7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A. 142 Nella formula sopra esposta (quella di verifica al taglio) l’area dell’acciaio A s che appare nel calcolo di 1 è l’area totale delle barre longitudinali, sia in- feriori che superiori. Se si adoperano travetti tralicciati da gettare in opera, a favore di sicurezza si escludono dal calcolo le tre barre (2Ø5 + 1Ø7) costi- tuenti il traliccio di confezionamento. Il valore del taglio resistente V Rd , calcolato come sopra, deve risultare supe- riore al taglio agente V Ed , presente sull’appoggio considerato. L’entità di V Ed si ricava dagli schemi di calcolo presentati al Capitolo 6; in particolare si riporta l’esempio della trave continua a tre campate, risolta con il metodo delle forze. Volendo ricavare il valore del taglio V Ed agente sull’appoggio B, si dovranno calcolare entrambi i tagli V’ B e V’’ B , derivanti rispettivamente dalle equazioni di equilibrio delle due campate che nell’appoggio B concorrono (vedi Figura 7.4). La somma dei due tagli fornisce la reazione verticale totale presente sull’ap- poggio, mentre come valore di V Ed da utilizzare per il confronto con V Rd andrà utilizzato soltanto il valore maggiore in modulo, senza sommarli. Figura 7.4 – Schema di suddivisione dei tagli 7.3 Calcolo della trave Una volta dimensionato e verificato il solaio, seguendo il naturale per- corso dei carichi si deve rivolgere ora l’attenzione alle travi, che sono gli ele- menti che sostengono appunto i solai. Da un punto di vista concettuale, una trave (denominata nei codici di calcolo come elemento “beam”) può essere figurata come un’asta pressoché scarica assialmente, e che lavora prevalen- temente a flessione semplice. Convenzionalmente si possono individuare tre “ordini” in cui suddividere le tipologie di travi presenti in strutture che possiamo definire ordinarie: Travi principali: dette anche travi primarie, sono disposte ortogonalmente al senso di orditura dei solai, con la funzione di sorreggere i solai stessi.
Transcript
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A.142
Nella formula sopra esposta (quella di verifica al taglio) l’area dell’acciaio As che appare nel calcolo di 1 è l’area totale delle barre longitudinali, sia in-feriori che superiori. Se si adoperano travetti tralicciati da gettare in opera, a favore di sicurezza si escludono dal calcolo le tre barre (2Ø5 + 1Ø7) costi-tuenti il traliccio di confezionamento.
Il valore del taglio resistente VRd, calcolato come sopra, deve risultare supe-riore al taglio agente VEd, presente sull’appoggio considerato. L’entità di VEd si ricava dagli schemi di calcolo presentati al Capitolo 6; in particolare si riporta l’esempio della trave continua a tre campate, risolta con il metodo delle forze. Volendo ricavare il valore del taglio VEd agente sull’appoggio B, si dovranno calcolare entrambi i tagli V’B e V’’B, derivanti rispettivamente dalle equazioni di equilibrio delle due campate che nell’appoggio B concorrono (vedi Figura 7.4). La somma dei due tagli fornisce la reazione verticale totale presente sull’ap-poggio, mentre come valore di VEd da utilizzare per il confronto con VRd andrà utilizzato soltanto il valore maggiore in modulo, senza sommarli.
Figura 7.4 – Schema di suddivisione dei tagli
7.3 Calcolo della trave
Una volta dimensionato e verificato il solaio, seguendo il naturale per-corso dei carichi si deve rivolgere ora l’attenzione alle travi, che sono gli ele-menti che sostengono appunto i solai. Da un punto di vista concettuale, una trave (denominata nei codici di calcolo come elemento “beam”) può essere figurata come un’asta pressoché scarica assialmente, e che lavora prevalen-temente a flessione semplice.
Convenzionalmente si possono individuare tre “ordini” in cui suddividere le tipologie di travi presenti in strutture che possiamo definire ordinarie:
Travi principali: dette anche travi primarie, sono disposte ortogonalmente al senso di orditura dei solai, con la funzione di sorreggere i solai stessi.
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A. 143
Travi secondarie: sono disposte parallelamente ai solai, connettendo tra loro i pilastri dello stesso asse strutturale, e contrariamente alle travi pri-marie non portano alcun carico eccetto il loro peso proprio, hanno infat-ti la principale funzione di favorire il funzionamento a telaio dell’intero edificio.Travi perimetrali: dette anche travi di bordo, sono le travi disposte sul perimetro dell’edificio, e che pertanto devono sostenere il peso dei tampo-namenti. Le travi perimetrali possono essere primarie (se oltre al tampo-namento portano anche un solaio) o secondarie (se sostengono soltanto un tamponamento).In Figura 7.5 viene riportato uno schema per facilitare la comprensione:
Figura 7.5 – Identificazione travi primarie e secondarie
Nella pratica, gli elementi critici per la resistenza della struttura sono le travi primarie, pertanto nella prova pratica dell’Esame di Stato andranno dimensionate e verificate solo queste ultime (salvo che le richieste del testo non siano differenti).
Una seconda suddivisione che si opera riguarda le caratteristiche geo-metriche delle travi; esse infatti possono avere un’altezza coincidente con lo spessore del solaio (travi in spessore), viceversa possono fuoriuscire dall’in-tradosso del solaio (travi ribassate). Le travi che fuoriescono dall’estradosso (travi rialzate) sono usate raramente, e per lo più per la realizzazione di strutture di copertura; se ne tralascia pertanto la trattazione in questa sede.
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A.144
Le travi ribassate hanno il vantaggio di garantire una maggiore rigidezza, grazie al momento d’inerzia più elevato, inoltre necessitano di minori quan-titativi di armatura. Per contro, le travi in spessore presentano il vantaggio di risultare non visibili, con ovvi benefici per la fruibilità architettonica degli ambienti; il loro impiego riduce inoltre le operazioni di carpenteria, dato che si può utilizzare la stessa casseratura che si impiega per il solaio. Quale che sia la tipologia di trave che si sceglie di impiegare, il concetto di base non cambia, l’area di influenza della singola trave infatti si ricava unendo le due metà dei solai che convergono sulla trave in questione, come illustrato nella Figura 7.6 (come per i pilastri, per le travi rappresentanti gli appoggi interni per il solaio l’area di influenza va maggiorata di un coefficiente 1,25):
Figura 7.6 – Area di influenza della trave (da moltiplicare per 1,25 per appoggi interni del solaio)
Predimensionamento geometricoCome per il solaio, prima di iniziare il dimensionamento e la successiva
verifica di una trave è necessario stabilire in anticipo la forma e le dimensioni della trave stessa. Il calcolo strutturale è infatti un procedimento iterativo in cui, qualora le verifiche stesse non fossero soddisfatte, si deve procedere a ri-troso modificando la geometria della trave (o il quantitativo e la disposizione delle armature) fino ad ottenere il risultato desiderato. Nella pratica, alcune semplici formule empiriche (e l’esperienza che immancabilmente aumenta con la pratica progettuale) consentono di svolgere il dimensionamento e la
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A. 145
verifica avendo ipotizzato delle dimensioni “realistiche”, che verosimilmente porteranno a soddisfare le verifiche da Normativa senza bisogno di reiterare i calcoli. Essendo appunto empiriche, di tali formule ne esistono diverse, tut-te grosso modo accettabili (dato che alla fine quello che conta è la verifica da Normativa, quella sì unica); nel presente capitolo si espone un procedimento semplificato, presentato nella sua interezza in DE GAETANIS (vedi Riferimenti Bibliografici).
Volendo semplificare al massimo il problema, gli ordini di grandezza per il predimensionamento di una trave sono i seguenti:
Travi in spessore: si ipotizza per la base un valore B = Luce/6. L’altezza della trave invece sarà pari allo spessore del solaio.Travi ribassate: in tal caso si ipotizza il valore dell’altezza H = Luce/10÷12. La base di una trave ribassata è solitamente compresa tra 30 e 40 cm (usual-mente si sceglie la misura uguale al lato del pilastro dove la trave va a inne-starsi).
In aggiunta, bisogna tener conto delle limitazioni geometriche che la Nor-mativa pone relativamente alle travi (§ 7.4.6.1.1 NTC 2008):
7.4.6.1 Limitazioni geometriche
7.4.6.1.1 Travi
denominate "a spessore", deve essere non maggiore della larghezza del pilastro, aumentata da ogni lato di metà dell’altezza della sezione trasversale della trave stessa, risultando comunque non maggiore di due volte bc, essendo bc la larghezza del pilastro ortogonale all’asse della trave.
Non deve esserci eccentricità tra l’asse delle travi che sostengono pilastri in falso e l’asse dei pilastri che le sostengono. Esse devono avere almeno due supporti, costituiti da pilastri o pareti. Le pareti non possono appoggiarsi in falso su travi o solette.
Le zone critiche si estendono, per CD “B” e CD “A”, per una lunghezza pari rispettivamente a 1 e 1,5 volte l’altezza della sezione della trave, misurata a partire dalla faccia del nodo trave-pilastro o da entrambi i lati a partire dalla sezione di prima plasticizzazione. Per travi che sostengono un pilastro in falso, si assume una lunghezza pari a 2 volte l’altezza della sezione misurata da entrambe le facce del pilastro.
A questo punto, basandoci sulle limitazioni normative e sulla prima gros-solana stima per avere un ordine di grandezza approssimato, è possibile con-durre un procedimento leggermente più preciso, che presentiamo nel seguito.
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A.146
Il primo passo è ricavare il rapporto tra lo spessore di copriferro della trave e la sua altezza utile. Scelto il copriferro c (che solitamente assumiamo pari a 2,5 cm) è possibile calcolare il rapporto delta come = c/hut, approssi-mandolo ai valori di 0,02 – 0,05 – 0,1.
In funzione di questo rapporto, e ipotizzando come per il solaio di pro-gettare la sezione per il campo di rottura 2/3 (rottura del calcestruzzo per compressione, con acciaio snervato), è possibile entrare nella tabella corri-spondente al delta appena calcolato e con u che rappresenta la quantità di armatura (assunta solitamente pari a 0,5) ricavando m, da cui è possibile ricavare la base B della trave (ricordiamo che l’altezza è fissata, e pari allo spessore del solaio) tramite la formula:
Tabella 7.4 – Valori di m per i diversi rapporti di u
Nel caso in cui si volesse progettare una trave ribassata (ad esempio per luci molto lunghe, o qualora i pilastri in pianta fossero particolarmente radi e la trave in esame dovesse avere un’area d’influenza considerevole) il proce-dimento si inverte; si dovrà quindi fissare la base, ponendo una misura com-presa tra 30 e 40 cm, e calcolare l’altezza utile, da cui ricavare infine l’altezza vera e propria sommando lo spessore di copriferro:
Una volta assegnate alla sezione la forma e le dimensioni, può iniziare il dimensionamento vero e proprio. Ovviamente per travi ribassate il valore del parametro m si assegna a priori, dato che il valore dell’altezza utile è proprio l’incognita cercata. Per questo, una volta calcolato il reale valore dell’altezza da assegnare alla trave, è conveniente ricalcolare il valore del parametro per verificare la congruenza con l’ipotesi di partenza.
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A. 147
Come per il solaio, una volta note le sollecitazioni massime nei vari punti della trave e la sua geometria è possibile procedere al calcolo dell’armatura minima.
Per le sollecitazioni flettenti si applica la formula usata per il solaio, che riportiamo di seguito:
dove l’altezza utile hut è espressa in cm. Il momento agente MEd, espresso in Nm, è stato ricavato dalle combinazioni di carico, e fyd, espresso in N/mm2, è la tensione di snervamento limite dell’acciaio assunta pari a 391 N/mm2. Come per il calcolo del solaio, una volta nota l’area minima d’armatura da garantire alla sezione è possibile calcolare il numero di barre necessarie, e di conseguenza calcolare l’area effettiva di ferro con cui poi svolgere le verifiche, ricordandosi di soddisfare i seguenti limiti imposti da Normativa (§ 4.1.6.1.1 delle NTC 2008):
4.1.6.1.1 Armatura delle travi
L’area dell’armatura longitudinale in zona tesa non deve essere inferiore a
Af
fb dts,min 0,26= ⋅ ⋅ctm
yk
e comunque non minore di 0,0013 · bt · d, (4.1.43)
dove:bt rappresenta la larghezza media della zona tesa; per una trave a T con piat-
tabanda compressa, nel calcolare il valore di bt si considera solo la larghezza dell’anima;
d è l’altezza utile della sezione;fctmfyk è il valore caratteristico della resistenza a trazione dell’armatura ordinaria.
cemente ancorata, calcolata per uno sforzo di trazione pari al taglio.Al di fuori delle zone di sovrapposizione, l’area di armatura tesa o compressa
non deve superare individualmente As,max = 0,04 Ac, essendo Ac l’area della sezione trasversale di calcestruzzo.
Una breve digressione: la Normativa riporta delle prescrizioni aggiuntive per le armature, da utilizzarsi in zona sismica, per garantire un livello mini-mo di duttilità agli elementi e soprattutto alle zone di collegamento (nodi).
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A.148
Nella pratica, tali prescrizioni devono sempre essere rispettate, in quanto anche qualora si decidesse di affidare la resistenza alle azioni sismiche ad apposite pareti di controvento (e progettando quindi travi e pilastri per resi-stere ai soli carichi verticali, evitando l’utilizzo del Capacity Design), le NTC 2008 impongono (nell’introduzione al Capitolo 7) comunque di rispettare le prescrizioni minime per le armature in zona sismica. Nel caso della prova pratica dell’Esame di Stato, la più comune delle richieste è quella di calco-lare gli elementi di trave e pilastro considerando l’edificio come posto in zona non sismica (progettando quindi tenendo in considerazione soltanto il Capitolo 4 delle NTC); ciò appunto permette di evitare l’impiego del Capacity Design e obbliga soltanto a rispettare le già citate prescrizioni aggiuntive re-lative ai quantitativi d’armatura ed alle estensioni delle zone critiche:
7.4.6.2.1 Travi
Armature longitudinaliAlmeno due barre di diametro non inferiore a 14 mm devono essere presenti
superiormente e inferiormente per tutta la lunghezza della trave.
di collasso della sezione sono coerenti con la classe di duttilità adottata, il rapporto
tesa sia quella al lembo superiore della sezione As o quella al lembo inferiore della sezione Ai, deve essere compreso entro i seguenti limiti:
1,4 3,5
f fykcomp
yk< < +ρ ρ
(7.4.25)
dove:s/(b · h) oppure ad Ai /
(b · h);comp è il rapporto geometrico relativo all’armatura compressa;
fyk è la tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio (in MPa).comp
(Omissis).
Le armature longitudinali delle travi, sia superiori che inferiori, devono attraversare, di regola, i nodi senza ancorarsi o giuntarsi per sovrapposizione in essi. Quando ciò non risulti possibile, sono da rispettare le seguenti prescrizioni:– le barre vanno ancorate oltre la faccia opposta a quella di intersezione con il nodo,
oppure rivoltate verticalmente in corrispondenza di tale faccia, a contenimento del nodo;
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A. 149
– la lunghezza di ancoraggio delle armature tese va calcolata in modo da sviluppare una tensione nelle barre pari a 1,25 fyk, e misurata a partire da una distanza pari a 6 diametri dalla faccia del pilastro verso l’interno.La parte dell’armatura longitudinale della trave che si ancora oltre il nodo non può
terminare all’interno di una zona critica, ma deve ancorarsi oltre di essa.La parte dell’armatura longitudinale della trave che si ancora nel nodo, deve essere
bL volte l’altezza della sezione del pilastro, essendo
αγ
νρ ρ
γ
bL
ctm
Rd f
d
D comp
ctm
Rd f
fk
fyd
yd
=
⋅⋅
++ ⋅
⋅
⋅
⋅
7 5 1 0 81 0 75
7 5
, ,, /
,⋅⋅ +( )
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
1 0 8, νd
per nodi interni
per nodi esterni (7.4.26)
dove: d è la forza assiale di progetto normalizzata; kD vale 1 o 2/3, rispettivamente per CD “A” e per CD “B”; Rd vale 1,2 o 1, rispettivamente per CD ”A” e per CD “B”.Se per nodi esterni non è possibile soddisfare tale limitazione, si può prolungare la
piegare le barre per una lunghezza minima pari a 10 volte il loro diametro disponendo un’apposita armatura trasversale dietro la piegatura.
Predimensionamento a taglioIl passo successivo è dimensionare il quantitativo di armatura da asse-
gnare alla sezione per assorbire le sollecitazioni di taglio. La Normativa im-pone che almeno il 50% dell’armatura necessaria per il taglio debba essere costituito da staffe; nel presente testo vengono usate esclusivamente queste ultime, abbandonando l’impiego dei ferri piegati (molto comuni in passato) che comportano ulteriori lavorazioni in cantiere, richiedendo pertanto mag-gior impiego di manodopera. Rispetto ai ferri piegati (che sono disposti con un’inclinazione ortogonale alla direzione di apertura delle fessure da taglio), le staffe risultano meno efficienti nell’assorbimento delle tensioni taglianti, tuttavia hanno il vantaggio di essere più semplici da assemblare (riducendo pertanto i costi di manodopera). Inoltre il loro effetto di confinamento ha influssi positivi sia sul calcestruzzo (il lembo compresso confinato acquista maggiore duttilità e resistenza), sia sull’armatura longitudinale (la cui lun-ghezza libera d’inflessione viene ridotta dal passo costante delle staffe).
Per eseguire il predimensionamento dell’armatura a taglio in maniera molto rapida, è sufficiente ricavare il valore as, che indica la sezione di staffa-
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A.150
tura/metro lineare della sezione. Ciò si ottiene mediante la seguente formula, funzione del taglio massimo presente nelle zone di appoggio:
Richiamando brevemente la teoria, le NTC adottano per il taglio il mo-dello a traliccio iperstatico a inclinazione variabile, che ipotizza che in una trave soggetta a taglio si formi un traliccio composto da bielle compresse (i puntoni in calcestruzzo) e da bielle tese (staffe e barre longitudinali); nella formula di cui sopra, infatti, compare il fattore c = cotg , dove indica l’an-golo d’inclinazione dei puntoni compressi di calcestruzzo. La Normativa, per evitare rotture per taglio di tipo fragile (ovvero rottura dei puntoni di calcestruzzo compressi) impone che 1 < c < 2,5; ciò corrisponde ad imporre che l’angolo di inclinazione del traliccio sia compreso tra 21,6° circa ( c = 2,5) e 45° ( c = 1). Fermo restando che una buona progettazione debba sem-pre favorire una rottura duttile “lato acciaio” ad una fragile “lato calcestruz-zo”, il valore di c = 1 appare fortemente conservativo, dato che in pratica non fa affidamento alcuno sulla resistenza del calcestruzzo a trazione. Si decide pertanto di adottare in via preliminare il valore c = 2 (corrispondente ad un angolo d’inclinazione di circa 25°), che è il valore per cui generalmente la resistenza a compressione dei puntoni e quella a trazione dei correnti tesi tendono ad eguagliarsi; ciò consente di sfruttare al meglio le caratteristiche dei due materiali.
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A. 151
Figura 7.7
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A.152
Come per le armature longitudinali, anche per quelle trasversali la Nor-mativa impone delle limitazioni (relative alla sezione e al passo delle staffe) che riportiamo di seguito citando il § 4.1.6.1.1 e il § 7.4.6.2.1 delle NTC:
4.1.6.1.1 Armatura delle travi
(Omissis).Le travi devono prevedere armatura trasversale costituita da staffe con sezione
complessiva non inferiore ad Ast = 1,5 b mm2/m essendo b lo spessore minimo dell’anima in millimetri, con un minimo di tre staffe al metro e comunque passo non superiore a 0,8 volte l’altezza utile della sezione.
In ogni caso almeno il 50% dell’armatura necessaria per il taglio deve essere costituita da staffe.
7.4.6.2 Limitazioni di armatura
7.4.6.2.1 Travi
(Omissis).
Armature trasversaliNelle zone critiche devono essere previste staffe di contenimento. La prima staffa
-sive devono essere disposte ad un passo non superiore alla minore tra le grandezze seguenti:– un quarto dell’altezza utile della sezione trasversale;– 175 mm e 225 mm, rispettivamente per CD “A” e CD “B”;
– 24 volte il diametro delle armature trasversali.Per staffa di contenimento si intende una staffa rettangolare, circolare o a spirale,
di diametro minimo 6 mm, con ganci a 135° prolungati per almeno 10 diametri alle due estremità. I ganci devono essere assicurati alle barre longitudinali.
Una volta ricavato il valore di as, ed avendo convenientemente ipotizzato il valore di c, è possibile verificare la sezione a taglio, come illustrato nel paragrafo seguente.
Si chiude il paragrafo con una nota teorica: per garantire l’equilibrio al nodo del traliccio, le armature longitudinali (già sollecitate per la flessione) saranno interessate da un incremento di tensione dovuto al taglio. Per te-
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A. 153
nere conto di tal effetto, il grafico dei momenti flettenti viene traslato (nella direzione più sfavorevole) di una quantità pari a 0,9 hutsezione. Nella pratica comunque è sufficiente aumentare la lunghezza d’ancoraggio delle barre.
Figura 7.8 – Esempio di diagramma con traslazione dei momenti
Come per il solaio, dopo aver predimensionato le dimensioni geometriche
e l’armatura della trave, si deve sottoporre la sezione così ricavata alle veri-fiche normative.
Nel caso in cui si stia verificando una trave ribassata, è possibile pro-cedere come già fatto per il solaio, trascurando la presenza dell’armatura longitudinale posta in zona compressa e applicando le formule già proposte per travetti di solaio a sezione rettangolare. Nel caso in cui, invece, si voglia svolgere un calcolo più raffinato, è possibile procedere calcolando il momen-to resistente con una formula che prenda in considerazione anche la quota parte di armatura in zona compressa; tale metodo di verifica è da usarsi pre-feribilmente nel caso in cui si stiano verificando travi in spessore di solaio, dato che per queste ultime (potendo fare meno affidamento sulla resistenza intrinseca alla flessione data dalla geometria dell’elemento) i quantitativi di armatura in zona compressa e in zona tesa sono paragonabili.
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A.154
Figura 7.9 – Termini di equilibrio della sezione
Come prima cosa si procede al calcolo dei rapporti meccanici d’armatura in campo teso ( s) e compresso ( ’s) secondo le seguenti formule:
Da qui è possibile calcolare x_ = ( s – ’s) hut, ed in seguito la posizione
dell’asse neutro come x = x_
/ 0 con 0 = 0,8 (come conseguenza dell’adozione del modello stress-block per il calcestruzzo).
Verificando poi le condizioni di snervamento delle armature in zona tesa ed in zona compressa si determina quale formula di verifica utilizzare. Si ipotizza di stare nel campo della rottura a compressione ultima del calce-struzzo, con ambedue le armature (in zona tesa e compressa) già snerva-te (4). L’ipotesi è soddisfatta verificando che sia:
con cu = 0,0035 e yd = 0,0019, entrambi adimensionali.
(4) Nella pratica progettuale si possono utilizzare semplici software di calcolo, con cui è possibile calcolare il momento resistente della sezione in esame per diverse condizioni tensio-nali delle armature. In sede d’esame, dovendo effettuare un rapido calcolo a mano, si semplifi-ca ipotizzando la condizione di rottura con entrambe le armature snervate.
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A. 155
Verificata l’ipotesi di partenza, si può utilizzare la seguente formula per il calcolo del momento resistente, ricavata dal semplice equilibrio alla rotazio-ne rispetto al baricentro della porzione compressa di calcestruzzo:
dove i valori di As e A’s vanno inseriti in cm2, il valore di fyd in N/mm2, i valori di hut e x
_ in cm. Il risultato che si ottiene è il momento resistente, espresso
in Nm.
Qualora, al contrario, l’ipotesi di avere entrambe le armature snervate non fosse verificata, se l’armatura tesa non risulta snervata ( s< yd), ciò indica che la sezione si trova in prossimità del limite delle forti armature (il che com-porterebbe la possibilità di rotture di tipo fragile); per allontanarsi da tale limite è possibile aumentare il quantitativo di armatura in zona compressa. Viceversa, se a non essere snervata è l’armatura compressa ( 's< yd), si dovrà aumentare il quantitativo d’armatura in zona tesa, fino a soddisfare l’ipotesi sopra presentata. Si sottolinea che quest’ultimo punto si impiega solamente per pilotare la procedura verso un calcolo più snello; nella pratica infatti un aumento dell’armatura in zona tesa va considerato con molta attenzione, poiché ciò comporta una diminuzione della duttilità dell’elemento struttura-le, che va contro i principi di buona progettazione più volte enunciati.
È possibile condurre la verifica anche nel caso in cui le armature tese o compresse (o entrambe) non risultino snervate, tuttavia tali procedimenti non sono trattati nel presente lavoro per non appesantire la trattazione, e pertanto si rimanda alla bibliografia specifica, tra cui TONIOLO-DI PRISCO ed ANGOTTI et al. (vedi Riferimenti bibliografici).
Per travi con specifica armatura al taglio la condizione di verifica per sol-
lecitazioni a taglio è la seguente:
Ripetendo brevemente quanto già espresso in fase di dimensionamento dell’armatura al taglio, per la verifica in questione si adottano esclusivamen-te staffe; inoltre si avrà cura di soddisfare sempre la relazione VRsd < VRcd, in modo da evitare rotture fragili per compressione dei puntoni in calcestruzzo del modello a traliccio.
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A.156
I valori dei tagli resistenti VRsd e VRcd sono dati dalle formule 4.1.18 e 4.1.19 delle NTC, riportate nel seguito opportunamente semplificate. Infatti l’utiliz-zo di sole staffe quali elementi resistenti al taglio (evitando l’impiego, troppo oneroso in fase di carpenteria, di ferri piegati), consente di semplificare il co-efficiente sin nella 4.1.18 (risulta pari a 1), e di eliminare il coefficiente ctgnella 4.1.19 (risulta pari a 0), posto che per le staffe è pari a 90°. I risultati delle due formule sono espressi in N.
dove:as è la sezione di staffatura/metro lineare della sezione, espressa in
cm2/ml;
c è un coefficiente pari a 1 (considerando la trave assialmente scarica);f 'cd = fcd 0,5 è la resistenza a compressione ridotta del calcestruzzo d’anima;
c può essere posto pari a 2.
Esempio di esercizio risolto - Travetto
Prendiamo in esame un solaio in laterocemento di altezza 20 + 5 cm, con i travetti posati con interasse di 50 cm ed una luce libera di 4 metri. Il solaio si compone di due campate: quella in esame (4 metri) ed una campata adiacente, con luce di 3 metri. Il carico lineare massimo, calcolato secondo la combinazione fondamentale allo SLU, è di 12,585 kN/m. Utilizzando un calcestruzzo di classe C 25/30 ed un acciaio tipo B450C, dimensioniamo il quantitativo di
Si comincia ricavando, a partire dai valori dati, le resistenze di design dei materiali, che sono rispettivamente fcd = 14,11 N/mm2, fctm
2 e fck = 24,90 N/mm2 per il calcestruzzo classe C 25/30, e fyd = 391,30 N/mm2 per l’acciaio d’armatura.
Per poter dimensionare il quantitativo d’armatura è necessario calcolare le sollecitazioni mas-sime agenti in mezzeria e sull’appoggio della campata di solaio considerata; utilizzando quindi un carico lineare di qlo schema risolutivo per trave continua a 2 campate si ottiene, per la campata considerata:
| |
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A. 157
È ora possibile dimensionare il quantitativo minimo di armatura ricorrendo alla formula:
che fornisce i valori di As rispettivamente pari a 1,05 cm2 per il momento in appoggio e 1,14 cm2 per il momento in campata; si prescrivono dunque in entrambi i casi 2 barre Ø12, che
2. A titolo di curiosità si riporta il quantitativo minimo di
concepito per elementi trave, risulta sempre soddisfatto nel caso di travetti di solaio): tale limite per il caso in esame sarebbe:
-
alla sezione un meccanismo di rottura duttile (il raggiungimento della resistenza ultima a com-pressione del calcestruzzo dovrebbe avvenire con l’armatura tesa già snervata). Nel caso in esame si ha:
∙
che ricadrebbe nel caso di sezione debolmente armata (per travetti di solaio tale condizione
getto di completamento). Il momento resistente sull’appoggio si calcola come una normale sezione rettangolare, ovvero come:
Per calcolare il momento resistente in campata si determina innanzitutto la posizione dell’as-se neutro, mediante l’espressione x– = s hut che nel caso in esame fornisce x– = 1,25 cm.Essendo tale valore minore dello spessore del getto di completamento (5 cm nel caso in
-do l’accortezza di reiterare il calcolo di s penalizzando la resistenza a compressione del
∙
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A.158
da cui è possibile ricavare il momento resistente per la sezione in campata:
In ultimo, si calcola il taglio resistente VRd grazie alla seguente formula, valida per elementi -
tura al taglio:
∙
dove k, 1 e vmin sono già stati esplicitati all’interno del capitolo, con k che assume il valore di 1,953 mentre 1 e vminricava VRd = 48,87 kN, che supera di molto il valore del taglio agente VEd
Al margine dell’esercizio risolto (e mantenendo gli stessi dati), si propongono una serie di
rappresentare tutti i casi di calcolo esposti nel punto 7.2, relativo al calcolo degli elementi di solaio.
2) si ottiene s = 0,12, mediante il quale è possibile calcolare il momento resistente sull’appoggio:
x– z MRd, appoggio = 37,35 kN
Per il calcolo del momento resistente in campata, dato che x– t si ricorre alla formula per il momento resistente sull’appoggio, con s = 0,155 avendo abbattuto la resistenza a com-
x– = 3,41 cm; z = 20,29 cm; MRd, campata
Ipotizzando ora (senza alcun riscontro nella pratica realizzativa, bensì solamente a scopo 2) si ottie-
ne s = 0,303, mediante il quale è possibile calcolare il momento resistente sull’appoggio:
x– z MRd, appoggio
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A. 159
Per il calcolo del momento resistente in campata, dato che x– > t si ricorre alla seguente espressione:
M ∙ b ∙ t ∙ h ∙ b ∙ y ∙ y
dove ys è pari a (hut – t); e y corrisponde a:
⁄
Per il caso in esame risulta y 5 MRd, campata = 84,77 kN.
Ipotizzando ora (senza alcun riscontro nella pratica realizzativa, bensì solamente a scopo 2) si ottiene
s = 0,23, mediante il quale è possibile calcolare il momento resistente sull’appoggio:
x– z = 19,47 cm; MRd, appoggio = 70,34 kN
Per il calcolo del momento resistente in campata, ci troviamo in prossimità del caso limite per cui l’asse neutro si trova in prossimità dell’intradosso dell’ala della sezione (rubando il
il calcolo di ypari a 0,75, come nella seguente formula:
⁄
Da cui si ricava y -fcd moltiplicandolo per 0,75)
pari a MRd, campata
Per sottolineare l’effetto dell’abbattimento della resistenza a compressione del calcestruzzo, si può notare come, reiterando il calcolo del rapporto meccanico d’armatura (utilizzando il valore 0,75 fcd) si ottiene s = 0,31, da cui si ricaverebbe x–
(5) Risulta evidente al lettore che il valore di y appena calcolato risulta diverso da quello di x– sopra ricavato per la sezione sull’appoggio. Non tragga in inganno l’apparente connessione geometrica suggerita al punto 7.2 dall’immagine 7.3 (che sembrerebbe indicare una relazione tra le due grandezze espressa come [y = x– – t]). I valori di [x– – t] e di y ricavati dai calcoli sono tra loro diversi, perché diverse sono le approssimazioni con cui si tiene conto della sezione reagente di calcestruzzo, la quale varia a seconda che la sezione sollecitata sia in campata o sull’appoggio.
7. ELEMENTI STRUTTURALI IN C.A.160
N. Armatura As [cm2] MRd appoggio [kNm]
MRd campata [kNm]
1 3 barre Ø14 37,35
2 12,05 84,77
3 9,24 70,34
7.4 Calcolo pilastro
Dimensionati e verificati solai e travi, rimangono ora da calcolare i pila-stri, che sono gli elementi attraverso cui le sollecitazioni verticali si trasmet-tono alle fondazioni. Da un punto di vista concettuale, il pilastro può essere concepito come un’asta che viene caricata per lo più assialmente, lavorando pertanto prevalentemente a compressione semplice. Ciò è vero soprattutto per i pilastri centrali di un edificio, mentre per i pilastri cosiddetti “di bordo” vi è anche una non trascurabile presenza di momento flettente, derivante dalla condizione iperstatica delle travi continue, che, diversamente che nei pilastri centrali, non si auto-equilibra per simmetria.
Il metodo più semplice per ricavare le sollecitazioni che il pilastro do-vrà sopportare è quello di tracciare in pianta l’area d’influenza del pilastro stesso. In pratica si tratta di tracciare un rettangolo (per distribuzioni rego-lari dei pilastri in pianta) i cui lati intersechino le mezzerie delle travi che concorrono nel pilastro stesso. Ricordiamo che, a causa dell’iperstaticità del modello di trave continua utilizzato per schematizzare il comportamento di solai e travi, gli appoggi interni (ovvero i pilastri centrali) ricevono una quota parte di taglio maggiore rispetto agli appoggi di estremità (i pilastri di bordo); dunque l’area di influenza dei pilastri centrali andrà moltiplicata per un coefficiente maggiorativo, detto “coefficiente d’iperstaticità”, che dipende dallo schema statico utilizzato, ma che si può ragionevolmente porre pari a 1,25. Viceversa, per i pilastri di bordo il coefficiente è riduttivo, e può essere assunto in prima battuta pari a 0,9.
Nella Figura 7.10 sono rappresentate le aree di influenza di un pilastro centrale e di un pilastro di bordo:
