5. La riformulazione: le scelte dell’insegnante Rosetta Zan Dipartimento di Matematica Università di Pisa [email protected]Bolzano, 14-15 gennaio 2016 • Nel primo incontro abbiamo visto come le caratteristiche stereotipate dei problemi standard dirigono il processo di lettura e addirittura di interpretazione del testo: la consuetudine con problemi stereotipati favorisce una lettura superficiale, finalizzata all’individuazione dei dati numerici e di parole chiave invece che alla comprensione; in particolare l’esperienza con problemi che hanno sempre una soluzione dirige l’interpretazione del testo: l’allievo assume come implicito ciò che in realtà è semplicemente non detto. Abbiamo sottolineato come un approccio didattico che mira ad insegnare agli allievi a riconoscere nel testo parole chiave sembri essere vincente finché si rimane all’interno di problemi stereotipati, ma si dimostri completamente inadeguato appena si esca da questo recinto. • Ci siamo poi soffermati su alcuni ostacoli alla comprensione che possono nascere dalla formulazione del testo di un problema. In particolare abbiamo individuato l’importanza dei seguenti fattori: la presenza di parole di cui l’allievo non conosce il significato (lessico); la presenza di falsi sinonimi, cioè di parole cui l’autore attribuisce un significato matematico che però non necessariamente è condiviso da chi legge (ad esempio: ‘è giusto’, ‘è facile’,…) la presenza di richiami anaforici difficili da riconoscere; il riferimento a una conoscenza delle cose del mondo (enciclopedia) non posseduta dall’allievo; in particolare il riferimento a sceneggiature comuni non familiari Ripercorriamo le nostre osservazioni…
• Nel primo incontro abbiamo visto come le caratteristiche stereotipate dei problemi standard dirigono il processo di lettura e addirittura di interpretazione del testo:
la consuetudine con problemi stereotipati favorisce una lettura superficiale, finalizzata all’individuazione dei dati numerici e di parole chiave invece che alla comprensione; in particolare l’esperienza con problemi che hanno sempre una soluzione dirige l’interpretazione del testo: l’allievo assume come implicito ciò che in realtà è semplicemente non detto.
Abbiamo sottolineato come un approccio didattico che mira ad insegnare agli allievi a riconoscere nel testo parole chiave sembri essere vincente finché si rimane all’interno di problemi stereotipati, ma si dimostri completamente inadeguato appena si esca da questo recinto.
• Ci siamo poi soffermati su alcuni ostacoli alla comprensione che possono nascere dalla formulazione del testo di un problema. In particolare abbiamo individuato l’importanza dei seguenti fattori:
la presenza di parole di cui l’allievo non conosce il significato (lessico);la presenza di falsi sinonimi, cioè di parole cui l’autore attribuisce un significato matematico che però non necessariamente è condiviso da chi legge (ad esempio: ‘è giusto’, ‘è facile’,…)la presenza di richiami anaforici difficili da riconoscere; il riferimento a una conoscenza delle cose del mondo (enciclopedia) non posseduta dall’allievo;in particolare il riferimento a sceneggiature comuni non familiari
Ripercorriamo le nostre osservazioni…
Ripercorriamo le nostre osservazioni…
• Abbiamo quindi individuato in base alla tipologia del contesto due sotto-generi distinti, quasi contrapposti:
da un lato i problemi che abbiamo chiamato narrativi, in cui il contesto assume la forma di una storia (caratterizzata da rapporti di tipo temporale e causale e dalla presenza di personaggi mossi da scopi); dall’altro i problemi descrittivi, in cui il contesto descrive alcuni elementi di una situazione, e in cui mancano tutti gli aspetti caratterizzanti una storia.
Abbiamo evidenziato le potenzialità dei problemi narrativi dal punto di vista della comprensione del testo, che si presenta come un testo a dominanza narrativa, e parallelamente abbiamo sottolineato i limiti dei problemi descrittivi, il cui testo è a dominanza descrittiva.
• D’altra parte abbiamo osservato che le potenzialità dei problemi narrativi possono essere vanificate da una scarsa attenzione da parte dell’autore alla struttura narrativa del problema e soprattutto all’integrazione fra la struttura matematica e la struttura narrativa.
A questo proposito abbiamo evidenziato alcuni possibili ostacoli alla comprensione di un problema narrativo:
la mancanza di dati che sono rilevanti dal punto di vista narrativo anche se irrilevanti per la soluzione; l’artificiosità dal punto di vista narrativo dei dati essenziali per la soluzione;l’atteggiamento perverso o reticente del narratore;la presenza di fratture narrative fra contesto e domanda.
• Lo sviluppo di una maggiore sensibilità agli aspetti relativi alla comprensione del testo di un problema e quindi alla sua formulazione rende l’insegnante più critico e più autonomo.
• In realtà non è detto che in presenza di ostacoli o criticità nel testo sia necessario o addirittura opportuno intervenire sulla formulazione del problema per agevolarne la comprensione: le scelte e le strategie dell’insegnante infatti dipendono dai suoi obiettivi.
• Ad esempio se l’obiettivo che l’insegnante si pone attraverso un problema è quello di sviluppare competenze linguistiche quali la selezione di informazioni essenziali da un testo, non ha senso ridurne la complessità, rimuovendo proprio quegli ostacoli che sono funzionali al lavoro su tale obiettivo.
• Inoltre è essenziale distinguere fra situazioni:– in cui il problema è usato per una valutazione sommativa– in cui il problema è usato per costruire conoscenze e competenze. In
quest’ultimo caso altre parole un problema ‘mal’ formulato può essere fonte di apprendimento tanto quanto un problema ‘ben’ formulato.
• In definitiva ciò che favorisce lo sviluppo di uno spirito critico e di autonomia nell’insegnante è la consapevolezza: da un lato la consapevolezza della complessità del processo di comprensione, dall’altro la consapevolezza degli obiettivi che si pone con quel problema, in quelmomento, in quella classe, o addirittura con quell’allievo.
• Un caso in cui ci sembra importante intervenire sulla formulazione del testo è quello in cui l’insegnante sta lavorando su un particolare concetto o abilità matematica, vuoi per introdurlo, o semplicemente per consolidarlo, e non desidera quindi che una formulazione infelice distragga l’allievo dalla domanda posta, o addirittura ne ostacoli la comprensione.
• Nel caso di un problema narrativo naturalmente l’insegnante può cercare di rimuovere ostacoli e fratture arrivando a una formulazione in cui ci sia integrazione fra struttura narrativa e struttura matematica.
• Ma questa soluzione, che può presentarsi complessa e che approfondiremo più avanti, non è l’unica disponibile: le possibilità che l’insegnante ha a disposizione infatti sono diverse, e la scelta più opportuna dipende anche dalle caratteristiche del problema.
• Tra l’altro le modalità di riformulazione che descriviamo danno suggerimenti anche nel caso in cui il problema originario non sia narrativo.
Che fare?
1. Possiamo eliminare i dettagli narrativi non rilevanti per la soluzione
Nonna Adele semplificata
In un sacchetto ci sono 3 caramelle al gusto di
arancia e 2 al gusto di limone.
A occhi chiusi, è più facile pescare una caramella al
gusto di arancia o di limone?
Perché?
Nel parco (INVALSI 2009-'10, D2, V primaria)
• Nel parco c’è un bivio con queste indicazioni:
a. Quanti chilometri ci sono
tra il rifugio e il lago?
□ 5 km
□ 9,5 km
□ 14,5 km
□ 17 km
b. Quanti chilometri ci sono tra il rifugio e la fontana, che sono sulla stessa
strada?
Risposta: .................... km
Che fare?
1. Possiamo eliminare i dettagli narrativi non rilevanti per la soluzione
2. Possiamo riformulare in modo da saldare le fratture narrative, e ottenere un problema “a righe”
Nonna Adele riformulata (A)
Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo, nonna Adele porta due sacchetti di caramelle che i bambini dovranno mettere nel cassetto di cucina, per poi mangiare una caramella ogni tanto.
La prima caramella però la possono mangiare subito, ma nonna Adele vuole che Elisa e Matteo la prendano da uno dei due sacchetti senza guardare dentro.
Oggi la nonna è arrivata con due sacchetti, uno bianco e uno rosso, e dice ai bambini: “In quello bianco ci sono 4 caramelle al gusto di menta e 3 al gusto di arancia, in quello rosso ci sono 3 caramelle al gusto di menta e 4 al gusto di arancia”.
Se a Matteo piacciono di più le caramelle all’arancia,
da quale dei due sacchetti gli conviene pescare?
Perché?
Che fare?
1. Possiamo eliminare i dettagli narrativi non rilevanti per la soluzione
2. Possiamo riformulare in modo da saldare le fratture narrative
3. Possiamo riformulare in modo da ottenere un problema-sfinge
I problemi ‘sfinge’Teaching Mathematics as Storytelling, Zazkis&Liljedahl, 2009
Dopo tante avventure il cavaliere Nadir può finalmente tornare a casa. Il terzo giorno di viaggio arriva a un grande fiume: si guarda intorno e vede solo una barca; accanto alla barca sta seduto un vecchio con una lunghissima barba bianca. Nadir si avvicina al vecchio, e gli chiede gentilmente: "Caro vecchio, mi puoi portare dall'altra parte del fiume? Devo tornare a casa. Ti posso pagare 5 denari: è tutto quello che mi rimane."
Il vecchio risponde: "Non voglio i tuoi denari. Ma io porto dall'altra parte del fiume solo i valorosi che sanno rispondere alle mie domande. E ti assicuro che finora sono stati pochi."
Nadir dice: "Non ho paura delle tue domande, caro vecchio. Sono pronto. Chiedimi e risponderò.” E il vecchio:
"Nel tempio antico c'è un tappeto rettangolare, fatto di quadratini tutti uguali cuciti insieme dalle donne del paese. Il bordo è formato da 44 quadrati, e sul lato lungo del bordo c’è il doppio di quadrati che su quello corto.
Se vuoi che ti porti dall'altra parte del fiume, valoroso cavaliere, mi devi dire: quanti quadrati c'erano sul lato lungo di quel tappeto, e quanti sul lato corto?"
Puoi aiutare Nadir a rispondere?
Immagina di avere davanti un sacchetto con 3 monete d’oro e 2 d’argento. A occhi chiusi è più facile pescare una moneta d’oro o una d’argento? Perché?
Che fare?
1. Possiamo eliminare i dettagli narrativi non rilevanti per la soluzione
2. Possiamo riformulare in modo da saldare le fratture narrative
3. Possiamo riformulare in modo da ottenere un problema-sfinge
4. Possiamo rinunciare addirittura ad una contestualizzazione concreta
Automobiline Giulio e Andrea per giocare mettono insieme le loro automobiline.Quando smettono di giocare, ciascun bambino vuole riprendersi lo stesso numero di automobiline che aveva all'inizio del gioco.Tutte le automobiline sono 48, ma come dividerle?Andrea ricorda che ne aveva il triplo di Giulio.Vuoi aiutarli a dividere le macchinine nel modo giusto?
Automobiline (versione astratta)La somma di due numeri è 48.Si sa che uno dei due numeri è il triplo dell'altro.Quali sono i due numeri?
Che fare?
1. Possiamo eliminare i dettagli narrativi non rilevanti per la soluzione
2. Possiamo riformulare in modo da saldare le fratture narrative
3. Possiamo riformulare in modo da ottenere un problema-sfinge
5. Possiamo non riformulare, e:• essere consapevoli dei possibili ostacoli che il
problema presenta• lavorare con gli allievi in modo critico sul testo
4. Possiamo rinunciare addirittura ad una contestualizzazione concreta
Attività 5.1
Riformula il problema La scala in tre modi diversi:•eliminando dettagli narrativi irrilevanti;•come problema sfinge;•come problema a contesto matematico.In ognuno dei casi il problema riformulato deve avere la stessa struttura matematica del problema originario, ma per il resto puoi introdurre tutti i cambiamenti che ritieni opportuno.
La scalaLa strega Pasticcia ordina ai suoi gattini Buffetto e Sandogatt di lucidare tutta la lunga scala che porta alla torre più alta del castello. Buffetto lucida 20 scalini.Sandogatt ne lucida solo 3.La strega ne lucida 7 più di lui.Quanti scalini ha quella scala?
Che fare?
1. Possiamo eliminare i dettagli narrativi non rilevanti per la soluzione
2. Possiamo riformulare in modo da saldare le fratture narrative
3. Possiamo riformulare in modo da ottenere un problema-sfinge
5. Possiamo non riformulare, e:• essere consapevoli dei possibili ostacoli che il
problema presenta• lavorare con gli allievi in modo critico sul testo
4. Possiamo rinunciare addirittura ad una contestualizzazione concreta
La riformulazione:dai problemi a quadretti ai problemi
a righe
…caratterizzati dall’integrazione fra dimensione logica e dimensione narrativa
Possiamo riformulare in modo da saldare le fratture narrative
“Riformulare”…•…si intende mantenendo la stessa struttura matematica•in ogni caso il contesto e la storia si possono cambiare •evidentemente si può riformulare anche un problema non narrativo in modo da renderlo problema a righe
Attività 5.2
Riformula i problemi riportati sotto come problemi narrativi a righe, utilizzando le analisi e riformulazioni che ne hai fatto nelle Attività precedenti (per i problemi con l’asterisco fai riferimento alla riformulazione che ne hai fatto come problemi narrativi).In altre parole:- formula il testo in modo che la focalizzazione sia interna (il narratore assume il punto di vista di un personaggio);- elimina eventuali elementi di artificiosità dovuti a:
artificiosità delle informazioni rilevanti per la soluzionescelta artificiosa delle informazioni rilevanti per la soluzione (narratore reticente)modo artificioso di dare tali informazioni (narratore perverso)
- elimina eventuali fratture narrative fra contesto e domanda.Il problema riformulato deve avere la stessa struttura matematica del problema originario, ma per il resto puoi introdurre tutti i cambiamenti che credi.
La marmellata di pesche Per preparare la marmellata di pesche la nonna ha usato 10 kg di pesche e 5 kg di zucchero.La marmellata che si ottiene (togliendo gli scarti e tenendo conto della cottura) è i 3/5 del peso iniziale di pesche e zucchero. Quanti vasetti della capacità di 250 grammi ha utilizzato la nonna?
La biciclettaGiorgio ha acquistato una bicicletta sportiva cambiandola con una usata. Il ciclista ha valutato la bici vecchia 55 €. Il prezzo di listino della nuova era di 190€.Giorgio ottiene di pagare in 2 rate.Quanto verserà per ogni rata?
La spesaAnna e il suo fratellino Marco vanno a fare la spesa per la mamma. Devono prendere il latte, il pane, e il detersivo per la lavatrice. La mamma dà loro 10 euro.Al supermercato comprano tutto quello che la mamma ha chiesto. Pagano 1,5 € per il latte e 1,4 € per il pane. Hanno di resto 3€.Quanto è costato il detersivo per la lavatrice?
Vacanze al campeggioTommaso ha deciso di passare una decina di giorni in campeggio con i suoi amici Alessio, Marco e Giovanni.Se prenderanno una tenda con 4 posti letto, allora prevedono di spendere 15 euro al giorno per l'affitto della piazzola, 18 euro a testa per i pasti e 8 euro al giorno per l'ombrellone.Quanto spendono i 4 ragazzi per stare al mare?
Alice e Paolo*Alice ha 8 euro.Paolo ha 7 euro.Quanti euro hanno in tutto?
Il circo* A uno spettacolo circense tutti i 1050 posti risultano occupati. Un posto delle prime file costa € 17, uno delle altre file costa € 10,50 e l’incasso complessivo è stato di € 13.482.Calcola il numero dei posti delle prime file.
Riformulazioni a righe:esempi e considerazioni generali
1. Storie da aprire…A volte una riformulazione a righe comporta solo una leggera modifica del testo, come nei problemi in cui la storia è chiusa ma la domanda fa riferimento ad uno scopo di un personaggio.In questi casi è sufficiente modificare i tempi e aprire la storia, formulando la domanda in modo che conoscere la risposta serva al protagonista per raggiungere il suo scopo.
La marmellata di pesche Per preparare la marmellata di pesche la nonna ha usato 10 kg di pesche e 5 kg di zucchero.La marmellata che si ottiene (togliendo gli scarti e tenendo conto della cottura) è i 3/5 del peso iniziale di pesche e zucchero. Quanti vasetti della capacità di 250 grammi ha utilizzato la nonna?
La marmellata di pesche (riformulazione 1)La nonna deve preparare la marmellata di pesche con 10 kg di pesche e 5 kg di zucchero.La marmellata che si ottiene (togliendo gli scarti e tenendo conto della cottura) è i 3/5 del peso iniziale complessivo di pesche e zucchero. Quanti vasetti della capacità di 250 grammi servono alla nonna?
1. Storie da aprire…
La marmellata di pesche (riformulazione 2)Anche quest'anno la nonna vuole preparare insieme alla sua nipotina Martina la marmellata con la frutta del suo giardino che le piace tanto: hanno raccolto ben 10 kg di pesche, e per fare la marmellata bisogna aggiungere 5 kg di zucchero, come dice la ricetta.Martina è tutta contenta: «Nonna, ti immagini? Quanta marmellata solo per me!»La nonna le dice: «Vedi di non mangiartela tutta in un mese! Comunque quando avremo tolto gli scarti e avremo cotto tutto, ci rimarrà all'incirca i 3/5 del peso iniziale complessivo di pesche e zucchero! Anzi, fammi un piacere. Vai a prendere in cantina i barattoli così li lavo per bene prima di metterci la marmellata: prendi quelli dello scaffale in basso, da 250 grammi». Martina è contenta di fare un piacere alla nonna, ma non ha voglia di fare viaggi inutili. Deve trovare il modo per capire quanti barattoli servono: puoi aiutarla?
A questo punto la domanda s’inserisce perfettamente nella storia: è una necessità della nonna conoscere la risposta. Questa necessità si può enfatizzare aggiungendo dettagli narrativi che evidenzino ostacoli al raggiungimento dello scopo.
PROTAGONISTA: MARTINA (E NON LA NONNA) PROTAGONISTA: MARTINA (E NON LA NONNA)
FOCALIZZAZIONE INTERNAFOCALIZZAZIONE INTERNA
2. Modifiche limitate…In altri casi la riformulazione non è così immediata, ma il testo originario non ha artificiosità da eliminare e la storia comunque presenta delle potenzialità ad essere trasformata in problema di un personaggio.
La bicicletta Giorgio ha acquistato una sportiva cambiandola con una usata. Il ciclista ha valutato la bici vecchia 55 €. Il prezzo di listino della nuova era di 190€.Giorgio ottiene di pagare in 2 rate.Quanto verserà per ogni rata?
La bicicletta (riformulazione) Giorgio con i suoi risparmi vorrebbe cambiare la sua bicicletta ormai vecchia e comprarne una nuova.Va quindi dal venditore di bici e ne nota una che gli piace molto ma costa 190 €, decisamente troppo per i risparmi che ha! Il negoziante gli propone un modo per risparmiare: «Ti posso dare 55€ per la tua bicicletta vecchia, e per la somma che rimane da pagare mi puoi pagare in due rate uguali». Tornato a casa Giorgio racconta tutto ai suoi genitori e il babbo esclama: «Visto che in questo periodo sei migliorato in matematica, ti meriti un premio: se mi dici qual èl’importo di ogni rata, io pagherò la prima, l’altra la pagherai tu con i tuoi risparmi!». Giorgio ècontento della proposta, ma deve dire subito al babbo quant’è l’importo di una rata: deve fare i conti da solo, altrimenti il babbo cambia idea sui suoi miglioramenti in matematica!Puoi aiutarlo a risolvere il suo problema?
3. Necessità di modifiche varie…La riformulazione a righe diventa più complessa se le criticità da superare sono molteplici, in particolare se oltre a fratture narrative fra contesto e domande sono presenti anche artificiosità.È il caso problema La spesa, in cui si può riconoscere oltre a una frattura di 1°
livello fra contesto e domanda anche un’artificiosità dovuta a un narratore reticente (il narratore dice il costo del pane e del latte ma tace proprio quello del detersivo).
La spesaAnna e il suo fratellino Marco vanno a fare la spesa per la mamma. Devono prendere il latte, il pane, e il detersivo per la lavatrice. La mamma dà loro 10 euro.Al supermercato comprano tutto quello che la mamma ha chiesto. Pagano 1,5 € per il latte e 1,4 € per il pane. Hanno di resto 3€.Quanto è costato il detersivo per la lavatrice?
3. Necessità di modifiche varie…
La spesa (riformulazione 1)Anna e il suo fratellino Marco vanno a fare la spesa per la mamma. Devono prendere il latte e il pane, e poi il detersivo per la vicina di casa, che è malata e non può uscire. La mamma dà loro 10 euro.Pagano con la loro banconota e ricevono 3 euro di resto dalla cassiera.Al supermercato comprano tutto quello che la mamma ha chiesto. Arrivati a casa, portano il detersivo alla vicina, che chiede: «Quanto vi devo dare per il detersivo?»Marco e Anna si accorgono di aver perso lo scontrino, ma ricordano che il latte costava 1euro e 50 centesimi e il pane 1 euro e 40 centesimi.Aiutali a capire quanto devono chiedere a Dora per il detersivo.
3. Necessità di modifiche varie…La spesa (riformulazione 2)Anna va a fare la spesa per la mamma. Deve comprare il latte e il pane. La mamma le dà 10€.Mentre scende le scale Anna incontra Marco, un suo amico che abita al piano di sotto. Marco le chiede: «Esci? Mi puoi fare un piacere? Mi compri una scatola di pennarelli a punta grossa? Li devo portare domani a scuola ma non posso uscire perché devo aspettare il mio fratellino. Quando torni ti darò i soldi».Anna risponde di sì.Arrivata al supermercato, compra il latte e il pane per la mamma e i pennarelli per Marco. Paga con i soldi che le ha dato la mamma e riceve 3 euro di resto dalla cassiera.Quando arriva a casa, porta i pennarelli a Marco. Marco le chiede: «Quanto hai speso per i pennarelli? »Anna si accorge di aver perso lo scontrino. Insieme a Marco vede che il prezzo èscritto solo sul latte e sul pane: il latte costa 1 euro e 50 centesimi e il pane 1 euro e 40 centesimi.Come possono fare Anna e Marco a capire quanto è costata la scatola di pennarelli?
3. Necessità di modifiche varie…
La spesa (riformulazione 3)Anna e suo fratello Marco vanno a fare la spesa per la mamma nel negozio vicino a casa. Devono acquistare il latte, il pane e il detersivo per la lavatrice e con il resto possono comprare l’album delle figurine, che costa 3€.La mamma dà loro 10€. Al negozio vedono che il latte costa 1,50€ e il pane 1,40€. I bambini si chiedono: «quanto possiamo spendere per il detersivo per poter comprare anche l’album delle figurine?»
4. A volte la riformulazione è piùsemplice se si cambia contesto…
Automobiline Giulio e Andrea per giocare mettono insieme le loro automobiline.Quando smettono di giocare, ciascun bambino vuole riprendersi lo stesso numero di automobiline che aveva all'inizio del gioco.Tutte le automobiline sono 48, ma come dividerle?Andrea ricorda che ne aveva il triplo di Giulio.Vuoi aiutarli a dividere le macchinine nel modo giusto?
4. A volte la riformulazione è piùsemplice se si cambia contesto…
La ricompensaIl babbo ha chiesto a Marco e a suo fratello maggiore Luca di tingere il recinto del giardino. Marco ci lavora 3 pomeriggi interi, mentre Luca trova sempre delle scuse dicendo che ha da fare altre cose, e aiuta il fratello solo l'ultimo pomeriggio.Quando hanno finito di tingere tutto, il babbo dice soddisfatto: «Bravi! Avete fatto proprio un bel lavoro! Ecco 60 euro: 30 per ognuno di voi».Ma Marco protesta: «Babbo, non è giusto che prendiamo uguale! Io ho lavorato il triplo di lui, e devo avere il triplo dei soldi!»«D'accordo» dice il babbo «Allora dividetevi i 60 euro fra voi in modo che Marco il triplo di Luca». «Ma quanti ne devo prendere allora?» dice Marco, che non ha mai fatto problemi cosìdifficili.«Non sarò certo io a dirtelo… Se non lo sai, ce li dividiamo a metà!» risponde Luca tutto soddisfatto.Quanti soldi deve chiedere Marco, se vuole avere una ricompensa tripla di quella di Luca? Marco non sa come fare. Aiutalo tu!
5. A volte è opportuno modificare leggermente la struttura matematica…
…per migliorare la struttura narrativa del problema, in particolare per renderlo più realistico
In questi casi il problema matematico originario è un sottoproblema del problema riformulato…cioè risolvere il problema originario è comunque necessario per risolvere il problema riformulato
Anna ha 8 euro.
Marco ha 7 euro.
Anna e Marco vorrebbero comprare per il compleanno della nonna un profumo che le piace molto e che si chiama “Che profumino”.
Si sono informati in una profumeria e hanno visto che la confezione più piccola costa 17 euro.
Anna ha 8 euro e Marco 7.
Marco chiede a Anna:
“Ma ci basteranno i soldi che abbiamo?
Non voglio fare una brutta figura se lo chiediamo e poi non possiamo pagare!!”
Puoi aiutare Marco a risolvere il suo problema?
Quanti euro hanno in tutto?
In due hanno 17 euro?
5. A volte è opportuno modificare leggermente la struttura matematica…
Vacanze al campeggioTommaso ha deciso di passare una decina di giorni in campeggio con i suoi amici Alessio, Marco e Giovanni.Se prenderanno una tenda con 4 posti letto, allora prevedono di spendere 15 euro al giorno per l'affitto della piazzola, 18 euro a testa per i pasti e 8 euro al giorno per l'ombrellone.Quanto spendono i 4 ragazzi per stare al mare?
5. A volte è opportuno modificare leggermente la struttura matematica…
Vacanze al campeggio (riformulazione)Tommaso, Alessio, Marco e Giovanni hanno deciso di passare 10 giorni in campeggio al mare.Telefonano al campeggio Miramare per avere un'idea della spesa, e il proprietario dice che può fare un prezzo complessivo di 1000 euro, che comprende il posto per la tenda, 2 pasti al giorno per tutti e 4, e anche un ombrellone sulla spiaggia.Telefonano quindi all'altro campeggio del paesino, il campeggio Spiaggiabella. Il proprietario spiega che per l'affitto della piazzola si spendono 15 euro al giorno, per i due pasti 18 euro a testa al giorno, e l'ombrellone costa 8 euro al giorno.I ragazzi vogliono scegliere il campeggio più economico. Come possono fare per decidere qual è?
6. E’ possibile riformulare a righe un problema non narrativo
Il circo A uno spettacolo circense tutti i 1050 posti risultano occupati. Un posto delle prime file costa € 17, uno delle altre file costa € 10,50 e l’incasso complessivo è stato di € 13.482.Calcola il numero dei posti delle prime file.
6. E’ possibile riformulare a righe un problema non narrativo
Il circo (riformulazione)La bigliettaia del circo Safari, signora Carla, ha deciso di andare in vacanza per un po’ di giorni. Ha trovato un ragazzo per sostituirla in biglietteria. Il nuovo sostituto Mario dovrà prendere solo le prenotazioni nei giorni in cui il circo è in viaggio. La signora Carla si preoccupa di spiegargli che cosa dovrà fare. Si raccomanda con Mario di rispondere sempre al telefono, e di non far aspettare troppo i clienti. Spiega a Mario che nel circo ci sono due settori: il settore A, da cui si vede meglio lo spettacolo, e il settore B. Un biglietto per il settore A costa 17 €, un biglietto per il settore B costa 10.50 €. Prima di andarsene la Signora Carla gli augura di ripetere il tutto esaurito della sera precedente: tutti i 1050 posti erano occupati, e l’incasso è stato di 13.482 euro. Mario si scrive tutte queste informazioni su un foglio per paura di dimenticarsene.Il pomeriggio Mario riceve la sua prima telefonata. È un professore della scuola Colombo: vorrebbe prenotare i biglietti per i ragazzini di tutte le classi della sua scuola, ma vorrebbe per tutti un biglietto del settore A. Chiede quindi a Mario quanti sono i posti di quel settore.Mario si rende conto che tra tutte le cose che la signora Carla gli ha detto si è dimenticata di dirgli proprio quanti posti ci sono nel settore A! Mario non può controllare direttamente, perché il circo è ancora in viaggio. Chiede al professore di richiamarlo dopo un po’, perché ha bisogno di un po’ di tempo per dargli la risposta.Come può fare, con le informazioni che ha, a trovare quanti sono i posti del settore A?
CONCLUSIONI
• La formulazione di un problema può presentare ostacoli per la comprensione:
aspetti linguistici generali (che valgono cioè per rogni tipo di testo)
aspetti specifici, legati al genere ‘problema’, e ai sottogeneri ‘problema narrativo’ e problema descrittivo’
• Nei problemi narrativi il fatto che il contesto sia una storia dovrebbe favorire il processo di comprensione
Se vogliamo che la contestualizzazione in una storia sostenga la comprensione e soluzione di un problema, la formulazione deve essere attenta all’integrazione fra dimensione logica e dimensione narrativa, in particolare:
– Attenzione ai dati rilevanti dal punto di vista narrativo
– Attenzione all’artificiosità narrativa dei dati rilevanti dal punto di vista logico
– Narratore a focalizzazione interna
– Continuità narrativa fra storia e domanda
PROBLEMI A RIGHE
E’ importante che l’insegnante sia consapevole
di questa complessità:
per interpretare in modo adeguato l’eventuale
fallimento di un allievo
per fare le proprie scelte riguardo i problemi
da proporre
eventualmente per riformulare il testo di un
problema
Nella (ri)formulazione l’integrazione fra dimensione logica e dimensione narrativa:
•produce in genere un testo più lungo, che sembra complicare piuttosto che semplificare il compito del bambino
•viene vanificata se l’allievo adotta una lettura selettiva del testo
• richiede da parte dell'insegnante di matematica un'attenzione esplicita e continua alle competenze linguistiche
Quando ne vale la pena?• In presenza di un problema significativo dal punto di vista
matematico
• In particolare quando il problema vuole introdurre o comunque far lavorare su un concetto particolarmente significativo:
– La proporzionalità
– Il concetto di area, la differenza area/ perimetro
– Le frazioni (e le operazioni…)
– …
• In presenza di allievi ‘narrativi’
• In presenza di allievi che hanno un rapporto negativo con la matematica
• Quando si vuol far lavorare gli allievi sul problem solving
• Quando si vuol far lavorare gli allievi sulla modellizzazione
L’importanza di cominciare presto…
La scala
La strega Pasticcia ordina ai suoi gattini Buffetto e Sandogatt di lucidare tutta la lunga scala che porta alla torre più alta del castello.
Buffetto lucida 20 scalini.
Sandogatt ne lucida solo 3.
La strega ne lucida 7 più di lui.
Quanti scalini ha quella scala?
Code di topo (versione A)
La maga Lucilla, per il suo compleanno, vuole invitare a cena 28 amici, fra quelli a lei più cari, e offrire a ciascuno di loro una bella pizza.
Purtroppo ha comprato da poco un pentolone nuovo e le sono rimasti pochi soldi.
Pensa di utilizzare il libro delle pozioni magiche e, tutta contenta, trova questa ricetta:
“Una coda di topo in brodo bollita si trasforma in una pizza saporita”.
La maga pensa subito che se riuscirà a procurarsi tante code potrà invitare tanti amici: un amico per ogni coda.
La sera chiama Zampina, Siamese e Batuffolo, i suoi aiutanti gatti, e dice loro: “ Ho bisogno del vostro aiuto per festeggiare il mio compleanno! Andate in giro per il paese e catturate più topi che potete!”
I tre gatti partono per la caccia che li impegna fino al mattino dopo.
Quando torna Zampina urla contento: ”Io ne ho catturati 5!”
Lo segue Siamese “ Io sono stato più bravo, ne ho presi 4 più di te!”
Infine arriva tutto sudato Batuffolo: “ Io sono stato il più furbo! Ne ho catturati ben 14!”
Aiuta la maga a capire se le code di topo sono sufficienti per poter invitare i suoi amici.
Code di topo (versione B)
La maga Lucilla, per il suo compleanno, vuole invitare a cena 22amici, fra quelli a lei più cari, e offrire a ciascuno di loro una bella pizza.
Purtroppo ha comprato da poco un pentolone nuovo e le sono rimasti pochi soldi.
Pensa di utilizzare il libro delle pozioni magiche e, tutta contenta, trova questa ricetta:
“Una coda di topo in brodo bollita si trasforma in una pizza saporita”.
La maga pensa subito che se riuscirà a procurarsi tante code potrà invitare tanti amici: un amico per ogni coda.
La sera chiama Zampino, Siamese e Batuffolo, i suoi aiutanti gatti, e dice loro:
“Ho bisogno del vostro aiuto per festeggiare il mio compleanno! Andate in giro per il paese e catturate più topi che potete!”
I tre gatti partono per la caccia che li impegna fino al mattino dopo.
Quando torna, Zampino urla contento: ”Io ne ho catturati 4!”
Subito dopo arriva Siamese che esclama: “ Io sono stato più bravo, ne ho presi più di te!”
La maga dice: "E' vero! Siamese ne ha presi 3 più di Zampino"
Infine arriva tutto sudato Batuffolo: “ Io ne ho catturati 11!”.
Aiuta la maga a capire se le code di topo sono sufficienti per poter invitare i suoi amici.
Spiega il tuo ragionamento.
Teste e zampe
In un recinto ci sono 11 animali, fra conigli e galline.Le zampe sono 34.Quanti sono i conigli?Quante le galline?
DESCRITTIVODESCRITTIVO NARRATIVONARRATIVO
Teste e zampe
Nonna Giulia ha deciso di partire per una breve vacanza.I suoi nipoti Luca e Matteo le hanno promesso di dare da
mangiare ai suoi animali: cani, gatti, polli e conigli. Il giorno prima di partire la nonna ha chiamato a casa sua Matteo,
il più grande dei nipoti. gli ha fatto vedere il cibo da dare agli animali raccomandando di non sbagliare tra quello dei conigli e quello dei polli.
Matteo ha ascoltato con grande attenzione e ha promesso di seguire scrupolosamente le sue istruzioni.
Il giorno dopo i due fratelli escono per recarsi a casa della nonna ad accudire gli animali. Lungo la strada incontrano alcuni amici e si fermano a giocare ai giardini. Non si rendono conto che iltempo passa e che la mamma li aspetta per portarli in piscina per la gara di nuoto.
Per fortuna la nonna ha lasciato il mangime degli animali vicinoalle ciotole da riempire, così non devono perdere tempo.
Quando Matteo inizia a preparare il cibo per i polli e per i conigli esclama: “ Le ciotole sono 11 , una per ciascun animale, ma non ricordo quanti sono i polli e quanti sono i conigli! Corri Luca, vai a contarli, intanto io vado a dare da mangiare ai cani e ai gatti “.
Luca protesta, ma poi obbedisce al fratello maggiore. Tutto trafelato Luca arriva nella parte opposta del cortile, dove si
trova la stanza dei polli e dei conigli, ma si accorge che le gabbie sono troppo in alto per lui. riesce a vedere solo le zampe e, per timore di essere rimproverato, conta quelle .
Torna di corsa da matteo ed esclama: “Non ho visto gli animali, ma ho contato 34 zampe!” Matteo si arrabbia perché lui ha bisogno di sapere con esattezza quanti sono i conigli e quanti i polli. Non può rischiare di sbagliare cibo, la nonna si èraccomandata! E’ tardi, non può andare lui, gli animali sono troppo distanti, la mamma li sta aspettando per portarli alla gara!
Puoi aiutare Matteo a risolvere il suo problema?Matteo ha davvero bisogno del tuo aiuto!
Processi risolutivi
Classe seconda, scuola Mazzini, Pisa
Rachele e Chiara
Filippo e Tommaso
ABBIAMO VISTO CHE 2-4-2-4- RIPETUTO PER 11 VOLTE FA 34 E SECONDO NOI I CONIGLI
SONO 6 E I POLLI SONO 5.
E POI ABBIAMO DISEGNATO 11 CIOTOLE, E
ABBIAMO INIZIATO A CONTARE LE ZAMPE DEI CONIGLI E DEI POLLI.
ABBIAMO DISEGNATO 11
CIOTOLE POI ABBIAMO
SCRITTO 4 ZAMPE E 2 ZAMPE E
4 ZAMPE PER OGNI CIOTOLA.
Laura e Marta
Maria Chiara e Elisa
IL MIO RAGIONAMENTO E' CHE O FATTO UN DISEGNO POI O CAPITO CHE GLI ANIMALI ERANO 11!!!
Maria Chiara e Elisa
Valerio e Francesca
IN TUTTO I CONIGLI SONO 6 E I POLLI 5
Selia
PRIMA ABBIAMO PRESO 11 TESTE
POI DOPO ABBIAMO MESSO LE
ZAMPE E ABBIAMO MESSO A TUTTE
LE TESTE 2 ZAMPE.
POI CI SIAMO ACCORTI CHE NON
BASTAVANO PERCHE ERAVAMO
ARRIVATI A 24 E DOVEVAMO
AGGIUNGERE ALTRE 10 ZAMPE E
ALLA FINE ABBIAMO DATI ALTRI 10
E ABBIAMO OTTENUTO 6 CONIGLI E
5 GALLINE.
Osservazione
In un recinto ci sono 11 animali, fra conigli e galline.Le zampe sono 34.Quanti sono i conigli?Quante le galline?
Con questi numeri la soluzione è:
•6 conigli•5 galline, e si può ottenere:
C G C G C G C G C G C
L’efficacia di questa strategia dipende dai numeri
