4. Il Moto e Le Sue Leggi_2012

Facoltà di Medicina e Chirurgia

Corso di Fisica

Il moto e le sue leggi

1Corso di Fisica - UdA

A.A 2011/12

Introduzione

La Meccanica è quella branca della Fisicache si occupa della descrizione dei motidei corpi e delle forze che sonoresponsabili dei moti stessi.Tradizionalmente si suole dividere laMeccanica in Cinematica, Statica eDinamica.

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Dinamica.

Cinematica ! Descrizione dei moti a prescindere delle cause che li generano

Statica ! Condizioni di equilibrio

Dinamica ! Ricerca l’equazione del moto di un corpo quando si conoscono le forze ad esso applicate.

Corso di Fisica - UdA

Descrizione cinematica del moto

Si dice che un corpo si muove quando la sua posizione rispetto ad altri corpi, considerati come fissi, varia nel tempo. Il concetto di moto ha perciò sempre un significato relativo.

3

In meccanica, il moto di un corpo è sempre riferito ad un sistema di riferimento. Per descrivere poi lo stato di moto del corpo facciamo ricorso alle grandezze cinematiche spostamento, velocità, accelerazione.


Posizione

La posizione di un punto nello spazio è identificata dal vettore posizione.

In uno spazio bidimensionale, il vettore posizione P è caratterizzato da due componenti PX e PY

In uno spazio tridimensionale, il vettore posizione è caratterizzato da

Y(m)5 PPY=4

4

vettore posizione è caratterizzato da tre componenti PX , PY e PZ

Se il punto si muove, le componenti varieranno nel tempo:

Px = Px(t)

Py = Py(t)

Pz = Pz(t)

X(m)5O

PX=3


Traiettoria e legge oraria

Definiamo traiettoria del moto la linea descritta dal punto durante il suo moto. Se la traiettoria è nota, per descrivere completamente il moto, basta conoscere la posizione del punto lungo la traiettoria ad ogni istante.

5

ogni istante.

Se indichiamo con s il tratto di traiettoria percorso dal punto P nel tempo t, il moto è completamente descritto quando si conosce la relazione

s = s(t)

che prende il nome di legge oraria.


Spostamento

La differenza di posizione tra due punti si chiama spostamento.

In generale, lo spostamento è una grandezza vettoriale.

La legge oraria (o legge del moto)


La legge oraria (o legge del moto) può quindi essere descritta mediante le tre funzioni del tempo:

x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

Moto unidimensionale

In un moto unidimensionale, una sola delle componenti varierà nel tempo, ad esempio Px.

In questo caso si possono trascurare le altre relazioni e considerare solo:


considerare solo:

x = x(t)

Lo spostamento di un corpo è indicato dalla differenza di posizione tra due istanti di tempo successivi:

Δx = x(t1) – x(t0) = x1 – x0

Velocità

Se prendiamo un ∆∆∆∆t sempre più piccolo, a questo corrisponderà un

pos.(m)

Il rapporto tra la variazione della posizione e l’intervallo di tempo impiegato a percorrere tale distanza è chiamato velocità media:

vm = ∆∆∆∆x / ∆∆∆∆t (m/s)


piccolo, a questo corrisponderà un ∆∆∆∆s sempre più piccolo e il rapporto rimarrà un numero finito; definiamo pertanto

Velocità istantanea:

v = lim (∆∆∆∆x /∆∆∆∆t) = dx/dt∆∆∆∆t→→→→0

10

30

20

10 20 30 40 t (s)

(m)

∆∆∆∆x1

∆∆∆∆x2

∆∆∆∆x3∆∆∆∆t

Interpretazione trigonometrica della velocità

Se AB è un tratto di legge oraria, dal grafico si evince che, considerando la corda AB, si ha:A

B

C

αααα

x2

x1

x

P

m12 vxxBC

====−−−−

−−−−====


Se invece di B scegliamo un punto P via via più vicino ad A, il ∆∆∆∆t diminuisce e di conseguenza anche il corrispondente ∆∆∆∆x diminuisce. Per P che tende a coincidere con A, avremo che la corda AP tende a coincidere con la tangente alla curva in A. Quindi potremo definire la velocità istantanea nel punto A della legge oraria come:

v = tg αααα

t2t1 t

m12

vttAC

====−−−−

====

Un po’ di trigonometria

BCAB

αααα

BC = AB sin(αααα)

AC = AB cos(αααα)

B


AC

αααα AC = AB cos(αααα)A C

)()()(

)()(

αααααααα

αααα

αααα

αααα tgcossin

cosABsinAB

ACBC

===

Accelerazione

Analogamente a quanto fatto per la velocità definiamo l’accelerazione media come:

am = ∆∆∆∆v/∆∆∆∆t

Mentre definiamo l’accelerazione istantanea come:


a = lim ∆∆∆∆v/∆∆∆∆t = dv/dt∆∆∆∆t→→→→0

L’accelerazione si misura in (m/s)/s, ovvero in m/s2

Posizione costante

Il moto più semplice possibile è quello … che non c’è.

Se per un corpo a = 0 e v = 0:

v = Δx / Δt = 0 => Δx = 0


Δx = x1 - x0= 0

Oppure:

x1 = x0

La posizione del corpo rimane la stessa.

Moto rettilineo uniforme

Nel moto rettilineo uniforme a = 0 mentre v ≠ 0.

Poiché a = ∆∆∆∆v/∆∆∆∆t = 0 => Δv = 0 => v0 = v1

e dunque la velocità non varia.

La legge oraria del moto, cioè la posizione in funzione del tempo, si può determinare da:


La legge oraria del moto, cioè la posizione in funzione del tempo, si può determinare da:

v = ∆∆∆∆x / ∆∆∆∆t => Δx = v ∆∆∆∆t => x1 – x0 = v (t1 – t0)

Usualmente si pone t0 = 0 e t1 = t, quindi

x1 = x0 + v t

Moto uniformemente accelerato

Nel moto uniformemente accelerato a = costante

Poiché a = ∆∆∆∆v/∆∆∆∆t => Δv = a ∆∆∆∆t => v1 = v0 + a t

Poiché la velocità varia non è possibile sfruttare l’espressionex1 = x0 + v t per calcolare la legge oraria del moto.


x1 = x0 + v t per calcolare la legge oraria del moto.

v1

v0

a > 0

a < 0

∆∆∆∆t t

v

Integrazione delle leggi del moto

Per trovare lo spazio percorso nel tempo t osserviamo che esso è dato dalla somma dei prodotti:

(∆∆∆∆x0 = v0 ∆∆∆∆t) + (∆∆∆∆x1 = v1 ∆∆∆∆t) + … + (∆∆∆∆xn = vn ∆∆∆∆t)

ovvero dalla somma delle aree definite dai rettangolini in figura. In definitiva tale somma approssima l’area del trapezio di base v0 e (v0 + at), e altezza t, ovvero l’area della porzione di piano racchiusa tra la retta e l’asse dei tempi.


racchiusa tra la retta e l’asse dei tempi.

x(t) =

v0

v0 + at

t∆∆∆∆t

v

x(t) = v0t + ½ a t2

½ [v0 + (v0 + at)] t

v1v2

vn

Integrazione delle leggi del moto

In generale le equazioni del moto uniformemente acceleratosono:

s(t) = s0 + v0t + ½ a t2

v(t) = v0 + a t


v(t) = v0 + a t

ricavando t dalla seconda equazione e sostituendo nella prima si ricava:

v2(t) = v02 + 2a s

Moto naturalmente accelerato


g = 9.8 m/s2

Moto naturalmente accelerato

In questo caso le equazioni del moto divengono:

s(t) = s0 + v0t + ½ g t2

v(t) = v0 + g t

Combinando le due relazioni sopra, si ottiene:


Combinando le due relazioni sopra, si ottiene:

v2(t) = v02 + 2g s

In particolare se il corpo parte da fermo,dopo essere caduto per un dislivello h haacquistato una velocità pari a:

v = (2gh)1/2

Moto di un punto nello spazio

Se un punto materiale si muove nello spazio tridimensionale e non solo lungo una sola direzione, le equazioni del moto sono simili a quelle viste precedentemente, ma per indicare lo spazio percorso, la velocità e

s(t) = s0 + v0t + ½a t2

v(t) = v0 + a t


lo spazio percorso, la velocità e l’accelerazione bisogna usare dei vettori.Questo moto può essere scomposto nel moto lungo l’asse X, lungo l’asse Y e lungo l’asse Z

++=

++=

++=

2zoz0zz

2yoy0yy

2xox0xx

ttvS(t)SttvS(t)SttvS(t)S

a

a

a

212121

Composizione e decomposizione dei movimenti



yP

Py

Se il punto P si sposta in un piano,

possiamo individuarne la posizione nel

riferimento cartesiano di origine O

mediante il vettore OP.

OP può pensarsi come somma dei due


O xPx

OP può pensarsi come somma dei due

vettori OPx ed OPy, che sono le sue

componenti lungo gli assi.

Il moto del punto P si riduce allo

studio di due movimenti rettilinei:

quelli di Px e Py, proiezioni

ortogonali di P.



Moto del proiettile


Moto del proiettile

O Px xv0

++=

++=2

yoy0

2xox0

ttvyy(t)ttvxx(t)

a

a

2121

=

==

0vvv

0y

00x0vr

=

== g

0y

x

aaa


y

Py Pv

•

= 0v0y = gya

Lungo l’asse x il moto è uniforme x = v0t

Lungo l’asse y il moto è uniformemente accelerato y = ½ gt2

====

====2

o

ty(t)

tvx(t)

g21

Moto del proiettile


Moto del proiettile


Moto su traiettoria curvilinea

P1P2 = OP2 – OP1 vettore spostamento

A

B

t1

P1

t2

P2

se t2 = t1 + Δt, con Δt molto piccolo:

P2 è molto vicino a P1 e P1P2 ha circa la


Allora

O

P2 è molto vicino a P1 e P1P2 ha circa la

direzione della tangente alla traiettoria

in P1 e le sua lunghezza ~ P1P2

tv

∆= 2PP1

r Direzione della tangente alla traiettoria

Verso del moto

Modulo uguale alla velocità scalare v


t2

P2

Nello spostamento dal punto P1 al punto P2

la velocità del punto è variata.

Anche se il modulo della velocità è rimasto costante (cosa che avviene nel moto circolare uniforme), la direzione della velocità è diversa.

Una variazione della velocità implica

A

B

t1

P1

O

1vr 2vr


Se t2 = t1 + Δt, con Δt molto piccolo, al vettore si da’ il nome

accelerazione del punto P all’istante t:

In generale la direzione del vettore accelerazione non è quella dellatangente alla traiettoria!!

Una variazione della velocità implica sempre la presenza di un’accelerazione.

O

tv∆∆r

t

va∆

=∆r

r


P1P2 = OP2 – OP1

P1

P2

v1

v2

•• P•

v

an

v1

v2

Δv


O

v1

v2

A

B

CΔvIn generale, per un moto curvilineo

non uniforme, a può pensarsi scomposto in due componenti at ed an

P•a

at

an

Nel moto circolare uniforme la variazione di velocità, e quindi l’accelerazione, è perpendicolare alla velocità stessa.


O

v1

v2

A

B

CΔv Analizzando meglio la figura a fianco

osserviamo che il segmento

AB ≈≈≈≈ normale alla traiettoria,

mentre il segmento

BC ≈≈≈≈ |v2| – |v1| ≈≈≈≈ tangente alla traiettoria.


Quindi, con buona approssimazione possiamo scrivere che:

BC/∆∆∆∆t = at e che at = (|v2|– |v1|) / ∆∆∆∆t rappresenta la componente dell’accelerazione che modifica il modulo del vettore velocità.

Mentre AB/∆∆∆∆t = an rappresenta la componente dell’accelerazione che modifica l’orientamento del vettore velocità.


O

v1

v2

A

B

CΔv


Se at = 0 allora |v| = costante (il modulo della velocità non varia)

Se an = 0 allora v non cambia di direzione e la traiettoria è rettilinea

Moto circolare

Nel moto circolare un punto si muove lungo una circonferenza (!)

E’ conveniente descrivere la posizionedel punto lungo la circonferenza tramiteun angolo ( θ ).

r

Il moto del punto può essere descritto


CIl moto del punto può essere descritto dalla variazione nel tempo della posizione.In analogia a v = Δs / Δt, ω = Δθ / Δtrappresenta la velocità angolare del punto. ω si misura in s-1

E’ possibile anche definire un’accelerazione angolare α = Δω / Δt α si misura in s-2

ω = Δθ/Δt

θ

Moto circolare

Nel moto circolare le variabili angolari sono legate a quelle lineari (in modulo) dalle relazioni (valide nel limite di Δt -> 0)

Essendo Δs = Δθ r:

Δθ = ω Δt = Δs / r∆∆∆∆s

r


Δs / Δt = v = ω r

ω = v / r

∆∆∆∆s∆θ

r

C

Moto circolare uniforme

Nel moto circolare uniforme |v1| = |v2| = |v| = costante.

Questo è possibile solo se l’accelerazione tangenziale è nulla(at = 0 )

L’accelerazione normale (o centripeta)deve essere diversa da zero, in modo

v2

∆∆∆∆s


deve essere diversa da zero, in modotale che la velocità vari la sua direzione.

Ma quanto deve valere l’accelerazionenormale perché il moto sia effettivamentecircolare e non a spirale ?

r

Cv1

∆∆∆∆s

∆θ

r

C

Moto circolare uniforme

v1

v2

∆∆∆∆s

∆θ v1

v2

v1

v2

∆v

ω∆t


Quindi |Δv| / Δt = ω|v| = |v| / r ⋅ |v| = |v|2 / r = v2 / r

Per ∆∆∆∆t molto piccolo sarà ωΔt = |Δv| / |v|

In sostanza, perché |v| sia costante deve risultare:

|an| = |ac| = v2 / r (= ω2 r)

Moto armonico

v

ωωωωt

C

Py

y

Pac

ωωωωt

Se P si muove di moto circolare uniforme la sua proiezione Px si muove di moto armonico.

Sia t = 0 quando Px è in 0.Allora l’angolo al centro sottesoda PC è ωωωωt e


ωωωωt

or

A BPX

x

da PC è ωωωωt e

x = r sin(ωωωωt) r = ampiezzaωωωω = pulsazione

y = r cos(ωωωωt)

è la legge del moto armonico il cui diagramma orario è una sinusoide:

Moto armonico

x+r

-2ππππωωωω

-ππππωωωω

ππππωωωω

2ππππωωωω

t


-r

Il periodo T = 2ππππ / ωωωω e la frequenza ν = ωωωω / 2ππππ sono quelli delmoto circolare uniforme corrispondente.

Il periodo si misura in secondi, la frequenza in Hz (s-1).

Moto armonico

v

ωωωωt

or

A

C

Py

x

y

Pac

ωωωωt

La velocità istantanea del moto èla proiezione di v su AB

vx = v cos(ωωωωt) = ωωωωr cos(ωωωωt)


oA BPX

x

Analogamente per l’accelerazione ax

che è la proiezione di ac su AB

ax = -|ac| sin(ωωωωt) = -ωωωω2 r sin(ωωωωt) = -ωωωω2x

Quindi nel moto armonico l’accelerazione è proporzionale allo spostamento e diretta sempre verso il centro del moto.

LEGGI FONDAMENTALI DELLA DINAMICA

Newton (1642-1727) descrisse le leggi (principi) della dinamica più di 300 anni fa, formulandole in modo che esse, e le loro conseguenze, fossero in accordo, entro le precisioni di misura, con le osservazioni sperimentali effettuate.


Nel tempo, nuovi fenomeni hanno richiesto la formulazione di nuove leggi (ad es. relatività speciale, meccanica quantistica) più accurate; ma le “vecchie” leggi di Newton sono rimaste sempre valide e sono alla base delle nuove.

Causa ed effetto del moto

» Forza (causa)

» Moto del corpo (effetto)

• L’esperienza mostra che l’effetto dipende dalla massa del corpo

• Il moto avviene nella direzione e verso della forza• Il moto avviene nella direzione e verso della forza

Corso di Fisica - UdA 40

Prima Legge o Principio d’inerzia

Se la forza risultante totale che agisce su un corpo è nulla, l’accelerazione del corpo è nulla ed esso si muove di moto rettilineo uniforme oppure conserva il suo stato di quiete.


Fris = 0 a = 0 v = cost

Possiamo dare una definizione “a posteriori” della forza come l’influenza capace di produrre una variazione dello stato di quiete o di moto di un corpo.

“Una forza impressa ad un corpo produce un’accelerazione parallela alla forza e ad essa proporzionale; il coefficiente di proporzionalità non dipende dalla forza, ma dalle proprietà intrinseche del corpo.”

F = m a

Seconda Legge

• richiede la conoscenza delle forze, a prescindere dal loro effettosul moto dei corpi;

• il coefficiente “m ” è la massa inerziale di un corpo;

• la massa non dipende dallo stato di quiete o di moto del corpo;

• la massa si mantiene costante nel tempo.


Additività delle forze (come vettori)


∑=i iris FFrr

Unità di Misura della Forza

[F] = [m] · [a] = [m · l · t -2 ]

si misura in Newton (SI)

1 N = 1 Kg · 1 m / 1 s 2


(1 dine = 1 g · 1 cm / 1 s 2 = 1 N / 10 5)

Conseguenze della seconda legge

La seconda legge di Newton implica che se un corpo è fermo, lasomma delle forze che agiscono su di esso è nulla.

Se un corpo inizialmente fermo si mette in moto è perché su di essohanno agito una o più forze.


Terza legge

“Quando un corpo A imprime una qualsiasi forza FAB su un corpo B,automaticamente il corpo B imprime su A una forza FBA uguale inmodulo ed opposta in verso” (Principio di azione e reazione).

F AB = -F BA

Es.: molti esempi pratici (nuoto, camminata, barche a remi, rimbalzo


Es.: molti esempi pratici (nuoto, camminata, barche a remi, rimbalzoecc.);

Nei sistemi “isolati”, ovvero quei sistemidove la somma vettoriale delle forzeesterne, se presenti, è uguale a 0, la sommavettoriale di tutte le forze interne (cioè laforza totale) è sempre nulla, perché tuttele forze tra corpi, comunque complicate, sicancellano due a due.

Sistemi di Riferimento Inerziali

Le leggi di Newton implicano il concetto di accelerazione, quindiquello di un sistema di riferimento rispetto al quale misurarel’accelerazione. Non tutti i sistemi di riferimento sono appropriati;

Definiamo sistemi inerziali tutti quelli in cui valgono le leggi diNewton.

Ad esempio una giostra che ruota NON è un sistema di


Ad esempio una giostra che ruota NON è un sistema diriferimento inerziale, in quanto un corpo “sembra” accelerareanche in mancanza di forze esterne.

Questa accelerazione apparente deriva dalla non inerzialità del sistema di riferimento. Notare come la superficie della terra – dato che questa ruota -NON è un sistema di riferimento inerziale.

Sistemi di Riferimento Inerziali (II)

Un sistema di riferimento inerziale o galileiano classico è quello collegato a delle stelle fisse. È inerziale ogni altro sistema non accelerato rispetto ad esso.

In effetti, ogni sistema di riferimento che si muove con velocità costante rispetto ad un sistema inerziale è anch’esso inerziale.


F = ma F = mav

inerziale.

Prima Legge modificata

“Un corpo non soggetto ad interazioni permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, in un sistema di riferimento inerziale”.

In sostanza l’ultima frase limita la validità della prima legge, o meglio precisa che questa è valida solo se il sistema di riferimento è inerziale. Se non lo è bisogna tenere conto anche


riferimento è inerziale. Se non lo è bisogna tenere conto anche dell’accelerazione che il sistema di riferimento ha rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.

Dato un sistema di riferimento inerziale, tutti i sistemi, in quiete o in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso, sono anche essi dei sistemi di riferimento inerziali;

Dal punto di vista della dinamica, quiete e moto rettilineo uniforme sono equivalenti.

Ulteriori considerazioni

Dati due corpi di massa m1 ed m2 che siano “isolati”, cioè interagiscano solo tra loro, allora la risultante delle forze è zero:

F12 = -F21 ma m1a12 = -m2 a21

e considerando i moduli dell’accelerazione:

mFgrav

m2 = a1

m1 a2

Quindi le forze sono uguali e contrarie male accelerazioni sono inversamenteproporzionali alle masse.


M

-Fgrav

TERRA

Forza Peso

Il peso è una forza.

FP = mg

con g = accelerazione di gravitàdel luogo dove si effettua la misura.


La massa di un corpo è legata alle quantità di materia del corpo,e rimane quindi invariata se quel corpo è posto, ad esempio,sulla Terra o sulla Luna. Il peso no.

Quindi sulla superficie della Terra un corpo di massa m = 1 kg ha un peso FP = 1 x 9.8 = 9.8 N, un uomo di massa 80 kg ha un peso FP = 784 N

Origine della Forza Peso:Legge di Gravitazione Universale

La forza peso è un aspetto dellaFORZA di GRAVITAZIONE UNIVERSALE

M2M1 r

F F

Due corpi di massa M1 e M2 si attraggono con una forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle


1 2

che è direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra le masse stesse.

In modulo: F = G0 M1M2/r2

dove la forza si esercita tra i centri delle masse eG0 = 6.67 10-11 (N⋅m2)/kg2 è la costante di gravitazione universale.

Forze fondamentali in natura

FORZA GRAVITAZIONALEFORZA ELETTRICA (elettrostatica)

FORZA NUCLEARE DEBOLEFORZA NUCLEARE FORTE

Le forze di gravità ed elettriche sono responsabili di


Le forze di gravità ed elettriche sono responsabili di fenomeni su larga scala (esperienza quotidiana, corpi celesti).

• delle forze elettrostatiche parleremo all’inizio della sezione dedicata all’elettromagnetismo.

Le forze nucleari (debole e forte) sono responsabili dei fenomeni su scala nucleare.

• delle forze nucleari deboli e forti parleremo nella sezione dedicata alla Fisica Moderna.

La forza gravitazionale

Per ricavare la legge di gravitazione universale rivediamo insieme il ragionamento (ipotetico) di Newton.

I dati che Newton aveva a disposizione erano:

• la forza di gravità sulla terra provoca un moto dei corpi verso il basso. Questo moto è un moto accelerato con accelerazione costante (Galileo);


corpi verso il basso. Questo moto è un moto accelerato con accelerazione costante (Galileo);

• le tre leggi di Keplero

• dati astronomici sul sistema terra-luna: il periodo di rivoluzione della Luna (≈ 27.5 giorni), la distanza Terra-Luna (r ≈ 60 RT = 60 x 6.4 105 m = 3.84 108 m)

Leggi di Keplero

1° legge: L'orbita descritta daun pianeta è un ellisse,di cui il sole occupa unodei due fuochi.

b

sole perielio

a


a

sole

terra

perielioafelio

craggiovettore

Leggi di Keplero

2° legge: Il raggio vettore che unisce il centro del sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi soleterra raggio

vettore


aree uguali in tempi uguali.

solevettore

Leggi di Keplero

3° legge:I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.

costanteT

a2

3

====


T


L’intuizione di Newton fu quella di capire che la forza che sulla terra causa la caduta dei corpi verso il basso si estende fino alla luna e dunque è la stessa di quella che la lega alla terra.

Ma qual è l’espressione di questa


Ma qual è l’espressione di questa forza?

E’ compatibile con le osservazioni sperimentali della caduta dei corpi e del moto dei pianeti?


In questo caso la Luna si muove lungo una traiettoria curva (e non rettilinea) perché tenderebbe a “cadere” verso la Terra descrivendo un’orbita (quasi) circolare.

m

v

Nel moto circolare uniforme:

v = ωωωω r

Ma allora, l’accelerazione centripeta, corrispondente alla forza gravitazionale esercitata dalla Terra,


fc

C

v = ωωωω r

fc = m v2/r

ac = v2/r

esercitata dalla Terra, dovrebbe risultare essere una frazione della accelerazione di gravità g (opportunamente ridotta in proporzione alla distanza Terra-Luna).


R

rg

ac

A questo punto Newton ebbe un’intuizione:il valore di g è legato alla distanza del corpo che cade dal centro della Terra, distanza pari al raggio terrestre; quindi se immaginiamo che la forza


r / R = 60 RT / RT = 60

RT

g se immaginiamo che la forza gravitazionale sia esercitata dalla Terra come se la sua massa fosse tutta concentrata nel centro (forza centrale), allora la forza a distanza pari a quella Terra-Luna dovrebbe essere ridotta di un fattore:


rg

ac

In questo caso il valore dell’accelerazione centripeta vale

ac = g/60 ≈ 1.63 10-1 m/s2


RT valore troppo elevato rispetto a quello dedotto dalle osservazioni astronomiche per le quali:

v = 2πr/T ≈ 103 m/s

ac = v2/r = 4π2r/T2 ≈ 2.7 10-3 m/s2


La seconda intuizione fu quella di ipotizzare che la forza gravitazionale si comportasse secondo una legge simile a quella che regola l’emissione della luce da una sorgente luminosa, legge che egli stesso aveva formulato: la potenza luminosa diminuisce con

RT

rg

ac


la potenza luminosa diminuisce con l’inverso del quadrato della distanza dalla sorgente.

Se questa regola valeva anche per la forza gravitazionale, allora g doveva essere ridotta di un fattore 1/(602) = 1/3600, alla distanza della Luna. Questa volta i conti tornarono e Newton fu in grado di formulare la Legge di Gravitazione Universale che regola le interazioni tra i corpi celesti e, più in generale, tra tutti i corpi dotati di massa.

Legge di gravitazione universale

M2M1 r

F F

Due corpi di massa M1 e M2 si attraggono con una forza

che è direttamente proporzionale al prodotto delle masse


che è direttamente proporzionale al prodotto delle masse

e inversamente proporzionale al quadrato della distanza

tra le masse stesse.

In modulo:

F = G0 M1M2/r2

dove la forza si esercita tra i centri delle masse e G0 è la costante di gravitazione universale.

Esperimento di Cavendish

La costante di gravitazione universale G0 venne misurata verso la fine del 1700 dal fisico inglese Cavendish con un famoso esperimento (bilancia di torsione) che fornì un valore straordinariamente vicino al suo valore oggi misurabile.


m

mM M

G0 = 6.67 10-11 (N⋅⋅⋅⋅m2)/kg2

Esperimento di Cavendish


Massa della Terra

Se conosciamo g, possiamo utilizzare la legge di gravitazione universale per calcolare in modo semplice la massa della Terra. In prossimità della superficie terrestre possiamo scrivere che

Fgrav = G0mMT/RT2

con MT e RT massa e raggio della Terra rispettivamente.

Poiché deve valere anche che



Fgrav = Fpeso = mg

Possiamo uguagliare i secondi membri delle due equazioni ottenendo:

MT = g RT2/G0 = 9.8 (6.4 106)2/6.67 10-11 ≈≈≈≈ 6 1024 Kg

Accelerazione di Gravità

Oppure, conoscendo la massa della terra, possiamo utilizzare la legge di gravitazione universale per calcolare in modo semplice l’accelerazione di gravità g.

In prossimità della superficie terrestre possiamo scrivere che

Fgrav = G0 mMT/RT2


Fgrav = G0 mMT/RT

con MT e RT massa e raggio della Terra.


Fgrav = Fpeso = mg

Risulta g = G0MT/RT2 = 9.81 m/s2

Applicazioni delle leggi di Newton

Le leggi di Newton permettono di determinare il moto dei corpi, a patto di conoscere le forze che agiscono su di essi.

La forza peso è una forza che agisce su un qualsiasi corpo dotato di massa che si trova sulla superficie terrestre.


corpo dotato di massa che si trova sulla superficie terrestre.

Altre forze possono essere delle forze esterne che noi applichiamo, oppure delle reazioni vincolari, oppure le forze di attrito.

Reazioni Vincolari

Nel caso in cui il corpo non è libero, ma condizionatoa muoversi con certe limitazioni, si parla di vincoli.

Esempi: tavoli, rotaie,fili inestensibili, pendolo...


Il vincolo esercita sul corpo una forza (Reazione Vincolare) ortogonale al vincolo stesso, oppure lungo la direzione del vincolo nel caso di un filo.

Esempi di Reazioni Vincolari


Il piano inclinato

FF

F

FF sinθ


lungo il piano inclinato:

F sin θ = m gsin θ = m a

l’accelerazione a è pari a gsin θ, quindi minore rispetto a g di un fattore sin θ

Forze d’attrito

Quando due corpi sono tenuti in contatto, lungo le superfici di contatto si manifesta una forza che si oppone allo scorrimento di un corpo rispetto all’altro

NFAN

N


tale forza di attrito è proporzionale alla reazione N perpendicolare al vincolo, si manifesta parallelamente alla superficie di contatto ed è diretta sempre in verso opposto allo scorrimento

FA

FA

Forze d’attrito

Esistono molti tipi di forza di attrito, come l’attrito radente, relativo allo scorrimento di due superfici, volvente, quando un corpo rotondo rotola su una superficie, ecc. Senza l’attrito volvente, ad esempio, non potremmo andare in bicicletta. Ci limiteremo a considerare ora solo il primo caso, ovvero l’attrito radente, nelle sue due forme statico e dinamico.

F


FA

F

FA

F

attritodinamico

attritostatico

FAs

FAd

nessun moto scivolamento

Forze d’attrito

issaoh ... issa

attrito statico

genera una forza opposta a quella applicata quando questa non è sufficiente a mettere in movimento il corpo). L’intensità della forza è tale da bilanciare la forza esterna fino ad un valore massimo di:

Fstat (max) = µsN = µs mg


Fstat (max) = µsN = µs mg

(NB: Questo è il modulo della forza).

Quando la forza esterna supera quella di attrito statico, il corpo si mette in moto. A questo punto però la forza di attrito vale:

Fd = µd N = µd mg (attrito dinamico)

Con Fd che ha la direzione e verso opposto a quella del moto.

Forze d’attrito

In generale la forza di attrito ha la forma

FA = µ N = µ mg

dove µµµµ è un coefficiente di attrito ed N è la forza normale che tiene schiacciate le due superfici .


I coefficienti µs e µd hanno valori differenti ( µd < µs ) e dipendono dalle superfici dei corpi e dalla presenza di lubrificanti, polveri, etc. (cioè dalla presenza di asperità che impediscano lo scorrimento delle superfici) e NON dipendono dalla estensione delle superfici.

Il piano inclinato con attrito

FF

F

F sinθ

h

F


FTOT = mgsinθ – µmgcosθ = ma

a = (gsinθ – µgcosθ) = g (sinθ – µcosθ)

F

Date post:	25-Dec-2015
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4. Il Moto e Le Sue Leggi_2012

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