-
1Meccanica della Frattura
pEA EEEU ++=
0U Energia potenziale elastica della lastra integra
Teoria di Griffith
DU Energia rilasciata per la presenza del difettoAU Energia
acquistata per la presenza del difetto
EEEnergia di deformazione elasticadovuta al lavoro delle forze
esterne
EEnergia di tensione superficialeassociata alla superficie del
difetto
AD UUUU += 0
Si consideri una lastra nella quale presente un difetto
passante
Bilancio energetico
2a
B
pE Energia di deformazione plasticalocalizzata allapice del
difetto
-
20=EE
0=pE
Se i carichi non si spostano pereffetto della crescita del
difetto.
Se il materiale perfettamenteelastico ovvero se la zona
diplasticizzazione modesta.
pEA EEEU ++=
0U Energia potenziale elastica della lastra integra
DU Energia rilasciata per la presenza del difettoAU Energia
acquistata per la presenza del difetto
EEEnergia di deformazione elasticadovuta al lavoro delle forze
esterne
EEnergia di tensione superficialeassociata alla superficie del
difetto
pE Energia di deformazione plasticalocalizzata allapice del
difetto
AD UUUU += 0
2a
B
Teoria di Griffith
= EU A
pEA EEEU ++=
0U Energia potenziale elastica della lastra integra
DU Energia rilasciata per la presenza del difettoAU Energia
acquistata per la presenza del difetto
EEEnergia di deformazione elasticadovuta al lavoro delle forze
esterne
EEnergia di tensione superficialeassociata alla superficie del
difetto
pE Energia di deformazione plasticalocalizzata allapice del
difetto
AD UUUU += 0
+= EUUU D02a
s
Teoria di Griffith
-
3+= EUUU D0
saE 4====
sEaUD
22====
sasEaUU 4
22
0 ++++====
sEas
aU 224 =
= 22
Ea crcr
sEa
U 22
2 2 =
La derivata seconda sempre negativa, dunque ilpunto in cui si
annulla la derivata prima un massimo
ccrcr KEa == 2
sEaUD2
22
1
====
Tensione piana
Deformazione piana
Teoria di Griffith
0=Condizioni critiche
Kc = Tenacit a fratturaE una costante del materiale
aYK =
In generale il K applicato pu essere calcolato come segue:
dove Y un fattore geometrico dipendente da a e dalla geometria
delcomponente.
a = dimensione del difetto
Teoria di Griffith
cKaYK >=
La condizione di resistenza diventa un confronto tra il
Kapplicato e quello critico proprio del materiale impiegato.
Si avr rottura (=propagazione della cricca) quando:
Quindi, non esiste un valore limite per il carico applicato, ma
la combinazione tra la tensione (nominale) e le dimensioni
deldifetto che non deve raggiungere le condizioni critiche.
K si misura in: MPa m
-
4aUG D
=
Il rateo di rilascio di energia (strain energy release rate),
per unit di spessore, relativoad un accrescimento infinitesimo da
delle dimensioni del difetto, generalmenteindicato come segue:
( )2/ mJEa 2
=
Lassorbimento di energia dovuto alla creazione di nuova
superficie, sempre nel caso dispessore unitario, indicato come
segue:
= 2 ( )2/ mJLa condizione critica rappresentata dalluguaglianza
G = R
Il difetto stabile se G < Rmentre si propaga in modo
instabile per G > R
aER
=
( ) ( )E
aG22 1
=oppure, nel caso di tensione piana:
Teoria di Griffith
acr Lunghezza del difetto a
Ener
gia
aER
=
Ea
aUG D
2=
=
EDU
RG =In condizioni critiche:
( ) ( ) ( )E
KE
aG2222 11
=
= aYK =
DUEUU = 0
Teoria di Griffith
-
5Lunghezza del difetto aacr1
Ener
gia
Teoria di Griffith
acr2acr3
1
23
12 >3 >
acr3 < acr2 < acr1
In condizioni critiche: RG =
Ea
aU D
2=
=G
aE
=R
aacr
Ener
gia
Teoria di Griffith
acr
In condizioni critiche: RG =
aE
=R
aE
aE p
+
=R
G
1
212 >
Zona plasticizzata
aCEp =
pA EEU += C
aEp
=
Se il materiale fragile e laplasticizzazione modesta lecita
lipotesi:
e quindi si ha:Se c plasticizzazione
R ancora indipendente da a
Anche permateriali fragili possibile che sia: a
Ea
Ep
>>
-
6RG =
aacr
Ener
gia
Teoria di Griffith
acr
In condizioni critiche:aa
=
RG
R
G
1
212 >
Allaumentare della duttilit del materiale la zona plastica
alfondo intaglio diventa sempre pi importante.
R dipende da aPoich le sue dimensioni dipendono con legge
nonlineare da a , ne consegue che:
Anche cambia la sua leggedi dipendenza da a
G
aE
=R
aE
aE p
+
=R
3
3 >
acr
Approccio tensionale nella MFLEMeccanica della frattura lineare
elastica
La criticit di un difetto pu essere valutata anche per altra
via:studiando il campo di tensione che si verifica nellintorno
dellapice del difetto.
y
yx
y
z
r
Meccanica della Frattura
-
7Approccio tensionale nella MFLEMeccanica della frattura lineare
elastica
Analisi del campo di tensione che si genera allapice di un
difetto:
Modo I di apertura
FF
MODI di apertura del difetto.
Approccio tensionale nella MFLEMeccanica della frattura lineare
elastica
Modo IIdi taglio nel piano della cricca
Analisi del campo di tensione che si genera allapice di un
difetto:MODI di apertura del difetto.
-
8Approccio tensionale nella MFLEMeccanica della frattura lineare
elastica
Modo IIIdi taglio fuori dal piano della cricca
Analisi del campo di tensione che si genera allapice di un
difetto:MODI di apertura del difetto.
Approccio tensionale nella MFLE
MODI di apertura del difetto.
Rappresenta, infatti, la forma di apertura pi comune che si
osserva nella realtche anche la pi critica, poich richiede la
minore tensione nominale per innescare la frattura.
Qualunque caso reale pu essere ricondotto ad uno dei tre
modioppure ad una loro combinazione.
Tra i diversi modi di rottura descritti, il modo I il pi
interessante per chi progetta strutture.
-
9x
y
z
r
y
y
y
Modo I di apertura
Zona di singolarit
( ) ( ) ( ) .......321
32
0
21
21
1 +
+
+
=
ijijijij farCf
arCf
arC
Modo I di apertura
y
z
x
=
23sen
2sen1
2cos
2
r
ax
r
+=
23sen
2sen1
2cos
2
r
ay
23cos
2cos
2sen
2
r
axy =
0=Per si ha:
ra
y 2 =
Teoria di Irwin
Lo stato tensionale nellelementinoinfinitesimo, in funzione di e
di dato dalle relazioni:
r
a
-
10
Modo I di apertura
y
z
x
r
Teoria di Irwin
Irwin raggrupp il prodotto a
aKI =e poseche chiam fattore di intensit delle tensioni.
Le relazioni precedenti possono quindi essere riscritte come
segue:
=
23sen
2sen1
2cos
2
rKI
x
23cos
2cos
2sen
2
rKI
xy =
+=
23sen
2sen1
2cos
2
rKI
y
In generale possono esserescritte nella forma:
( )
ijI
ij frK2
=
a
rKI
y
2
=
Per la componente vale:0= y
Modo I di apertura
y
z
x
r
Teoria di Irwin
Irwin raggrupp il prodotto a
aKI =e poseche chiam fattore di intensit delle tensioni.
a
rKI
y
2
=
r
a
2= dove con si intende la tensione nominale
aYKI =
In generale il valore del fattore di intensit della tensione pu
essere espresso nella forma:
dove Y un fattore di forma dipendente dallageometria del
difetto.
Nel caso particolare di un difetto passante, di lunghezza 2 a,
in una piastra le cuidimensioni possano essere considerate infinite
rispetto ad a il fattore Y vale: =Y
-
11
aKI ==Yper w >> a
wa
aKI
sec=w
aY
sec=
per w > a
aYKI = espressione di validit generale
Cricca passante centrale
Feddersen
wa
awaKI
tan=
wa
awY tan=Irwin
w
2a
F
F
aKI = 12.1= 12.1Yper w >> a
432
85.5348.387.1841.012.1
+
+=
wa
wa
wa
waY
per w > a
aYKI = espressione di validit generale
Cricca passante al bordo
w
a
F
F= 12.1Y
=Y
-
12
= 12.1Yper w >> a
per w > a32
36.2748.876.012.1
+
+=
wa
wa
waY
Cricca passante ad entrambi i bordi
aYKI = espressione di validit generale
w
a a
F
F
+
+
=
29
27
25
23
21
9.630.10177.6555.1856.29wa
wa
wa
wa
wa
wBPLKI
a
Bw
F
L
Trave appoggiata con cricca passante incorrispondenza del centro
del bordo teso.
aYKI = espressione di validit generale
-
13
( ) ( )4 22
2 cossen
+
=
caaKI
Cricca ellittica interna
2a
2c
Y
( ) =2
0
22
22
sen1
dc
ac
= ..........643
411
2
2
2
22
2
22
cac
cac
Se il rapporto a/c piccolo sipu utilizzare una
espressioneapprossimata:
2
2
88
3
c
a+=
Vista dallalto
aYKI = espressione di validit generale
( ) ( )4 22
2 cossen
+
=
caaKI2a
2c
Y
Se il rapporto a/c piccolo sipu utilizzare una
espressioneapprossimata:
2
2
823
ca
+=
Vista dallalto
=
aKI
Il valore del KI massimo per = /2 :
Cricca ellittica interna
aYKI = espressione di validit generale
-
14
aKI 12.1====
Pi frequente il caso dellacricca semiellittica superficiale
a
2c
Anche in questo caso il valore delKI massimo per = /2 :
2
2
823
ca
++++
Vista dallalto
Y
Ba
aYKI = espressione di validit generale
Si determini la tenacit delmateriale sapendo che:
F = 800 kNw = 760 mm2a = 102 mmB = 5.0 mm
w
2a
BF
F
Si immagini di sottoporre unapiastra che presenta una
criccacentrale passante ad un carico ditrazione F fino a provocarne
larottura.
Esercizio 1
-
15
Esercizio 2
La barra di torsione rappresentata in figura sollecitata
staticamente da un momentotorcente Mt.
La tecnica di ispezione per il rilevamento dicricche
superficiali non ci permette dievidenziare difetti con lunghezza
inferiore a4 mm e profondit inferiore a 2.5 mm.
Si determini con quale dei seguentimateriali si ottiene il
miglior rapportopeso/prestazioni.
s (MPa) KIc (MPam)acciaio al carbonio: 240 210acciaio 4340: 1400
85acciaio maraging 300: 1900 57
Esercizio 3
Un serbatoio a parete sottile statoprogettato per lavorare a 200
bar con uncoefficiente di sicurezza X=4.
Si determini: lo spessore del mantello sapendo che il
diametro esterno De di 300 mm, le dimensioni minime del difetto
che deve
essere rilevabile per avere lo stessomargine di sicurezza
rispetto al cedimentoper frattura.
Materiale:- s = 1200 (MPa)- KIc = 50 (MPam) 1
1
2
2
3 = 0
![,6758=,21, 3(5 /$ 5,/(9$=,21( '(, 7$66, ())(77,9, */2% ... · ,vwux]lrql shu od ulohyd]lrqh ghl wdvvl hiihwwlyl joredol phgl ± &rqvxowd]lrqh 6(=,21( , ,6758=,21, 3(5 /$ 6(*1$/$=,21(](https://static.documenti.site/doc/80x56/5f612e2258001969af274806/675821-35-5921-766-779-2-vwuxlrql-shu-od-ulohydlrqh.jpg)
