GIOVANNI FERRARO

FRANCO PALLADINO

X" CALCOLO JUBIJME DI EULERO E LAGRANGEESPOSTO COL METODO JINTETICO NEL PROGETTO DI MCOLO FERGOLA

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cTTrA DEL SoLE1995

ISIITUTO NAII,ANO PER GLI STUDI NLOSOFICI

GIOVANNI FERRARO FRANCO PALLADINO

fl.CALCOLO JUBTIME DI EULERO E LAGRANGE

ESP0ST0 COL

|\IET)D} j/NIETICO

NEL PROGETTO DI NICOLO FERGOLA

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LA CITTA DEL SOLE

L. 28.000

INDICE

1. Introduzione 2. Le motivazioni epistemologiche e didattiche 3. Il "prograrnma euclideo" 4. Geometria e Cdcolo sublime 5. Teoria delle funzioni circolari 6. Grandezze continue e grandezze discrete

p.711

2743

,3 6)

7. Serie 8. I fon&menti del Calcolo sublime 9. Calcolo delle variazioni10. Conclusioni

7i8]97107

Copyright @ f995by ISTITUTO

ITALIANO

PER

GLI STttDI FILOSOFICI

Napoli, Peleza Scrrr di Crsrano Via Montc di Dio, 14

Documento I: Definizione analitica delle funzioni circolari Documento II: Teoria delle funzioni circolari Documento Itr: Sulla continufta Documento [V: Su a'con or infinitesimo Documento V: Sulla proporzionaliti di grandezze incommensurabili Documento VI: Dimostrazione sintetica del Teorema di Taylor Documento VII: Serie binomialeElenco degli scritti di Nicold Fergola

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EDIAONI LA CITTA DEL SOLEMed Inaest s-rl.Piazze Quettro Gbm*q 64 80r2t - Napdi

1)5139

Note al testo Note ai documentiNota biografica su Nicold Fergola

r82189

ISBN 88-86521-06-t

Ulteriori documenti:1. Minuta di lettera del Ministro dell'Interno a N.

Cep.

1

INTRODUZIONE

Fergola, 27 settembre 1808

p.2l)2t4

2. N. Fergola al Ministro dell'Interno,23 novembre 1808 1. Minuta di lettera del Ministro dell'Intemo a N. Fergola, 11 febbraio 1809 4. N. Fergola al Minisro dell'Interno, 8 marzo1809

2t62t7218221

5. Anonimo al Ministro dell'Interno, maggio 1809

6. N. Fergola al Ministro dell'Interno, 4 ottobrer

809

7. V. Flauti al Ministro dell'Interno.20 novembre1810

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8. Minuta di documento del Ministero dell'Interno, inizi del 1810 9. Minuta di lettera a N. Fergola, novembre 181010. Minuta di lettera a V. Flauti. novembre 181011. V. Flauti al Ministro dell'Interno, 16luglio 1812

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B12t2

2t2

Indice dei nomi

n7

Nella nostra recente rnemoria Sui manoscritti di Nicold Fergola (1753-lS2ql, dove si sono illustrati e classificati i documenti archivistici preliminari dell'attuale lavoro, abbiamo segnalato che dalla lettura delle pagine che gli storici hanno scritto intomo alla figura di Nicold Fergola emerge una valutazione non equilibrata dell'opera di questo importante matematico napolehno; valutazione che spinge verso un'interpretazione riduttiva del suo variegato insegnamento rispetto al quale, invece, d riconducibile tanta parte della matematica praticata nel Regno di Napoli (poi Regno clelle Due Sicilie) dalla fine del Settecento all'uniti d'Italia. Il vasto magistero di Fergola d stato, purtroppo, finora ricordato quasi esclusivamente per I'aspetto geometrico (rivelatosi comunque scientificamente non infruttuoso nel favorire la costituzione e il cammino della Geometria descrittiva e dclla Proiettiva), vale a dire per la "geometria sintetica", secondo un'espressione che al tempo di Fergola sottintendeva tecnicamente l'uso dei metodi sia della Sintesi sia dell'Analisi gcometrica. E, all'interno di tale linea di ricerca, gli storici han' no evidenziato soprattutto il panicolare interesse, "le go0t" per usare le parole di Chasles, che Fergola e molto dei suoi discepoli ebbero per I'Analisi geometrica degli antichi2: "Le gofft de cette G6om6mie, qui a donn6 tant d'ecla( aux sciences math6matiques iusques il y a prds d'un sidcle, surtout dans la patrie de Newton, s'est affaibli depuis, et aurait presque disparu, si les g6omdtres italiens ne lui fussent rest6s fiddles. On doit, de nos iours, au cdldbre Fergola, et i

ses disciples,

MM. Bruno, Flauti, Scorza, plusieurs crits sur I'Analyse g6om6trique des Anciens, qui s'y importants ,rotru. r6tablie dans sa puret6 originaire"'. Vogiiamo pure sottolineare, in secondo luogo, che al fine di procedere a un'esposizione e a un'interpretazione del pensiero di Fergola riguardanti tutta I'ampia produzione in Analisi (o Calcolo) infinitesimale (o anche' come allora si diceva, Analisi o Calcolo sublime, o ancora Analisi degli Infiniti) lasciata pressoch6 per intero manoscritta, abbiamo esaminato nella siessa memoria i manoscritti fergoliani a noi noti. L'esame, che d stato effettuato per la prima volta, ha consentito una descrizione ragionata delle oltre 1500 carte pervenuteci, con la conseguente ricostruzione della struttura dei trattati organici (i quali venivano utlfizzati nell'insegnamento) e-dei .eit.nti nuclei, pid o meno omogenei, di scritti scientificamenre signilicativi. La semplice descrizione di tutto cid ha reso evidente la grande mole di lavoro, finora sconosciuto, che il nostro autore aveva svolto nel campo del Calcolo sublime dove era venuto tempestivamente ad esaminare e a discutere i pii aggiornati risultati prodotti dai matematici d'Europa.

"[...] Ne con minor feliciti di progressi lrispetto allo studio della Geometria, n.d.r.l ha il Fergola promosso lo studio dell'Analisi moderna: ed E veramenre una gloria rutta sua propria I'aver conosciuto egli per primo tra noi il gran segreto d'informar l'analisi, senz! alterarne la natura [corsivo nostrol, dello spirito della sintesi: onde ne ha poi disposte le teorie con quel metodo, e con quel rigore di dimostrazioni, con cui gii scrissero della Geometria Euclide, ed Apollonio"8. In questo nostro volume, sulla base del lavoro di esame e di ticostruzione gii effettuato sui manoscritti, viene farra luce sui temi pir) importanti camtterizzanti I'insegnamenro c la ricerca di Fergola nel sertore dell'Analisi infinitesimalc. Tutto cid ci permette di collocare il matematico napolerano tra gli autori che, tra la fine del Settecenro e I'inizio dell'Ottocento, diffusero in Europa il Calcolo sublime - euleriano e lagrangiano - contribuendo a portare la discussione intorno ad esso a pir) alto grado di maturazione. Una volta giunti alla fine del nostro saggio, pensiamo che sia possibile norare i pregi delle riflessioni fergoliane volte a chiarire e a perfezionare tale calcolo ma si saranno anche intravisti i limiri della sua lezione ancorata al formalismo algebrico settecentesco.

Fergola d convinto che in questo fondamentale campo della Matematica la monumentale lezione di Eulero, tramandata principalmente nell'fz nodactio in analysin infini' torum4, nelle lnstitutiones calcali differentialiss e nelle -[astitationes calculi integralis6, sia stata sviluppata "col Metodo Ramistico, e nel cammino di un Genio che la inventa', vale a dire connotatr dall'ars disserendi owero dalla capaciti di persuadere, con spirito euristico, sulla base dei risultati ottenuti mediante I'abile applicazione degli algoritmi del Calcolo. Fergola, dd canto suo, vuole che il Calcolo sublime sia ridotto a un "Sistema Didascalico Euclideo, in grazie degli Apprenditori"T; cosa che d constatata, con soddisfazione, pure nell'introduzione della raccolta di Opuscoli matematici della Scuola del sig. N. Fergola, dove i ricordato:

Ci auguriamo, infine, che questo volume serva adcguatamente a completare le pagine che, con specifica competcnza,

Gino Loria e Federico Amodeo hanno pubblicato per illustrare, mediante la consultazione delle opere a stampa, prin-

cipalmente le ricerche a carattere geometrico condotte da Fergola e dai suoi discepolie.

Crp.2LE MOTIVAZONI EPISTEMOLOGICHE E DIDATTICHE

degli Infiniquegli altri che saggiamente n'estesero le Ricerche e ti, e l'uso, non si curarono di chiarirne i di lei principj, come si dovea, per esser ella una Scienza, e di sublimi veriti feconda madre"l. Queste parole, con cui Fergola apre una nota storicocritica posta all'inizio dei suoi inediti Elementi del Calcolo diffe r en zi a I e, contribuiscono a illust rare I' insoddisfazio ne che egli awertiva sul grado di rigore presente nei metodi del Calcolo sublime. Insoddisfazione che coinvolgeva non solo le questioni fondazionali ("i principi"), ma anche I'inrero edificio del Calcolo, il quale, nonostante tutti i successi e gli enormi sviluppi ottenuti ad opera di illustri matematici che "di ramificarne I'uso ebber coraggio"2, presenta agli occhi di Fergola difficolti tali da renderlo indegno di appartenere alle scienze. Per interpretare i motivi di tale profonda insoddisfazione, bisogna indagare oltre I'ambito strettamente recnico-matematico. Fergola era stato educato nel clima fecondo dell'illuminismo napoletano; i biografi ricordano che egli fu allievo di

"I primi Geometri, che scoversero I'Analisi

Antonio Genovesi (1712-1769)r. Nello stesso tempo, perd, non va dimenticato che egli era un cattolico rigidamente osservante. Bisogna aggiungere che col trascorrere degli anni, sostanzialmente durante e dopo il verificarsi delle vicendc che videro il sorgere e I'epilogo tragico della Repubblica parrenopea, e poi il costituirsi del Regno guidato dai re napoleonidi, fino alla caduta di Gioacchino Murat, egli assunse com11

(che porramenri che da un probabile caftolicesimo illuminato I N*.ir aveva fornito figure di primo piano, come Bacolo-Gdi*i, alla schiera dei cosiddetti i"ri.ri -o-ouororrr) e Celestino -." scivolarono sempre piri, parallelamente al consolidarsi della reazione borbonica, verso posizioni conservatrici. per rendersi conQuesti due aspetti sono importanti sia to di pensiero e della produzione (per esempio dell'opera .t. .ub. per rirolo La Teorica de' Miracoli) di Fergola sia-per -aq'in-r""J"*'fa complessiti, attribuibile in larga qtlsuf lui efl-l.r.rr"" genovesiana, delle opzioni metodologiche- {-a "nell'affrontare le problematiche proprie ddle scieni.ii"",.

uo, i sr{oi manoscritti), d accompagnato dall'espressione di una corgplessa concezione del modello di riferimento di scienza; conqezione che riprende, attraverso l'elaborazione genovesiana e con I'apporto di personali contributi, molte argo-

Secondo le espressioni enfatiche adoperate da Gioacchino Ventura, intimo amico dd nostro, nell'Elogio funebte di Niccola Fergolaa,la Matematica sarebbe stata da lui intesa quale'i sublimi geni icome "scieriza intellettuale" grazie alla lud.rrrqrr. che ingranditi dalla fede, awivati dall'amore, sonoagli slanci pin fdici verso il cielo". La Matematica ,i "t.u"ti inon sarebbi stata, qnittdi, per Fergola una "scienza material";, q..ul. pr"tenderrano alcuni "abili calcolatori" del XVtrI" dalsecol,o, 'algebristi freddi, altieri, decisivi, che insteriliti ;l'ateismo ed occupati costantemente della terra, non sono ,stati che tante abili macchine geometriche ["'] che da se stesse eseguono operazioni complicate, come la macch-ina ,aritmetica"ai e"tq""t [sic, ma leggasi B' Pascal, n'd'r']"t' le opere Quando si vanno ad analtzzare i manoscritti e accorge perd che siffatta ,r"irp" di Nicold Fergola ci si " testimonianza, pii adeguata a descrivere invece I'atteggia,mento di un personaggio come Paolo Mattia Doria (16611746),rul quale ritorneremo in questo capitolo, di-eccessivo rilievo a un aspetro parziale e rischia di fuorviare lo storico. ln Fergola, I'essere tecnicamente un valido e moderno matematic; rispetto al suo tempo, in comunictzione ideale con i piu famosi matematici d'Europa (come attestano le ,numerose annotazioni erudite di cui egli cortedava, ffa l'alt2

ze matematiche.

mentazioni che avevano contraddistinto I'elevato dibattito filosofico'e scientifico svoltosi a Napoli negli anni rrenta e quaranta del diciottesimo secolo. Dibattito che si era esteso a una molteplipiti di settori e che, per citare alcuni dei partecipanti, avevalvisto iI concorso, su posizioni molto differenziate, di Giambattista Vico (1668-1744), di Celestino Galiani (1681l75tl, dlei fratelli Nicold (1701-1769) e Pietro Di Martino (1707-tX49)6, olre a quello di Antonio Genovesi. Vincenzo FerroneT rileva che Genovesi, per quanto fosse stato, idopo il suo trasferimento da Salerno a Napoli, nel l7)7, "qlliano di Niccold Di Martino, capo riconosciuto dei newtoniani napoletani nello Studio pubblico, renne soprartutto co4tatti con gli uomini di cultura che facevano riferimento alil'Accademia degli Oziosi". Erano membri di quest'Accaddmia alcuni intelletnrali, come Paolo Mattia Doria, i qudi si ebano radicati nel convincimento del primato epistemologico e didanico del modello e dd metodo forniti dalla "geometdia sintetica", da loro intesa essere rappresentata essenzialgrente dalla geometria di Euclide e di Apollonio, David Lachtermann8, in riferimento a Vico (uno degli interlocutori di Genovesi) discute in qual modo gii per quesri, su cui seimbra indubbia una certa influenza del Doria, il metodo fdrnito dqlla 'geometria sintetica" fosse ritenuto I'unico capacq di duplicare l'operare metafisico di Dio e quindi capace di assu-ere una funzione mediatrice tra mondo fenomenico e lmondo metafisico. Non p inutile qui ricordare che Vico lascid comunque cadere la possibiliti, sostenura da Doria, di una scientificiti "sinteticai e "metafuica" al fine di fondare la scienza sulla veriti del', facere umano e sull'esame del processo storico. , ' Come pu{e va osservato che il modello di scientificiti che

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Doria riteneva basato sulla certezza delle 'veriti matematiche" espresse ddle teorie di Euclide e di Apollonio, per quanto affascinante per lc prospettive aperte dalle applicazioni agli aspetti economici, morali e politici, riguardanti la societa civile, era perd mal sorrefto dalle scarse competenze tccniche del suo propugnatore. Ma non vi d da considerare soltanto il riferimento dato da Vico; non vanno infatti dimenticati i "ragionamenti" di Agostino Ariani (1672-1748) Intorno all'utiliti della geometria (tanuti all'Accademia palatina di Medinaceli, nel 1701) mediante i quali s'intendeva far vedere "quanto utile e necessaria cosa sia la medesima d dritto uso della ragione ed all'acquisto di tutte le scienze in generale" e, inoltre, "alI'acquisto ed alla condotta d'una ben intesa e ragionevolefilosofia"e. Le affermazioni dell'Ariani non si limitavano solo a quelle qui riponate; per lui le stesse scienze naturali (e in cid rovesciando la posizione sperimentalista che aveva contraddistintn la seicentesca Accademia napoletana degli Investiganti) dovevano servire, tra I'altro, "come di scda per innalzarci alla conoscenza delle cose celesti e soprannaturali"l0. Secondo noi, la chiave pii adatta per intendere la complessita di Nicold Fergola d rappresentata, come si E detto, ddla multiformiti del magistero genovesiano che esprimeva un'elaborata riflessione tendente alla ricerca della composizione di un equilibrio tra le diverse istanze (comprese quelle a cui si d accennato provenienti dalla realti napoletana) come awiene, per usare un'immagine cara a Genovesi, nella ricerca dell'equilibrio per un sistema di forze. Nota i la capaciti di Genovesi di accogliere i pid diversi contributi, di esaminare criricamente ogni posizione filosofica, di ricercare elementi di veriti in ogni tesi. Si legge, infatti, alla fine del libro primo dei suoi Elementi di Fisica sperimentale delt78l (traduzione italiana dell'edizione postuma in lingua latina, quest'ultima curata nel 1779 proprio da Fergola):L4

'Ma dopo che la Filosofia cessd di essere sotto la tirannia di Arigtotele, e che la Dittatura di Canesio venne in breve a fine, n6 l'autoriti dd Leibnizio, n6 quclla del Ncuton [sic] valsero a stabilire la Monarchia; la Repubblica de' Filosofi diventd prima Aristocratica, e poscia Democratica. Quasi tutti adunque i Filosofi, scosso il giogo dell'autoriri, restituirono la sua digniti alla ragione, e agli esperimenti. Quindi ognuno gode di tanto maggior credito, ed auroriri, quanto pi$ si distingue coll'ingegno, co' calcoli geometrici, ed aritmetici, collo studio della natura, e coll'esperienze". Si ha ,modo di notare, dalla lettura di tale brano, che Genovesi intende pure elogiare il sapere valutato in base ai risultati dglla ricerca, in cid richiamandosi a Giambattista Vico che gii nelle Orazioni inauguralirr aveva preso posizione controlla "boria dei filosofi". Nd suo edettismo, inteso come disponibiliti a vagliare tutte le espressioni filosofiche per costruirsi una propria filosofia, $enovesi utilizzd in varia misura anche Leibniz, Ifolff, Newton, Locke, Nieuwentiit, Toland e altri. La grande considerazione - la quale finiri col condizionare profondamente la struttura di tutta la sua produzione - che Fergola ha per il dretodo dimostrativo fsrmalizzato da Christian u0olff (1679-1754) d tra le indicazioni pii evidenti che il giovane matematico napoletano riceve da Genovesi. A tal riguardo 6 da credeie, come metteremo in risalto nella nota biografica, che Fergpla abbia letto lflolff anche autonomamente, al tempo dellalsua formazione, in compagnia di un suo collega di studi, Tommaso Bifulco (?-1787). Limitatamente ai temi di comune interesse, vi sono molti punti di,corrispondenza tra Genovesi e Fergola. E, vista I'impofianz4 di Fergola nelle scienze matematiche, viene cosi alla lucelun'influenza del Genovesi in questo campo la quale, prima d'ora, non era stata considerata in tutta la sua portata. . Nel 1745, Antonio Genovesi, con Giuseppe Orlandi (171J-1176), cura la pubblicazione degli Elementa physicaer5

dell'olandese Pieter van Musschenbroekl2 con la quale "la battaglia dei nouatores per introdurre la scienza newtoniana nella cultura partenopea poteva infine dirsi conclusa vittoriosamenfe'l'. Nicold Fergola, dal canto suo, cura come si E detto I'edizione postuma, del 1779, degli Elementa pbysicae cxperimefltalisr4, trattato udlizzato da Genovesi nel suo insegnamento. In pii, Fergola pubblicheri anonimo, tra i 1792 e 1l L79),le Prelezioni sai pincipj matematici della filosofia naturale del Caualier Isacco Neutonrs, nella cui prefazione si puo leggere: "[...J questo Codice di Leggi Cosmologiche, ch'Ei [Newton, n.d.r.] disse Pincipj Matematici della Filosofia Naturale, si dovrebbe intender bene da ognuno, che brami contemplar I'Universo: o ch'ei si arresti a specularne il di lui sistema, e le leggi, o che guidato da' Metodi del Nevwon [sicJ vogliane indagarne delle nuove. Ed in fin coloro, cui la Natura e Scala del Fattore, potranno a dispetto dsll'empio raccorre da questo Codice, che un Dio Vivente, d'infinito Potere e Sapienza ricolmo e non mica I'inerte caso, n6 il cieco fato geometiui ne' Cieli"l6. Si coglie in questo passo la posizione genovesiana contraria .alla lettura deterministica e naturalisdca dei Pincipia Newton e contraria al probabilismo scientifico degli Inveidi istiganti contro cui si era espresso, in precedenza, anche il lDoria. Si colgono, ciod, nelle parole di Fergola, alcuni dei i significati genovesiani presenti nella Dispu tatio (prerressa alla jcitata edizione degh Elementa pbysicae del Musschenbroek) ie nell'opem Delle scienze metafisiche per gli gioaanetti del 1176717 .In rapporto alla Disputatio,Fergola considera, analoigamente, la natura come riproduzione in scala del fattore l(con conseguente presenza nel mondo dello spirito divino) e, icon riferimento al Delle scienze metafisiche, egli pensa, allo istesso modo, a un dio che ordina e prowede nei cieli con ileggi geometriche. Tutto cid rappresenta sostanziahnente una llettura apologetica dei Pincipfu di Newton (confermata, pert6

esempio, nel Proemio agh Elementi di Fisica speimentale , dove la F,isica, traittata "in maniera d'istoria", viene definita la Teologia della Natura), rispetto a cui Genovesi e Fergola concordapo; concordanza che si verificheri poi anche a pro-

posito di un aspetto particolare ma a quel tempo denso di significatir metafisici e molto dibattuto: I'interpretazione del 'principio di minima azione", a cui accenneremo al capitolo nono di questo libro. Va fortemente evidenziato, perd, che nelle Prelezioni si colgono, come ulteriormente sottolineeremo, altre influenze, risalenti all'insegnamento di Nicold e Pietro Di Martino (in questo capo forse non mediate dal Genovesi), oltre ai rilevanti ed eptesi contributi personali derivanti dall'essere Fergola un colto e notevole matematico dedito a tempo pieno alla sua professione. Ancora nella prefazione alle Prelezioni d deno: "Il Nostro Amabile Sovrano, cui cale molto la didascalica educazione de' suoi Popoli, m'impose, che a vantaggio degli Alunni del Real Convitto del Salvatorers io componessi chiare Prelezioni sul Newton [sic]: sistemandole col metodo di composizione, e col nitor della Sintesi dimostrando ciocch6 ivi si 4duna, e che da' Geometri posteriori saggiamente vuol delibprsi. In siffatta guisa ho io procurato giusta mia possa compiere queste mie Prelezioni fregiandole ancora di ricche note: in alcune delle quali ho esibito il filo di certe fisicomatetratiche scoperte, ed i tentativi de' Sommi lngegni (le quali cose sogliono l'acume de' Giovanetti perfezionare): ed in altre ho recato la genesi di quelle formule analitiche, che in pochi simboli ampie veriti naturali contenendo sogliono fecondare bene in nostra mente"le. Le Prelezioai rappresentano un prezioso testo di Meccanica razionale e Meccanica tecnica, come oggi si direbbe, al cui interno sono inanellati capitoli di Scienza delle costruzioni e di Idraulica. Esse costituiscono, quindi, un classico testo "settecentesco di matematica applicata, settore di ricerca nientel

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affatto trascurato da Fergola. Quando, infatti, si scorra l'elenco degli scritti dati dle stampe, si scorge la dissertazione $llq plttlr.ione di alani problemi ottici (la Priria m"mofla del volume di Atti della Accademia ddle Sciehze e delle Belle-Iettere, del 1788), riguardante l'intensiti & illuminazione su di uno schermo, ndla quale, semendbsi di quel ramo del Calcolo infinitesimale rappresentato dd Calcolo integrale, Fergola procede a varie determinazioni'della quantiti di luce che una sorgente lrrminosa fa caderg su di uno schermo. Dal medesimo elenco si osserva un'ahra memoria (la quinta degli