle resistenze degli avvolgimenti

perdite nel rame

Altri fenomeni dissipativi avvengono allinterno del nucleo magnetico

perdite nel ferro

Perdite per correnti parassite (correnti di Foucault)

Se il flusso di induzione magnetica nel nucleo varia nel tempo

allinterno del nucleo si hanno delle forze elettromotrici indotte

A causa della conducibilit del materiale ferromagnetico

allinterno del nucleo si hanno delle correnti

Dissipazione di energia per effetto Joule

Perdite per isteresi


5/22

9

Correnti parassite (1)

Induzione magnetica B uniforme, ortogonale alle sezioni trasversali e

variabile con legge sinusoidale

Si pu pensare che in ogni sezione trasversale del nucleo esistano deicircuiti elettrici elementari

Se S indica larea della sezione racchiusa da un circuito elementare, ilflusso concatenato

Forza elettromotrice indotta

Se R la resistenza di un circuito elementare,la potenza media dissipata in un periodo

tBtB M cos)(

tSBM cos

tEtSBdt

d

e MM

sensen

R

BS

R

EP MMd

22

1 2222

10

Correnti parassite (2)

La trattazione precedente giustifica intuitivamente la formula

semiempirica

pCP potenza dissipata per unit di peso del materiale

f frequenza

BM induzione massima

KCP costante dipendente dalla forma della sezione e dalmateriale (inversamente proporzionale alla resistivit)

Per ridurre le perdite dovute alle correnti parassite

si utilizzano leghe ad elevata resistivit (ferro-silicio)

si ricorre alla laminazione del nucleo

22

MCPCP BfKp


6/22

11

Laminazione del nucleo (1)

Il nucleo formato da sottili lamierini sovrapposti e isolati tra loro

Le correnti parassite si possono richiudere solo allinterno dei lamierini

i percorsi interessati dalle correnti parassite hanno sezione minore

resistenza pi elevata a parit di f.e.m. indotta si hanno correnti minori

larea delimitata dalle linee di corrente minore

riduzione del flusso concatenato e quindi della f.e.m. indotta

12

Laminazione del nucleo (2)

Nel caso di un nucleo laminato, la potenza dissipata per unit di

peso pu essere espressa mediante la relazione

pCP potenza dissipata per unit di peso del materiale

f frequenza


spessore di un lamierino

kCP costante dipendente dal materiale

222MCPCP Bfkp


7/22

13

Perdite per isteresi (1)

Si considera una bobina formata da Nspire avvolta su un nucleotoroidale di materiale ferromagnetico

l lunghezza media del circuito magnetico S area della sezione trasversale

R resistenza dellavvolgimento

Vale la relazione

Il flusso concatenato con lavvolgimento

Dalla legge di Ampere si ottiene

dt

dR C

iv

NilH

BNSC

14


In un intervallo infinitesimo dt lenergia assorbita

dallavvolgimento

Questa relazione pu essere posta nella forma

Il primo addendo lenergia dissipata per effetto Joule HdB rappresenta lenergia per unit di volume assorbita dal

campo magnetico

CddtRdt iivi 2

BHiBH

ivi 22

ddtRNSdN

ldtRdt

lS= volume del nucleo


8/22

15


Si fa variare periodicamente la corrente in

modo che il materiale ferromagnetico sia

soggetto a cicli di isteresi Complessivamente in ogni ciclo viene as-

sorbita, per unit di volume, lenergia

Dissipazione di energia (convertita in calore)

Il valore dellenergia dissipata in un

ciclo corrisponde allarea delimitata

dal ciclo di isteresi

BHw d

16


12

BH d 21

BH d

1 2 2 1


9/22

17


Ad ogni ciclo di isteresi corrisponde unenergia dissipata per unit di

volume pari allarea racchiusa dal ciclo stesso

Le perdite per isteresi nel nucleo di un trasformatore dipendono

dal numero di cicli di isteresi nellunita di tempo, determinato dalla

frequenza f

dallarea del ciclo di isteresi, determinata dal valore massimo

dellinduzione magnetica BM

La potenza dissipata pu essere espressa mediante la formula

semiempirica

pI potenza dissipata per unit di peso

f frequenza


kI costante dipendente dal materiale

6.1

MII

Bfkp

18

Dipendenza dalle tensioni e dalla frequenza

Perdite per correnti parassite:

Perdite per isteresi:

Se si trascura la caduta di tensione su R1 e Ld1 si ha

Se V1 fissata, il valore massimo dellinduzione magnetica BM circa inversamente proporzionale alla frequenza

le perdite per correnti parassite sono praticamente costanti al

variare di f

le perdite per isteresi diminuiscono al crescere di f

Se f fissata,BM direttamente proporzionale allampiezza di v1(t)

le perdite aumentano allaumentare dellampiezza di v1(t)

BV SNfjNj 111 2

222

MCPCP Bfkp 6.1

MII Bfkp


10/22

19

Rappresentazione delle perdite nel ferro

Per tenere conto delle perdite nel ferro si pu modificare il modello

introducendo un terzo avvolgimento fittizio caricato da una resistenza Rf Il valore della resistenza e il numero di spire dellavvolgimento vanno

scelti in modo che la potenza dissipata su Rfcoincida con la potenzadissipata a causa delle perdite nel ferro

20

Rappresentazione delle perdite nel ferro

Per lavvolgimento fittizio vale la relazione

Con il terzo avvolgimento lequazione del circuito magnetico diviene

cio

Le equazioni interne diventano

0 I fff NjR

II fKjNN R2211

III R ffNNN 2211

f

f

fR

NK

2

IIIV

IV

f

d

d

KjNN

NjLjR

NjLjR

R2211

22222

11111

)(

)(

I

f

f

fR

Nj


11/22

21

Trasformatore ideale (1)

Il trasformatore ideale caratterizzato dalle seguenti propriet:

avvolgimenti con resistenza nulla R1

R2

0

assenza di flussi dispersi Ld1= Ld20

nucleo con permeabilit infinita R0

assenza di effetti dissipativi nel nucleo Kf0

In queste condizioni le equazioni interne divengono

02211

22

11

II

V

V

NN

Nj

Nj

2

1

21

2

2

11

II

VV

N

N

NN

22

Trasformatore ideale (2)

La potenza assorbita a primario viene trasferita integralmente in

uscita al secondario

2

1

N

NK

)(i1)(i

)(v)(v

21

21

tK

t

tKt

rapporto di trasformazione (rapporto spire)

SimboloEquazioni caratteristiche

0)(i)(v)(i1

)(v)(i)(v)(i)(v)p(22222211

tttK

tKttttt

Potenza assorbita


12/22

23

Trasformazione dell impedenza di carico

22

2

1

21

2

2

11

IZV

II

VV

C

N

N

N

N

1

2

2

12

2

11 IZIZV CC

N

N

N

N

CeqN

N

ZI

V

Z

2

2

1

1

1

Limpedenza equivalente ai terminali del primario di un trasformatore

ideale con il secondario caricato da un impedenza ZC pari allimpe-

denza di carico moltiplicata per il quadrato del rapporto spire

24

Trasferimento di impedenza (1)

222

12

2

11 ZIVVV

N

N

N

N

1

2

12 II

N

N

1

2

2

12

2

11

1

ZI

V

VV

N

N

N

N

Un impedenza in serie al secondario pu essere portata in serie

al primario moltiplicata per il quadrato del rapporto spire


13/22

25

Trasferimento di impedenza (2)

Z

VIII

22

1

22

1

21

N

N

N

N

1

1

22 VV

N

N Z

V

I

II2

2

1

12

1

21

1

NN

N

N

Un impedenza in parallelo al secondario pu essere portata in

parallelo al primario moltiplicata per il quadrato del rapporto spire

26

Corrente magnetizzante e corrente attiva (1)

Lequazione del circuito magnetico pu essere posta nella forma

Corrente magnetizzante

La corrente magnetizzante coincide con la corrente che circolan-

do nellavvolgimento primario con I20 produrrebbe il flusso

Corrente attiva

La corrente attiva determina le perdite nel nucleo

1N

I

R

I R1N

I

1NKj f

a

II fKjNN R2211 aN

NIIII 2

1

21


14/22

27

Corrente magnetizzante e corrente attiva (2)

Si indicano con E1 e E2 le f.e.m. dovute al flusso principale

La corrente attiva Ia in quadratura con in fase con E1 Si pu porre

La corrente magnetizzante I

in fase con in quadratura con E1

Si pu porre

RR

2

1

1

110

Nj

N

NjjX

I

E

ffa K

N

N

Kj

NjR

2

1

1

110

I

E

EE 2211 NjNj

X0 = reattanza magnetizzante

R0 = resistenza di perdita del nucleo

28

Circuito equivalente (1)

Si riscrivono le equazioni interne facendo uso delle definizioni

precedenti

1

00

2

1

21

1

1

22222

11111

11

)(

)(

EIIII

EIV

EIV

X

jRN

NN

NLjR

LjR

a

d

d

IIIV

IV

f

d

d

KjNNNjLjR

NjLjR

R2211

22222

11111

)(

)(

0

1

1

0

1

1

11

RN

Kj

Xj

N

Nj

f

a

EI

EI

E

R

E possibile rappresentare

queste equazioni mediante

un circuito equivalente


15/22

29

Circuito equivalente (2)

1

00

2

1

21

1

1

22222

11111

11

)(

)(

EIIII

EIV

EIV

X

jRN

N

NNLjR

LjR

a

d

d

30

Circuito equivalente riferito a primario

1

22122

2

2

1212

2

12122

2

2

1212

N

N

N

NLL

N

N

N

NRR

dd II

VV

Si utilizza la propriet ditrasferimento dellimpedenza


16/22

31

Circuiti equivalenti semplificati (1)

Di solito la caduta di tensione su R1 e Ld1 molto piccola

In queste condizioni si ha E1

V1

Si pu semplificare il circuito equivalente, spostando il ramo R0 -X0

In questo modo R1 e Ld1 risultano in serie con R12 e L12

2

2

2

1211211

2

2

2

1211211

NNLLLLL

N

NRRRRR

dddcc

cc

32


Facendo uso della propriet di trasferimento dellimpedenza, il ramo

R1ccL1cc pu essere sostituito con un ramo posto in serie al secondario

22

1

2

212

1

2

212

22

1

2

212

1

2

212

ddcccc

cccc

LN

NL

N

NLL

RN

NR

N

NRR


17/22

33


Se I0 trascurabile rispetto a

I1 (come avviene in generale

per un trasformatore in condi-

zioni nominali) possibile sem-

plificare ulteriormente i circuiti

equivalenti eliminando il ramo

formato da R0 e X0

reti equivalenti di Kapp

34

Dati di targa

Un trasformatore caratterizzato da un insieme di valori nominali che

ne definiscono le prestazioni ai fini delle garanzie e del collaudo

Questi valori, assieme ad altre informazioni, sono riportati su una targa

apposta sul trasformatore (dati di targa)

Alcuni dei principali dati di targa sono:

Frequenza nominale: fn [Hz]

Tensione nominale primaria (valore efficace): V1n [V]

Tensione nominale secondaria a vuoto (valore efficace): V20 [V]

Rapporto nominale di trasformazione: K0V1n / V20 Potenza nominale (apparente): SnV1n I1nV20I2n [VA]Corrente nominale primaria (valore efficace): I1n [A]

Corrente nominale secondaria (valore efficace): I2n [A]


18/22

35

Prova a vuoto (1)

Al primario viene applicata una tensione di valore nominale

Il secondario viene lasciato aperto I20 Corrente del primario

il valore molto inferiore al valore nominale

le perdite nel rame sono trascurabili

La caduta di tensione su R2 e Ld2 nulla

La caduta di tensione su R1 e Ld1 e molto piccola rispetto al valore incondizioni nominali

il rapporto V1/V2 si identifica con quello di un trasformatore ideale

E1 e quindi Ia hanno praticamente i valori nominali

le perdite nel ferro coincidono con quelle relative al funzionamentonominale

01 IIII a

0

2

1

2

1 KNN

VV (rapporto di trasformazione nominale)

36

Prova a vuoto (2)

Il comportamento a vuoto del trasformatore pu essere descritto

mediante i parametri:

Corrente a vuoto percentuale

Potenza a vuoto percentuale

Fattore di potenza a vuoto

I tre parametri non sono indipendenti tra loro dato che risulta

100%n1

10

0

I

Ii

100%n

00

S

PP

10n1

00cos

IV

P

00

1n1

010n10 cos%100

cos%

i

IV

IVP

n

I10 = corrente a vuoto del primario

P0 = potenza attiva assorbita a vuoto


19/22

37

Prova a vuoto (3)

Noti i parametri Sn, V1n, i0% e cos0, facendo riferimento al circuitiequivalenti semplificati, possibile calcolare i valori diR0 e X0

0

2

10

0

2

n10

000

n00

0

)tan(arccos

100

cos%

Q

VX

P

VR

PQ

Si

P

n

38

Prova in cortocircuito (1)

Se il secondario chiuso in cortocircuito V2= 0 V12= 0

Limpedenza R0 X0 in parallelo con limpedenza R12 Ld12

R0 e X0 possono essere trascurate perch normalmenteR12 eLd12sono molto piccole

Corrente del primario

ccccdd LjRLjRLjR 11

1

121211

11

VV

I


20/22

39


Le impedenze dovute alle resistenze di degli avvolgimenti e alle

induttanze di dispersione sono molto piccole

Se la tensione a primario ha valore nominale le correnti possono

risultare molto grandi rispetto ai valori nominali

eccessivo surriscaldamento dovuto alleffetto Joule

possibili danni dovuti alle forze tra gli avvolgimenti prodotte

dalle correnti

Nella prova in cortocircuito il trasformatore viene alimentato con

una tensione V1cc , di valore efficace inferiore a V1, tale da fare

circolare nel secondario una corrente di valore nominale

40


Le correnti I1 e I2 hanno valore nominale (a rigore questo vale

solo per il I2, ma con ottima approssimazione si pu ritenere

verificato anche per I1)

le perdite nel rame sono praticamente coincidenti con quelle

relative al funzionamento nominale

V1 ha un valore molto inferiori a quello nominale

la corrente Ia e I hanno valori molto piccoli rispetto ai valori

in condizioni nominali

le perdite nel ferro sono trascurabili

il rapporto I1/I

2si identifica con quello di un trasformatore

ideale

1

2

2

1

N

N

I

I


21/22

41


Il comportamento del trasformatore in cortocircuito pu essere

descritto mediante i parametri:

Tensione di cortocircuito percentuale

Potenza di cortocircuito percentuale

Fattore di potenza in cortocircuito

I tre parametri non sono indipendenti tra loro dato che risulta

100%n1

cc1cc

V

Vv

100%n

cccc

S

PP

n1cc1

cc

cccos IV

P

cccc

n1n1

ccn1cc1cc cos%100

cos%

v

IV

IVP

(V1cc = Tensione di cortocircuito del primario)

(Pcc = potenza attiva assorbita in cortocircuito)

42


Noti i parametri Sn, V1n, V20, vcc%e coscc, facendo riferimento ai circuitiequivalenti semplificati, possibile calcolare i valori diR1cc e X1cc o di

R2cc e X2cc

2

n2

cccc22

n1

cccc1

2

n2

cccc22

n1

cccc1

20

nn2

1

nn1

cccccc

ncccc

)tan(arccos

100

cos%

I

QX

I

QX

I

PR

I

PR

V

SI

V

SI

PQ

Sv

P

n

cc


22/22

43

Rendimento

Trasformatore alimentato a primario da una tensione sinusoidale

con il secondario collegato ad un impedenza di carico

Rendimento

I trasformatori, essendo macchine statiche, hanno rendimenti

molto elevati (oltre il 99.5% per i trasformatori di grande potenza)

La definizione non adatta per la misura del rendimento P1 e P2 sono poco diverse tra loro la valutazione del

rapporto molto sensibile agli errori di misura

Le potenze in gioco possono essere molto elevate

1

2

P

P P1 potenza attiva assorbita dal primario

P2 potenza attiva ceduta al carico

Rendimento convenzionale

Il rendimento convenzionale definito dalla relazione

Sn potenza nominale del trasformatore

PCu potenza dissipata a causa delle perdite nel rame

PFe potenza dissipata a causa delle perdite nel ferro

La misura del rendimento convenzionale del trasformatore

richiede la valutazione delle perdite nel rame e nel ferro

pu essere effettuata mediante una prova in cortocircuito e una

prova a vuoto

FeCun

nC

PPS

S

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