2012SN_Lezione_14_del_18-10-2012

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METODO DEGLI ELEMENTI FINITI

C o r s o

2 0 1 2 / 2 0 1 3

A n t o n

i o P a n

t a n o -

D i p a

r t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i

t à d i P

a l e r m o

Elementi Isoparametrici

L'idea principale della formulazione parametrica degli elementi finiti è di

utilizzare il sistema di coordinate "naturali" per la scrittura delle funzioni diinterpolazione (od ancora funzioni di forma) delle grandezze nodali.

Le funzioni di forma possono così essere utilizzate non solo per interpolare gli

spostamenti nodali ed ottenere direttamente la descrizione del campo degli

spostamenti, ma possono essere utilizzate anche per la descrizione della

geometria dell'elemento.

In particolare si diranno isoparametici quegli elementi per i quali si usano le

stesse funzioni di forma per descrivere sia la geometria sia il campo degli

spostamenti (ad esempio l'asta),

subparametrici quegli elementi per i quali la geometria è descritta con funzioni

di forma di grado inferiore alle funzioni di forma usate per interpolare il campodegli spostamenti (ad esempio la trave rettilinea),

superparametrici quegli elementi per i quali la geometria è descritta con

funzioni di forma di grado superiore alle funzioni di forma usate per

interpolare il campo degli spostamenti.

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C o r s o

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A n t o

n i o P a n

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D i p a

r t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i

t à d i P

a l e r m o

I1 sistema di coordinate naturali è concepito in modo tale da semplificare al

massimo la forma (si tratta sempre di una forma estremamente regolare) e la

metrica dell'elemento. Si ottiene così la possibilità di definire ed utilizzare

anche quegli elementi che nel sistema di riferimento reale hanno quelle forme

irregolari che si era dovuto scartare (si pensi ad esempio ai quadrilateri non

rettangoli), ma che sono estremamente utili per discretizzare le strutture reali.

I1 passaggio dal sistema di riferimento reale a quello naturale avviene

attraverso una trasformazione topologica biunivoca, esiste cioè una regola che

stabilisce una corrispondenza biunivoca fra le coordinate di un punto nelsistema di riferimento reale e quelle dello stesso punto nel sistema di

riferimento naturale.

Impiegando elementi a lati rettilinei, la rappresentazione degli eventuali

contorni curvi di una struttura deve avvenire mediante infittimento della

discretizzazione, tanto più quanto minore è il raggio di curvatura; inoltre inquesti casi è preferibile impiegare elementi triangolari piuttosto che

rettangolari, che assumerebbero forma irregolare. Usando elementi a lati curvi,

appartenenti alla classe degli elementi isoparametrici, di forma triangolare o

rettangolare, il contorno può essere seguito con maggiore precisione usando

peraltro una maglia più rada, che consente inoltre una preparazione della

discretizzazione meno laboriosa.

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C o r s o

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M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i

t à d i P

a l e r m o

3.10.1 Sistemi di coordinate naturali

Un sistema di coordinate naturali è collegato ad un sistema di riferimento

locale che consente di individuare i punti di un elemento per mezzo di un

insieme di numeri adimensionali di valori non superiori all'unità. Questisistemi sono di solito definiti in modo tale che le coordinate naturali assumano

valore unitario in corrispondenza dei punti nodali dell'elemento.

Per un elemento quadrilatero il sistema di coordinate che risponde a tali

requisiti è quello indicato con r-s in figura 3.17, ed è definito dalle relazioni:

r = (x - xG)/a s = (y - yG)/b

Figura 3.17 Sistema di coordinate naturali per un elemento quadrilatero

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C o r s o

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M e c c a n

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t à d i P

a l e r m o

Si noti che i lati del rettangolo sono caratterizzati da coordinate naturali r = ±1

ed s qualunque e viceversa.

La relazione tra coordinate naturali e cartesiane (riferite al sistema globale x,y):

x = 0.25(1+ r)(1+ s) x1fornisce, per r=s=1 l'ascissa del punto 1 nel riferimento globale. La relazione

x = 0.25(1- r)(1+ s) x2

fornisce per r=-1 ed s=1 l'ascissa del punto 2 nel riferimento globale.

La combinazione lineare delle due espressioni:

x = 0.25(1+ r)(1+ s) x1 + 0.25(1- r)(1+ s) x2 al variare di r e per s =1, descrive il segmento 1-2.

Analogamente, la combinazione lineare

x = 0.25 (1- r)(1- s) x3 + 0.25(1+ r)(1- s) x4

al variare di r e per s =-1, descrive il segmento 3-4.

Si può allora concludere che la combinazione linearex = 0.25(1+ r)(1+ s) x1 + 0.25(1- r)(1+ s) x2 + 0.25(1- r)(1- s) x3+ 0.25(1+ r)(1- s) x4

(3.10)

fornisce le ascisse cartesiane dei punti del rettangolo.

Per le ordinate si ottiene similmente:

y= 0.25(1+ r)(1+ s) y1 + 0.25(1- r)(1+ s) y2 + 0.25(1- r)(1- s) y3 + 0.25(1+ r)(1- s) y4 (3.11)

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t o d i

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i c a , U

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t à d i P

a l e r m o

Allora le due relazioni forniscono le coordinate cartesiane dei punti del

rettangolo per mezzo delle coordinate naturali sopra definite.

In particolare le funzioni contengono i termini r, s ed rs.Le (3.10) e (3.11) possono scriversi in forma matriciale:

{x} = [N] {c} (3.12)

dove:

{x} = {x,y}T {c} = {x1,y1, x2,y2,…..., y4}T

In quest'ultima relazione è poi:

N1 = (1+r)(1+ s)/4 N2 = (1- r)(1+ s)/4

N3 = (1- r)(1- s)/4 N4 = (1+ r)(1- s)/4

che sono funzioni di interpolazione alle coordinate naturali. Esse hanno la

caratteristica di assumere valore 1 in corrispondenza del vertice cui si

riferiscono e 0 negli altri vertici.

N N N N

N N N

N

N

1 2 3

1 2 3

4

4

0 0 0

0 0 0

0

0

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3.10.2 Geometrie Monodimensionali – Elemento asta

Si consideri l'asta di figura 3.18. I1 sistema di riferimento reale è costituito dal

solo asse x, coincidente con l'asse dell'asta. I nodi hanno coordinate x1 e x2. I1sistema di riferimento naturale è costituito dal solo asse r , coincidente anch'esso

con l'asse dell'asta, la sua origine è posta nel punto mediano dell'asta. I nodi

hanno coordinate r 1 = -1 e r 2 = +1

Fig. 3.18 Coordinate naturali per un elemento monodimensionale.

La trasformazione, che in questo caso è puramente un cambiamento di metrica,

avviene sulla base della seguente relazione:

1 2 1 1 2 2

(1 ) (1 )

2 2

r r x x x N x N x

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Si nota ancora che le funzioni di forma N 1 ed N 2 definite dalla relazione sono da

usarsi anche per descrivere la geometria dell'elemento trave che impiega tali

funzioni di forma per descrivere anche il campo degli spostamenti se ci si

riferisce alla prima formulazione di Timoshenko (elemento trave isoparametrico),mentre utilizza funzioni di forma fino al terzo grado per descrivere il campo

degli spostamenti se si riferisce alla formulazione di Eulero e Bernoulli

(elemento trave subparametrico).

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Elementi Isoparametrici – Geometrie Bidimensionali

Elemento quadrangolare a lati rettilinei

Si consideri il quadrilatero, generalmente non rettangolo, di figura 11.2. I1

sistema di riferimento reale è costituito da due assi coordinati ortogonali x e y. I

quattro nodi hanno coordinate ),(),,(),,(),,( 44332211 y x D y xC y x B y x A

Fig. 11.2 Coordinate reali e naturali per un elemento bidimensionale.

La forma dell'elemento nel sistema di riferimento naturale r,s è un quadrato di lato

2.

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I1 sistema di riferimento naturale, mostrato nella parte destra della figura, è

costituito da due assi coordinati ortogonali r e s. L'origine degli assi è nel baricentro P dell'elemento, il verso positivo dell'asse r è definito dall'origine P

passando per il punto medio del lato CD, il verso positivo dell'asse s è definito

dall'origine P passando per il punto medio del lato BD. I quattro nodi hanno

coordinate naturali A(-1,-1), B(-1,+1), C(+1,-1) e D(+1,+1).

Se si tracciano i due assi coordinati naturali nel piano coordinato reale (figura11.2 a sinistra) si hanno in questo caso due assi rettilinei ma, in generale non

ortogonali, pertanto non solo è stata cambiata la metrica ma si è operata una vera

e propria trasformazione topologica.

Tale trasformazione viene descritta attraverso le relazioni:

44332211

44332211

4321

4321

4

)1)(1(

4

)1)(1(

4

)1)(1(

4

)1)(1(

4

)1)(1(

4

)1)(1(

4

)1)(1(

4

)1)(1(

y N y N y N y N y

x N x N x N x N x

y sr

y sr

y sr

y sr

y

x sr

x sr

x sr

x sr

x

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i c a , U

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a l e r m o



Dove N 1, N 2, N 3, N 4 sono le funzioni di forma, nelle coordinate r ed s,dell'elemento quadrangolare a quattro nodi.

Per il calcolo delle funzioni di forma può essere adottata la formula ricorsiva

(11.7)

Dove ed sono le coordinate naturali dell'i-esimo nodo.

Si nota ancora che le funzioni di forma N 1, N 2, N 3, N 4 definite dalla relazione

(11.7) sono da usarsi anche per descrivere la geometria dell'elemento piastra che

impiega tali funzioni di forma per descrivere anche il campo degli spostamenti se

ci si riferisce alla formulazione di Mindlin (elemento piastra isoparametrico),mentre utilizza funzioni di forma fino al terzo grado per descrivere il campo degli

spostamenti se si riferisce alla formulazione di Kirchhoff (elemento piastra

subparametrico).

4

)1)(1(ii

i

s sr r N

ir

i s

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11/29

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i c a , U

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Elemento quadrangolare a lati curvi

Si consideri ad esempio un elemento con otto nodi, quattro ai vertici del

quadrilatero e quattro in mezzeria di ciascun lato. I nodi hanno coordinate:

I1 sistema di riferimento naturale é ancora quello cartesiano ortogonale r s ,centrato nel baricentro dell'elemento. La figura che risulta dalla trasformazione

nel sistema di riferimento naturale è ancora un quadrato, a lati rettilinei (figura

11.3a a destra).

Gli otto nodi hanno coordinate naturali A(-1,-1), B(-1,0), C(-1,+1), D( 0,+1),

E(+1,+1), F(+1, 0), G(+1,-1) e H( 0,-1).

Se si tracciano i due assi coordinati naturali nel piano coordinato reale (figura

11.3a a sinistra) si hanno in questo caso due assi in generale curvi e non

ortogonali, pertanto non solo é stata cambiata la metrica ma si è operata una

trasformazione topologica ancor più complessa di quella operata nel caso

precedente.

),(

),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(

88

77665544332211

y x H

y xG y x F y x E y x D y xC y x B y x A


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D i p a

r t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i

t à d i P

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Tale trasformazione viene descritta attraverso le relazioni

8

2

6

2

4

2

2

2

75

31

x2

)r -(1s)-(1 x

2

)s-(1r)(1 x

2

)r -(1s)(1 x

2

)s-(1r)-(1

4

s)rs)(-11(r)(1

4

s)-rs)(-1-1(r)(1

4

s)r-s)(-11(r)-(1

4

s)-r-s)(-1-1(r)-(1x

x x

x x

8

2

6

2

4

2

2

2

75

31

y2

)r -(1s)-(1y2

)s-(1r)(1y2

)r -(1s)(1y2

)s-(1r)-(1

4

s)rs)(-11(r)(1

4

s)-rs)(-1-1(r)(1

4

s)r-s)(-11(r)-(1

4

s)-r-s)(-1-1(r)-(1y

y y

y y

11.11a

11.11b


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C o r s

o 2 0 1 2 / 2 0 1 3

A n t o

n i o P a n

t a n o -

D i p a

r t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i

t à d i P

a l e r m o



8877665544332211

8877665544332211

y N y N y N y N y N y N y N y N y

x N x N x N x N x N x N x N x N x

Le funzioni di forma possono essere espresse con le seguenti formule ricorsive:

a) per i nodi d'angolo (i=1,3,5,7)

(11.13)

b) per i nodi di metà lato (i=2,4,6,8)

(11.14)

Dove ed sono le coordinate naturali del nodo i-esimo.

(11.12)

4

)1)(1)(1( iiii

i

s sr r s sr r N

2

)1)(1(

2

)1)(1( 2222

r s s s sr r r N

iiii

i

ir i s


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C o r s

o 2 0 1 2 / 2 0 1 3

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n i o P a n

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t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i

t à d i P

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Le funzioni di interpolazione sono quindi parabole di secondo grado in r e in s.Si nota infine che i lati curvi dell’elemento quadrangolare nel di riferimento reale

sono descritti da una parabola di grado. Se tale approssimazione non fosse

sufficiente e occorresse aumentare il grado del polinomio interpolatore,

dovrebbero aumentare in ugual misura il numero dei nodi per lato (famiglia

serendipity).


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Fig. 11.4 Variazione geometrica delle funzioni di interpolazione associate ai nodi

1 e 2 di un elemento serendipity a 8 nodi C o r s

o 2 0 1 2 / 2 0 1 3

A n t o

n i o P a n

t a n o -

D i p a

r t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i

t à d i P a l e r m o


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o 2 0 1 2 / 2 0 1 3

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n i o P a n

t a n o -

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M e c c a n

i c a , U

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Elementi Isoparametrici – Geometrie Tridimensionali

Elemento esaedrico con spigoli rettilinei

Fig. 11.5 Coordinate reali e naturali per un elemento tridimensionale

Si consideri l'esaedro di figura 11.5, con dodici spigoli rettilinei generalmente nonsolo non parallelepipedo ma con facce quadrangolari anche non piane.


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o 2 0 1 2 / 2 0 1 3

A n t o

n i o P a n

t a n o -

D i p a

r t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i




I1 sistema di riferimento reale è costituito da tre assi coordinati ortogonali x, y ez. Gli otto nodi hanno coordinate:

I1 sistema di riferimento naturale è costituito da tre assi coordinati ortogonali r, s

e t. L'origine degli assi è nel baricentro dell'elemento, l'asse r definisce il suo

verso positivo passando per il baricentro della faccia CDGH, l'asse s definisce il

suo verso positivo passando per il baricentro della faccia BCFG, infine l'asse t

definisce il suo verso positivo passando per il baricentro della faccia EFGH.

Gli otto nodi hanno coordinate naturali:

A(-1,-1,-1), B(-1,+1,-1), C(+1,+1,-1), D(+1,-1,-1), E(-1,-1,+1), F(-1,+,1,+1),

G(+1,+1,+1) e H(+1,-1,+1).

La figura nel sistema di riferimento naturale è un cubo di lato 2

),,(),,,(),,,(

),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(

888777666

555444333222111

z y x H z y xG z y x F

z y x E z y x D z y xC z y x B z y x A


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C o r s

o 2 0 1 2 / 2 0 1 3

A n t o

n i o P a n

t a n o -

D i p a

r t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i




La trasformazione viene descritta attraverso le seguenti relazioni:

87

654

321

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

xt sr

xt sr

xt sr

xt sr

xt sr

xt sr

xt sr

xt sr

x

87

654

321

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

y

t sr

y

t sr

yt sr

yt sr

yt sr

y

t sr

y

t sr

y

t sr

y

11.24b

11.24a


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20/29


C o r s o

2 0 1 2 / 2 0 1 3

A n t o

n i o P a n

t a n o -

D i p a

r t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i




87

654

321

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

8

)1)(1)(1(

z t sr

z t sr

z t sr

z t sr

z t sr

z t sr

z t sr

z t sr

z

11.24c


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C o r s o

2 0 1 2 / 2 0 1 3

A n t o

n i o P a n

t a n o -

D i p a

r t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i




8877665544332211

8877665544332211

8877665544332211

z N z N z N z N z N z N z N z N z

y N y N y N y N y N y N y N y N y

x N x N x N x N x N x N x N x N x

In forma contratta si può quindi scrivere

Dove N 1, N 2, N 3, N 4 sono le funzioni di forma dell'elemento esaedrico a otto nodi.

Per il calcolo delle funzioni di forma può essere adottata la formula ricorsiva

(11.7)

Dove , e sono le coordinate naturali del nodo i-esimo.

11.25

8

)1)(1)(1(iii

i

t t s sr r N

ir

i s

it


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C o r s o

2 0 1 2 / 2 0 1 3

A n t o

n i o P a n

t a n o -

D i p a

r t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i



Elemento esaedrico con lati curvi

Si consideri l'esaedro di figura 11.6a, generalmente non parallelepipedo,caratterizzato da spigoli curvi e con facce quadrangolari non piane.

Fig. 11.6a Coordinate reali e naturali per un elemento tridimensionale a

venti nodi.


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C o r s o

2 0 1 2 / 2 0 1 3

A n t o

n i o P a n

t a n o -

D i p a

r t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i



Elemento esaedrico con lati curvi

Rispetto all'elemento ad otto nodi esaminato in precedenza, allo scopo di

poter descrivere le geometrie curve degli spigoli, sono stati aggiunti ulteriori

dodici nodi in corrispondenza della mezzeria di ciascuno degli spigoli.

La figura nel sistema di riferimento naturale é ancora un cubo di lato 2.

Gli spigoli sono descritti attraverso parabole quadratiche.

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C o r s o

2 0 1 2 / 2 0 1 3

A n t o

n i o P a n

t a n o -

D i p a r

t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i


Matrice di rigidezza dell’elemento Isoprametrico

Ovvero:

In questa si è indicato con [J] la matrice Jacobiana, che lega il sistema di

coordinate reali al sistema di coordinate naturali; in essa è:

u

r u

s

x

r

y

r x

s

y

s

u

xu

y

J

u

xu

y

x

r

N

r x

N

r x

N

r x

y

r

N

r y

N

r y

N

r y

x

s

N

sx

N

sx

N

sx

y

s

N

s y N

s y N

s y

n

n

n

n

n

n

n n

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1 1 2 2

..

..

..

..


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C o r s o

2 0 1 2 / 2 0 1 3

A n t o n

i o P a n

t a n o -

D i p a r

t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i



i cui termini sono facilmente calcolabili considerata la natura polinomiale delle .

Dalle 3.13 si ha:

u

xu

y

J

u

r u

s

J

N

r

N

r N

s

N

s

q

q

1 1

1 2

1 2

1

2..

.. ..

..

x

y

u v J

N

r N

s

u v

i

i

, ,

1

i i

1 1

i i

N N

r r J u , v J q

N N

s s


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C o r s o

2 0 1 2 / 2 0 1 3

A n t o n

i o P a n

t a n o -

D i p a r

t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i



ma è anche, come si è visto:

= [B] {q}

quindi risulta:

Risulta anche per elemento piano di spessore unitario:

dV = dx dy = det[J] dr ds

La quantità det[J] deve assumere valore finito affinché la trasformazione di

coordinate sia univoca. Si ottiene infine, per il caso piano:

nella quale si è posto:

i

1

i

N

r B(r,s) J

N

s

1 1 1 1T

1 1 1 1k B E B det J drds G(r,s)drds

T

G(r,s) B E B det J


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C o r s o

2 0 1 2 / 2 0 1 3

A n t o n

i o P a n

t a n o -

D i p a r

t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i



Si osservi che con questa formulazione l'integrazione ha luogo sempre nella

stessa regione del piano r,s (un quadrato di lato 2 centrato rispetto all'origine),indipendente dalla forma e dalle dimensioni dell'elemento reale.

La funzione G(r,s), sebbene risulti facilmente calcolabile per dati r ed s, ha forma

complessa perché sia la matrice [B] che il termine det[J] sono funzioni delle

coordinate naturali; pertanto l’integrazione può essere eseguita analiticamente

solo in alcuni casi e con grandi difficoltà. Per tale motivo l'integrazione per il

calcolo dei termini della matrice di rigidezza viene generalmente eseguita

numericamente, usando il più delle volte il metodo di quadratura di Gauss.


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or s o

2 0 1 2 / 2 0 1 3

n o n

i o P a n

t a n o -

D i p a r

t i m e n

t o d i

M e c c a n

i c a , U

n i v e r s i


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