3831 Paoletti

Corso di "Costruzioni Idrauliche 1"

09 - Fenomeni di colpo d'ariete e loro attenuazione

Aggiornamento 11 novembre 2007, ore 21:45

Alberto Bianchi, Alessandro Paoletti, Umberto Sanfilippo

Politecnico di Milano - DIIAR Sez. CIMI

www.diiar.polimi.it/diiar/didattica.asp#CIMI 1

Fenomeni di colpo d’ariete e loro attenuazione

A cura di:Prof. Alberto Bianchi

Prof. Alessandro PaolettiIng. Umberto Sanfilippo








Non accettabile








Accettabile








• Equazioni alla base dei fenomeni di colpo d’ariete:– Equazione generale del moto vario monodimensionale

(1)

– Equazione di continuità monodimensionale

(2)

– Equaz. di stato del fluido (ove ε è il modulo di comprimibilitàcubica del fluido, 2·109 N/m2 a 10 °C per l’acqua)

(3)

– legame sforzo-deformazione per la tubazione(4)

ρ

ε=

ρddp

01

2 2

2

=+∂

∂⋅+

∂

∂γ⋅

γ+

⋅+

γ+

∂

∂ JtV

gxp

gVpz

x

( )0

dd

dd

=∂

∂⋅

ρ⋅+⋅ρ+

∂

∂⋅⋅ρ+

∂

⋅ρ∂⋅

tp

pA

pA

xVA

xAV

)],([ txpAA =








– per tubazione circolare con diametro D, di materiale elastico per il quale valga la legge di Hooke σ = E · δD/D e che sia poco deformabile (modulo elastico E molto grande), di spessore e piccolo rispetto a D (e <D/30) e quindi con sforzo σ legato a p secondo l’espressione di Mariotte σ = p ·D/(2·e), e libera di deformarsi longitudinalmente per effetto Poisson, il legame sforzo-deformazione per la tubazione (4) diviene:

(4') eEDA

pD

DA

pA

⋅

⋅=⋅=

dd

dd

dd








– Tenendo conto, oltre che delle relazioni (3) e (4'), anche delleulteriori ipotesi che:• il termine cinetico V 2/(2·g) del trinomio di Bernoulli sia trascurabile rispetto al carico piezometrico h = z+ p/γ,

• siano trascurabili le derivate parziali ∂ρ/∂x, ∂γ/∂x e ∂A/∂x,

– si dimostra che l’equazione del moto (1) e l’equazione di continuità (2) si trasformano nelle seguenti equazioni, pure esse alle derivate parziali:

(1')

(2')

in cui c è la celerità di propagazione delle perturbazioni, pari a:

(5)

01

=+∂

∂⋅+

∂

∂ JtV

gxh

02

=∂

∂⋅+

∂

∂

xV

gc

th

EeD

c

⋅

⋅ε+

ρε=

1

/








– Nel caso più generale di tubi elastici, di spessore anche non piccolo rispetto al diametro e posti in opera con condizioni di rinterro e di ancoraggio tali da limitare le deformazioni longitu-dinali, la celerità di propagazione delle perturbazioni c deve invece calcolarsi come:

(5')

– essendo ad esempio, detto µ il coefficiente di Poisson:• λ = 5/4 – µnel caso di tubazione ancorata soltanto all’estremo di monte, con appoggi liberi che consentano deformazioni longitudinali;

• λ = 1 – µ2

nel caso di deformazioni longitudinali completamente impedite daancoraggi continui o dal tipo di rinterro della tubazione;

• λ = 1nel caso di tubazione con ancoraggi continui, ma con giunti che consentano deformazioni longitudinali;

EeD

c

⋅

⋅ε⋅λ+

ρε=

1

/








– Valori indicativi della celerità per condotte trasportanti acqua(per λ = 1)








– Se le perdite di carico sono trascurabili (J ≅ 0) allora la (1') e la (2'), attraverso ulteriori derivazioni rispetto al tempo t e allo spazio x, si trasformano nelle seguenti equazioni, la cui forma è quella tipica delle equazioni d’onda di D’Alembert:

(1")

(2")

i cui integrali generali sono esprimibili come [Joukowsky, 1898]:

(6)

ove le funzioni F ed f sono da definire per ogni caso specifico in relazione alle condizioni al contorno e rappresentano rispettivamente la propagazione della perturbazione verso monte (la F ) e verso valle (la f ).

)()(0 tcxftcxFhhh ⋅++⋅−=−=∆

2

22

2

2

xhc

th

∂

∂⋅=

∂

∂

2

22

2

2

xVc

tV

∂

∂⋅=

∂

∂

)()(/)(/ 0 tcxftcxFgcVVgcV ⋅+−⋅−=⋅−=⋅∆








– Nella fase di colpo diretto, cioè prima che si manifestino le onde riflesse, si ha:

Più in generale, dopo la fase di colpo diretto si ha la sovrapposizione fra onde incidenti e onde riflesse, con il che anche f ≠ 0.La soluzione analitica di tale problema nel caso in cui, oltre ad aversi appunto J ≅ 0, si verifica anche l’ulteriore condizione c ≅ costante consiste nelle cosiddette “equazioni concatenate di Allievi” [Allievi, 1902] [Allievi, 1913] [Citrini e Noseda, 1987].

– Qualora invece J ≠ 0 e/o c non costante, l’integrazione del sistema delle equazioni (1') e (2') comporta inevitabilmente l’applicazione di metodi numerici alle differenze finite, con risultati che possono essere anche sensibilmente diversi da quelli forniti dalle equazioni concatenate di Allievi.

0)( =⋅+ tcxf

gcVtcxFh /)( ⋅∆=⋅−=∆








– Applicando la teoria delle “linee caratteristiche”, le equazioni del moto e di continuità (1') e (2') alle derivate parziali si modificano nelle seguenti due equazioni alle derivate totali (dette “di compatibilità”), particolarmente adatte sia alla risoluzione numerica che alla comprensione del fenomeno fisico [Evangelisti, 1965]:

(7)

Esse esprimono il legame tra le variabili dipendenti h(x,t) e V(x,t) lungo le due famiglie di linee caratteristiche reali e distinte dx/dt = c e dx/dt = – c che sul piano (x,t), detto anche “piano orario” o “piano cinematico”, descrivono, insieme alle condizioni iniziali e a quelle al contorno, la propagazionedelle perturbazioni, rispettivamente verso valle con celerità c(ovvero “c+”) e verso monte con celerità – c (“c –”).

ctxtJcV

gch

ctxtJcV

gch

−==⋅⋅−⋅−

==⋅⋅+⋅+

dd

per0ddd

dd

per0ddd







Fenomeni di colpo d’ariete e loro attenuazione• Caso c ≅ costante:







Fenomeni di colpo d’ariete e loro attenuazione• Caso c ≅ costante e J ≅ 0 :

ctxV

gch

ctxV

gch

−==

=−=

dd

perdd

dd

perdd

(7')

[ ]00 )()( VtVgchth −⋅−=−

[ ]00 )()( VtVgchth −⋅=−

da cui, con alcuni passaggi, si dimostra che a monte dell’origine della perturbazione si ha:

mentre a valle dell’origine della perturbazione si ha:

in accordo con quanto già ottenuto in precedenza.








• Colpo d’ariete in un tubo, con perdite di carico trascurabili, posto a valle di un serbatoio a seguito di chiusura istantanea della valvola:

a) situazione a regime,

b) progressivo arresto della colonna liquida (inizio della fase di colpo diretto),








c) propagazione verso monte della perturbazione di colpo diretto,

d) riflessione al serbatoio della perturbazione di colpo diretto,

��

��








e) propagazione verso valle della perturbaz. di colpo diretto riflessa dal serbatoio,

f) riflessione della perturbazione alla valvola di chiusura (contraccolpo),

��

��








g) propagazione verso monte della perturbazione di contraccolpo,

h) riflessione al serbatoio della perturbazione di contraccolpo,

��

��








i) propagazione verso valle della perturbaz. di contraccolpo riflessa dal serbatoio,

j) riflessione della perturbazione alla valvola di chiusura e inizio del secondo ciclo della propagazione oscillatoria.

��

��








• Propagazione, a monte ed a valle della sezione di manovra in una condotta indefinitamente lunga e con perdite di carico trascurabili (J = 0), della perturbazione generata da una completa chiusura effettuata secondo un andamento linearmente decrescente della velocità V (t) da V = V0 a V = 0.








• Propagazione, a monte ed a valle della sezione di manovra in una condotta indefinitamente lunga e con perdite di carico trascurabili (J = 0), della perturbazione generata da una completa chiusura effettuata secondo un andamento linearmente decrescente della velocità V (t) da V = V0 a V = 0.








• Propagazione ed inviluppo, a monte della sezione di manovra, della sovrappressione generata da una completa chiusura di tipo “rapido”, cioè di durata Tm ≤ 2·L /c, nel caso di cadente J trascurabile.








• Andamento nel tempo, alla sezione di manovra, della sovrappressionegenerata da una completa chiusura di tipo “lento”, cioè di durata Tm > 2·L /c, nel caso di cadente J trascurabile.

Espressione di Allievi-Michaud








• Inviluppo, a monte della sezione di manovra, della sovrappressione generata da una completa chiusura di tipo “lento”, cioè di durata Tm > 2·L /c, nel caso di cadente J trascurabile.

Espressione di Allievi-Michaud








• Piezometriche di colpo d’ariete massime e minime in una condotta a gravità originate da manovre di chiusura completa (con variazione lineare della velocità), nel caso di cadente J trascurabile. I tratti di condotta sovrastanti le piezometriche minime sono in depressione o in cavitazione.








• Piezometriche di colpo d’ariete massime e minime in una condotta di sollevamento originate da manovre di chiusura completa (con variazione lineare della velocità), nel caso di cadente J trascurabile. I tratti di condotta sovrastanti le piezometriche minime sono in depressione o in cavitazione.








• Colpo d’ariete per chiusura totale ed istantanea in una condotta a gravitàcon perdite di carico non trascurabili.

xJVgch ∆⋅−⋅=∆ 0 xJ

cgV ∆⋅⋅= = Velocità residua








– Parametri adimensionali caratteristici di una condotta:• Caratteristica di Allievi

• Perdita di carico adimensionalizzata

• Tempo caratteristico della condotta

• Durata della manovra

geodgeod YgVc

Yh

⋅

⋅=

∆=ρ 0

*max

geodYLJ ⋅

=σ 0

cL⋅

=τ2

0

cLTT mm

/20 ⋅=

τ=θ








• Piezometriche di colpo d’ariete massime e minime in una condotta a gravità originate da manovre di chiusura completa (con variazione lineare della velocità), nel caso di cadente J non trascurabile. I tratti di condotta sovrastanti le piezometriche minime sono in depressione o in cavitazione.








• Piezometriche di colpo d’ariete massime e minime in una condotta di sollevamento originate da manovre di chiusura completa (con variazione lineare della velocità), nel caso di cadente J non trascurabile. I tratti di condotta sovrastanti le piezometriche minime sono in depressione o in cavitazione.








• Piezometriche istantanee e piezometriche di colpo d’ariete massima e minima in una condotta a gravità per chiusura completa dell’otturatore, con variazione lineare della luce d’efflusso e parametri caratteristici ρ = 2, σ = 0 e θ = 0.25. I tratti di condotta sovrastanti le piezometriche minime sono in depressione o in cavitazione.








• Piezometriche di colpo d’ariete massima e minima in una condotta a gravitàper chiusura completa dell’otturatore, con variazione lineare della luce d’efflusso e parametri caratteristici ρ = 2, σ = 0 e θ = 1. I tratti di condotta sovrastanti le piezometriche minime sono in depressione o in cavitazione.

-2

-1

0

1

2

3

1

M A X

M IN

R E G IM E








• Piezometriche istantanee e piezometriche di colpo d’ariete massima e minima in una condotta a gravità per chiusura completa dell’otturatore, con variazione lineare della luce d’efflusso e parametri caratteristici ρ = 2, σ = 0.6 e θ = 0.25. I tratti di condotta sovrastanti le piezometriche minime sono in depressione o in cavitazione. .








• Piezometriche di colpo d’ariete massima e minima in una condotta a gravitàper chiusura completa dell’otturatore, con variazione lineare della luce d’efflusso e parametri caratteristici ρ = 2, σ = 0.6 e θ = 1. I tratti di condotta sovrastanti le piezometriche minime sono in depressione o in cavitazione.

-2

-1

0

1

2

3

1

M A X

M IN

R E G IM E

ρ








• Piezometriche di colpo d’ariete massima e minima in una condotta a gravità per chiusura completa dell’otturatore, con variazione lineare della luce d’efflusso e parametri caratteristici ρ = 2, σ = 0.6 e θ = 1.5. I tratti di condotta sovrastanti le piezometriche minime sono in depressione o in cavitazione.

-2

-1

0

1

2

3

1

M A X

M IN

R E G IM E

ρ








• Piezometriche di colpo d’ariete massima e minima in una condotta a gravitàper chiusura completa dell’otturatore, con variazione lineare della luce d’efflusso e parametri caratteristici ρ = 2, σ = 0.6 e θ = 2.75.








• Piezometriche istantanee e piezometriche di colpo d’ariete massima e minima in una condotta di sollevamento per arresto completo con variazione ipotizzata lineare della velocità e parametri caratteristici ρ = 2, σ = 0.5 e θ = 0.25. I tratti di condotta sovrastanti le piezometriche minime sono in depressione o in cavitazione.








• Piezometriche di colpo d’ariete massima e minima in una condotta di sollevamento per arresto completo con variazione ipotizzata lineare della velocità e parametri caratteristici ρ = 2, σ = 2 e θ = 0.25. I tratti di condotta sovrastanti le piezometriche minime sono in depressione o in cavitazione.

-2

-1

0

1

2

3

0

M A X

M IN

R E G IM E

P








• Piezometriche di colpo d’ariete massima e minima in una condotta di sollevamento per arresto completo con variazione ipotizzata lineare della velocità e parametri caratteristici ρ = 2, σ = 0.5 e θ = 1.75.

-2

-1

0

1

2

3

0

M A X

M IN

R E G IM E

P








• Provvedimenti attenuatori del colpo d’ariete:– Modifica della legge di chiusura/apertura della saracinesca o di arresto/avvio della pompa (o della turbina):• Rallentamento della manovra,• Linearizzazione dell’andamento della velocità nel tempo durante la manovra;

– Pozzo piezometrico;– Cassa d'aria;– Cassa d'acqua;– Valvole per ingresso d’aria e valvole di sfiato;– Valvole di sicurezza;– By-pass o aspirazione ausiliaria;– Volani.








0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,850,900,951,00

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Tempo (s)

Gra

do

di a

pe

rtu

ra d

ell'o

ttu

rato

re

a

c

b

0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,11,21,31,41,51,61,71,81,92,02,12,22,3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Tempo (s)

Po

rta

ta (m

³/s

)

a

c

b

– Modifica legge di chiusura

0102030405060708090

100110120130140150160170180190200210220230240250

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Tempo (s)

Ca

ric

o (m

)

a

cb

a

c

b

carico

idrosta tico

∆∆∆∆ H* ma x = c Vo / g = 202.85 m

∆∆∆∆ H* L = 2 L Vo / g T m = 20.28 m

(formula di Allievi- Michaud)

carico a

regime

Esempio:Andamenti del carico e della portata nella sezione terminale di una condotta a gravità a forte perdita di carico

(ρ = 4.057, σ = 0.9 e θ = 10) per tre diverse leggi di manovra di chiusura.

h

Pressione atmosferica (p = 0)

a(t)

A V

Linea piezometrica







camera espansione

superiore

- continuità nel nodo

p(t) = q1(t) - q2(t) = A1· V1(A1,t) – A2· V2(0,t)

- continuità nel pozzo (Σ è l’area del pozzo, generalmente variabile con la quota z)

)()( tpdt

dzz =⋅Σ

- congruenza dei carichi piezometrici nel nodo, che, qualora la condotta di allacciamento del pozzo non presenti dissipazioni concentrate (pozzo senza strozzatura), si scrive:

h1(L1,t) = z(t)

h2(0,t) = z(t)

ovvero:

h1(L1,t) = z(t) + β·p(t)·|p(t)|

h2(0,t) = z(t) + β·p(t)·|p(t)|

qualora invece alla base del pozzo sia presente una strozzatura che determini una perdita concentrata β·p(t)2, essendo il coefficiente βfunzione dell’entità della strozzatura stessa e della sua configurazione geometrica.

– Pozzo piezometrico• Equazioni:









– Cassa d’aria• Schema per installazione con pompa sommersa








– Cassa d’aria• Schema per installazione con pompa a secco








– Cassa d’aria• Rimedio universale e più efficace;• Trasforma i fenomeni di colpo d’ariete in fenomeni di oscillazione di massa;

• Consiste in un serbatoio di liquido e aria compressa collegato alla tubazione, generalmente subito dopo la valvola di non ritorno a valle della pompa, per proteggere la condotta di mandata;

• All’arresto della pompa la pressione nella tubazione diminuisce e, per effetto anche della pressione dell’aria compressa nella cassa, il liquido contenuto nella cassa stessa viene spinto nella tubazione; l’arresto del flusso del liquido nella tubazione avviene lentamente attraverso un graduale rallentamento mediante il quale le depressioni possono essere contenute entro i limiti ammissibili;

• Serve ad attenuare sia le sovrappressioni che le sottopressioni di colpo d’ariete;

• Occorre un compressore a corredo.








– Cassa d’aria• Le equazioni che descrivono tale tipo di condizione al contorno sono:

in cui:– U è il volume d’aria contenuto nella cassa d’aria,– γ è il peso specifico dell’acqua,– h è il carico nella sezione della condotta ove è collocata la cassa d’aria,– V è la velocità nella sezione della condotta ove è collocata la cassa d’aria,– β è il coefficiente per il calcolo della perdita di carico nella strozzatura;– K è l’esponente della politropica, che può variare entro i seguenti valori:

» K = 1,0 nel caso in cui la trasformazione sia isoterma,» K = 1,4 nel caso in cui la trasformazione sia adiabatica (ipotesi più cautelativa).

VAtU

⋅=dd

tUVVh k cos]33,10[ =⋅+⋅⋅β+⋅γ








– Cassa d’acqua• Rimedio unidirezionale (serve ad attenuare solo le sottopressioni);• Consiste in un serbatoio di liquido in cima a un pozzo piezometrico che s’innesta subito a valle della pompa (come avverrebbe per la cassa d’aria), per proteggere la condotta di mandata;

• All’arresto della pompa la pressione nella tubazione diminuisce e illiquido contenuto nella cassa viene richiamato nella tubazione; L’arresto del flusso del liquido nella tubazione avviene lentamente attraverso un graduale rallentamento mediante il quale le depressioni possono essere contenute entro i limiti ammissibili;

• Nella successiva fase di contraccolpo il rientro d’acqua nel serbatoio deve essere o impedito da una valvola di non ritorno (nel qual caso il ripristino del volume d’invaso, atto a proteggere l’impianto a seguito di un successivo arresto delle pompe, viene ottenuto conun’alimentazione idrica separata) o consentito, ma solo fino al completo riempimento del serbatoio, per mezzo di una valvola galleggiante o asservita alla quota di pelo libero.








– Valvole per ingresso d’aria e valvole di sfiato• Affinché l’applicazione sia efficace, il profilo della condotta dev’essere regolare e in continua risalita verso lo sbocco;

• Mettono in comunicazione la condotta con l’atmosfera esterna quando la pressione in condotta scende al di sotto della pressione esterna;

• All’apertura della valvola si verifica però un ingresso d’aria nella condotta, che dev’essere poi spurgata per il corretto funzionamento dell’impianto; a ciò si provvede con opportune valvole di sfiato, chedevono essere adottate congiuntamente a tale misura di protezione;

• È necessario accoppiarle con dispositivi, quali le valvole di sicurezza, atti a limitare anche le sovrappressioni.

– Valvole di sicurezza• Si aprono automaticamente quando la pressione in condotta sale oltre il valore di soglia per il quale sono tarate;

• È necessario accoppiarle con dispositivi, quali le valvole per l’ingresso d’aria, atti a limitare anche le depressioni;

• Per essere efficaci devono essere montate nella sezione (o nellesezioni) più esposta(e) alla sovrapressione.








– By-pass o aspirazione ausiliaria• Da equipaggiare con una valvola di ritegno;• All’arresto della pompa la pressione nella sezione di valle del by-pass diminuisce e instaura attraverso il by-pass stesso una corrente liquida richiamata dal serbatoio o dalla condotta di aspirazione verso la mandata

• Le pressioni non scendono al di sotto del valore del carico a monte diminuito, per la precisione, delle perdite di carico lungo il by-pass;

• Anche le pompe aventi giranti con ampi passaggi possono, almeno in parte, contenere le depressioni di colpo d’ariete in condotta; è ciò che può verificarsi ad esempio negli impianti di sollevamento per acque di scarico.








η

∆⋅⋅γ=

ω⋅−

HQIt 2dd 2

602 n⋅π⋅

=ω

– Volani• Aumentano l’inerzia delle masse rotanti della pompa mediante l’aggiunta di un volano;

• In questo modo i transitori della macchina divengono più lenti e graduali e lo diventano pure i transitori della portata e quindi della velocità, riducendo di conseguenza l’entità delle variazioni della pressione in condotta;

• Efficace in modo simmetrico nei confronti delle sovrappressioni che delle sottopressioni;

• Le equazioni che descrivono tale tipo di condizione al contorno sono:

in cui:– I è il momento d’inerzia delle masse rotanti,– G è il peso dei corpi in rotazione,– D è il diametro d’inerzia degli stessi,– ω è la velocità angolare,– N è il numero di giri al minuto.

gDGI⋅

⋅=

4

2








g Ac

P

R'

R

curvad'impianto

2n3n

4n5n

1n 0n

η5

η4

η3

η2

η1

+ H

+ Q

- Q

- H

∆

∆

O

( )'

g Ac

– Volani• Nel transitorio occorrerebbe in teoria conoscere le curve Q-∆H per qualunque n ;

• In pratica si ammette che valgano le seguenti relazioni di similitudine:

• Il funzionamento della pompa evolve dal punto P di regime con coefficiente angolare pari a c /(g ·A) purché:

– le perdite siano trascurabili,– non sia ancora pervenuta

l’onda riflessa da valle.

2

1

2

1

nn

QQ

=

2

2

1

2

1

=

∆

∆

nn

HH

• Ciò può condurre a situazioni in cui, nel transitorio:

– ∆H diventi negativo (retta PR);– Q diventi negativo (rettaPR').

Date post:	07-Aug-2015
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